封闭图形中的植树问题
植树问题2(封闭图形)
巩固练习
巩固练习 （3）四（2）共有48名同学，他们也在操场上围成了一个正
方形，每边人数相等，四个顶点都站了人，每边站了几个人？
尝试评价
巩固练习
（1）四（1）班的同学在操场上围成了一个正方形，每边各站 12人，四个顶点都站了人，这个班级一共有多少人？ （2）四（2）共有48名同学，他们也在操场上围成了一个正 方形，每边人数相等，四个顶点都站了人，每边站了几个人？
巩固练习 （1）四（1）班的同学在操场上围成了一个正方形，每边各
站12人，四个顶点都站了人，这个班级一共有多少人？
（1）在每边种2、3、4、5棵这几种情况中选择 几种来研究。 （2）利用小磁贴摆一摆，数一数，并完成表格。 （3）完成表格后想一想，你们发现了什么？
反馈提炼 每边棵数 每边段数 总棵数 总段数
尝试解决 如果要在正方形的植物园四周种上小树， 每边要种19棵树，四个顶点都要种，一共 要种多少棵树？
Hale Waihona Puke 自学提高植树问题准备问题
在100米的小路的一边，每隔5米种一棵柳树， 起点和终点都栽，一共种了多少棵？
尝试问题 如果要在正方形的植物园四周种上小树， 每边要种19棵树，四个顶点都要种，一共 要种多少棵树？
合作交流
如果要在正方形的植物园四周种上小树， 每边要种19棵树，四个顶点都要种，一共 要种多少棵树？ 小组合作要求
五年级上册植树问题应用题
五年级上册植树问题应用题
植树问题是一个常见的数学问题，涉及到间隔、数量和总长度等概念。
以下是几个适合五年级上册水平的植树问题应用题：
1. 直线植树问题：
一条直路上有10个村庄，每两个相邻的村庄之间都要植一棵树。
问：一共需要植多少棵树？
2. 封闭图形植树问题：
一个正方形的花坛，每边有5棵树，每个角上都有一棵树。
问：这个花坛一共有多少棵树？
3. 间隔距离问题：
学校计划在一条长200米的走廊上种树，每隔5米种一棵。
走廊两端都要种树。
问：一共要种多少棵树？
4. 环形植树问题：
一个圆形花坛的周长是120米，计划在花坛的周围每隔3米植一棵树。
问：一共要植多少棵树？
5. 楼梯植树问题：
一段楼梯有10级台阶，从下往上走，每级台阶的左侧都要放一盆花。
问：一共需要多少盆花？
解答这类问题时，学生需要理解植树问题的基本规律，比如直线上的植树是“树的数量 = 村庄数量 - 1”，封闭图形上的植树则是“树的数量 = 边数× 每边的树数量 - 角上的树数量”等。
同时，学生还需要根据题目的具体条件，如是否两端都要种树、是否是封闭
图形等，来灵活应用这些规律。
数学四年级下册《封闭图形中的植树问题》教案
数学四年级下册《封闭图形中的植树问题》教案数学四年级下册《封闭图形中的植树问题》教案教学目标：（一）利用信息技术平台,提供问题情境，让学生通过生活中的事例探索、掌握解决封闭图形中植树问题的方法。
（二）通过多媒体课件，渗透数形结合思想，引导学生在解决问题的分析、思考过程中，经历抽取出数学模型的过程。
（三）在解决问题中，培养学生的独立思考、合作探究的能力，体会数学在生活中的广泛应用教学重点、难点：教学重点：让学生掌握解决封闭图形植树问题的思想方法。
教学难点：探索发现封闭图形情况下棵树与间隔数之间的关系。
教学过程：（一）创设情景，引入问题1．问题一：（出示图片）正方形桂花树台一边也要摆花，量一下边长是9米，每一米摆一盆，请大家帮助算一算，要几盆花？反馈：谁来告诉大家要摆多少盆花？预设：生1：91+1=10盆；生2：91=9盆；生3：91-1=8盆师：这里都有91这是什么意思？+1就是求出了什么？不加的就是求出了什么？-1求出了什么？小结：同学们用以前学习的植树问题帮我解决了这个数学问题。
2．问题二：如果桂花树的正方形木台四周都要摆上10盆花，共要多少盆花？［通过展示校园中鲜花盛开的美丽景色，创设情境，引出生活中的数学问题，激发学生探究欲望。
］生1：40盆，生2：36盆，师：到底是36盆还是40盆，要知道哪个答案是对的，怎么办？（让学生互相争论）（听听学生的意见，如果学生说画最好，如果学生说其他，教师可以介入说：老师这儿有个建议。
）小结:看来有些同学认为用画一画的方法比较好是吧，那就请同学们用自己认为好的方法来验证到底是需要多少盆？（二）多元表征，感知模型1．出示学习建议：（1）你可以自己最喜欢的方法来说明你的答案是怎么来的（2）你也可以利用老师提供的材料（材料1），画一画，圈一圈。
并写出算式。
（花盆可以用符号表示）（3）先独立思考，再在小组中说一说你的方法。
［把学习的'主动权交给了学生，放手让学生想一想、画一画、说一说，激活学生已有的生活经验，既满足了学生的表现欲望，又培养了学生自主探索、小组合作学习的意识。
五上数学植树问题(封闭图形)
1、48名学生在操场上做游戏。
大家围成一个正方形，每边人数相等。
四个顶点都有人，每边各有几名学生？（48＋4）÷4＝13（人）答：每边各有13名学生。
2、陈庄小学有一个长60米、宽40米的小操场，四个顶点都种有一棵树，长边上每隔10米种一棵，宽边上每隔8米种一棵。
操场四周一共种树多少棵？60÷10×2＋40÷8）×2－4＝18（棵）答：操场四周一共种树18棵。
3、在一个周长为1600米的水库四周，每隔8米种一棵杨树，后来又在两颗杨树中间等距离种了两颗柳树。
问水库四周一共种了多少棵树？1600÷8×2＝400（棵）答：水库四周一共种了400棵树。
4、沿一个长50米、宽30米的长方形鱼塘每隔5米种一棵树，一共能种多少棵树？长方形周长：（50+30）×2=160（米）棵树：160÷5=32（棵）答：一共能种32棵树。
5、王大爷在正方形鱼池边上种树，每边等距种树10棵，（四个角都要种树），每辆棵之间相距4米。
鱼池的周长是多少米？（10×4－4）×4＝144（棵）答：鱼池的周长是144米。
6、圆湖的周长1350米，在湖边相隔9米种柏树一棵，在两棵柏树之间种2棵桃树，两棵桃树之间的距离是多少米？9÷（2＋1）＝3（米）答：两棵桃树之间的距离是3米。
7、在一个湖的周围每隔4米种一棵柳树,一共种了180棵。
在相邻的两棵柳树间每隔2米种一棵柏树，一共种多少棵柏树？180×（4÷2－1）＝180（棵）答：一共种180棵柏树。
8、沿着周长是240米的圆形花坛每隔6米栽一棵丁香树，再在每相邻的两株丁香树之间等距离地栽2株月季，一共能栽多少棵丁香树？一共能栽多少株月季？两棵相邻的丁香树之间的2株月季相距多少米？丁香花（封闭图形）：周长÷间距=240÷6=40（株）月季花（在丁香花的每个间隔中）：40×2=80（株）2 株月季花相距：6÷（2+1）=2（米）。
小学奥数 植树问题(二)
1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用。
2．掌握空心方阵和实心方阵的变化规律．3．几何图形的设计与构造一、植树问题分两种情况：（一）不封闭的植树路线. ① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．三、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷41+”；（3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
知识点拨教学目标5-1-3.植树问题（二）例题精讲模块一、封闭图形的植树问题【例 1】小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长1500是米，每隔3米栽种一棵树．问：共需树苗多少株？【考点】封闭图形的植树问题【难度】1星【题型】解答【巩固】周叔叔家有一个长40米，宽30米的长方形鱼塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳树，需要栽多少棵柳树？【考点】封闭图形的植树问题【难度】1星【题型】解答【例 2】在一个长345米、宽240米的长方形草坪四周等距离地栽一些松树，要求四个顶点和每边中点都正好栽一棵松树，则最少要买松树苗棵。
植树问题(3)
状元成才路
植树问题 例3
-----封闭图形中的“植树问题”
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长
是14200 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多 少棵树？
状元成才路
如果把圆拉直成线段，你能发现什么？
我发现间隔数与 棵树一一对应。
相当于一端栽， 一端不栽。
状元成才路
小结： 我们将封闭图形“化曲为直”后，发
现封闭图形和在不封闭图形“只栽一端” 中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵 数等于间隔数。
1. 圆形滑冰场的一周全长是 150 m。如果沿着这一圈 每隔15 m安装一盏灯，一 共需要装几盏灯？
150÷15 = 10（盏） 答：一共需要装10盏灯。
状元成才路
2.张伯伯围绕圆形池塘栽树， 每两棵树之间的距离是3 m， 照这样计算，种15 棵树的 距离是多少米？
封闭图形的植树问题1
（封闭图形）棵数=段数（间隔数） 总长度=段数×间距
我们发现的规律： （封闭图形）点数 = 段数
在正八边形 花坛的每边 摆3盆花。 花坛一圈一 共可以摆多 少盆花？
？ 3×8=24（盆）
√ √ 3×8-8=16（盆） （3-1）×8=16（盆）
做一做：
48名学生在操场上做游戏。大家围成一 个正方形，每边人数相等。四个顶点都 有人，每边各有几名学生？
48 ÷4 +1
=12+1
=13（名）
社区有一块正五边形水池，要在
每边都摆4盆花，五个角各摆一盆，
可以怎样摆放？最少需要多少盆 花？
９个小朋友围成一圈做 游戏，每两个人之间的 距离是１米，这一圈的 长度是多少？
圆形体育馆的一周全长是1500米， 如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯， 一共需要装几盏灯？
棋盘的最外层每边能放19个棋子。
最外层一共可以摆放多少棋子？
19 17 19×2＋17×2＝72 17
19
18×4＝72
你还有其它的方 法吗？试试看！
点数是（３）， 间隔数是（３）。
点是（4） 段数是（4）
点数是（ 6 ）， 间隔数是（ 6 ）。
点数是（ 8 ）， 间隔数是（ 8 ）。
点数是（8）， 间隔数是（8）。
封闭植树问题公式
封闭植树问题公式
封闭图形的植树问题的公式是棵数=间隔数、棵树=周长÷间距、棵树=长度÷间距+1(两端都栽)、棵树=长度÷间距-1(两端都不栽)、棵树=长度÷间距(一端栽、一端不栽)。
在封闭图形上进行植树，段数等于株数，满足的公式和直线型仅在路的一端植树是一样的：株数=段数=全长÷株距，全长=株距×株数，株距=全长÷株数。
解植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一头种”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。
请注意，在解答具体问题时，应结合题目的实际情况选择合适的公式进行计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
封闭图形中的植树问题》教学设计一、教学目标知识目标：学生通过直观的方式能用多种策略来解决围棋中的数学问题，并引导学生解决封闭图形中的植树问题，使不同的学生在数学学习上有不同的发展。
技能目标：初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力；情感目标：让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，使学生感受到数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点重点：能用多种方法去解决围棋中的数学问题，并学会解决封闭图形中的植树问题难点：沟通围棋中的数学问题与植树问题之间的关系。
三、教学预设为了达成以上教学目标，本课教学流程设计分三大板块：（一）探究新知同学们，老师先来考考你们，看看会不会被难倒。
如果两根手指夹一只粉笔，那么一只手能夹几枝粉笔呢？为什么5根手指只能夹4 只粉笔？1、同学们喜欢下棋吗？下过围棋吗？今天老师带来了一题有关围棋的数学问题，有兴趣去解决吗？（有）2、出示例3 围棋盘的最外层每边能放19个棋子。
最外层一共可以摆放多少棋子？让学生感觉到一边放19 个棋子挺麻烦的，由此想到假设最外层每边放9 个棋子，那么最外层一共可以摆放多少棋子？（课件出示：先出示围棋盘，然后在一边上摆放9 个棋子，最后四边全部摆上棋子）（1）学生动手解决，教师巡视，寻找学生中典型的解题方法。
（预设学生可能会出现的情况有：,,改9 颗棋子为19 颗。
（2）汇报交流：A、首先汇报交流第一中解法即①19X4= 76 （个），（生说算式，教师板书）师问：你是怎么想的？（生：每边有19 个棋子，四边就有19? = 76 个棋子）B、师再问其他学生：同意他的想法吗？（生：不同意，如果这样的话，角上的4 个棋子好像重复算了）师追问：那你是怎么算的？（生说：19X 4-4= 72个，教师板书），然后教师强调：为什么要减去4?（生：把角上重复的4个棋子去掉）这时教师顺水推舟：你是说四个角上的棋子重复算了，所以还要减去重复的4个棋子（师边说边课件演示：4个角上的棋子变色）。
C教师提问：还有其他算法吗？（生回答教师板书：17X 4+ 4= 72个），这个算式你们看得懂吗？谁来说说你看懂了什么？D如果学生出现19X 2 + 17X2 = 72个，则让其他学生猜一猜：他是怎么想的？并做课件演示；E如果学生出现18X 4= 72个，就请提供算式的同学说一说：你是怎么想的？教师课件配合演示。
）3、当然以上5种算式，④、⑤两种算式学生可能不大容易出现。
所以如果学生不出现的话，教师就引导学生一起来看一看书上是怎样解决的？并提问：你看懂了什么？再辅助课件加以说明。
（二）、发现、沟通通过刚才的学习，老师发现我们班的同学非常的聪明，老师这儿又有个数学问题，你能帮忙解决吗？（能）1、试一试出示题目：当湖公园的工作人员打算在一块正方形草地的周围种上一批树（4个角上都要种）。
现在有三种方案：（1）每边种16棵松树；（2）每边种25棵桃树；（3）每边种31棵梨树。
请你选择其中的一种方案，用你刚才学习的喜欢的方法算一算草地的四周一共要种几棵树？a、学生练习，教师巡视b、反馈交流：师：谁来说一说桔树共有多少棵？（生：60棵）师：你是怎么算的？（教师根据学生回答板书算式）并问：你是怎么想的？（因为学生受前面围棋中多种解法的启发，所以解题方法较多，在这里我只反馈其中的一种解题思路，学生说到哪种就反馈哪种，并把算式进行板书，板书在与例题解法相同的算式的下面）关于桃树与梨树的反馈与桔树一样。
并把反馈的结果填入表格中2、沟通我们用刚学的各种方法解决了这个问题，大家的表现非常的好！前面我们已经学习了有关植树的问题，那么这题我们能不能用植树问题的思考方法去解决呢？想一想，在植树问题中我们认识了哪些数量？（棵数、间隔数）a、那我们来看看，每边种16棵松树，有几个间隔数？（在表格中出现每边间隔数）25棵呢？31棵呢？（根据学生回答教师完成表格中的数据）师：那么每边的棵数与每边间隔数有什么关系呢？（每边棵数- 1 = 每边间隔数）再来观察一下，每边间隔数与四边总数又有着怎样的关系呢？b、刚才我们学习的围棋中的数学问题，能不能用植树问题的思考方法去解决呢？（再次出现围棋图）①学生试做②反馈：重点反馈（19- 1）X 4= 72这种解法师:19 - 1表示什么？（表示每边有18个间隔）师再问：19- 1除了表示18个间隔外，还表示了什么？（每边看作有18个棋子）教师演示课件一条变色问：是这样吗？（是的）师：这种现象是植树问题中的哪种情况呢？生：是植树问题中一端栽，一端不栽的情况教师课件演示其他三边一端栽一端不栽的情况，并提问：在植树问题一端栽一端不栽的情况下，植树的间隔数与棵数有着什么关系呢？师：所以这个18可以表示为18个间隔，也可以表示为18个棋子, 乘边数4就等于72, 72即表示72个间隔，也表示72个棋子。
3、揭示课题：封闭图形中的植树问题这就是今天我们要学习的《封闭图形中的植树问题》，板书课题。
（三）、灵活运用老师发现我们班的同学真的很棒！爱动脑，勤思考，所以我们解决了很多的数学问题。
下面我们来看这题。
1、要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4 盆花，可以怎样摆放？（1）讨论可以怎么摆放？（五个角上都摆或都不摆）（2）要最少应该怎么摆？（必须五个角上都摆）（3）练习反馈（重点反馈（4—1）X 5= 15 （盆）这种解法）师小结：其实我们在解决正方形、正五边形及正多边形的植树问题时，都可以用棵数=间隔数2、48 名学生在操场上做游戏。
大家围成一个正方形，每边人数相等。
四个顶点都有人，每边各有几名学生？（四）、小结：通过今天的学习，你有哪些收获呢？最后我还安排了一道延伸题。
（五）、延伸圆形滑冰场的一周全长是150米。
如果沿着这一圈每隔1 5米安装一盏灯，一共需要装几盏灯？植树问题（三）教学案例南河小学李素静教学内容：120－121页例3教学目标：1、能理解并掌握“植树问题”的基本解题方法，并能解决生活中的一些有关与“植树”问题的实际问题。
2、会通过观察、操作及交流活动，探索并认识封闭线路上间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之中。
3、培养学生观察能力、操作能力以及与人合作的能力。
4、情感与态度目标：让学生经历探索规律的过程，激发学生探索的欲望。
教学重点：会根据题意具体分析，建立解题模型、正确解答实际问题。
教具准备：实物投影教学过程：一、创设情境，引入新课。
同学们，生活中需要数学知识，对于具体问题，要具体分析，认真考虑，得到正确答案。
前两节课我们学习了有关“植树问题”的哪些情况？根据学生的回忆内容，老师整理板书：1）两端都植树，则棵数比段数多1。
他们的关系是：棵数二全长+株距+1 株距二全长*（棵数-1 ）全长二株距X 棵数-1）2）一端植树，则棵数比在两端植树时的棵数少1。
他们的关系是：全长二株距X棵数棵数二全长+株距株距=全长+棵数3）两端都不植树，则棵数比段数少1。
棵数二全长*株距-1 株距二全长+（棵数+1）今天我们继续来研究第三种“植树问题”，这种情况比较特殊，也很有意思，看谁最先发现规律。
二、探究新知，讲授新课：1 、学习例3。
1 ）投影出示围棋盘。
大家见过围棋盘吗？会下围棋吗？2）、数一数。
围棋盘的最外层每边能放多少个棋子？3）算一算。
围棋盘上一个点可以放一个子。
围棋盘的最外层每边能放1 9个棋子，最外一层一共可以摆放多少个棋子？2、4人小组交流，然后汇报算法和结果。
方法一：19X 4=76（个）方法二：19X 4-4=72 （个）方法三：19X 2+17X 2=72（个）方法四：18X 4=72（个）叙述每种方法的理由：1 ）第一种方法：因为外层每边有19 个棋子，四边就有4 个19，而忽略了角上的棋子，算重了。
2）第二种方法：考虑了角上有4 个棋子算重了，所以从总数中再减去多算的4个棋子。
3）第三种方法：先看上下两边，每边是19 个棋子，然后再看左右两边,由于上下两边已经包括了两个端点, 所以左右两边每边都少了2个棋子，只有17 个，把四边上的棋子加起来，就可以得到最外层棋子的总数。
4）第四种方法：每边都只算一个端点,这样每边正好都是18个棋子, 用18X 4=72,得出结果。
3、说一说你用哪一种思考方法，还有其他的方法吗？4、想一想,围棋盘最外层摆放的棋子有多少个间隔？1 ）学生自主探究。
2）4 人小组讨论。
3）汇报并小结：围棋盘最外层摆放的棋子数正好等于最外层每两个棋子间的间隔数。
5、类推。
如果某块绿地类似与正方形的围棋棋盘,最外层摆放的不是棋子,而是树,那么树的棵数与间隔数之间存在什么关系？1）动脑筋想一想,和我们刚才学习的内容有什么关系？2）汇报学习情况并板书：树的棵数正好等于间隔数6、小结：对于数学问题,不要急于算出答案,要先弄清楚题目意思,画画图,多想一会,找出正确的解题方法,还可以用不同的方法来解题。
三、反馈练习。
1、有一块正方形的空地，每边都种19 棵数，四个角都种一棵树，共种树多少棵？2、一个圆形花坛，它的周长是150米，每隔 2 米栽一棵树，共需要多少棵树苗？从上面的练习中你发现了什么？四、巩固练习，形成能力。
1、121 页做一做1。
2、121 页做一做2。
3、121 页做一做3。
五、总结：这节课学习封闭图形的“植树问题”，你有什么收获？板书：栽树的棵树正好等于间隔数。
六、板书设计：植树问题（三）方法一：19X 2+17X 2=72 （个）方法二：18X 4=72 （个）封闭图形的“植树问题”：栽树的棵树正好等于间隔数。
封闭图形的植树问题》案例以及设计意图——与结对子学校交流活动、创设情景，提出问题：这学期，我们学校开展了丰富多彩的活动，咱们看看——有经典诵读比赛、团体操、合唱比赛等等。
为迎接六、一文艺汇演，各年级都在做积极准备，校舞蹈队也在排练节目。
这些里面都有数学问题，咱们去看看？校舞蹈队的表演需要变化多种队形，她们先排成一排，每隔2 米站1人，队伍总长22 米，请问有多少人参加比赛？生1: 22 - 2=11 (个)11+ 1 = 12(人)教师：大家同意他的意见吗？能解释一下吗？教师：当两边都站的时候，有11 个间隔就有12 人，这就相当于在线段上两端都植树的植树问题。
这一内容是学生的前知，是直线上两端都植的植树问题的变式，是学生上节课所研究的直线上的植树问题的一部分，放置在此处一方面是沟通前知与新知的联系，另一方面体会直线上的植树问题与封闭图形的植树问题之间的联系与区别。
】1 、围成O。
还是这12 人，她们现在围成了一个圆形，相邻2 人的间隔还是2米，这一周有多长呢？生1：12X 2=24米生2：(12— 1)X 2=22 米(12+1)x 2=26 米教师：说说你是怎么想的？生1 认为有12 个间隔；生2 认为有11 个间隔；生3 认为有13 个间隔）这里学生之所以不能确定，主要是对围成圆形的情况下，到底人数与间隔数有什么联系学生很模糊，这也是这节课要重点解决的问题之一。