多元函数的微积分
多元函数的微积分全篇
当点P(x， 沿 轴趋于点(0， 时函数的极限为零 时函数的极限为零， 当点 ，y)沿 x 轴、y 轴趋于点 ，0)时函数的极限为零， 当点P(x， 沿直线 沿直线y=k x 趋于点 ，0)时 趋于点(0， 时 当点 ，y)沿直线
0 < pp0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ
的一切点P(x， ∈ 的一切点 ，y)∈D ， 都有 |f (x，y)−A|<ε 成立， ， − 成立， 则称常数A为函数 ， 当 时的极限， 则称常数 为函数f (x，y)当x →x0，y →y0时的极限， 为函数 记为 这里ρ=|P P0|． ． 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限
解
∂z = 3 x 2 y 2 − 3 y 3 − y, ∂x
∂ 2z = 6 xy 2 , ∂x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂z = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; ∂y
∂ 2z = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1; ∂y∂x
∂ 2z = 6 x 2 − 9 y 2 − 1, ∂x∂y
∂ 2z = 2 x 3 − 18 xy; ∂y 2
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3. 二阶偏导数的计算
二阶偏导数： 二阶偏导数： 设函数z=f(x，y)在区域 内具有偏导数 设函数 = ， 在区域D内具有偏导数 在区域
∂f ∂f = f x ( x , y ), = f y ( x , y ). ∂x ∂y 那么在D 都是x， 的函数． 那么在 内fx(x，y)、fy(x，y)都是 ，y 的函数．如果这两个函数 ， 、 ， 都是
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
多元函数微积分汇总
多元函数微积分汇总一、多元函数的极限对于多元函数，其极限的定义与一元函数相似。
设有一个二元函数，如果对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当点(x,y)满足0＜√[(x-a)²+(y-b)²]＜δ 时，必有，f(x,y)-A，＜ε成立，那么常数A是这个二元函数f(x,y)在点(x,y)处的极限，记作lim_(x,y)→(a,b)(f(x,y))=A。
类似地，也可以定义其它维度函数的极限。
二、多元函数的连续性在多元函数中，连续性的定义也与一元函数相似。
若多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处极限存在且等于f(x0,y0)，则称多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
对于多元函数来说，全体连续点的集合称为多元函数的连续域。
三、多元函数的可微性多元函数的可微性与一元函数的可微性有一些差异。
设有一个二元函数f(x,y)，如果对于任意给定的（Δx,Δy）,有f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=AΔx+BΔy+o(√Δx²+Δy²)其中A和B为常数，那么称二元函数f(x,y)在点(x,y)处可微。
类似地，对于三元、四元或n元函数也可以定义可微性。
四、多元函数的偏导数对于多元函数，其偏导数是指函数在其中一变量上的导数，而把其他变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)，其对于变量x的偏导数记为∂f/∂x。
偏导数描述了函数在其中一方向上的变化率。
五、多元函数的全微分全微分是指多元函数的微分与偏导数之间的关系。
对于二元函数f(x,y)，其全微分df可表示为df=∂f/∂x*dx+∂f/∂y*dy。
全微分可用于描述函数的微小变化。
六、多元函数的方向导数方向导数是指多元函数在其中一方向上的变化率。
给定一个二元函数f(x,y)和一个单位向量u=(cosθ, sinθ)，函数f(x,y)在点(x0,y0)处沿着方向u的方向导数定义为D_uf(x0,y0)=∂f/∂x * cosθ + ∂f/∂y * sinθ七、多元函数的梯度多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小为变化率的最大值。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分一、概念多元函数是指具有多个自变量的函数。
在多元函数中，自变量可以有两个、三个甚至更多。
相应地，函数的取值也不再是一个数，而是一个有序组。
多元函数的微积分研究的是多元函数的导数、偏导数、不定积分、定积分等性质。
二、多元函数的导数1. 偏导数在多元函数中，偏导数指的是只以其中一个自变量为变化量，其余自变量视为常数时求取的导数。
偏导数有两种表示形式，一种是用∂表示，被当作普通的符号；另一种是用d表示，表示它是一个变差量。
对于二元函数y=f(x, z)，其偏导数可以通过以下公式计算：∂f/∂x = ∂y/∂x = dy/dx∂f/∂z = ∂y/∂z = dy/dz2. 方向导数方向导数告诉我们，一个函数在给定点上沿着某个特定方向变化的速率。
对于函数f(x, y, z)而言，其在点(a, b, c)处沿着向量v=(v1, v2, v3)的方向导数可以通过以下公式计算：Dv(f) = ∂f/∂x * v1 + ∂f/∂y * v2 + ∂f/∂z * v3三、多元函数的积分1. 不定积分多元函数的不定积分与一元函数的不定积分类似，是求解原函数的过程。
对于多元函数f(x, y)，其不定积分可以写为：∫f(x, y) dx = F(x, y) + C1其中，C1是常数，F(x, y)是f(x, y)的一个原函数。
2. 定积分对于多元函数f(x, y)在区域D上的定积分，其结果为对D内每个小区域的积分之和。
具体计算过程中，常用的方法是先将区域D切割成许多小的面积，然后对每个小面积进行积分累加。
定积分的计算方法包括直接计算和变量替换两种方式。
四、应用领域多元函数的微积分在实际问题中有广泛的应用。
具体领域包括但不限于：1. 经济学：研究供给与需求函数、利润函数、效用函数等方面的微积分问题。
2. 物理学：研究质点的质量、速度、加速度等与时间和空间的关系。
3. 工程学：研究材料特性、电力电子等领域的微积分问题。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是数学中的一个重要分支，涉及到对具有多个变量的函数进行求导和积分的操作。
它在应用数学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用价值。
本文将从多元函数的定义和性质入手，介绍多元函数微积分的基本概念和方法，并通过一些具体的例子来说明其应用。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指具有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是实数。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的取值范围。
多元函数可以表示实际问题中的各种关系，如物体的位置随时间的变化、温度随空间位置的变化等。
多元函数的导数和偏导数是多元函数微积分的基本概念。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其导数是一个向量，表示函数在每个自变量方向上的变化率。
偏导数是多元函数在某个自变量上的导数，其他自变量保持不变。
导数和偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过极限的概念来定义。
二、多元函数的微分和积分多元函数的微分是指函数在某一点附近的线性逼近，可以近似地表示函数在该点的变化。
多元函数的微分可以通过导数和偏导数来计算，具体的计算方法与一元函数类似。
微分在数学和物理中有广泛的应用，如近似计算、优化问题等。
多元函数的积分是对函数在某个区域上的求和操作，可以用来计算函数在该区域上的平均值、总和等。
多元函数的积分可以通过重积分来计算，即将区域分成小块，然后对每个小块进行积分，最后将结果相加。
重积分的计算方法与一元函数的积分类似，可以通过定积分的定义来推导。
三、多元函数微积分的应用多元函数微积分在实际问题中具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，可以利用多元函数微积分来描述物体的运动和力学性质；在经济学中，可以利用多元函数微积分来描述供需关系和最优化问题；在工程学中，可以利用多元函数微积分来解决工程设计和优化问题等。
例如，考虑一个二维平面上的函数f(x, y)，表示某个物体的高度。
大学应用数学第四章
4.2.2二元函数的极限
我们讨论二元函数z=f(x,y)，当x 点P（x,y
x0,y y0时的
极限，也就是讨论当两个自变量x、y所对应的 P0(x0,y0)时的极限.这里的P-P0表 示点P以任意地方式趋向于点P0. 为方便起见，我们把适合不等式（x-x0）2+(yy0)2＜δ 2的所有点P（x,y）组成的区域称为点P0
相应的函数值记作f(x0,y0)，或
4.2.1二元函数的概念
4.图形
二元函数可以视作是关于三个变量x、y、z的 三元方程，它对应的函数图形在空间直角坐 标系内表示曲面(或平面).
例如，二元函数z=Ax+By+D的图形表示平面，
函数z和两个自变量x、y之间的关系反应在图 形上就是该平面上点的竖坐标与横、0 （x0,y0）处连续.否则称该二元函数在点P0（x0,y0）处间断.
若二元函数z=f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称该二
元函数z=f(x,y)在区域D内连续.
4.2.3二元函数的连续性
2.连续函数的性质 性质4-1
若多元函数在有界闭区域D上连续，则该多元
函数在D上必能取得最大值与最小值.
若区域延伸到无穷远处，则该区域称为无界区
域；否则，它总可以被包围在一个以原点为中 心而半径适当大的圆内，这样的区域又称为有 界区域.围成区域的直线或曲线也称为区域的边 界；连同边界在内的区域称为闭区域；不包括 边界的区域称为开区域.
4.2.1二元函数的概念
3.函数值
对于二元函数z=f(x,y)，当给定两个自变量x、 y的一组值（x0,y0）时，就可以根据该函数的 关系式z=f(x,y)来求出其相应的函数值了，其
记作
4.2.2二元函数的极限
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我们把上述二元函数的极限叫做二重极限
5
注意：
(1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，
函数都无限接近于A. (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数
趋于不同的值，则函数的极限不存在．
例
xy
x2
y2
, x2 y2 0 .
f (x, y)
0 , x2 y2 0 .
当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，
z
二元函数的图形是一张曲面．
M0
例
z=a x+b y + c是一张平面， O
y0
y
x0
x
3
由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)是中心在原 点，半径为a的球面．它的定义域为D ={(x，y)|x2y2 a 2}． 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)有两个：
z a2 x2 y2 , y
当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时
xy
kx2
k
lim
x0
x2
y2
lim x0
x2
k2x2
1 k2
.
y kx 0
6
例1 求lim sin(xy) . x0 x
y2
解： lim sin(xy) lim sin(xy) y
x0 x
x0 xy
y2
y2
sin(xy)
lim
lim y
x0 xy
x0
y2
y2
2 lim sin( xy) 2 . xy0 xy
7
2.二元函数的连续性
定义： 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0) D ．
如果
lim
x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
y y0
则称函数f (x，y)在点P0(x0，y0)连续．
z a2 x2 y2 .
z a2 x2 y2 ,
O
x
z a2 x2 y2 .
4
二.二元函数的极限和连续
1.二元函数的极限
定义 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，
P0(x0，y0)是D的内点或边界点．如果对于任意给定的
正数e 总存在正数d ，使得对于适合不等式
y y0
z y , x x0 y y0
或f x ( x0, y0 ) 。
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偏导函数：
如果函数zf(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x 的偏导数都
存在，那么这个偏导数就是x的偏导函数，记作
z , x
f , x
zx,
或f x ( x, y).
类似地， 可定义函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导
变量 x、y的二元函数(或点P的函数)，记为
z=f (x，y)(或z=f (P))
其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量．
类似地可定义三元及三元以上函数．
当自变量的个数多于一个时,函数称为多元函 数
2
二元函数的图形：
点集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D}称为二元函数 zf(x，y) 的图形．
x x x0
y y0
zx x x0 ,或f x ( x0 , y0 ) 。
y y0
10
（２）如果极限 lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) 存在，
y0
y
则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导数，
记作
z , x x0
y y y0
f ,
y x x0
y2
14
3. 二阶偏导数的计算
二阶偏导数：
设函数zf(x，y)在区域D内具有偏导数
f x f x ( x, y),
f y f y ( x, y).
0 pp0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 d
的一切点P(x，y)D ，
都有 |f (x，y)A|<e 成立，
则称常数A为函数f (x，y)当x x0，y y0时的极限，
记为
lim f ( x, y) A,或f ( x, y) A(r 0),
x x0
y y0
这里r|P P0|．
函数f (x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续：
是指函数f (x，y)在D内每一点连续．此时称f (x，y)是
D 内的连续函数．
二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数 f(P)上去．
8
例2
函数f (x, y) 1 在原点是否连续？
x2 y2
解： 因为f (0,0)是无穷大，
所以函数在原点不连续.
例４
函数f
(
x,
y)
x2 x2
y
2,(x2 y2,(x2
y2 y2
1) 1)
在单位圆
x2 y2 1上各点是否连续？
解： 如果 2 函数在单位圆上任何点都连续
若 2 在单位圆上任何点都不连续
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三. 偏导数的概念及简单计算
1. 偏导数的概念：
定义 设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，当y 固定
在y0 而x 在x0 处有增量x 时，相应地函数有增量
f (x0x，y0)f(x0，y0) ，
（１）如果极限
lim f ( x0 Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，
Δx0
Δx
则称此极限为函数zf (x，y)在点(x0，y0)处对x 的 偏导数，记作
z , x x0
x y y0
f ,
函数， 记为
z ,
y
f ,
y
z y ,或f y ( x, y)。
偏导数与偏导函数的关系：f x ( x0 , y0 ) f x ( x, y) |x x0 , y y0 .
f y ( x0 , y0 ) f y ( x, y) |x x0 , y y0
.
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2 .一阶偏导数的计算
注意： 1, z , f , z , f ,只是一种记号，不能把它们 x x y y
6.2 多元函数的微积分
主要内容： 一.多元函数的概念 二.二元函数的极限和连续 三.偏导数的概念及简单计算 四.全微分 五.空间曲线的切线与法平面 六.曲面的切平面与法线 七.多元函数的极值
1
一.多元函数的概念
二元函数的定义： 设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D， 变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是
看成二者之商.
2
z x
，求
z
时，只要暂时把y看作常量对x求导即可
x
3 ，求 z 时，只要暂时把x看作常量而对y求导即可 y
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例3 求zx23x yy2在点(1，2)处的偏导数．
解
z 2x 3 y, x
z 3 y 2x . y
z 21 3 2 8, x x1
y2
z 31 2 2 7 . y x1