高三数学9月月考试题理1

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2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}22,B y y x x R ==-+∈，则A B =（）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[1,2)D ．[1,)+∞【答案】B【解析】转化条件为{}1A x x =≥，{}2B y y =≤，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为{{}1A x y x x ===≥，{}{}22,2B y y x x R y y ==-+∈=≤，所以{}[]121,2A B x x ⋂=≤≤=. 故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【分析】设3()log 3f x x x =-+，根据当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，进而得到答案．【详解】解：设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，又f （2）3log 210=-<，f （3）3log 33310=-+=>，故f （2）f （3）0<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是(2,3). 故选：C ． 3．若函数y的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，12]B ．（0，12） C ．[0，12]D ．[0，12）【答案】D【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a 的讨论，根据∆即可求得结果.【详解】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可. 当0a =时，显然满足题意. 当0a >时，只需2Δ1680a a =-<，解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D .【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则“1q >”是“{}n S 为递增数列”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若1,2q n >≥时，1n n n S S a --=，当10a <时，110n n a a q -=<，则1n n S S -<，此时{}n S 为递减数列，即充分性不成立； ②若“{}n S 为递增数列”，即2n ≥时，1n n S S ->，则有10n n S S -->，而110n n a a q -=>并不能推得1q >，如111,2a q ==，故必要性不成立，故“1q >”是“{}n S 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.5．已知函数()f x 的导函数f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．【详解】由导函数图象可知，()f x 在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减，在（-2，0）上单调递增，故选：A ． 6．函数6()e 1||1xmxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关【答案】C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++，设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--，所以()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解. 【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =，所以()()11224f f '-=+=. 故选：D8．若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，导函数在[e,)+∞上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】()1ln f x x a '=+-，又()f x 在[e,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在[e,)+∞上恒成立，而[e,)x ∈+∞时，易见min ()2f x a '=-，只需要20a -≥即可，故2a ≤. 故选：B.9．已知()1xf x e =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】设直线l 是()f x 与()g x 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.【详解】根据题意，设直线l 与()1xf x e =-相切于点(),1m m e - ，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，对于()1x f x e =-，()x f x e '=，则1mk e =则直线l 的方程为()1m my e e x m +-=- ，即(1)1m m y e x e m =+--，对于()ln 1g x x =+，()1g x x'=，则21=k n则直线l 的方程为()()1ln 1y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则()11ln 1m m e n m e n ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩，可得110mm e ，即0m =或1m =则切线方程为：1y ex =- 或y x =,切线有两条. 故选：C10．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】原命题等价于max min ()()f x g x ≥，再求max ()f x 和min ()g x 解不等式即得解. 【详解】12R ,x x ∃∈，使得()()21f x g x ≥成立，则max min ()()f x g x ≥，由题得()()111e 1e e x x xf x x x ---=-+-=-'，当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，所以()()max 10ef x f ==，由题得min ()(1)g x g a =-=， ∴1ea ≤故选：B.11．已知函数3,0,()212,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩若存在唯一的整数．．x ，使得03()2x a f x -<-成立，则所有满足条件的整数．．a 的取值集合为（） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{2,1,0,1}-- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-【答案】B【分析】作出()3()g x f x =的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(),2a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】令33,0,()3()616,0,x x g x f x x x ⎧≥⎪==⎨-++<⎪⎩作出()g x 的图象如图所示：03()2x a f x -<-等价于()20ax x g --<，表示点()(),x g x 与点(),2a 所在直线的斜率，可得曲线()g x 上只有一个整数点()(),x g x 与(),2a 所在的直线斜率小于0，而点(),2a 在直线2y =上运动，由()20,(1)6,(0)0g g g -=-== 可知当-21a ≤≤-时，只有点()00，满足()20a x x g --<，当01a ≤≤时，只有点()16-，满足()20ax x g --<，当1a >时，至少有()16-，，()13，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去，当2a <-时，至少有()()0020-，，，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去，因为a 为整数，故a 可取2101--，，，故选：B12．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二、填空题13．已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】解：∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题，即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解；所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______．【答案】45--0.8【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()2242log 5(log )5f f +=-，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，所以()22225542log 5(22log )(log )(log )445f f f f +=⨯+==-，且241log 05-<<，所以()24log 5242log 525f +=-=-.故答案为：45-.15．已知函数()1,03,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则123ax x x +的取值范围是________.【答案】(]1,0-【分析】画出函数图象，数形结合得到a 的取值范围，且23x x a +=，解不等式得到(]11,0x ∈-，从而求出(]11231,0ax x x x =∈-+. 【详解】画出函数()f x 的图象：由函数()f x 的图象可知：10x ≤，23a <≤，令1x a x+=，则210x ax -+=，所以23x x a +=，令1233x <-+≤，解得：(]11,0x ∈-，所以(]11231,0ax x x x =∈-+. 故答案为：(]1,0-.16．已知函数()()()2log 120kx kf x x k k +=+->，若存在0x >，使得()0f x ≥成立，则k的最大值为______．【答案】12eln 【分析】由()0f x ≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥，同构函数()2log g x x x =，结合函数的单调性，转化为()()2log 11x h x x +=+的最大值问题.【详解】由()()2log 120kx kf x x k +=+-≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥ 即()()()()121log 112k x x x k x +++≥+，()()()()11221log 12log 2k x k x x x ++++≥⋅构造函数()2log g x x x =，显然在()1,+∞上单调递增， ∴()112k x x ++≥，即()2log 11x k x +≤+，令()()2log 11x h x x +=+，即求函数的最大值即可，()()()()()222221log 1log log 1ln 211x e x h x x x -+-+'==++， ∴在()1,1e -上单调递增，在()1,e -+∞上单调递减， ∴()h x 的最大值为()11ln 2h e e -= ∴10e 2k ln <≤，即k 的最大值为1e 2ln 故答案为：1e 2ln .三、解答题17．已知(){}23log 212A x x x =-+>，11216x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．(1)当2a =时，求R A B ⋂；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x (2)0a ≥【分析】（1）先求出,A B ，从而可求R B ，故可求R A B ⋂.（2）根据题设条件可得B A ⊆，从而可求0a ≥.【详解】(1){}2|219{2A x x x x x =-+>=<-或4}x >，当2a =时211{6}216x B x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}R6B x x =≤，所以R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x ，(2)11{4}216x aB x x x a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆ 所以44+≥a ，解得0a ≥．18．命题p ：22430x ax a -+->(0a >)，命题q :302x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3) (2)[1,2]【分析】（1）结合已知条件分别化简命题p 和q ，然后由1a =且p q ∧为真即可求解；（2）结合（1）中结论分别求出p ⌝ 和q ⌝，然后利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】(1)结合已知条件可知，22430()(3)03x ax a x a x a a x a -+->⇔--<⇔<<， 30(2)(3)0232x x x x x -<⇔--<⇔<<-，当1a =时，命题p ：13x <<，命题q ：23x <<，因为p q ∧为真，所以132323x x x <<⎧⇒<<⎨<<⎩，故求实数x 的取值范围为(2,3).(2)结合（1）中可知，命题p ⌝：x a ≤或3x a ≥，命题q ⌝：2x ≤或3x ≥，因为p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，所以{|x x a ≤或3}x a ≥是{|2x x ≤或3}x ≥的真子集，从而0233a a <≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[1,2].19．函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，＝，，()2g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立.(1)求函数()g x 的最小值； (2)求k 的取值范围. 【答案】(1)|k －2| (2)79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求max min ()()f x g x ≤即可，根据()f x 解析式，作出图象，结合函数的性质，可得max ()f x ，所以可得|k －2|≥14，根据绝对值不等式的解法，即可得答案. 【详解】(1)因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以min ()2g x k =- (2)对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤ 观察f (x )＝2131log 1x x x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，，的图象，结合函数性质可得，当x ＝12时，函数max 1()4f x = 所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q132544007200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40=++Q x x bx cx ；②22()10003⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭xQ x a ；③3()300log a Q x x b =+.(1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[80,120]v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()()221020080120N v v v v =-+≤≤.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？【答案】(1)选①，理由见解析；321()215040=-+Q x x x x (2)高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为40km/h ；33800wh【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解．【详解】(1)解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②，22()1000()3x Q x a =-+，()0220100003Q a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得999a =-，则22()13x Q x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，()02121013Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以()021210131Q ⎛⎫=- ⎪⎭<⎝，故不符合题意，故选①3211()40=++Q x x bx cx ，由表中数据，可得323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2150b c =-⎧⎨=⎩，321()215040Q x x x x ∴=-+． (2)解：高速上行驶200km ，所用时间为200h v，则所耗电量为2200200100()()(210200)400()2000f v N v v v v v v v=⋅=⋅-+=+-，由对勾函数的性质可知，()f v 在[80,120]上单调递增，min 100()(80)400(80)200030500wh 80f v f ∴==⨯+-=，国道上行驶30km ，所用时间为30h v，则所耗电量为322303013()()(2150)604500404g v Q v v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+， 080v ≤≤，∴当40v =时，min ()(40)3300wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km /h ，在国道上的行驶速度为40km/h 时，该车从A 地行驶到B 地的总耗电量最少，最少为30500330033800wh +=． 21．已知函数()ln af x x b x x=--. (1)若函数()f x 在1x =处的切线是10x y +-=，求a b +的值； (2)当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)4a b +=(2)当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）知()1ln f x x b x x =--，求导()221x bx f x x -+'=，分类讨论22b -≤≤，2b <-和2b >时，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的零点.【详解】(1)∵切点()()1,1f 也在切线10x y +-=上，∴1110a -+-=，即1a =. 函数()ln a f x x b x x =--，求导()21a bf x x x'=+-，由题设知()111f a b =+-=-'，即3b =， ∴4a b +=.(2)当1a =时，()1ln f x x b x x =--，0x >求导()222111b x bx f x x x x -+'=+-=. ①当22b -≤≤时，二次函数210x bx -+≥恒成立，即()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，又()10f =，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.②当2b <-时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=<，1210x x =>，即10x <，20x <，()0f x '>在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.③当2b >时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=>，1210x x =>，即1201x x <<<，当10x x <<时，()0f x '>，()f x 在()10,x 上单调递增；当12x x x <<时，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减；当2x x >时，()0f x '>，()f x 在()2,x +∞上单调递增. 又()()()1210f x f f x >=>，所以21111e ln e 0e ee e bb bb b bf b b ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立，所以()f x 在()10,x 上有且只有1个零点.又()10f =，故()f x 在()12,x x 上有且只有1个零点.又()2111e e ln e e 0e e e b bb b b b b f b b f ⎛⎫=--=--=-> ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立，故()f x 在()2,x +∞上有且只有1个零点.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.22．已知函数()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，其中R a ∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求函数()g x 在区间[]1,2上的最小值 (3)若()f x 在区间[]1,2上的最大值为2ln21-，直接写出a 的值. 【答案】(1)0y = (2)详见解析 (3)ln 2【分析】（1）求导求切线方程；（2）求导，含参讨论求最值；（3）求导判断单调性验证成立即可【详解】(1)()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，则()10f =()()1221f x ax a x'=+-+，则()10k f '== 则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为0y = (2)()()1()221g x f x ax a x'==+-+，[]1,2x ∈ 则222121()2ax g x a x x-'=-+=，[]1,2x ∈ ①当0a ≤时，2221()0ax g x x -'=<，则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为()11(2)421222g a a a =+-+=-②当108a <≤时，由[]1,2x ∈，可得2281ax a ≤≤，则2221()0ax g x x-'=≤ 则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为1(2)22g a =-③当1182a <<时，222221()a x x ax g x x x ⎛ -⎝⎭⎝⎭'==，[]1,2x ∈当1x ≤<()0g x '<，()g x 单调递减；2x ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增则当x =()g x取最小值()2211)1g a a =+=- ④当12a ≥时，由[]1,2x ∈，可得2221ax a ≥≥，则2221()0ax g x x -'=≥则()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上的最小值为(1)0g = (3)ln 2a =，理由如下：此时，函数()()2ln 211ln 2ln 2ln 2f x x x x =+-+++，[]1,2x ∈则()()()ln 21(1)ln 2ln 221221x f x x x xx '-+--=+= 由[]1,2x ∈，可得ln 2ln 2ln 4122x ≥=>，10x -≥，0x > 则()()ln 21(120)x f x x x--'=≥，则()f x 在[]1,2单调递增.则()f x 在[]1,2上的最大值为()()ln 2ln 2ln 2ln 212ln2422112f =-+++=-+。

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题

的不等式 (x 2) f x f 7 的解集为（）
A．x 1 x 2 或 x 4 C．x 1 x 4
B．x x 7 D．x x 1或 2 x 4
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6．已知函数
f
x
x2
a x
2ax, x 2
4
的最大值为 ,x 2
2x
1，则实数
a
的值为（
）
两点，且 A，B 两ห้องสมุดไป่ตู้的横坐标分别为 3 ， 5 . 5 13
(1)求 cos 的值；
(2)求 sin 2 cos2 的值. 1 cos 2
18．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据
以往经验，潜水员下潜的平均速度为 v
(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为
D．若 g x f x 1 ax2 在 x 0 处取得极小值，则 a 0 或 2
2
11．已知函数 f x log1 ax2 3ax 2 ，下列说法正确的是（）
3
A．若 f x 值域为 R ，则 a 8
9
B．若
f
x
定义域为
R
，则
a
0,
8 9
C．若 f x 最大值为 0，则 a 4
v 10
3
1
(升)，在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 0.9(升)，返回水面的平均速度
试卷第 3 页，共 4 页
v 为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为 1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总
2 用氧量为 y (升). (1)求 y 关于 v 的函数关系式；
(2)若 c v 15c 0 ，求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最少.

重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含解析

数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。

湖北省沙市2024-2025学年高三上学期9月月考试题数学含解析

2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合{}215=∈<N M x x ，若{}05⋃=≤<M N x x ，则集合N 可以为（）A.{}4 B.{}45≤<x x C.{}05<<x x D.{}5<x x 2．若复数232022202320241i i i i +i i z =-+-++- ，则z =（）A.B.C.1D.23．已知2b a = ，若a 与b 的夹角为60︒，则2a b - 在b 上的投影向量为（）A ．12br B ．12b- C ．32b- D ．32b4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.155．已知,(0,π)αβ∈，且cos 5α=，sin()10αβ+=，则αβ-=（）A ．4πB ．34πC ．4π-D ．34π-6．已知函数2()()ln 0f x x ax b x =++≥恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．函数()ln 1f x x =-与函数()πsin 2g x x =的图象交点个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{}n a 为斐波拉契数列，()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，其通项公式为1122n nna⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，设n是2log1(14(xx x⎡⎤⎣-⎦-<+的正整数解，则n的最大值为（）A．5B．6C．7D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确命题为（）A．已知数据12310x x x x、、、、，满足：()12210i ix x i--=≤≤，若去掉110x x、后组成一组新数据，则新数据的方差为168B．随机变量X服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P xσ>=，若()0.34P x a<=，则0.5a=C．一组数据()(),1,2,3,4,5,6i ix y i=的线性回归方程为 23y x=+，若6130iix==∑，则6163iiy==∑D．对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱1DD的中点，F为正方形11C CDD内一个动点（包括边界），且1//B F平面1A BE，则下列说法正确的有（）A．动点FB．1B F与1A B不可能垂直C．三棱锥11B D EF-体积的最小值为13D．当三棱锥11B D DF-的体积最大时，其外接球的表面积为25π211．已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于,A B 两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MN NF=，则（）A．lB．ABD△是锐角三角形C．四边形MNDF2D．2||BF FA FD⋅>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“[]1,4x∃∈使20040x ax-+>”为假命题，则实数a的取值范围为___________.13．在ABC∆中，BC=，∠3Aπ=，D为线段AB靠近点A的三等分点，E为线段CD的中点，若14BF BC=，则AE AF⋅的最大值为________.14．将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为()1,2,,7ia i= ，若47a=，123567a a a a a a++<++，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()4sin sin sin -=-A b B c A B .（1）求a 的值；（2）若ABC △的面积为()22234+-b c a ，求ABC △周长的取值范围.16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n n n a a n S +-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21na nb =-，若数列{}nc 满足11n n n n b c b b ++=⋅，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，若()12n T n λ-+≤恒成立，求λ的取值范围．17．如图所示，半圆柱1OO 与四棱锥A BCDE -拼接而成的组合体中，F 是半圆弧BC 上（不含,B C ）的动点，FG 为圆柱的一条母线，点A 在半圆柱下底面所在平面内，122,22OB OO AB AC ====.(1)求证：CG BF ⊥；(2)若//DF 平面ABE ，求平面FOD 与平面GOD 夹角的余弦值；(3)求点G 到直线OD 距离的最大值.18．已知双曲线E 的中心为坐标原点，渐近线方程为y =，点(2,1)-在双曲线E 上.互相垂直的两条直线12,l l 均过点()(,0n n P p p >，且)*n ∈N ，直线1l 交E 于,A B 两点，直线2l 交E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点.(1)求E 的方程；(2)若直线MN 交x 轴于点()()*,0n Q t n ∈N ，设2nn p =.①求n t ；②记n a PQ =，()*21n b n n =-∈N ，求211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑.19．如果函数的导数为()()F x f x '=，可记为()()d f x x F x ⎰=，若()0f x ≥，则()()()baf x dx F b F a =-⎰表示曲线=op ，直线x a x b ==，以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积.如：22d x x x C ⎰=+，其中C 为常数；()()2202204xdx C C =+-+=⎰，则表0,1,2x x y x ===及x 轴围成图形面积为4.(1)若()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，，求()f x 的表达式；(2)求曲线2y x =与直线6y x =-+所围成图形的面积；(3)若()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，，其中Rm ∈，对[)0,a b ∞∀∈+，，若a b >，都满足()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰，求m 的取值范围.1．C2．C 【详解】()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++C6．B 【详解】∵()0f x ≥恒成立，设2()g x x ax b =++，则当1x >时()0g x ≥，01x <<时()0g x <，∴(1)0g =⎧⎨≤，即101a b a b++=⇒=--⎧⎨≤，∴1a ≥-11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为x 则11,,0,242xy p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝可知MNF 为等边三角形，即且MN ∥x 轴，可知直线则直线:32p l y x ⎛⎫=- ⎪12．【详解】因为“0使00”为假命题，所以“[]1,4x ∀∈，240x ax -+≤”为真命题，其等价于4≥+a x x在[]1,4上恒成立，又因为对勾函数()4f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，而()()145f f ==，所以()max 5f x =，所以5a ≥，即实数a 的取值范围为[5,)+∞.13．11814．360【解析】∵12345621+++++=，∴310S ≤，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5）有2个；故共有10个组合，∴共计有333310360A A ⨯⨯=个这样的数列。

2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高三上学期9月月考数学试题及答案

江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。

贵州省2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考)数学试题答案

数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，，即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5，所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△，化简得12GHC ABC S S =△△，图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ，建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，，则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，，设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分）设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分）因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同，不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=，因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分）图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分）由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）；在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）；在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）；在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）；在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分）零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分）根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分）根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分）（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ，则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分）（ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大，所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分）解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分）当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<，所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+，则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分）此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分）因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。

贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试卷[含答案]

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}1,2,3{}3,4{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（）A.B.1y x =-2ln y x=C. D.32y x =e xy x =3.已知等差数列满足，则（）{}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为A ()2:20C y px p =>A A x 4，则（）p =A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“()23f x -[]2,3()f x (),21x A f -B ”是“”的（）x A ∈x B ∈A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x 是奇函数，则的最小值为（）()h x ()f x A. B.C.D.e2e7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）51x ⎫+⎪⎭A. B. C. D.253513238.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径221:220C x y x y +--=x y M N 2C为，且与圆相外切，则的最大值为（）1C22C M C N ⋅A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（）X ,m n X 20242025Pm nA. B.服从两点分布1m n +=X C.D.()20242025E X <<()D X mn=10.已知函数，下列说法正确的是（）()()214log 21f x ax ax =-+A.的定义域为，当且仅当()f x R 01a <<B.的值域为，当且仅当()f x R 1a C.的最大值为2，当且仅当()f x 1516a =D.有极值，当且仅当()f x 1a <11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足R ()f x ()g x ()f x '()g x '，且为奇函数，则下列说法正确的是（）()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +A.B.的图象关于直线对称()00f =()g x 2x =C.的一个周期是4 D.()f x 20251()0k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.()0,0(0x y a a =>1)a ≠13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩ 123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==则的最大值为__________.()()()112233x f x x f x x f x ++四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形n n n a 中实心区域的面积为.nb （1）写出数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）设，证明.121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，111A B C ABC -111A B C ABC 为线段的中点，为线段上的点.111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC HBC （1）若点为线段的中点，求证：平面；H BC 1A B ∥1C GH （2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角1C GH 111A B C ABC -2:5的正弦值.11C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m -=M 的焦距为.()2,2,N （1）分别求和的方程；M N （2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D ，，判断l M ,A B N C ABCD=直线与圆的位置关系.l 222:O x y a +=18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠22⨯0.01α=产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；P （ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人P 注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.3sin33sin 4sinθθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<（i ）求的取值范围；a （ii ）若，证明：.1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义1y x =-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，的定义域为，该函数在定()0,∞+32y x==[)0,∞+义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定()1,x ∞∈-+0y '>xe y x ∴=(),1∞--()1,∞-+义域内不单调，故选C.3.，故选B.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= 4.设点，则整理得，解得或，故选C.()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =5.的定义域为.当时，的定义域为，()23f x - []2,323x ()1233,x f x -∴ []1,3即.令，解得的定义域为，即.[]1,3A =1213x- ()12,21x x f ∴- []1,2[]1,2B =“”是“”的必要不充分条件，故选B.,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x x f x -=+，当且仅当，即时，等号成立，()3e2e xxf x -=+3e 2e x x -=12ln 23x =C.min ()f x ∴=7.设的二项展开式的通项公式为，51x ⎫+⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有3,4,50,2,4k =1,3,5k =理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.223326C C 2C 5+=8.由题，，即圆心为，且，为的221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C()()2,0,0,2M N MN 1C 直径.与相外切，由中线关系，有1C 2C 12C C ∴==，当且()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.22C M C N=22C M C N⋅二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 对于D 选项，令，则服从两点分布，，2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn=-=，正确，故选ACD.()()()2024D X D Y D Y mn∴=+==10.令，对于A 选项，的定义域为或()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R ，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩ ()f x ()g x ⇔R ，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩ ()f x ()2g x ⇔为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔且，故D 选项错误，故选BC.()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得()1g x +()10g =()()11g x f x --=，故A 错误；对于B 选项，由可得()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'为常数，又由，可得，则()()3,f x g x C C=++()()11g x f x --=()()11g x f x --=，令，得，所以，所以()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +所以，所以，所以()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=是一个周期为4的周期函数，，()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以()f x ()1g x +，又，又是周期为4的周期函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x ，故D 正确，故选BCD.20251()(1)0k g k g ===∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案e14433e 6-【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln xy a a x =⋅(),tt a ln t ta a t a ⋅=切点纵坐标为.1log e,ln a t a ==∴elog e t a a a==13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其22A 13C 余元素共有种排法，故共有种不同的方案.44A 214234A C A 144⋅⋅=14.设，由的函数图象知，，又，()()()123f x f x f x t===()f x 23t < 1232,ln x x x t +=-=.令()()()3112233e ,2e t tx x f x x f x x f x t t =∴++=-+在上单调递增，则()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴ (]2,3，的最大值为.()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；{}n a 11133n n n a --=⨯=数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.{}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：由（1）可得1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-因为，2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，所以.413n n c a <43n n na c a < 16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，1A C 11A C C G O⋂=1,HO A G三棱台，则，又，111A B C ABC -11A C ∥AC 122CG AC ==四边形为平行四边形，∴11A C CG 则.1CO OA =点是的中点，H BC .1BA ∴∥OH 又平面平面，OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 平面.1A B ∴∥1C HG （2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，1C GH 111A B C ABC -2:5所以，11127C GHC AB V V B C ABC-=-即，()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅++⋅ 化简得，12GHC ABC S S =此时点与点重合.H B ，1190C CA BCC ∠∠== 且都在平面，则平面，11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC 又为等腰直角三角形，则.ABC BG AC ⊥又由（1）知，则平面，1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC 建立如图2所示的坐标系,G xyz -则，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --设平面的法向量，1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 则令，解得，220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 设平面的法向量，1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 则令，解得.20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 设二面角的平面角为，11C GH B --θ，cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== 所以，sin θ==所以二面角.11C GH B --17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为N =解得，即双曲线.21m =22:12y N x -=因为双曲线与双曲线的离心率相同，M N 不妨设双曲线的方程为，M 222y x λ-=因为双曲线经过点，所以，解得，M ()2,242λ-=2λ=则双曲线的方程为.M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为l l ，()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+联立消去并整理得22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=此时可得，()()222222Δ44220,20,2k t k t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <当时，由韦达定理得；2λ=212122224,22kt t x x x x k k --+==--当时，由韦达定理得，1λ=234342222,22kt t x x x x k k --+==--则，ABCD====化简可得，222t k +=由（1）可知圆，22:2O x y +=则圆心到直线的距离，Ol d ====所以直线与圆相切或相交.l O 18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；[)0,200.00252020010⨯⨯=在）内有（只）；[20,400.006252020025⨯⨯=在）内有（只）；[40,600.008752020035⨯⨯=在）内有（只）；[60,800.025********⨯⨯=在内有（只）[]80,1000.00752020030⨯⨯=由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），10253570++=所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.0H 根据列联表中数据，得.220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.0.01α=（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”A =B =，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.C =记事件发生的概率分别为，则，,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====.()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.0.9P =（ii ）由题意，知随机变量，()100,0.9X B ~所以.()1000.990E X np ==⨯=又，设时，最大，()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =所以00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩解得，因为是整数，所以.089.990.9k 0k 090k =19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--.()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，()233f x x a =-'当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；0a ()0f x ' ()f x (),∞∞-+当时，令，得；令，得0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<令，得()0f x '>x <x>所以在上单调递减，在上单调递增.()f x ((),,∞∞-+有三个零点，则即解得，()fx (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<当时，，04a <<4a +>且，()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a+=+-++=++++>所以在上有唯一一个零点，()fx )4a +同理()2220,g a -<-=-=-<所以在上有唯一一个零点.()f x (-又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，()f x (()f x 综上可知的取值范围为.a ()0,4（ii ）证明：设，()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---则.()212301f a x x x ==-=又，所以.04a <<1a =此时，()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>方程的三个根均在内，3310x x -+=()2,2-方程变形为，3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令，则由三倍角公式.ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=因为，所以.3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。

忻州市2024年9月月考高三数学试题与答案

忻州市2024年9月月考高三数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{|lg 2,|A x y x B x y ==-=∈=N ，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}0,1 C.()2,2- D.()0,22.已知,a b 挝R R ，且()()2i 1i 2i a b +-=+，则a b +=（）A.1-B.0C.1D.23.已知命题:p 20,2x x x ∃>>，则p 的否定为（）A.20,2xx x ∀>≤ B.20,2xx x ∀>> C.20,2xx x ∃>≤ D.20,2xx x ∃≤≤4.在平行四边形ABCD 中，2AP PB = ，则PD =（）A.23+AB AD B.23AB AD-+C.13AB AD +D.13AB AD-+5.如果随机变量(),B n p ξ~，且()()4312,3E D ξξ==，则p =（）A.14B.13C.12D.236.已知0,0,24x y x y xy >>++=，则x y xy +-的最小值为（）A.32B.2C.12D.17.已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且12311,217a a a a ==+，则1003a =（）A.165 B.167C.169 D.1718.已知0a >，设函数()()2e 2ln ln xf x a x x a =+---，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则a 的取值范围是（）A.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B.(]0,1 C.(]0,e D.(]0,2e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，则函数()2xf x a a =-的图象可能是（）A. B. C. D.10.已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，且()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若12,x x 为方程()2f x =的两个解，则21x x -的最小值为2πD.若关于x 的方程()f x a =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个解，则a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣11.已知函数()f x 的定义域为R ，设()()21g x f x =+-，若()g x 和()1f x '+均为奇函数，则（）A.()21f = B.()f x 为奇函数C.()f x '的一个周期为4D.20241()2024k f k ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一个底面半径为()0r r >的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为__________.13.设π02α<<，若π5tan tan 42αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则sin α=______.14.设,a b 是正实数，若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点,A B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2，又OA OB ⊥，则椭圆的方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.（1）求证：1⊥BC 平面1AB C ；（2）求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.16.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，点π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,m 上的最大值和最小值互为相反数，求m 的最小值.17.已知函数()f x 是()(0xg x a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()()()()22F x fx f x f a =--.（1）若()()()41,6,3F f m g n =-==，求a 及3m n的值；（2）若函数()F x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，求a 的值.18.在ABC V 中，已知)tan tan tan tan 1A B A B +=-.（1）求C ；（2）记G 为ABC V 的重心，过G 的直线分别交边,CA CB 于,M N 两点，设,CM CA CN CB λμ==.（i ）求11λμ+的值；（ii ）若CA CB =，求CMN 和ABC V 周长之比的最小值.19.已知函数()()ln f x x x a =+.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <.（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()1240e f x -<<忻州市2024年9月月考高三数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{|lg 2,|A x y x B x y ==-=∈=N ，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}0,1 C.()2,2- D.()0,2【答案】B【分析】根据题意求集合,A B ，进而求交集即可.【详解】令20x ->，解得2x <，则{}|2A x x =<，令240x -≥，解得22x -≤≤，则{}{}|220,1,2B x x =∈-≤≤=N ，所以{}0,1A B = .2.已知,a b 挝R R ，且()()2i 1i 2i a b +-=+，则a b +=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C【分析】根据复数的乘法运算结合复数相等求,a b ，即可得结果.【详解】因为()()2i 1i 2i a b +-=+，则()212i 2i a a b ++-=+，可得2212a a b +=⎧⎨-=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以1a b +=.3.已知命题:p 20,2x x x ∃>>，则p 的否定为（）A.20,2xx x ∀>≤ B.20,2xx x ∀>> C.20,2xx x ∃>≤ D.20,2xx x ∃≤≤【答案】A【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断.【详解】由题意可知：20,2x x x ∃>>的否定为20,2x x x ∀>≤.4.在平行四边形ABCD 中，2AP PB = ，则PD =（）A.23+AB AD B.23AB AD-+C.13AB AD +D.13AB AD-+【答案】B【分析】借助平行四边形的性质及向量线性运算法则计算即可得.【详解】由2AP PB = ，则22AP AB AP =-，即23AP AB =uu u r uu u r ，则23PA AB =-，故23PD PA AD AB AD =+=-+.5.如果随机变量(),B n p ξ~，且()()4312,3E D ξξ==，则p =（）A.14B.13C.12D.23【答案】D【分析】根据期望的性质可得()4E ξ=，结合二项分布的期望和方差公式运算求解即可.【详解】因为()()3312E E ξξ==，即()4E ξ=，又因为随机变量(),B n p ξ~，且()43D ξ=，则()4413np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得623n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.6.已知0,0,24x y x y xy >>++=，则x y xy +-的最小值为（）A.32B.2C.12D.1【答案】D【分析】根据题意利用基本不等式可得2()422x y x y xy +--=≤，解得2x y +≥，结合题意整理即可得最小值.【详解】因为0,0,24x y x y xy >>++=，则2()422x y x y xy +--=≤，当且仅当1x y ==时，等号成立，解得2x y +≥或4x y +≤-（舍去），所以()342122x y x y x y xy x y +--+-=+-=-≥.7.已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且12311,217a a a a ==+，则1003a =（）A.165B.167C.169 D.171【答案】B【分析】由题意整理可得21112n n n a a a +++=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，结合题意求首项和公差，结合等差数列通项公式可得121n a n =+，即可得结果.【详解】因为1122n n n n a a a a ++++=，可得21112n n n a a a +++=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，又因为12121a a a =+，即121121112a a a a +==+，即21112a a -=，可知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是2为公差的等差数列，且317a =，则131122743a a =-⨯=-=，可得()132121n n n a =+-=+，即121n a n =+，所有10031320167a ==.8.已知0a >，设函数()()2e 2ln ln xf x a x x a =+---，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则a 的取值范围是（）A.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B.(]0,1 C.(]0,e D.(]0,2e 【答案】D【分析】根据题意同构可得()()22eln e ln xx ax ax +≥+，构建()ln ,0g x x x x =+>，结合单调性可得2e xax ≥，参变分析可得2e x a x ≤，构建()2e ,0xh x x x=>，利用导数求最值结合恒成立问题分析求解.【详解】由题意可知：()()2e2ln ln 0xf x a x x a =+---≥，整理可得()()22e ln e ln x x ax ax +≥+，设()ln ,0g x x x x =+>，则()110g x x=+>'，可知()g x 在0,+∞内单调递增，由题意可知：()()2exg g ax ≥，则2exax ≥对任意∈0,+∞内恒成立，可得2e xa x ≤对任意∈0,+∞内恒成立，设函数()2e ,0x h x x x =>，则()()2221exx h x x -'=，令ℎ'>0，解得12x >；令ℎ'<0，解得102x <<；可知ℎ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭内单调递增，可知ℎ的最小值为12e 2h ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得02e a <≤，所以a 的取值范围为(]0,2e .【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得()()22e ln e ln xx ax ax +≥+，构建()ln ,0g x x x x =+>，结合单调性可得2e x ax ≥.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，则函数()2xf x a a =-的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过a 的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当1x =时，(1)20f a a a =-=-<，排除B ，C ，当2a =时，()24x f x =-，此时函数图象对应的图形可能为A ，当12a =时，1()(12xf x =-，此时函数图象对应的的图形可能为D.10.已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，且()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若12,x x 为方程()2f x =的两个解，则21x x -的最小值为2πD.若关于x 的方程()f x a =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个解，则a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣【答案】AD【分析】由题意可得π26f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，代入解出即可得A ；借助整体思想与正弦函数的单调性可得B ；由题意可得21x x -的最小值为原函数的最小正周期，即可得C ；结合原函数在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域及其性质可得D.【详解】对A ：由题得π26f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，所以()ππ2π62k k ϕ⨯+=+∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<，所以π6ϕ=，故A 正确；对B ：当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7ππ13π2666x ≤+≤，所以()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，故B 错误；对C ：21x x -的最小值为最小正周期π，故C 错误；对D ：当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，ππ2π2663x ≤+≤，所以a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣，故D 正确.11.已知函数()f x 的定义域为R ，设()()21g x f x =+-，若()g x 和()1f x '+均为奇函数，则（）A.()21f =B.()f x 为奇函数C.()f x '的一个周期为4D.20241()2024k f k ==∑【答案】ACD【分析】对A ：结合奇函数的性质，负值0x =代入计算即可得；对B ：由()1f x '+为奇函数可得()1f x +为偶函数，再利用偶函数的性质结合A 中所得可得()()2f x f x +-=；对C ：由B 中所得()()22f x f x ++=，即可得()()4f x f x =+，对其左右求导后结合周期性即可得；对D ：由C 中所得可得()f x 的周期，结合赋值法计算出一个周期内的和即可得.【详解】对A ：由()g x 为奇函数，可得()()21210f x f x +-+-+-=，即()()222f x f x ++-+=，令0x =，解得()21f =，故A 正确；对B ：由()1f x '+为奇函数可得，则()1f x +为偶函数，所以1+=1−，所以()()2f x f x =-，又()()222f x f x -++=，所以()()22f x f x ++=，又()()2f x f x -=+，所以()()2f x f x +-=，故B 错误；对C ：由()()22f x f x ++=可得，()()242f x f x +++=，所以()()4f x f x =+，求导可得，()()4f x f x ''=+，故'的一个周期为4，故C 正确；对D ：由()()4f x f x =+，故()f x 的一个周期为4，因为()()222f x f x -++=，令1x =可得，()()132f f +=，令2x =可得，()()242f f +=，所以()()()()12344f f f f +++=，所以202412024()420244k f k ==⨯=∑，故D 正确.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一个底面半径为()0r r >的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为__________.【答案】2【分析】根据题意关系可得R r=，再结合侧面积公式运算求解即可.【详解】设球的半径为R ，由题意可知：234ππ3r R ⨯=⨯，解得R r =，223622R r ⎫===⎪⎭.13.设π02α<<，若π5tan tan 42αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则sin α=______.【答案】【分析】借助两角差的正切函数公式化简并计算可得tan 3α=，然后利用正切函数定义即可得解.【详解】π1tan 5tan tan tan 41tan 2ααααα-⎛⎫+-=+=⎪+⎝⎭，整理得()()tan 32tan 10αα-+=，因为π02α<<，所以tan 0α>，所以tan 3α=，则310sin 10α==.14.设,a b 是正实数，若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点,A B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2，又OA OB ⊥，则椭圆的方程为__________.【答案】2242133x y +=【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据垂直关系的坐标运算以及两点斜率公式，即可求解4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可求解.【详解】由已知条件可知,,0,a b a b >≠，联立2211x y ax by +=⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得：()2210a b x bx b +-+-=，设1,1,2,2，则1212Δ021b x x a b b x x a b ⎧⎪>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩,则()()()1212121222111a y y x x a b a y y x x a b ⎧+=-+=⎪⎪+⎨-⎪=--=⎪+⎩，由OA OB ⊥，则0OA OB ⋅=，又因为2OM k =，所以1212121222220OM y y a k x x b a b x x y y a b +⎧⎪===⎪+⎪⎨⎪+-⎪+==⎪+⎩，解得4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以椭圆的方程为2242133x y +=.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.（1）求证：1⊥BC 平面1AB C ；（2）求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.【分析】（1）结合题目条件，借助线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面11BB C C ，即可得1AC BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理可得证；（2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出直线的方向向量与平面的法向量，借助向量夹角公式即可得两向量夹角余弦值，即可得直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.【小问1详解】侧面11BCC B 为正方形，11BC B C ∴⊥，直三棱柱1111,ABC A B C AC CC -∴⊥，111,,,,AC CC AC BC BC CC C BC CC ⊥⊥⋂=⊂ 平面11BB C C ，AC ∴⊥平面11BB C C ，1BC ⊂ 平面11BB C C ，1AC BC ∴⊥1111,,,BC B C AC B C C AC B C ⊥=⊂ 平面1AB C1BC ∴⊥平面1AB C ；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系1C ABC -，则()()()()()110,0,0,1,0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2C A B B C .又由()()11,2,0,0,2,2AB BC =-=- ，设平面1ABC 的一个法向量为 =s s ，则有120220n AB x y n BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，则2,1x z ==，于是()2,1,1n =，又由()1111,2,2,2,3,AB AB n AB n =-⋅=== 设直线1AB 与平面1ABC 所成的角为θ，所以1116sin cos ,9AB n AB n AB n θ⋅===⋅ ，故直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值为9.16.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,m 上的最大值和最小值互为相反数，求m 的最小值.【分析】（1）根据周期求解2ω=，利用对称可得π3ϕ=，即可求解；（2）平移可得()πsin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可利用整体法，结合三角函数的性质即可求解.【小问1详解】设()f x 的最小正周期为T ，则ππ22T ω==，所以2ω=，因为()π2π3k k ϕ⨯+=∈Z ，所以()2ππ3k k ϕ=-∈Z ，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；【小问2详解】依题意，()ππππsin 2sin 2121236g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0x m ≤≤，所以πππ22666x m ≤+≤+，当π6m <时，()g x 的最大值为()g m ，最小值为()102g =，不符题意；当π6m ≥时，()g x 的最大值为1，所以()g x 的最小值为1-，所以π3π262m +≥，解得2π3m ≥，所以m 的最小值为2π3.17.已知函数()f x 是()(0x g x a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()()()()22F x f x f x f a =--.（1）若()()()41,6,3F f m g n =-==，求a 及3mn的值；（2）若函数()F x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，求a 的值.【分析】（1）由题意可得()log a f x x =，()()2log 2log 1a a F x x x =--，结合题意解得2a =，进而可得22log 6,log 3m n ==，结合换底公式运算求解；（2）换元令log a t x =，根据二次函数值域结合t 的值域特征分析可得[]2,2t ∈-，列式求解即可.【小问1详解】因为函数()f x 是()(0xg x a a =>且1)a ≠的反函数，则()log a f x x =，即()()2log 2log 1a a F x x x =--，则()()24log 42log 411a a F =--=-，解得log 42a =或log 40a =（舍），可得2a =，即()2log f x x =，()2x g x =，又因为()()26log 6,23nf mg n ====，即22log 6,log 3m n ==，所以232log 6log 6log 33336mn ===.【小问2详解】由（1）可知：()()2log 2log 1a a F x x x =--，且1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令log a t x =，则[]log 2,log 2,(01a a t a ∈-<<时)或[]log 2,log 2,(1a a t a ∈->时），可得221y t t =--，若函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，可知221y t t =--的最小值2-，最大值7，令2212y t t =--=-，解得1t =；令2217y t t =--=，解得2t =-或4t =；且log 2a 与log 2a -互为相反数，可知[]2,2t ∈-，则log 22a -=或log 22a =，解得22a =或a =，综上所述，a =或.18.在ABC V 中，已知)tan tan tan tan 1A B A B +=-.（1）求C ；（2）记G 为ABC V 的重心，过G 的直线分别交边,CA CB 于,M N 两点，设,CM CA CN CB λμ== .（i ）求11λμ+的值；（ii ）若CA CB =，求CMN 和ABC V 周长之比的最小值.【分析】（1）借助三角形内角关系及两角和的正切公式化简并计算即可得；（2）（i ）设D 为AB 的中点，结合重心的性质及向量运算可得1133CG CM CN λμ=+ ，再利用三点共线定理即可得解；（ii ）由题意可得ABC V 为等边三角形，可设其边长为1，则可用,λμ表示两三角形周长之比，结合（i ）中所得与基本不等式即可得解.【小问1详解】由题可知()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A B C A B A B A B+=--=-+=-=-又()0,πC ∈，所以π3C =；【小问2详解】（i ）设D 为AB 的中点，则1122CD CA CB =+ ，又因为23CG CD = ，所以11113333CG CA CB CM CN λμ=+=+ ，因为,,M G N 三点共线，所以11133λμ+=，所以113λμ+=；（ii ）由CA CB =，π3C =，可得ABC V 为等边三角形，设ABC V 的边长为1，CMN 与ABC V 周长分别为12,C C ，则23C =，MN =，所以1C λμ=++，所以12C C =由113λμ+=可得，3λμλμ=+≥（当且仅当λμ=时等号成立），解得49λμ≥，所以124293C C λμ=++，所以CMN 和ABC V 的周长之比的最小值为23.19.已知函数()()ln f x x x a =+.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <.（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()1240ef x -<<.【分析】（1）求导，利用导数求()f x 的单调性和极值；（2）（i ）求导可得()()()1ln f x x a x a x x a ⎡⎤=+++⎣⎦+'，构建()()()ln g x x a x a x =+++，由题意可知()g x 在(),a -+∞内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i ）可知，121e a x a -<<-，且()()()2111ln f x x a x a =-++，构建()221ln 0e h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，利用导数求最值即可.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =，可知()f x 的定义域为()0,∞+，且()1ln f x x ='+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，当()0f x '>；可知()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 的极小值为11e ef ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值.【小问2详解】（i ）由题意可得：()f x 的定义域为(),a -+∞，且()()()()1ln ln x f x x a x a x a x x a x a⎡⎤=++=+++⎣⎦++'，设()()()ln g x x a x a x =+++，可知()g x 在(),a -+∞内有两个变号零点，则()()2ln g x x a =++'，当21,e x a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()0g x '<；当21,e x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；可知()g x 在21,e a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在21,e a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内单调递增，则()g x 的最小值为2211e e g a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，当21,e x a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，则()0,ln 0x a x a +>+<，可得()()ln 0x a x a ++<，可得()()()ln g x x a x a x x a =+++<<-，即当x 趋近于a -时，()g x 趋近于a -，可得210e 0a a ⎧--<⎪⎨⎪->⎩，解得210e a -<<，所以实数a 的取值范围为21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（ii ）由（i ）可知，121ea x a -<<-，且()()111ln 0x a x a x +++=，所以()()()()211111ln ln f x x x a x a x a =+=-++，设()221ln 0e h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()()ln 2ln h x x x =-+'，因为210,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h x '<，可知210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，且2214e e h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()240e h x -<<，所以()1240e f x -<<.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解。

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大石桥二高中2016-2017学年度上学期9月月考高三数学（理）科试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 1．已知集合2{|230}A x x x =--≤，{|ln(2)}B x y x ==-，则AB =（）A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,2)-D ．(1,2)- 2．若复数34a ii-+的实部是25，则实数a =（）A ．2B ．143C ．23D ．23-3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 4．已知tan （α﹣）=，则的值为（）A ．B ．2C ．2D ．﹣25．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，则5()6f π的值为（） A ．12-B ．32-C ．12D ．326．已知||=2，||=3，||=，则向量与的夹角为（） A ．30° B ．60° C ．45° D ．90° 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =,则95S S =（）A ．1B ．2C ．95 D ．598．在ABC Rt ∆中， 90=∠A ，F E AC AB ,,4,2==分别为BC AB ,的中点，则=⋅AF CE （） A ．9 B ．9- C ．7 D ．7- 9．曲线1x y xe-=在点(1,1)处切线的斜率等于（）A ．2e C ．2 D ．110．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数，则a 的取值范围是（）.A. 1>aB. 1,0≠>a aC. 10<<aD. φ∈a 11．已知函数1()lnsin 1xf x x x+=+-，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是（） A ．(32)， B ．(32)-， C ．(12)， D ．(35)，12．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有'22()()f x xf x x +>，则不等式()()2201420144(2)0x f x f ++-->的解集为（） A ．(),2012-∞- B ．()2012,0-C ．()2016,0-D ．(),2016-∞-二、填空题（每题5分，共20分） 13．函数y ＝lg(2)x +的定义域为________．14．若函数()22f x x ax =+-在()0,+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是． 15．在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________．16．已知x 21x 2f (x)3,x 2x 1⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩-，，若f (x)a 0-=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为三、解答题（共70分，规范书写，写出必要的证明或计算过程） 17．（本小题满分12分）已知函数x x x f 2sin 262sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+-=π，R x ∈ （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）记ABC ∆的内角A,B,C 的对边长分别为c b a ,,，若3,1,1)2(===c b B f ，求a 的值．18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n 都有23n n S a n =-. （1）设3n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，（2）求出{}n a 的通项公式。

（3）求数列{}n na 的前n 项和T n .19．（本小题满分12分）如图：四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，且BD AC =，ABCD PA 底面⊥，1==AB PA ，3=BC ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）证明：当点E 在边BC 上移动时，总有PE AF ⊥；（2）当CE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45°．20．（本小题满分12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数469634（1）完成被调查人员的频率分布直方图；（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（3）在（2）的条件下，再记选中中不赞成．．． “车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．21．（本小题满分12分）已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（Ⅲ）求证：22222232323ln 1ln 1ln 12(31)(31)(31)n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.选做题（22题和23题只选一题作答，满分10分） 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为12(312x t t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P . （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若不等式|1|()3|2|m f x x +≥+-有解，求实数m 的取值范围.数学理科参考答案6-10 BADCA 11A 12D13．[)1,-+∞ 14．[)0+∞， 15．120． 16．()10，17、（12分）试题解析：（Ⅰ）x x x f 2sin 2)62sin(2)(-+-=π)2cos 1()6sin 2cos 6cos2(sin 2x x x --π+π-=)2cos 212sin 23(2cos 1x x x +-+=12sin 232cos 21+-=x x 1)32cos(++=πx 所以函数)(x f 的最小正周期为π。

（Ⅱ）由1)2(=B f 得11)3cos(=++πB ,即0)3cos(=+πB 又因为π<<B 0,所以πππ3433<+<B 所以23ππ=+B ,即6π=B ．因为3,1==c b 所以由正弦定理C c B b sin sin =,得23sin =C 故ππ323或=C 当22322=+===c b a A C ，从而时，ππ当16632=====b a B A C ，从而，又时，πππ故a 的值为1或2．18．（12分）试题解析：（1）∵S n =2a n ﹣3n ，对于任意的正整数都成立，∴S n ﹣1=2a n ﹣1﹣3n ﹣3，两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n ﹣3，即a n+1=2a n +3，∴a n+1+3=2（a n +3），∴b n+1=2 b n 所以数列{b n }是以2为公比的等比数列，（2）由已知条件得：S 1=2a 1﹣3，a 1=3．∴首项b 1=a 1+3=6，公比q=2，∴a n =6⋅2n ﹣1﹣3=3⋅2n﹣3．（3）∵na n =3×n ⋅2n﹣3n∴T n =3（1⋅2+2⋅22+3⋅23+…+n ⋅2n）﹣3（1+2+3+…+n ），2T n =3（1⋅22+2⋅23+3⋅24+…+n ⋅2n+1）﹣6（1+2+3+…+n ）， ∴﹣T n =3（2+22+23+ (2)）+3（1+2+3+…+n ）=()()22131362212n n n n n -+⨯-⋅+- ∴()()3166262nn n n T n +=-⋅+-19．（12分）试题解析：（1）分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间坐标系则可得P （0，0，1），B （0，1，0），F （0，，），D（，0，0）设BE=x，则E（x，1，0）∴=（x，1，﹣1）得=x•0+1×+（﹣1）×=0可得，即AF⊥PE成立；（2）求出=（，0，﹣1），设平面PDE的一个法向量为则，得∵PA与平面PDE所成角的大小为45°，=（0，0，1）∴sin45°==，得=解之得x=或x=∵BE=x，∴BE=，即当CE等于2时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．20．（12分）试题解析：（1）各组的频率分别为,,，,,，所以图中各组的纵坐标分别为,,，, ,（2）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：()111224644422225105104246666222=,1045104522575C CC C CpC C C Cξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=（3）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3()22642251061545150=,104522575CCpC Cξ==⋅=⋅=()21112646442222510510415624102341=,1045104522575C C CC CpC C C Cξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=()124422510461243=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：ξ123p1575 34752275475所以ξ的数学期望65E ξ=． 21．（12分）解：（Ⅰ）'()xf x e a =- 0a ∴≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增；0a >时，(,ln )x a ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，(ln ,)x a ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ），0a >时，min ()(ln )f x f a =，(ln )0f a ∴≥ ，即ln 10a a a --≥，记()ln 1g a a a a =-- (0)a >．'()1(ln 1)ln g a a a =-+=-，()g a ∴在(0,1)上增，在(1,)+∞上递减，()(1)0g a g ∴≤=，故()0g a =，得1a =．（Ⅲ）由（Ⅱ）1x e x ≥+，即ln(1)x x +≤(1)x >-，则0x >时，ln(1)x x +<．要证原不等式成立，只需证：21232(31)k nkk =⨯<-∑，即证：2131(31)knk k =<-∑ 下证21322(31)3131k k k k +≤---- ① 22343323133431k k k k k k⋅⇔≤-⋅+⋅-⋅+224(3231)33431k k k k⇔-⋅+≥⋅-⋅+ 234330k k ⇔-⋅+≥(31)(33)0k k ⇔--≥①中令1,2,,k n =，各式相加，得213(31)knk k =-∑1222()3131<---2322()3131+---122()3131n n +++---11223131n +=---1<成立，故原不等式成立.方法二：1n =时，2233(31)2n n ⨯=-， 2n ≥时，22323(31)(31)(33)n n n n n ⨯⨯<---1123(31)(31)n n n --⨯=--1113131n n -=---， 2n ≥时，213(31)k nk k =-∑3112231n<+--2<． 22．（10分）试题解析：（1）利用极坐标公式, 把曲线C 的极坐标方程22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为22sin 2cos ρρθρθ=+,所以曲线C 的普通方程是2222x y y x +=+,即()()22112x y -+-=.（2）直线和曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P ,把直线的参数方程12(312x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数) 代入曲线C 的普通方程是()()22112x y -+-=中, 得210t t --=,()21212121212121211111,451t t t t t t t t t t PA PB t t t t +=-⎧∴∴+=+==+-=⎨=-⋅⎩.23．试题解析：（1）不等式()0f x >，即2+120x x -->，由不等式2+12x x >-两边平方化简得：()()3130x x -+> 解得：3x <-或13x >，所以不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．（2）由条件知，不等式()1+32m f x x +≥-有解，即121+24m x x +≥+-有解. 设()21+24g x x x =+-，则问题可转化为()min 1m g x +≥，而()21+2421245g x x x x x =+-≥+-+=，由15m +≥解得：6m ≤-或4m ≥ ，所以a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞.。