中考专题复习―最短路径问题教案
最短路径问题 优秀教案
教学设计复习引入（5分钟）新课问题导入（3分钟）一．复习引入1.两点之间，什么最短？2.点到直线的距离？问题：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
（连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
）二、探究如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？像这样我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：看图：从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？回答问题学生思考学生思考，并在草稿纸上画图，看是否可以确定最短路线。
学生在老师的引导下思考。
引入课题由浅入深，让学生先理解两点在直线两侧情况中的最短路径问题。
引出问题（3分钟）精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？（将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．）你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？师讲解做法：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？学生在老师的引导下，尝试用轴对称来试试，看是否是最短距离。
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
《最短路径问题探究》教案
最短路径问题探究一、教材分析与学情分析1．教材分析（1）教学内容《最短路径问题探究》是九年级下为让学生能灵活的运用对称、平移解决近几年中考中常见的最短路径问题而设置的一节专题课．初中三年，孩子们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结．但受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，自主探究能力较差，不善于思考。
所以本节课设计为通过对最短路径问题探究，在于引导学生学会思考，帮助学生掌握良好的学习方法为一节学法指导课（2）地位和作用近几年各地中考均有最短路径问题的考试，为让学生能熟练解决该类问题，本节课在已有平移、对称知识的基础上，引导学生探究如何运用平移、对称解决最短路径问题。
它既是平移、对称知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用.2．学情分析（1）已有基础知识与生活经验分析学生已掌握对称、平移、勾股定理等知识，但综合运用能力还较差。
加之来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦．对于学习方法不好的同学来说，感觉疲惫，无法体验学习的乐趣；从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。
所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提高学习能力的目的.（2）学生起点能力分析学生已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理能力，能应用勾股定理、线段公理等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活性．综合运用能力较差，学习死，不能做到学习与研究相结合.二、教学目标：依据新课程标准的理念和学生实际情况，制定如下教学目标：●知识与技能目标1、结合具体实例，能灵活的运用勾股定理、线段公理解决实际问题2、学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题●方法与过程目标1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯．2、经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力●情感与态度目标1、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯2、鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情．3、通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会学习思考的积极作用，感受思考带给我们的好处，引导学生要积极思考，善于思考，渗透德育教育三、教学重、难点分析●教学重点：1、运用线段公理、勾股定理、平移、对称解决实际问题．2、学会从知识内容中提炼出数学思想或方法，学会归纳总结，初步学会思考．●教学难点：1、勾股定理、线段公理、平移、对称、转化的灵活运用和提升，2、提高思维的有效性．●突出重点、突破难点的方法与策略：（1）突出重点的方法：通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点（2）突破难点的方法：充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、动手实践、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点．勾股定理、线段公理、平移、对称的灵活运用和提升是个难点，加上指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升、归纳总结来帮助学生理解知识的应用和方法的提升，层层深入，逐一突破难点．以达到突破难点的目的四、教学方法的选择与应用根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用本节课采用“引导—探究—发现”的教学模式，引导学生在探究活动中认识到良好学习方法的重要性．教师的教法突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台；学生的学法突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取本节课的知识与方法．五、教学准备：多媒体课件，三角板，直尺，铅笔六、教学过程：（一）让学生观看一组动画，并谈谈看了动画之后自己的感想，引入课题（二）本节课的教学结构如下图（三）例题教学立体图形中最短路径问题探究1、正方体（基础复习）案例1、如图边长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A到B需要爬行的最短路程是多少厘米？设计说明：在解答简单问题时，人的思路是清晰的，合乎逻辑且有效的，所以通过本题让学生体会研究问题的方法，从而掌握方法并能运用到较难题目中去．2、长方体（加深、提高、提升）案例二、（思维拓展一）如果盒子换成如图长为3cm，宽为1cm，高为2cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少厘米？设计说明：通过本变式练习，培养学生思维的灵活性；引导学生学会归纳总结，以达到解一题从而解决一类问题的目的，提高学习效率，减轻学习负担从上面例题及拓展1中，你能找出求几何体表面上相对两点的最短路程的规律吗？引导学生思考，并归纳出重要结论：知道长方体的长a、宽b、高c，且a b c<<，则长方体表面上相对两点A、B之间的3、中考研究、综合运用（1）案例三（2008年吉林）思维拓展二、如图是一个由若干个边长为1的小正方体摆放成的长方体，试问在A处的蚂蚁要吃到放在B处的食物，最短需要爬行的路程是多长？若事物在C处或者是D处呢？BABCA●●●D●设计说明：运用上面归纳总结出来的结论解决问题，让学生体验积极思考、归纳总结的乐趣和成功感，感受快乐，同时也训练学生的变式思维能力 （2）让学生归纳题型，总结方法 （3）中考题展示中考展示一：2009年乐山8．如图（1），一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）AB． C． D ．3中考展示二：2009年江苏宿迁某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．平面图形中最短路径问题探究一、例题研究案例一（2折线问题）、一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，点A 、B 到河边的距离分别是70m 和50m ，且C D 的距离为50m ，天黑前，牧童要从A 处到河边让马饮水，然后再回家，请问牧童该怎样走路程才最短？设计说明：回顾复习线段公理，并能运用线段公理和勾股定理解决实际问题引导学生提出一个运用该原理解决的问题，引发思考，进行思维能力培养案例二、（3折线问题） 如图，A （2，－3），B （4，－1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB 的周长最短；设计说明：（1）简单变式：帮助学生灵活运用对称原理解决实际问题， （2）再次引导学生提问，提升思维的层次案例三、（4折线问题）A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这B图（1）中考展示二 ·A·B xyoA样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。
《最短路径问题》示范教学方案
第十三章轴对称13.4课题学习《最短路径问题》一、教学目标让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．二、教学重点及难点重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题．三、教学用具电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺四、相关资源微课，动画，图片.五、教学过程（一）引言导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题．设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向．（二）探究新知问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？此图片是动画缩略图，本动画资源探索了将军饮马问题实际上就是最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入【数学探究】最短路径问题.1．将实际问题抽象为数学问题学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．（1）把A，B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．2．解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求．（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？（3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决．（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．3．证明“最短”师生共同分析，证明“AC＋BC”最短．证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′，∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离都大于AC＋BC，就说明AC ＋BC最小．问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）此图片是动画缩略图，本动画资源探索了造桥选址问题，造桥选址问题实际上是最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入【数学探究】造桥选址问题.1．将实际问题抽象为数学问题把河的两岸看成两条平行线a和b（下图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？2．解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N ＋NB最小？（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．3．证明“最小”为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．你能完成这个证明吗？证明：如图，在△A′N′B中，∵A′B＜A′N′＋BN′，∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．即AM＋MN＋BN最小．设计意图：通过“将军饮马问题”和“造桥选址问题”的解决，增强学生探究问题的信心，让学生通过轴对称、平移变换把复杂问题进行转化，有效突破难点，感悟转化思想的重要价值．六、课堂小结1．运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．2．利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值．本图片资源总结归纳了两点在直线同侧的最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】最短路径问题-两点在直线同侧.本图片资源总结归纳了两点在直线异侧的最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】最短路径问题-两点在直线异侧.七、板书设计13.4 最短路径问题运用轴对称解决距离最短问题利用平移确定最短路径选址。
八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。
最短路径问题中考复习学习教案
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中 学数学复习——最短路径(lùjìng)问题
上次(shànɡ cì)更新: 十月 07, 2021
巩固练习
中 学 数 学 复 习(fùxí)——最 短 路径 问题
最短路径问题
1.已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边的中点， 温温故故而而知知新新一 P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小，
P
探拓究展（探二索） 范中例考学链习接 课课堂堂小结结
P●
B
M
C
巩固练习
几何画板
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上次(shànɡ cì)更新: 十月 07, 2021
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随堂练习(liànxí)四
中 学数学复习——最短路径(lùjìng)问题
最短路径问题
2.已知菱形ABCD，M、N分别为AB、BC边的中点， 温温故故而而知新知一新 P为对角线AC上的一动点，要使 PM+PN的值最小，
随温堂故练而习知一新 试确定点P的位置。
温探故究而（知一新）二
D
●
随探堂究练（习二二）
探拓究展（探二索）
PP
A
●
C
范中例考学链习接MN课课堂堂小小结结B
巩固练习
几何画板
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上次更新(gēngxīn): 十月 07, 2021
第九页，共24页。
中 学 数 学 复 习(fùxí)——最 短 路径 问题
中考(zhōnɡ kǎo)链接
最短路径问题
温温故故而而知知新新 一
2. 如 图 ， 以 矩 形OABC的 顶 点 ， OA所在的直线为x轴 ，OC所 在的 直线为 y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4, OC=2,点 E、 F分 别是边 AB、 BC的中 点， 在 x轴、 y轴 上 是否分 别存在 点N、M，使得四边形MNEF的 周长 最小？ 如果存 在，请 在图中 确定点 M、N的 位置 ，若不 存在， 请说明 理由。
初三数学中考专题复习最短路径问题探究教学设计
中考专题复习《路径最短问题》教学设计【教学目标】教学知识点：利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.能力训练要求：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.【教学重难点】重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.【教学过程】一、创设情景引入课题师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究现实生活中两个村庄如何建设候车厅和供水站的问题引入.(板书)课题学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究合作交流建构新知追问1:观察思考,抽象为数学问题这是一个实际问题,你打算首先做什么?活动1:思考画图、得出数学问题将A,B 两村抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.追问2: 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 连接B ，与河有交点，交点处就是所要求做的点；(2)作A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与河有交点，交点处就是所要求做的点；强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决，尝试解决数学问题问题1 :寒流来袭,气温骤降，由于A、B两小区供暖温度达不到,紧急决定在供暖主管道L 上新修建一个换热站P，分别向A、B两个小区供暖，换热站P修在管道的什么地方可以最大限度地节省原材料和时间？追问1:你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点P吗?问题2: 已知：如图,A、B在直线L的同侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小.师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充如果学生有困难,教师可作如下提示作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B';(2)连接AB',与直线l 相交于点P,则点P 即为所求.如图所示:问题3：你能用所学的知识证明AP +BP最短吗?教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点P'(与点P 不重合),连接AP',BP',B'P'.由轴对称的性质知,BC =B'P,BP'=B'P'.∴AP +BP= AP +B'P = AP',AP'+BP'= AP'+B'P'.在△AP'B'中,AP'+B'P'>AB',∴当只有在P点位置时,AP+BP最短.方法提炼:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.进一步巩固：如果刚才的问题中，我们以供暖主管道所在直线为X 轴建立如图的坐标系，测得A 小区的坐标为（0，100），B 小区的坐标为（400，200)米我们最短需铺设管道______米。
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
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A
B
L
中考专题复习——路径最短问题
课题：中考中的最短路径问题
教学目标：1、利用“垂线段最短”原理确定最短路径
2、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径
3、让学生学会把立体图形展开平面图形确定最短路径
4、让学生熟悉构建“对称模型”确定最短路径
二教学重点与难点
重点：1、利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”原理确定最短路径
2、 把立体图形转化平面图形之后确定最短路径
3、构建“对称模型”确定最短路径
难点：把立体图形转化平面图形及利用对称性确定最短路径
三、教学过程
知识回顾：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等。
利用“垂线段最短”原理确定最短路径 1、平面图形
例题1： 如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为_____________ 2、立体图形（展开成平面图形）
例题2：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB 的轴截面上另一母线AC 上，问它爬行的最短路线是多少？
二、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径 1：立体图形（展开成平面图形）
例题3：如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点 A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
练习（1）已知圆柱的轴截面ACBD,底面直径AC=6, 高为12cm ，今有一蚂蚁 沿圆柱侧面从A 点爬到B 点觅食， 问它爬过的最短距离应是____________ （2） 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 ___________ . 2：平面图形（建立“对称模型”）
要在街道旁边修建一个奶站,向居民区A,B 提供牛奶,奶站应建 在什么地 方,才能使从A,B 到它的距离和最短?
例题4:如图，正方形的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BD 上一动点．连结AP 、EP ，则AP+EP 的最小值是_______； 。
A
B
C
D
A
B
C
A
B
B
C
A
图(2)
E
B D
A
C
P
图(3)D
O
C
P
例题5：如图，抛物线y ＝1
2x2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 且A （﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值． 课堂小结：本节课主要复习了中考当中可能出现的几种最短路径问题，希望学生通过课后作业，进一步复习巩固这个知识点。
作业：
1. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 _______________
第2题 第3题 第4题
2、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
3、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为____ ___。
4、AB 是⊙O 的直径，AB=2，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在AC 上，AD = 2CD ，点P 是半径OC 上的一个动点，则AP+PD 的最小值为____ ___。
5、已知二次函数y ＝x2－2mx ＋m2－1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在， 求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．
⌒ ⌒ ⌒
y
x
B
C
O
D
A
y
x
D
C O
第1题。