《数列的概念与简单表示法》同步训练题
高中数学(人教版必修5)配套练习：2.1 数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．下列有关数列的说法正确的是( )
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1,0,1 与数列 1,0，－1 是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①②
B．①③
C．②③
D．③
[答案] D
[解析] ①是错误的，例如无穷个 3 构成的常数列 3,3,3，…的各项都是 3；②是错误的，
∴an＝2n－1＋1.
11
22
33
44
(3)a1＝2＝11＋1，a2＝5＝22＋1，a3＝10＝32＋1，a4＝17＝42＋1…，
n
∴an＝n2＋1.
2
4
8
16
(4)a1＝1＝2，a2＝3，a3＝2＝4，a4＝ 5 …，
2n
∴an＝n＋1.
1
1
11
1
1
11
(5)a1＝－3＝－1 × 3，a2＝8＝2 × 4，a3＝－15＝－3 × 5，a4＝24＝4 × 6， 1
2n [答案] an＝2n－12n＋1
2 2 4 2 × 2 6 2 × 3 8 2 × 4 10 2 × 5 [解析] 3＝1 × 3，15＝3 × 5，35＝5 × 7，63＝7 × 9，99＝9 × 11，…，∴an＝
2n 2n－12n＋1.
8．已知数列 3，7，11，15，19，…，那么 3 11是这个数列的第________项．
[答案] A [解析] 据题意，由关系式 an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足 an＋1>an，即该函数 y＝f(x) 的图象上任一点(x，y)都满足 y>x，结合图象，只有 A 满足，故选 A. 3．若数列的前 4 项分别为 2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝1－cosnπ
数列的概念与简单表示法练习(可编辑修改word版)
n { n n 2 n一.选择题 数列的概念与简单表示法练习1. 下列解析式中不是数列1, -1,1, -1,1 ，的通项公式的是（ ）A. a = (-1)nB. a n = (-1)n +1C. a n = (-1)n -1D. a n =1，n 为奇数 -1，n 为偶数 2. 数列2，5，2 2，11 的一个通项公式是（） A. a n B. a n C. a n D. a n 3. 已知数列{a n } ， a n = 1 n (n + 2) (n ∈ N ) ，那么 1 是这个数列的第（ ）项. + 120A. 9B. 10C. 11D. 12 4. 数列{a n }， a n = f (n ) 是一个函数，则它的定义域为（ ） A. 非负整数集 B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{1, 2, 3, 4, , n } 5. 已知数列{a } ， a = 2n 2 -10n + 3 ，它的最小项是（ ）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项6. 已知数列{a n } ，a 1 = 3， a 2 = 6 ，且 a n +2 = a n +1 - a n ，则数列的第五项为（ ） A. 6B. -3C. -12D. -6 二.填空题7.已知数列{a n } ， a n = kn - 5,且a 8 = 11 ，则 a 17 = .8.已知 f (x ) = log (x 2 + 7) ， a = f (n ) ，则{a n } 的第五项为 .9.数列15 , 24 , 35 , 48 , 63 , , 的一个通项公式为 .2 5 10 17 26 10. 已知数列{a n } 满足 a 1 = -2 ， a 三.解答题= 2 + 2a n 1- a n ，则 a 4 = . 11. 已知数列{a n } 中， a 1 = 3， a 10 = 21，通项 a n 是项数 n 的一次函数， ①求{a n } 的通项公式，并求 a 2005 ； ②若{b n } 是由 a 2 , a 4 , a 6 , a 8, , 组成，试归纳{b n } 的一个通项公式.3n - 33n -1 3n +1 3n +3 n +112. 已知{a n } 满足 a 1 = 3， a n +1 = 2a n +1，试写出该数列的前5 项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.13. 已知数列 中，（1），且 对任意 n∈N*恒成立，求实数 λ 的取值范围；（2），求常数 的值14 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式. (1) a 1 ＝0, a n +1 ＝ a n ＋(2n －1)(n∈N)；(2) a ＝1, a＝ 2a n (n∈N)； 1 n +1 a n + 2(3) a 1 ＝3, a n +1 ＝3 a n －2 (n∈N).。
高中数学《 数列的概念与简单表示法》(训练)(含答案)
§2.1数列的概念与简单表示法1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．知识拓展1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 题组二 教材改编2．[P33A 组T4]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.233．[P33A 组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.题组三 易错自纠4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是________． 6．已知数列{a n }的前n项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________题型一 由数列的前几项求数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)2．数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理． (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法．题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N *)，则其通项公式为________________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N *)，则{a n }的通项公式a n ＝________.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.题型三 由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.引申探究 在本例(2)中，若a n ＝n －1n ·a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，其他条件不变，则a n ＝________.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝______________.(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性典例 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列 命题点2 数列的周期性典例 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝_______________________________________.命题点3 数列的最值典例 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1， a 1＝35，则数列的第 2 018项为________．(2)(2019安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( ) A ．504 B ．588 C ．－588 D ．－504解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n，则此数列的最大项是第________项． (2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sinn π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 2．(2018·葫芦岛质检)数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－22233．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．4C ．2 2D ．454．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( )A ．3B ．2 C.12 D.235．(2018·长春调研)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．06．(2017·江西六校联考)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,5) B.⎝⎛⎭⎫73，5 C.⎣⎡⎭⎫73，5 D ．(2,5) 7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝________.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.9．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________.10．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．13．(2017·江西师大附中、鹰潭一中联考)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 015a 2 013等于( ) A ．4×2 0152－1 B ．4×2 0142－1 C ．4×2 0132－1 D ．4×2 0132 14．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( ) A.15n 2－25n ＋65B ．n 3－5n 2＋9n －4C ．n 2－2n ＋2D ．2n 2－5n ＋4 16．(2017·太原五中模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.§2.1数列的概念与简单表示法题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×)(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√)(4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(×)(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编2．[P33A 组T4]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23 答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3．[P33A 组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －4 题组三 易错自纠4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－3，＋∞)解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是________． 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N * 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)答案 C解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．2．数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.答案 (－1)n 1n (n ＋1)解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n (n ＋1).思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理． (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法．题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N *)，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N *解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N *.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N *)，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 由题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1. (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1＝ln n n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)． 又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n a n －1＝2n －1 (n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n -(n ∈N *)．(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．引申探究 在本例(2)中，若a n ＝n －1n ·a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，其他条件不变，则a n ＝________.答案 1n解析 ∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解．(4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝______________. 答案 3×2n －1－2解析 由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3， 将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n.题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性典例 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列 答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性典例 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝_______________________________________.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n ，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值典例 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1， a 1＝35，则数列的第 2 018项为________． 答案 15解析 由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( ) A ．504 B ．588 C ．－588 D ．－504 答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝⎛⎭⎫－76＝－588，故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n，则此数列的最大项是第________项． (2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，∴k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 答案 C解析 对n ＝1,2,3,4进行验证，知a n ＝2sinn π2不合题意，故选C. 2．(2018·葫芦岛质检)数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223答案 C解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.3．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．4C ．2 2D ．45 答案 B解析 由题意得a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1＝…＝a 22－a 21＝3，故{a 2n }是以3为公差的等差数列，即a 2n ＝3n －2.所以a 26＝3×6－2＝16.又a n >0，所以a 6＝4.故选B.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( )A ．3B ．2 C.12 D.23答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3，∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．(2018·长春调研)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4 D ．0 答案 D解析 ∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 6．(2017·江西六校联考)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,5) B.⎝⎛⎭⎫73，5 C.⎣⎡⎭⎫73，5 D ．(2,5) 答案 D解析 ∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a >1，5(5－a )－11<a 2，解得2<a <5，故选D.7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝________.答案 85解析 借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.9．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________. 答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)·⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4， 即4≤n ≤5，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.10．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 答案2n 2－n ＋2解析 由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2，又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N *)．11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2， 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列， 故a n ＝n .12．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0.因为a 1>0，所以a 1＝1. (2)因为3T n ＝S 2n ＋2S n ，① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1，②②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1.因为a n ＋1>0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2，③ 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1， 即a n ＋2＝2a n ＋1， 所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝2.又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0.因为a 2>0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.13．(2017·江西师大附中、鹰潭一中联考)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 015a 2 013等于( ) A ．4×2 0152－1 B ．4×2 0142－1 C ．4×2 0132－1 D ．4×2 0132 答案 C解析 由题知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1a n ＝2n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝(2n －3)×(2n －5)× (1)所以a 2 015a 2 013＝(2×2 015－3)(2×2 015－5)×…×1(2×2 013－3)(2×2 013－5)×…×1＝4 027×4 025＝(4 026＋1)(4 026－1)＝4 0262－1＝4×2 0132－1.14．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析 设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)·⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n (n ＋4)·⎝⎛⎭⎫23n ＝⎝⎛⎭⎫23n ⎣⎡⎦⎤23(n 2＋6n ＋5)－n 2－4n ＝2n3n ＋1(10－n 2)． 所以当n ≤3时，a n ＋1>a n ； 当n ≥4时，a n ＋1<a n .因此，a 1<a 2<a 3<a 4，a 4>a 5>a 6>…， 故a 4最大，所以k ＝4.15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( ) A.15n 2－25n ＋65 B ．n 3－5n 2＋9n －4 C ．n 2－2n ＋2 D ．2n 2－5n ＋4 答案 C解析 由题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(1＋2n －3)(n －1)2＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2(n ∈N *)，故选C.16．(2017·太原五中模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 答案 1n(n ∈N *)解析 因为数列{a n }是首项为1的正项数列， 所以a n ·a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na na n ＋1＋1＝0.令a n ＋1a n＝t (t >0)，则(n ＋1)t 2＋t －n ＝0， 分解因式，得[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0， 所以t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.方法一 (累乘法)因为a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ，所以a n ＝1n (n ∈N *)．方法二 (迭代法) 因为a n ＋1＝nn ＋1a n，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n .n －2n －1.a n －2＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2.a n －3＝...＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2.. (1)2a 1，所以a n ＝1n (n ∈N *)．方法三 (特殊数列法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以(n ＋1)a n ＋1na n＝1.所以数列{na n }是以a 1为首项，1为公比的等比数列． 所以na n ＝1×1n －1＝1. 所以a n ＝1n (n ∈N *)．。
数列的概念与简单表示法随堂练习(含答案)
数列的概念与简单表示法(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1. 下列四个关于数列的说法：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中正确说法的序号是( )A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ①②③④ 答案：C解析：∵②中数列项数可以有无限项，故②错．④中数列的通项公式不一定唯一，有的有多个，故④错．①③正确．故选C.2. [2013·陕西五校模拟]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于 ( )A. 4B. 2C. 1D. －2 答案：A解析：∵S n ＝2a n －2，∴S 1＝a 1＝2a 1－2.即a 1＝2，又S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－2，∴a 2＝4.3. [2013·西安模拟]已知数列2，5，22，11，…，则25在这个数列中的项数为( )A. 6B. 7C. 19D. 11 答案：B 解析：设2，5，8，11，…形成的数列为{a n }，被开方数形成的数列为{b n }，从形式上讲，每一项都有二次根号，被开方数为2,5,8,11，…，易归纳出数列{b n }的一个通项公式为b n ＝3n －1，所以a n ＝3n －1，25＝20＝3n －1，解得n ＝7，所以25是这个数列的第7项．4. [2013·金版原创]已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2012＝( ) A. 12B. 2C. －1D. 1 答案：B解析：由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是a 3n ＋1＝12，a 3n ＋2＝2，a 3n ＋3＝－1，因此a 2012＝a 3×670＋2＝2，故选B. 5. [2013·济宁质检]已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( )A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列 答案：C解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n .两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0，∴a n ＝0(n ∈N *)，故选C.6. [2013·赤峰模拟]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)(78)n ，则当a n 取得最大值时，n 等于( )A. 5B. 6C. 5或6D. 7 答案：C解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1， ∴⎩⎨⎧ (n ＋2)(78)n ≥(n ＋1)(78)n －1，(n ＋2)(78)n ≥(n ＋3)(78)n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6. 二、填空题7. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案：2n (n －1)2解析：由题意知，a n ＋1a n ＝2n ，a n a n －1＝2n －1，a n －1a n －2＝2n －2，…，a 2a 1＝2，又a 1＝1， 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·…·2·1＝2n (n －1)2.8. [2013·唐山模拟]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________. 答案：n 2解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2.9. [2013·海口质检]如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．答案：100解析：用a n 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，…，由此可得{a n }是以12为首项，以4为公差的等差数列．∴a 23＝a 1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100.三、解答题10. 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋2.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2)－(3n －1＋2)＝2·3n －1. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2·3n －1 n ≥2. 11. [2013·宜春月考]数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)，∴从第7项起各项都是正数．12. [2013·金版原创]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＝2013，求n .解：(1)∵a 1＝1，且a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)． ∴a 2＝a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＋1n a n (n ≥1)． ∴a n ＋1－a n ＝1na n (n ≥2)． ∴a n ＋1＝n ＋1n a n， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n(n ≥2)． ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 22＝12， ∴a n ＝n 2(n ≥2)． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (n ＝1)n 2(n ≥2). (2)∵a n ＝n 2＝2013，∴n ＝4026.。
高一数列的概念及简单表示方法知识点+例题+练习 含答案
1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项． 2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列 存在正数M ，使|a n |≤M 摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 ， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) (6)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ )1．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋3 (n ∈N *)，则a 10＝________. 答案128解析 由题意得1a n ＋1－1a n＝3.∴1a 2－1a 1＝3，1a 3－1a 2＝3，1a 4－1a 3＝3，1a 5－1a 4＝3，…，1a 10－1a 9＝3，对递推式叠加得1a 10－1a 1＝27，故a 10＝128.2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是________． 答案 28解析 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 3．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ≥1，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是__________． 答案 a n ＝3n －1解析 由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1 (n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又a 2＝2S 1＋1＝3，a 3＝3·a 2＝32·a 1＝32， a 4＝3a 3＝33… a n ＝3a n －1＝3n －1.4．(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －45．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为________．①a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) ②a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)③a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *) ④a n ＝2n 2n ＋1(n ∈N *)(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)③ (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)注意到分母0,2,4,6都是偶数，对照所给项排除即可．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)数列变为89⎝⎛⎭⎫1－110，89⎝⎛⎭⎫1－1102，89⎝⎛⎭⎫1－1103，…， 故a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二 由数列的前n 项和求数列的通项公式例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1，因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 4＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 (1)130 (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 (1)a 4＝S 4－S 3 ＝56－45＝130. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. 答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1解析 (1)由题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝________. 答案 (1)1n(2)16解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性例4 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∵b n ＝2a n ＋1，∴b n ＝⎩⎨⎧23，n ＝1，1n ， n ≥2，n ∈N *.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴c n ＋1<c n .∴数列{c n }为递减数列． 命题点2 数列的周期性例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝_____________________________________.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值例6 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项的值是________．答案119解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得，f (x )≥290当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大．思维升华 1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．(3)结合相应函数的图象直观判断． 2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3．数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为________．(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________． 答案 (1)25(2)0解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.5．数列中的新定义问题典例 (1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5＝__________.(用式子表示)(2)对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是____________．思维点拨 (1)观察图形，易得a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)可利用累加法求解．(2)由“减差数列”的定义，可得关于b n 的不等式，把b n 的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解．解析 (1)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5，所以a 2 014＝(a 2 014－a 2 013)＋(a 2 013－a 2 012)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2 016＋2 015＋…＋4＋5 ＝(2 016＋4)×2 0132＋5＝1 010×2 013＋5，所以a 2 014－5＝1 010×2 013.(2)由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22＜b n ＋1(n ≥3)， 即t －tn －12n ＋t －t (n ＋2)－12n ＋2＜2t －t (n ＋1)－12n ，即tn －12n ＋t (n ＋2)－12n ＋2＞t (n ＋1)－12n ，化简得t (n －2)＞1. 当n ≥3时，若t (n －2)＞1恒成立，则t ＞1n －2恒成立，又当n ≥3时，1n －2的最大值为1，则t 的取值范围是(1，＋∞)．答案 (1)1 010×2 013 (2)(1，＋∞)温馨提醒 解决数列的新定义问题要做到：(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．[方法与技巧]1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2. 3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式．4．数列的性质可利用函数思想进行研究．[失误与防范]1．数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )定义域不同，其单调性也有区别：y ＝f (x )是增函数是a n ＝f (n )是递增数列的充分不必要条件．2．数列的通项公式可能不存在，也可能有多个．3．由a n ＝S n －S n －1求得的a n 是从n ＝2开始的，要对n ＝1时的情况进行验证．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是________． 答案 －2021解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝__________.答案 n 2(n －1)2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2. 3．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝________. 答案 30解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30. 4．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为________．答案 7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0，∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的______________条件．答案 充分不必要解析 若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜32不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件．6．(2015·大连双基测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝________. 答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍去)．所以从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1， a 3＝42a 2， ……a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2. 显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n n ＝2，则a n n的最小值为________． 答案 10.5解析 由题意可知a n ＋1＝a n ＋2n ，由迭代法可得a n ＝a 1＋2[1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)]＝n 2－n＋33，从而a n n ＝n ＋33n －1.当n ＝6时，a n n取得最小值10.5. 12．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________. 答案 72解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 13．定义：称n P 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为____________． 答案 a n ＝4n －3解析 ∵n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n n ＝2n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3；a 1＝1也适合此等式，∴a n ＝4n －3.14．若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________. 答案 4解析 由题意得⎩⎨⎧ k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1，k (k ＋4)(23)k ≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，由k ∈N *可得k ＝4. 15．(2015·开封模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。
高中数学选择性必修二 专题4 1 数列的概念与简单表示法(含答案)同步培优专练
专题4.1 数列的概念与简单表示法知识储备知识点一数列及其有关概念思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？【答案】不是.顺序不一样.思考2根据你对于数列的定义的理解，看看能不能回答下面的问题：(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项.(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}.思考3数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别在哪儿？【答案】数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.知识点二通项公式思考1数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？【答案】100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项a n＝n，从而第100项应为100.思考2上例中的a n＝n当序号n取不同的值，就可得到不同的项，所以可以把a n＝n当作数列1,2,3,4，…的项的通用公式，这个公式就叫通项公式.你能把通项公式推广到一般数列吗？【答案】如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.思考3数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？【答案】如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集.知识点三数列的分类(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按项的增减趋势分类，从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列. 知识点四 递推公式思考1 (1)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1)，则a 4＝________. (2) 已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，且有a n ＋2＝a n ＋a n ＋1(n ∈N *)，则a 4＝________. 【答案】(1)53 (2)3思考2 上例是一种给出数列的方法，叫递推公式.你能概括一下什么叫递推公式吗？【答案】如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.思考3 我们已经知道通项公式和递推公式都能给出数列.那么通项公式和递推公式有什么不同？ 【答案】通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项. 知识点五 数列的表示方法思考1 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ 【答案】(1)解析法、列表法、图象法.数列可以用通项公式、图象、列表等方法来表示. (2)对数列2,4,6,8,10,12，…可用以下几种方法表示： ①通项公式法：a n ＝2n .②递推公式法：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.③列表法：④图象法：思考2 归纳一下数列的表示方法.【答案】数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是递增数列 D ．数列()11nn ⎧⎫-⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是摆动数列【答案】D【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列． 2．已知数列12，23，34，…，1n n +，则0.96是该数列的( ) A ．第20项 B ．第22项 C ．第24项 D ．第26项【答案】C 【解析】由1nn +＝0.96，解得n ＝24. 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【答案】C【解析】观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6D ．231log 3log 325+【答案】B【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5. 5．已知递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是() A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]【答案】C【解析】a n＋1－a n＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n，则此数列最大项是()A．第4项B．第6项C．第5项D．第5项和第6项【答案】D【解析】a n＝－n2＋11n＝－2112n⎛⎫-⎪⎝⎭＋1214，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，a n取最大值．故选D.7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，a n.则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝()A．n2B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)【答案】C【解析】由题意得a k＝nk.k≥2时，a k－1a k＝2211(1)1nnk k k k⎛⎫=-⎪--⎝⎭.∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝n21111112231n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝n211n⎛⎫-⎪⎝⎭＝n(n－1)．故选C.8．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{a n}，数列{b n}满足b1＝2，当n≥2时，b n＝a b n－1，则b6的值是()A．9 B．17C．33 D．65【答案】C【解析】∵b n＝a b n－1，∴b2＝a b1＝a2＝3，b3＝a b2＝a3＝5，b4＝a b3＝a5＝9，b5＝a b4＝a9＝17，b6＝a b5＝a17＝33.二、多选题9．(多选)一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是( ) A ．a n ＝nB ．a n ＝n 3－6n 2－12n －6C ．a n ＝12n 2－12n ＋1 D ．a n ＝26611n n -+ 【答案】AD【解析】对于A ，若a n ＝n ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于B ，若a n ＝n 3－6n 2－12n ＋6，则a 1＝－11，不符合题意；对于C ，若a n ＝12n 2－12n ＋1，当n ＝3时，a 3＝4≠3，不符合题意；对于D ，若a n ＝26611n n -+，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意．故选A 、D. 10．(多选)数列{F n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A ．S 5＝F 7－1 B ．S 5＝S 6－1 C ．S 2 019＝F 2 021－1 D ．S 2 019＝F 2 020－1【答案】AC【解析】根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n ≥3)，所以S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1，S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1，S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…，所以S 2 019＝F 2 021－1.故选A 、C.11．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin 2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+【答案】BD【解析】因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为{}n a ，其前n 项和为*,n S n ∈N ，则（ ）A ．20220a =B ．357202111115051011a a a a ++++=C ．232156S =D ．246489800a a a a ++++=【答案】BCD【解析】根据数列前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,，则奇数项为：2112-，2312-，2512-，2712-，2912-，，偶数项为：222，242，262，282，2102，，所以通项公式为221,(2,(2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数）为偶数），对于A ， 22020020==2a ，故A 错误；对于B ，35720211111a a a a ++++22222222=++++31517120211----1111224466820202022⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111*********20202505100222202211⎛⎫=⨯-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，()()2313232422S a a a a a a =++++++222212323122+++-=，由()()22221211236n n n n +++++=，所以()()2323231461112215626S ++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，24648a a a a ++++()222221242922421224=⨯+⨯+⨯++⨯=++()()242412241298006+⨯+=⋅=，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 【答案】9【解析】由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9.14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1nn +，则a n ·a n ＋1·a n ＋2＝________. 【答案】3n n + 【解析】a n ·a n ＋1·a n ＋2＝1n n +·12n n ++·23n n ++＝3n n +. 15.数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________． 【答案】-1【解析】∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1.16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.【解析】因为OA 1＝1，OA 2，OA 3…，OA n ，…，所以a 1＝1，a 2，a 3…，a n . 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前多少项和最大．【解析】（1）当1n =时，11321132a S ==-+=；当2n ≥时，()()()22132132111n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-+----+⎣⎦332n =-；所以：32,1332,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）因为()22321321n S n n n n =-+=--+()216257n =--+；所以前16项的和最大．18．在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.【解析】（1）令22107,293107,291100n a n n n n =--++=---=，解得10n =或112n =-（舍去）.所以10107a =- （2）229105293248n a n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 由于*n ∈N ，所以最大项为213a = 19．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n +1 +2a n a n +1- a n =0. （1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式；（3）实数199是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 【答案】(1)见解析（2）121n a n =-（3）50【解析】（1）由已知可得11a =，213a =，315a =，417a =，519a =.（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为121n a n =-. （3）令119921n =-，解得50n =，故199是这个数列的第50项.20．已知数列2299291n n n ⎧⎫-+⎨⎬-⎩⎭. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．【解析】(1)设a n ＝f (n )＝2299291n n n -+-＝(31)(32)(31)(31)n n n n ---+＝3231n n -+.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)令3231n n -+＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3231n n -+＝1－331n +， 且n ∈N *，∴0<1－331n +<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3231n n -+<23， ∴3196,9662,n n n n +<-⎧⎨-<+⎩∴7,68,3n n ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间1233⎛⎫⎪⎝⎭，内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 21．已知函数f (x )＝x －1x.数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式． 【解析】∵f (x )＝x －1x，∴f (a n )＝a n －1n a ，∵f (a n )＝－2n .∴a n －1na ＝－2n ，即2n a ＋2na n －1＝0. ∴a n ＝－n.∵a n >0，∴a n－n .22．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．【解析】存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝2222＝1，a 3＝2332＝98，a 4＝2442＝1，a 5＝2552＝2532，….∵当n≥3时，221122(1)2(1)22nnnna n na n n++++=⨯=＝1211n⎛⎫+⎪⎝⎭2<1，∴a n＋1<a n，即n≥3时，{a n}是递减数列．又∵a1<a3，a2<a3，∴a n≤a3＝9 8 .∴当n＝3时，a3＝98为这个数列的最大项．。
2.1数列的概念与简单表示法同步练习(含详解)
2.1 数列的概念与简单表示法一、选择题1．（3分）下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，﹣1，﹣2与数列﹣2，﹣1，0，1是相同的数列C．数列{}的第k项为1+D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}2．（3分）已知数列{n2+n}，那么（）A．0是数列中的一项B．21是数列中的一项C．702是数列中的一项D．以上答案都不对3．（3分）数列11，13，15，…，2n+1的项数是（）A．n B．n﹣3 C．n﹣4 D．n﹣5 4．（3分）若，则a n与a n+1的大小关系是（）A．a n＞a n+1B．a n＜a n+1C．a n=a n+1D．不能确定5．（3分）数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3，且a1=0，则此数列的第5项是（）A．15 B．255 C．16 D．36 6．（3分）已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（）A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项7．（3分）数列1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．8．（3分）在数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，且，则a5=（）A．0B．1C．﹣1 D．2 9．（3分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11 B．12 C．13 D．14 10．（3分）在数列{a n}中，，则a5=（）A．B．C．D．11．（3分）600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第（）项．A．20 B．24 C．25 D．30 12．（3分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式是（）A．3(1)()21nnn nan-+=+B．(1)(3)21nnn nan-+=+C．2(1)[(1)1]21nnnan-+-=-D．(1)(2)21nnn nan-+=+13．（3分）一个数列{a n}，其中a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，那么这个数列的第五项是（）A．6B．﹣3 C．﹣12 D．﹣6 14．（3分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣n+1 B．a n=C．a n=D．a n=15．（3分）已知数列，则是这个数列的（）A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项16．（3分）下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．①②③④17．（3分）数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为_________．18．（3分）数列{a n}中，，那么150是其第_________项．19．（3分）已知，则a5=_________．20．（3分）在数列{a n}中，a1=a，以后各项由递推公式给出，写出这个数列的前4项：_________、_________、_________、_________，并由此写出一个通项公式a n=_________．21．（3分）已知数列{a n}的通项公式，它的前8项依次为_________、_________、_________、_________、_________、_________、_________、_________．22．（3分）已知f（1）=2，f（n+1）=（n∈N*），则f（4）=_________．23．数列{a n}中，已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），且a1+a4=3a2，求a100．24．已知数列{a n}的通项公式a n=5+3n，求：（1）a7等于多少；（2）81是否为数列{a n}中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由．2.1 数列的概念与简单表示法一、选择题1．（3分）下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，﹣1，﹣2与数列﹣2，﹣1，0，1是相同的数列C．数列{}的第k项为1+D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}考点：数列的概念及简单表示法．分析：本题考查的知识点是数列的概念胶简单表示法，根据数列的定义及表示方法对四个答案逐一进行分析即可得到答案．解答：解：由数列的定义可知A中{1，3，5，7}表示的是一个集合，而非数列，故A错误；B中，数列中各项之间是有序的，故数列1，0，﹣1，﹣2与数列﹣2，﹣1，0，1是不同的数列，故B错误；C中，数列{}的第k项为=1+，故C正确；数列0，2，4，6，的通项公式为a n=2n﹣2，故D错．故选C．点评：在理解和掌握数列的概念及表示法的时候，要用类比的思想，注意区分数列与集合的关系，及数列的函数的关系．2．（3分）已知数列{n2+n}，那么（）A．0是数列中的一项B．21是数列中的一项C．702是数列中的一项D．以上答案都不对考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+n，可以把a n=0，21，702代入进行求解，注意n是正整数．对四个选项进行一一判断．解答：解：因为数列{a n}的通项公式为a n=n2+n，（n∈N*）∴当a n=0时，n2+n=0⇒n∈∅；当a n=21时，n2+n=21⇒n∈∅；当a n=702时，n2+n=702⇒n∈∅；以上答案都不对．故选D．点评：此题主要考查数列简单表示法，数列的概念及其应用，是一道基础题．3．（3分）数列11，13，15，…，2n+1的项数是（）A．n B．n﹣3 C．n﹣4 D．n﹣5考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列11，13，15，…，2n+1可知：该数列是一个首项为11，公差为2的等差数列，即可得到通项公式a n=11+（n﹣1）×2=2n+9．令2k+9=2n+1，解出即可．解答：解：由数列11，13，15，…，2n+1可知：该数列是一个首项为11，公差为2的等差数列，∴通项公式a n=11+（n﹣1）×2=2n+9．令2k+9=2n+1，解得k=n﹣4，（n≥5）．故选C．点评：数列等差数列的通项公式是解题的关键．4．（3分）若，则a n与a n+1的大小关系是（）A．a n＞a n+1B．a n＜a n+1C．a n=a n+1D．不能确定考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：化简数列{a n}的通项公式为a n=1﹣，显然当n增大时，a n的值增大，故数列{a n}是递增数列，由此得到结论．解答：解：∵数列{a n}的通项公式是a n===1﹣，（n∈N*），显然当n增大时，a n的值增大，故数列{a n}是递增数列，故有a n＜a n+1，故选B．点评：本题主要考查数列的函数特性，化简数列{a n}的通项公式为a n=1﹣，是解题的关键，属于基础题．5．（3分）数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3，且a1=0，则此数列的第5项是（）A．15 B．255 C．16 D．36考点：数列递推式．专题：计算题．分析：分别令n=2，3，4，5代入递推公式计算即可．解答：解：a2=4a1+3=3a3=4a2+3=4×3+3=15a4=4a3+3=4×15+3=63a5=4a4+3=4×63+3=255故选B．点评：本题考查数列递推公式简单直接应用，属于简单题．6．（3分）已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（）A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：先化简3=，进而利用通项即可求出答案．解答：解：∵3=，令45=2n﹣1，解得n=23．∴3是此数列的第23项．故选B．点评：理解数列的通项公式得意义是解题的关键．7．（3分）数列1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：探究型．分析：由数列的项的变化规律可以看出，1，0交错出现，由此规律去对四个选项进行验证即可得出正确答案解答：解：A选项不正确，数列首项不是1；B选项正确，验证知恰好能表示这个数列；C选项不正确，其对应的首项是﹣1；D选项不正确，其对应的首项为0，不合题意．故选B点评：本题考查数列的概念及数列表示法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项变化的规律，利用此规律去验证四个选项．8．（3分）在数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，且，则a5=（）A．0B．1C．﹣1 D．2考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，令n=6得，把a7代入即可解得a6，依此类推解得a5．解答：解：∵数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，∴令n=6得，∵，∴，解得a6=．令n=5，得，∴，解得a5=1．故选B．点评：正确理解数列的递推公式和递推关系是解题的关键．9．（3分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11 B．12 C．13 D．14考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解解答：解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{a n}∴a n=a n﹣1+a n﹣2（n＞3）∴x=a7=a5+a6=5+8=13故选C点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，是斐波那契数列，属于基础题．10．（3分）在数列{a n}中，，则a5=（）A．B．C．D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：利用递推关系式依次直接求出数列的第五项即可．解答：解：在数列{a n}中，，所以a2=，a3=，，．故选A．点评：本题是基础题，考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．11．（3分）600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第（）项．A．20 B．24 C．25 D．30考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…通过观察可得通项公式a n=n（n+1），令n（n+1）=600，解出即可．解答：解：由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…可得通项公式a n=n（n+1），令n（n+1）=600，∵24×25=600，∴n=24．故选B．点评：由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…通过观察可得通项公式a n=n（n+1）是解题的关键．12．（3分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式是（）A．3(1)()21nnn nan-+=+B．(1)(3)21nnn nan-+=+C．2(1)[(1)1]21nnnan-+-=-D．(1)(2)21nnn nan-+=+考点：数列递推式．专题：计算题．分析：采用特殊值法来求解．取n=1代入即可．解答：解：因为这是一道选择题，可以采用特殊值法来求解．取n=1代入，发现只有答案D成立，故选D．点评：由于选择题自身的特点是只要答案，不要过程，所以在做能用数代入的题目时，可以直接代入求解，把过程简单化．13．（3分）一个数列{a n}，其中a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，那么这个数列的第五项是（）A．6B．﹣3 C．﹣12 D．﹣6考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：利用递推关系式，分别计算a3=3，a4=﹣3，a5=﹣6即可．解答：解：由题意，a3=6﹣3=3，a4=3﹣6=﹣3，a5=﹣3﹣3=﹣6，故选D．点评：本题主要考查递推关系式的运用，属于基础题．14．（3分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣n+1 B．a n=C．a n=D．a n=考点：数列递推式．专题：规律型．分析：由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；得出数列第n项，即通项公式．解答：解析：从图中可观察星星的构成规律，n=1时，有1个；n=2时，有3个；n=3时，有6个；n=4时，有10个；∴a n=1+2+3+4+…+n=．答案：C点评：这是一个简单的自然数求和公式，由观察得出猜想，一般不需要证明．考查学生的观察猜想能力．15．（3分）已知数列，则是这个数列的（）A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项考点：等差数列与等比数列的综合；数列的概念及简单表示法．专题：规律型．分析：本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7解答：解：数列，各项的平方为：2，5，8，11，…∵5﹣2=11﹣8=3，即a n2﹣a n﹣12=3，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．点评：本题通过观察并利用构造法，构造了新数列{a n2}为等差数列，从而得解，构造法在数列中经常出现，我们要熟练掌握．16．（3分）下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．①②③④考点：数列的概念及简单表示法．分析：①因为a n=f（n）（n∈N*），所以数列可以看成一个定义在N*上的函数；②数列的项数可以是有限的，例如1，2，3这3个数组成一个数列；③由①可知：数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式不是唯一的，例如数列1，0，1，0，…，可用或，（n∈N*），两种形式表示．解答：解：①∵a n=f（n）（n∈N*），∴数列可以看成一个定义在N*上的函数，故正确；②数列的项数可以是有限的，如1，2，3这3个数组成一个数列，故不正确；③∵a n=f（n）（n∈N*）或（n∈A⊆N*），∴数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点，正确；④数列的通项公式不是唯一的，如数列1，0，1，0，…，可用或，（n∈N*），故不正确．综上可知：只有①③正确．故选C．点评：正确理解数列的定义、数列与函数的关系是解题的关键．二、填空题17．（3分）数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为．考点：归纳推理；数列的概念及简单表示法．专题：探究型．分析：观察发现7=，77=，777=，…从而归纳出通式得到答案解答：解：由于7=，77=，777=，7777=，77777=…故数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为故答案为点评：本题考查归纳推理，解答的关键是对所给的项进行变形，从而归纳出通式，归纳推理是发现规律的一种常用的推理方式，要好好掌握18．（3分）数列{a n}中，，那么150是其第16项．考点：函数的概念及其构成要素．专题：函数的性质及应用．分析：由数列的通项公式，令其等于150，可解n的值，即为第几项．解答：解：由数列的特点可知：通项公式，令n2﹣7n+6=150，可解得n=16或n=﹣9（舍去），故150是第16项，故答案为：16．点评：本题考查等差数列的通项公式，正确求解数列的通项公式是解决问题的关键，属基础题．19．（3分）已知，则a5=．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据数列的递推依次求得a2，a3，a4，则答案可求．解答：解：依题意可知a2=1+=2，a3=1+=，a4=1+=，a5=1+=故答案为点评：本题主要考查了数列的递推式．属基础题．20．（3分）在数列{a n}中，a1=a，以后各项由递推公式给出，写出这个数列的前4项：a、、、，并由此写出一个通项公式a n=．考点：函数的概念及其构成要素．专题：规律型；函数的性质及应用．分析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出a n与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式．解答：解：∵a1=a，a n+1=，∴a2=，a3===，a4===．观察规律：a n=．故答案为：a，，，；．点评：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视．21．（3分）已知数列{a n}的通项公式，它的前8项依次为1、3、、7、、11、、15．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：由题意，根据数列的通项公式依次对n赋值即可解出它的前八项解答：解：因为数列{a n}的通项公式，所以它的前8项依次为1、3、、7、、11、、15故答案为1、3、、7、、11、、15点评：本题考查数列的简单表示，对n赋值，代入相应的解析式进行求值是解答的关键22．（3分）已知f（1）=2，f（n+1）=（n∈N*），则f（4）=．考点：函数恒成立问题；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题设可看出，直接根据所给的恒成立的等式依次求出n=2，3，4时的函数值，即可得到正确答案解答：解：因为f（1）=2，f（n+1）=（n∈N*）恒成立，所以f（2）=，f（3）=，f（4）==故答案为点评：本题考查函数恒成立问题，列举法依次求出出n=2，3，4时的函数值是解答此类题的主要方式三、解答题23．数列{a n}中，已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），且a1+a4=3a2，求a100．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），可得a1，a2，a3，a4用a表示，再利用a1+a4=3a2，即可解得a，从而得出a100．解答：解：由已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），可得a1=a﹣1，a2=a+2，a3=a﹣3，a4=a+4．∵a1+a4=3a2，∴a﹣1+a+4=3（a+2），解得a=﹣3．∴．∴．点评：利用已知关系式分别取n=1，2，3，4求出a是解题的关键．24．已知数列{a n}的通项公式a n=5+3n，求：（1）a7等于多少；（2）81是否为数列{a n}中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）直接将n=7代入即可；（2）利用通项公式解出n是否是正整数即可得到答案．解答：解：（1）∵数列{a n}的通项公式a n=5+3n∴a7=5+3×7=26（2）假设81是数列{a n}中的项，则81=5+3n∴n=∵n∈N*所以81不是数列{a n}中的项．点评：此题考查了等差数列的性质，属于基础性的题目．。
高中数学(人教版必修5)配套练习：2.1 数列的概念与简单表示法
第二章 2.1一、选择题1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①同一数列的任意两项均不可能相同； ②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列； ③数列中的每一项都与它的序号有关． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．③2．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n })上的函数． ②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③数列的项数是无限的． ④数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③ C ．②③D ．①②③④ 3．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( ) A ．18 B ．21 C ．25D ．304．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝(－1)n (1－2n ) C ．a n ＝(－1)n (2n －1)D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)6．已知数列2，5，22，11，…，则25可能是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第10项 D ．第11项二、填空题7.23，415，635，863，1099，…的一个通项公式是________． 8．已知数列3，7，11，15，19，…，那么311是这个数列的第________项．三、解答题9．写出下列数列的一个通项公式． (1)－11＋1，14＋1，－19＋1，116＋1，…； (2)2,3,5,9,17,33，…； (3)12，25，310，417，526，…； (4)1，43，2，165，…；(5)－13，18，－115，124，…；(6)2,6,12,20,30，….10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，求a 5.一、选择题1．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1000＝( ) A ．1 B ．1999 C ．1000D ．－12．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x )的图象是( )3．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝1－cos n πC ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)4．函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋3 (n ∈N *)，则f (n )是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定二、填空题5．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n，则a 6＝__________.6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为奇数)2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3＝__________.三、解答题7．已知数列{a n }中，a n ＝nn ＋1，判断数列{a n }的增减性． 8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)求数列{a n }中有多少项是负数？(2)当n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．。
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实用文档 《数列的概念与简单表示法》同步训练题
一、选择题
1、数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式是 （ ）
A. ()2111+--=n n a
B. ()2111
+-+=n n a C. ()211--=n n a D. ()211n
n a ---=
2、已知数列() ,1
1,,91,41,12n n ---，它的第5项的值为 （ ）
A. 51
B. 51-
C. 251
D. 251
-
3、已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
D. 摆动数列
4、已知数列 ,12,,7,5,3,1-n ，则53是它的 （ ）
A. 第22项
B. 第23项
C. 第24项
D. 第28项
5、数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （
）
A. 第4项
B. 第5项
C. 第6项
D. 第7项
6、已知数列的通项公式为1582+-=n n a n ，则3 （ ）
A. 不是数列{}n a 中的项
B. 只是数列{}n a 中的第2项
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C. 只是数列{}n a 中的第6项
D. 是数列{}n a 中的第2项或第6项
7、数列 ,28,21,,10,6,3,1x 中，由给出的数之间的关系可知x 的值是（ ）
A. 12
B. 15
C. 17
D. 18
8、下列说法正确的是 （ ）
A. 数列1，3，5，7可表示为{
}7,5,3,1 B. 数列1，0，2,1--与数列1,0,1,2--是相同的数列
C. 数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1的第k 项是k 11+ D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集*N 的函数
二、填空题
9、用适当的数填空：
①2，1， ，41，81， ，32
1 ②,25,16,9,4,1--- ，49-
③1，9，25， ，81
④1，0，
21，0，31，0， ，0，5
1，0
三、解答题
实用文档
10、数列{}n a 中，已知()
*2,31N n n n a n ∈-+=。
（1）写出110,+n a a ； （2）3
279是否是数列中的项？如果是，是第几项？
11、写出以下各数列的通项公式： ① ,81,41,21,1--
② ,1,0,1,0,1,0 ③ ,544,433,322,211
④ ,6,7,8,9,10
⑤ ,31,17,7,5,1 ⑥
,6463,3635,1615,43 ⑦ ,30
1,201,121,61,21 ⑧ ,9999,999,99,9
以下是答案
一、选择题
1、B
实用文档
2、D
3、A
4、B
5、B
6、D
7、B
8、.C
二、填空题
9、①21
16
1
②36
③49 ④41
三、解答题 10、
（1）3109
10=a 31321++=+n n a n
实用文档 （2）是，第15项 11、 ①121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n a
②()2
11n n a -+= ③1
22++=n n n a n ④n a n -=11 ⑤()n n n a 12-+= ⑥2411n a n -= ⑦()11+=n n a n ⑧110-=n n a。