高中数学几个重要知识点

高中数学几个重要知识点

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0； 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0

两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0

点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点?

f 2(x 0,y 0) =0

方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.

2.圆

圆的定义

点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.

圆的方程

(1)标准方程

圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2

圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2

(2)一般方程

当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0

叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2

E ，半径是2

4F -E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+ 当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-

2D ,-2E ); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则

｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，

｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，

｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内，

其中｜MC ｜=2

020b)-(y a)-(x +.

(3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C

Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判定.

4.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率.

当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e ＞1时，轨迹为双曲线

5.坐标变换

坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.

函数值域的应用

(1)函数值域的常用求法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)运用函数的值域解决实际问题，此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决，此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力

例2：已知函数f (x )=x a x x ++22,x ∈［1,+∞)，(1)当a =2

1时，求函数f (x )的最小值

(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围

思路分析 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得

(1)解 当a =

21时，f (x )=x +x

21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=27 (2)解法一 在区间［1，+∞)上，f (x )=x

a x x ++22 >0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立 设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)，∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，

∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3

解法二 f (x )=x +x

a +2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3

点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及

运算能力 解题的关健是把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想 演变3：设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2

+m +1

1-m ) (1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M

(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值 (3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1

问题3：函数的奇偶性与单调性

函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.判断函数的奇偶性与单调性方法：若为具体函数，严格按照定义判断；若为抽象函数，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 复合函数的奇偶性、单调性 解决的关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数

例3：已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2

1)=－1,当且仅当0

y x ++1),试证明 (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减 思路分析：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定

2

1121x x x x --的范围是焦点 证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xy

y x ++1)可令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2

1x x x --)=f (0)=0 ∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减 令0

1121x x x x --) ∵00,1－x 1x 2>0，∴

12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0，

∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (2

1121x x x x --)<0，即 f (x 2)

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力，对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得

演变4：定义在R 上的函数y =f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a 、b ∈R，有f (a +b )=f (a )f (b )，（1）求证：f (0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R，恒有f (x )>0；（3）证明：f (x )是R 上的增函数；

点拨与提示：根据f (a +b )=f (a )·f (b )是恒等式的特点，对a 、b 适当赋值.利用单调性的性质去掉符号“f ”得到关于x 的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法.

演变5：已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m ,使f (cos 2θ－3)+f (4m －2mcos θ)>f (0)对所有θ∈［0,2

］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由 点拨与提示 本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力 要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题

问题4：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相关问题

三个“二次”是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关复习时要理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法