湖北省襄阳市四校届高三上学期期中联考数学(文)试题
湖北省襄阳市第四中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题
ba
四、双空题
16．已知集合U 1, 2,3,L , n n N*, n 2 ，对于集合U 的两个非空子集 A, B ，若
A B ，则称 A, B 为集合U 的一组“互斥子集”.记集合U 的所有“互斥子集”的组数 为 f n（当且仅当 A B 时， A, B 与 B, A 为同一组“互斥子集”），则 f 4 ， f n .
名学生参加了兴趣班，有 17 人参加音乐班，有 20 人参加体育班，有 12 人参加美术班，
同时参加音乐班与体育班的有 6 人，同时参加音乐班与美术班的有 4 人.已知没有人同
时参加三个班，则仅参加一个兴趣班的人数为（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
4．集合 A {1, 2, 4}，B x x2 A ，将集合 A，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中
2
C．二次函数 y x2 x 6 的零点为 2,0 和 3, 0
D．“ a2 b2 ”是“ a b ”的必要不充分条件
11．已知正实数 x，y 满足 3x y xy 13 0 ，且 2t2 t 4„ 2y xy 恒成立，则 t 的取值
可能是（ ）
A． 3 2
B． 1
C．1
D． 3 2
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为
12000
500
a
1152 x
a
元
(a
0)
，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成
功，试求 a 的取值范围．
湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题, 每小题５分, 共５0分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的。
１．已知A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5},则集合A ∪B 的元素个数是 （ ）A ．8B ．7C ．6D ．5２．下列函数是偶函数的是 （ ）A. x y =B. 322-=x yC. 21-=xyD. ]1,0[,2∈=x x y３．函数)23(log 21-=x y 的定义域是 （ ）A ．),1[+∞B ．),32(+∞C ．]1,32[D ．]1,32(４．若函数()f x 的图象是连续不断的，且(0)0>f ，(1)0>f ，(2)0<f ，则加上下列哪条件可确定()f x 有唯一零点 （ ） A. (3)0<f B. 函数在定义域内为增函数 C. (1)0->f D. 函数在定义域内为减函数５．若01x <<，则2x，12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0.2x之间的大小关系为 （ ） A. 2x<()0.2x<12x⎛⎫⎪⎝⎭B. 2x<12x⎛⎫⎪⎝⎭<()0.2xC. 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭<()0.2x < 2xD. ()0.2x< 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭< 2x6．函数2()log 10f x x x =+-的零点所在区间为 （ ） A ．（0，7）B ．（6，8）C ．（8，10）D ．（9, +∞）7．函数y=ax 2+bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（ ）A ．b>0且a<0B ．b=2a<0C ．b=2a>0D ．a ，b 的符号不定8．已知函数y=)32(log 221++x x , 则函数的最值情况为 （ ）A.有最小值-1,无最大值；B. 无最小值,有最大值2 ；C.有最小值2,无最大值 ；D. 无最小值,有最大值-1. 9．已知函数)0()(>+=a xax x f 在],0(a 上是减函数，在),[∞+a 上是增函数，若函数xx x f 25)(+=在)0(),[>∞+m m 上的最小值为10，则m 的取值范围是（ ） A ．]5,0(B ．)5,0(C ．),5[∞+D ．),5(∞+10．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月)的关系:ty a =,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等;⑤ 若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1t 、2t 、3t ，则123t t t +=.其中正确的是 ( ) A. ①② B.①②③④ C.②③④⑤ D. ①②⑤二、填空题：本大题５小题 每小题５分, 共2５分。
2024-2025学年湖北省襄阳市襄阳五中高三(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年湖北省襄阳五中高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数2+i1−3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知实数a >1，b >0，满足a +b =3，则2a−1+1b 的最小值为( )A. 3+224B. 3+222C. 3+422D. 3+4243.中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃.若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中O 1O 3=20cm ，O 1O 2=2cm ，AB =16cm ，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是(参考数据：π≈3，铜的密度为8.96g/cm 3)( )A. 1kgB. 2kgC. 3kgD. 0.5kg4.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=2x −1，则f(log 212)=( )A. −13B. −14C. 13D. 125.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，∠DAC =2π3，AD =4，AB =2BD ，且△ADC 的面积为43，则sin∠ABD =( )A.15− 38B.15+ 38C.5− 34D.5+ 346.已知随机事件A ，B 满足P(A)=13，P(A|B)=34，P(B|A)=716，则P(B)=( )A. 14B. 316C. 916D. 41487.直线l 过双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点A ，斜率为12，与双曲线的渐近线分别相交于M ，N 两点，且3AM =AN ，则E 的离心率为( )A.2B.3C. 2D.58.已知函数f(x)=e x −aln(ax−a)+a(a >0)，若存在x 使得关于x 的不等式f(x)<0成立，则实数a 的取值范围( )A. (0,e 2)B. (0,e e )C. (e 2,+∞)D. (e e ,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知全集{}2U x x =∈≤Z∣，集合{}1A x x =∈≤Z ∣，则U A =ð（）A ．{}1,0,1-B ．{}2,2-C ．{}2,1--D ．{}1,22．已知命题3:1,1p x x x ∀≥≥+，命题2:0,10q x x ∃<->，则（）A ．p 和q 均为真命题B ．p ⌝和q ⌝均为真命题C ．p 和q ⌝均为真命题D ．p ⌝和q 均为真命题3．已知函数()()()1,0,12,0,x x f x f x f x x +≤⎧=⎨-+->⎩则()1f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．24．已知1212,,,a a b b 为非零实数，则“1122::a b a b =”是“关于x 的不等式2110a x b x +>与不等式2220a x b x +>解集相同”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．对于函数()y f x =，若存在0x ，使得()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”，若函数()24,0,1,0x x x f x kx x ⎧+≤=⎨+>⎩的图象存在“隐对称点”，则实数k 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．[]2,6C ．[)6,+∞D ．][(),26,∞∞-⋃+6．函数()()223,2,21,2,ax x f x x a x a x +≤⎧=⎨+-+>⎩若对任意()1212,x x x x ∈≠R ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(],3-∞-C ．[)1,+∞D ．][(),31,-∞-⋃+∞7．已知正实数,a b 满足9111a b b +=++，则22311a b m m +>-+恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．{14}mm -<<∣B ．{1mm <-∣或4}m >C ．{41}mm -<<-∣D ．{4mm <-∣或1}m >-8．设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于,τ∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ；则称τ是集合X 上的一个拓扑.已知集合{}0,1,2X =，对于下面给出的四个集合τ：①{}{}{}{},0,2,0,1,2τ=∅；②{}{}{}{}{},0,1,0,1,0,1,2;τ=∅③{}{}{}{,0,1,0,2,1,2}τ=∅；④{}{}{}{}{},2,0,2,1,2,0,1,2τ=∅其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、多选题9．下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx -+>对x ∀∈R 恒成立”的必要不充分条件的有（）A ．04m ≤<B ．04m <<C ．04m ≤≤D ．16m -<<10．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合()(){}13,0,,1,103A B x ax x a ⎧⎫=-=+-=⎨⎬⎩⎭∣，若A 与B 构成“全食”或“偏食”，则实数a 的取值可以是（）A ．3-B ．13-C ．0D ．111．已知函数()2a f x x x=+在[]2,4上的最大值比最小值大1，则正数a 的值可以是（）A ．2B ．C ．2D ．2三、填空题12．若{}{}21,2,,,1,A x B x A B A ==⋃=，则实数x 的值所组成的集合C 为.13．已知()()14g x f x =+-是定义在R 上的奇函数，若()04f =，则()2f =.14．以{}max ,,a b c 表示数集{},,a b c 中最大的数，{}min ,,a b c 表示数集{},,a b c 中最小的数，则{}{}2max min 27,31,103x x x x +-+-=.四、解答题15．设集合(){}{}22110,,540A xax a x a B x x x =-++=∈=-+=R ∣∣.(1)若A B B = ，求a 的取值；(2)记C A B = ，若集合C 的非空真子集有6个，求实数a 的取值范围.16．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 都有()()2f x f x =-，且当1x ≤时，()24f x x x =+.(1)求()()0,3f f 的值；(2)求函数()f x 的解析式；(3)求不等式()0xf x >的解集.17．如图，在公路AB 的两侧规划两个全等的公园.（90ACB ∠= ）其中AC BC AD BD ､､､为健身步道，ABC ABD ､为绿化带.AC BD ､段造价为每米3万元，AD BC ､段造价为每米4万元，绿化带造价为每平方米2万元，设AC 的长为,x BC 的长为y 米.(1)若健身步道与绿化带的费用一样，则如何使公园面积最少？(2)若公园建设总费用为74万元，则健身步道至少多长？18．已知函数()21mx f x x n-=+是奇函数，且()833f =.(1)求实数,m n 的值；(2)判断()f x 在(),0-∞上的单调性，并用定义证明；(3)当23x >时，解关于x 的不等式()()232f x f x >-.19．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[],m n 上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()[],f x m n ∈，则称[],m n 是该函数的“优美区间”.(1)求证：[]0,4是函数()214f x x =的一个“优美区间”；(2)求证：函数()11g x x=+不存在“优美区间”；(3)已知函数()()()221,0aa x h x a a a x--=∈≠R 有“优美区间”[],m n ，当n m -取得最大值时，求a 的值.。
湖北省襄阳四校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
襄州二中宜城二中枣阳二中枣阳师范2024-2025学年上学期高一期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答卷上填写清楚2.选择题答案用2B 铅笔在答题卷把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 黑色签字笔在每题对应的答题区内做答，答在试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列说法正确的有（ ）A .10以内的质数组成的集合是B .与是同一个集合C ：方程的解集是D .集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形2.命题：p ：，的否定为（ ）A .，B .，C .，D .，3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A .B .C .D .4下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（ ）A .B .C .D .5下列说法正确的是（ ）A .若，则B .若a ，b ，，则C .若，则D .若，，则6.不等式的一个必要不充分条件是（ ）A .B .C .D .7已知，，且恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）{}0,2,3,5,7∅{}02210x x -+={}1,1{},,M a b c =ABC ∆ABC ∆x ∀∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤x ∀∈R 0x x +<()f x []0,1()1f x +[]0,1[]1,0-{}0[]1,2()0,+∞y x =3y x =2y x =3y x =-22ac bc >a b>()0,m ∈+∞b b m a a m +<+a b >11a b <a b >x y >ax by >22530x x --<132x -<<16x -<<102x -<<132x <<0a >0b >211a b+=a b m +≥A .B .C .D .8.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则（ ）A.B .C .D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2025届襄阳市四中高三数学上学期10月考试卷及答案解析
襄阳四中2025届高三上学期10月月考数学试卷命题人：陈国兵 审题人：饶雨一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（ ）A. {}2,0,1,2,4- B. {}2,0,2,4- C. {}0,2,4 D. {}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2. 设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >的充分不必要条件.故选：A3. 已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B.12C. 1或12-D. 1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4. 已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（ ）A. ()ln 10y x -+> B. ln0yx> C. ln 0y x +> D. ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=， 故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）A. 126个 B. 112个 C. 98个 D. 84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6. 若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（ ）A. 78a = B. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C. 754S = D. 24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a+=，即2a +=，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知：|BF 1|+|BF 2|=2a2a =，.2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8. 圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A. [)1,+∞ B. [)2,+∞C. )∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B. 若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C 若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D. 若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，.对于选项B ，由相互独立事件概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10. 已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于点(π,0)对称B. ()f x 的值域为[1,2]-C. 若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61i i ax =∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，的综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得sin x =，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11. 在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（ ）A 对任意三点,,ABC ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B. 已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C. 到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D. 定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹.与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M ab {}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，则y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a=(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b=(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】―2【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13. 已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14. 数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V π3B =，所以1sin 2ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当a c ==时取等号，所以BD .16. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为y x =，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-， 则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mm m-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z =1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n ∴︒==111==1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x y z=，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨==⎪⎩，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，的则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 已知整数4n …，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列{a n }的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列{b n }的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
襄州四校2013-2014学年高三上期中联考数学试卷(文)及答案
湖北省襄阳市襄州一中等四校2013-2014学年高三上学期期中联考理数学试卷第I 卷（选择题）1．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为（ ）A 、3,1x y ==-B 、{(3,1)}-C 、{3,1}-D 、(3,1)- 【答案】B 【解析】 试题分析：由⎩⎨⎧=-=+42y x y x 解得1,3-==y x ，故)}1,3{(-=N M ，选B.考点：1.直线的交点；2.集合的运算2．已知命题:,23xxp x R ∀∈<；命题32:,1q x R x x ∃∈=-，则下列命题中为真命题的是（ ）A 、p q ∧B 、p q ∧⌝C 、p q ⌝∧D 、p q ⌝∧⌝ 【答案】C 【解析】试题分析：由指数函数性质知0<x 时，x x 32>，命题p 为假，由函数3x y =和21x y -=有交点可知命题q 为真，然后由真值表可知选C.考点：1.指数函数的性质；2.函数图像的交点；3.复合命题的真假判断3．在同一坐标系中画出函数x y a log =，x a y =，a x y +=的图象，可能正确的是( )．【答案】D 【解析】试题分析：分10<<a 和1>a 两种情形，易知ABC 均错，选D. 考点：基本初等函数的图像4．函数()x e x f xcos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( )A 、4π B 、0 C 、43π D 、1【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x-=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k 考点：1.利用导数求切线的斜率；2.直线斜率与倾斜角的关系5．若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ=( )A 、35 B 、45 C D 、34【答案】D【解析】试题分析：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ得θθ2sin 2181646312cos -=-=--=，解得43sin =θ，43sin -=θ（舍）.选D. 考点：1.余弦的倍角公式；2.三角函数求值6．对于函数()c bx x a x f ++=sin (其中Z c R b a ∈∈,,)，选取c b a ,,的一组值计算()1f 和()1-f ，所得出的正确结果一定不可能是（ ）A 、4和6B 、2和1C 、2和4D 、1和3【答案】B 【解析】试题分析：由f （1）=asin1+b+c ①，f （-1）=-asin1-b+c ②，①+②得：f （1）+f （-1）=2c∵c ∈Z ，故f （1）+f （-1）是偶数,故选B . 考点：1.方程组的思想；2.整体替换的求值7．奇函数()x f 在()+∞,0上为单调递减函数，且()02=f ，则不等式()()0523≤--xx f x f 的解集为( )A 、(](]2,02,⋃-∞-B 、[][)+∞⋃-,20,2C 、(][)+∞⋃-∞-,22,D 、[)(]2,00,2⋃-【答案】D 【解析】试题分析：∵函数f （x ）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f （2）=0,∴函数f （x ）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负.当x ＞0时，不等式等价于3f （﹣x ）﹣2f （x ）≤0,又奇函数f （x ），所以有f（x ）≥0,所以有0＜x≤2.同理当x ＜0时，可解得﹣2≤x＜0.综上，不等式的解集为[﹣2，0）∪（0，2].故选D.考点：1.函数单调性与奇偶性的综合应用; 2.转化的思想方法的运用8．已知函数()x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有())()1(1x f x x xf +=+，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f 的值是( )A 、0B 、12C 、1D 、52【答案】A 【解析】试题分析：因为())()1(1x f x x xf +=+，故xxx f x f +=+1)()1(.令x=1.5,则3)23(5)25(f f ⨯=, 令x=0.5,则)21(3)23(f f ⨯=,令x=-0.5,则)21()21(--=f f , 又已知函数f(x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，所以0)21()21(=-=f f ,所以0)25(=f ，又令x=-1,f(0)=0，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f =f(0)=0，选A. 考点：1.奇偶函数的性质应用；2.函数值的求法9．已知函数()()()cos 0,2f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ，方程()f x m =有两个不同的实根34,x x .若这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为（ ） A 、23-B 、23C 、21- D 、21 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知：123,22x x ππ==，且x3、x4只能分布在x1、x2的中间或两侧，若x3、x4只能分布在x1、x2的中间，则公差32233d πππ-==，则3457,66x x ππ==，此时可求得5cos6m π==，若x3、x4只能分布在x1、x2的两侧，则公差322d πππ=-=，则345,22x x ππ=-=，不合舍去，故选A.考点：1.等差数列；2.分类讨论的思想方法；3.函数的零点；4.三角函数10．设函数()f x 满足2()2()xe xf x xf x x'+=，2(2)8e f =，则当0x >时，()f x （ ）A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值C 、既无极大值，也无极小值D 、既有极大值，又有极小值 【答案】C 【解析】试题分析：由x 2f ′(x)＋2xf(x)＝e xx ，得f ′(x)＝e x－2x 2f x x3，令g(x)＝e x －2x 2f(x)，x ＞0，则g ′(x)＝e x－2x 2f ′(x)－4xf(x)＝e x－2·e xx ＝x －2exx .令g ′(x)＝0，得x＝2.当x ＞2时，g ′(x)＞0；0＜x ＜2时，g ′(x)＜0，∴g(x)在x ＝2时有最小值g(2)＝e 2－8f(2)＝0，从而当x ＞0时，f ′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)无极大值，也无极小值．选C. 考点：用导数处理函数的单调性与极值第II 卷（非选择题）11．已知函数()()⎩⎨⎧<>=)0(,20,log 2x x x x f x ，则()241-+⎪⎭⎫⎝⎛f f 的值等于_______．【答案】47- 【解析】试题分析：()241-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 47412241log 22-=+-=+=-. 考点：1.分段函数；2.基本初等函数求值12．由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为_______．【答案】316【解析】试题分析：曲线y=，直线y=x-2及y 轴所围成的图形如图所示，故：=.考点：定积分的计算13．在ABC ∆中，三内角C B A ,,满足C B C B A sin sin sin sin sin 222-+<，则角A 的取值范围为 . 【答案】)3,0(π【解析】试题分析：由C B C B A sin sin sin sin sin 222-+<及正弦定理知bc c b a -+<222，故由余弦定理知212cos 222>-+=bc a c b A ，因),0(π∈A 故)3,0(π∈A . 考点：1.正弦定理和余弦定理的应用；2.已知三角函数值求角14．如果对于函数()x f 的定义域内任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()21x f x f ≤且存在两个不相等的自变量21,m m ，使得()()21m f m f =，则称()x f 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()x g 的定义域、值域分别为A ，B ，{}3,2,1=A ，A B ⊆且()x g 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的函数()x g 共有________个． 【答案】9 【解析】试题分析：由题意，若函数g （x ）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种，若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；；{1，2}对1，3对3，有两种；1对1，{2，3}对2；1对1，{2，3}对3，有两种；1对2，{2，3}对3，有一种；若函数是一对一的对应，则1对1，2对2，3对3，共一种；综上，这样的g （x ）共有3+2+2+1+1=9种. 考点：1.函数单调性的性质；2.分类讨论的思想方法 15．下列五个命题中，正确的命题的序号是_____________. ①函数2tanxy =的图象的对称中心是Z k k ∈),0,(π； ②)(x f 在()b a ,上连续，()()0)()(0,,00<=∈b f a f x f b a x 则且； ③函数)32sin(3π+=x y 的图象可由函数x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位得到； ④)(x f 在R 上的导数)1(2)2(,0)()(),(f f x f x f x x f <<-''则且； ⑤函数)2cos 21ln(x y +=的递减区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+4,πππk k ()Z k ∈. 【答案】①④ 【解析】 试题分析：由)(,22Z k k x ∈=π得2tan x y =的图象的对称中心是Z k k ∈),0,(π，①对；当)(x f 在()b a ,上连续但不单调时，②不对；函数)32sin(3π+=x y 的图象可由函数x y 2sin 3=的图象向左平移6π个单位得到，③不对；由④条件知0)()(')')((2<-=xx f x xf x x f ，x x f )(单调递减，故)1(2)2(f f <，④对； ⑤由复合函数的单调性知函数)2cos 21ln(x y +=的递减区间是为x 2cos 的递减区间，且02cos 21>+x ，即：]22,2[],223,234(πππππππk k k k +++()Z k ∈，⑤不对. 考点：1.三角函数的对称中心；2.三角函数的图像变换；3.利用导数处理函数的单调性；4.零点存在性定理；5.复合函数的单调性16．设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =集合B .（1）求A B ；（2）若{}R m m x m x C ∈+<<-=,121,B C ⊆,求实数m的取值范围.【答案】（1）}32,13|{≤<<≤-x x x 或；（2）].1,(-∞【解析】 试题分析：（1）先由定义域得A 、B 集合，再求集合的交集；（2）由集合与集合之间的包含关系，通过端点大小求出参数范围，此题注意集合C 为空集的考虑.试题解析：（1）依题意，可得}2,1|{}02|{2>-<=>--=x x x x x x A 或，}33|{}0||3|{≤≤-=≥-=x x x x B}32,13|{≤<<≤-=∴x x x B A 或 .当121+≥-m m 即2-≤m 时，∅=C ,满足B C ⊆.当∅≠C 时，要B C ⊆，则需满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-31231121m m m m ，由此解得12≤<-m .综上，可知].1,(]1,2(]2,(-∞=---∞∈ m考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的包含关系 17．已知函数()sin()2cos()cos 22f x x x x x ππ=⋅--+⋅+.（1）求)(x f 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若4)(=A f ，1=b ，ABC∆的面积为23，求a 的值. 【答案】（1）π； （2）3 【解析】试题分析：（1）由已知条件由三角恒等变换化简得3)62sin(2)(++=πx x f ，可得最小正周期为π.（2）先由4)(=A f 得3π=A ，再由ABC ∆的面积为23得到2=c ，最后可由余弦定理可得3=a .试题解析：（1）2()22cos 2f x x x =++2cos 232sin(2)36x x x π=++=++ 3分.22ππ==∴T 5分（2）由4)(=A f ，43)62sin(2)(=++=∴πA A f ，.21)62sin(=+∴πA又ABC A ∆为 的内角，πππ613626<+<∴A ， ππ6562=+∴A ，.3π=∴A 8分 23=∆ABC S ，1=b ，23sin 21=∴A bc ，2=∴c 10分 ∴32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A b c b a ，.3=∴a 12分 考点：1.三角恒等变换；2.正、余弦定理的应用；3.解三角形()2()1x xa f x a a a -=--0,1a a >≠ ()x f()x f y =()1,1-()()0112<-+-m f m f m(),2x ∈-∞()4f x -a【答案】（1）)(x f 是在R 上的奇函数，且在R 上单调递增.（2）)2,1(.（3）]32,1()1,32[+-【解析】试题分析：（1）先由解析式分析定义域为R ，再根据奇偶函数的定义由)()(x f x f -=-可知是奇函数；（2）函数()x f y =的定义域为()1,1-,结合（1）的奇偶性和单调性，可得关于m 的不等式组，从而求出)2,1(∈m .（3）由)(x f 在)2,(-∞上单调递增，分析要4)(-x f 恒负，只要04)2(≤-f ，即0414)(12222≤-+=----a a a a a a ，从而求出a 的取值范围.试题解析：（1）)(x f 是在R 上的奇函数，且在R 上单调递增.由)(x f 的奇偶性可得)1()1(2-<-m f m f ，由)(x f 的定义域及单调性可得11112<-<-<-m m ，解不等式组可得21<<m ，即)2,1(∈m .由于)(x f 在)2,(-∞上单调递增，要4)(-x f 恒负，只要04)2(≤-f ，即414)(12222≤-+=----a a a a a a ，又>a 且1≠a ，可得]32,1()1,32[+-∈ a .考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性19．设函数()()8613223+++-=ax x a x x f ，其中a R ∈.（1)若()f x 在3=x 处取得极值，求常数a 的值； （2）设集合(){}0<'=x f x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=034x x x B ，若B A ⋂元素中有唯一的整数，求a 的取值范围.【答案】（1)3=a ； （2）)0,1[-]5,2( 【解析】试题分析：（1）由()f x 在3=x 处取得极值，可得0)13)(3(6)3('=--=a f 从而解得a ，此问注意结合极值定义检验所求a 值是否为极值点；（2）分1>a ，1<a ，和1=a 三种情况得出集合A ，然后由B A ⋂元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出a 的取值范围.试题解析：（1）)1)((66)1(66)('2--=++-=x a x a x a x x f ，又()f x 在3=x 处取得极值，故0)13)(3(6)3('=--=a f ，解得3=a .经检验知当3=a 时，3=x 为)(x f 的极值点，故3=a . （2）),4()3,(+∞-∞= B ,当1>a 时，),1(a A =，则该整数为2，结合数轴可知]5,2(∈a ， 当1<a 时，)1,(a A =，则该整数为0，结合数轴可知)0,1[-∈a 当1=a 时，∅=A ,不合条件. 综上述，)0,1[-∈a ]5,2( .考点：1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析20．如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数)2,0,0)(sin(πφωφω<>>+=A x A y ，[]8,4∈x 时的图象，图象的最高点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛338,5B ，OC DF ⊥，垂足为F .(1)求函数)sin(φω+=x A y 的解析式；(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问：点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？ 【答案】（1）)36sin(338ππ-=x y ；（2）点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛334,34时S 最大. 【解析】试题分析：（1）利用图像分析得出ω,A ，代入点后求出φ，从而得出解析式；（2）先构建函数模型t t S ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=442，[]4,0∈t ，然后利用函数的导数求出最值和点P 的位置.试题解析：(1)对于函数)sin(φω+=x A y ，由图象知：()658422,338πππω=-===T A .将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛338,5B 代入到)sin(φω+=x A y 中， 得)(2265Z k k ∈+=+ππφπ，又2πφ<，所以3πφ-=. 4分 故)36sin(338ππ-=x y 5分 （2）在)36sin(338ππ-=x y 中，令4=x ，得()4,4D ， 所以曲线OD 所在抛物线的方程为x y 42= 7分设点()40,42≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t P ， 则矩形PMFE 的面积为t t S ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=442，[]4,0∈t ．因为4342t S -='，由0='S ，得334=t 9分且当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈334,0t 时，0>'S ，则S 单调递增， 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈4,334t 时，0<'S ，则S 单调递减 11分所以当334=t 时，S 最大，此时点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛334,34 13分 （若没考虑t 的范围，则扣2分）考点：1.利用图像求函数)sin(φω+=x A y 的解析式；2.函数模型的应用 21．设函数222ln 10()x x +-=*(1)当()2ln 1h x x x =+-时，求函数0x >的最大值；(2)令()h x （()0h x =）其图象上任意一点(1)0h =处切线的斜率21x =≤12m += 恒成立，求实数12m =的取值范围； (3)当2()2ln 2g x x m x mx =--，2222().x mx m g x x --'=，方程()0g x '=有唯一实数解，求正数m 的值．【答案】),21[+∞∈【解析】试题分析：（1）利用导数分析函数的单调性，然后由单调性确定函数的最值；（2）先由导函数求出点P 处的切线斜率，然后由恒成立条件，转化为求k 的最大值，从而求出实数a 的取值范围；（3）构建函数模型，利用函数的增减性，分析出方程有唯一解，即函数有唯一零点的情况，从而得出正数m 的值.试题解析：（1）依题意，知f （x ）的定义域为（0，+∞）， 当，，令0)('=x f ， 解得x=1，（∵x ＞0）， 当10<<x 时，0)('>x f ，此时f （x ）单调递增，当x ＞1时，0)('<x f ，此时f （x ）单调递减，（2），则有上恒成立， 所以，当取得最大值),21[+∞∈a . （3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令， 因为，当上单调递减；当上单调递增；当，则，所以，因为m＞0，所以，（*）设函数，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解，考点：1.利用导数求函数的最值；2.用化归与转化思想处理恒成立问题；3.利用函数模型处理方程的实根分布。
2025届湖北省部分高中高三上学期11月期中联考数学试题(含答案)
2024年秋季普通高中11月份高三年级阶段性联考数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，则的值为（ ）A.B. C.D.3.已知，且，则与的夹角为（ ）A.B. C. D.4.已知曲线在点处的切线在轴上的截距为，则的值为（ ）A.1B.0C.D.5.暑假期间某校5名学生计划去黄冈旅游，体验黄冈的风俗与文化.现有黄梅东山问梅村､罗田天堂寨､黄州的东坡赤壁三个景区可供选择若每名学生只去一个景区，且恰有2人前往黄梅东山问梅村，则不同的游览方案种数为（ ）A.40B.90C.80D.16011i+π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭1313-(),2a b == ()2a a b ⊥+ a bπ32π33π45π6ln ay x x=+()1,a y 3-a 1-2-6.已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（ ）A.B. C. D.7英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（）A.B. C. D.8.是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.下列结论中正确的有（ ）A.已知，若，则；B.某学生8次考试的数学成绩分别为：101､108､109､120､132､135､141､141，则这8次数学成绩的第75百分位数为135；C.已知的平均值为8，则的平均值为7；D.已知为两个随机事件，若，则.()()cos 0f x x x ωωω=->π()f x ϕ()g x ()g x ϕπ12π6π32π3881168124813281()f x [],a b ()f x '()f x ()()f x f x ='[],a b ()f x [],a b []4,3-()3228f x x x mx =+++m 5675m -<- (56)45m -<- (56)45m -< (74)m -<-…()24,X N σ~()50.1P X =…()340.4P X =……128,,,,11,13x x x 128,,,x x x A B ､()()()0.4,0.3,0.2P A P B P AB ===∣()0.15P B A =∣10.已知正实数满足，下列结论中正确的是（）A.的最大值是B.的最小值是C.的最小值是3D.的最小值为11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.已知的角的对边分别为，且，若，则__________.14.已知函数在区间上存在零点，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知，函数.（1）求的单调递减区间；（2）在中，若，求和长.16.（本题满分15分）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列满足：，且.,a b 23a b ab +=ab 982a b +832a b +1b a-3-()[]f x x =[]x x {}n a n n S 112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21n n n b S S +=+()*n a n n =∈N)*n S n =∈N []12636b b b +++= 1210011118S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ ()()2222ln f x x f x x -'=+()2f '=ABC A B C ､､a b c ､､sin a C =π6A =22b c bc+=()()()()13e 0xf x a x b a =-++≠[]1,3-3b a+()π,cos ,cos ,sin 2m x x n x x ⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎭()32f x m n =-⋅()f x ABC ()0,ABC f A BC S ===AC AB {}n a 421a =125,,a a a {}n b 143n n b b +=-1121b a =-（1）求和的通项公式；（2）若为数列的前项和，求.17.（本题满分15分）东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调査300名学生.设表示事件“学生喜欢去甲食堂”，表示事件“调査的学生是男生”.若.调查的是男生调查的是女生合计喜欢去甲食堂喜欢去乙食堂合计（1）完成上列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关？（2）为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性別分层抽样的方法选15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，三等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为，写出的分布列，并计算.附0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.（本题满分17分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3.19.（本题满分17分）马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅{}n a{}n b n T1n n a b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n n T M N ()()()457|,|,7815P M N P N M P N ===22⨯0.001α=X X ()E X ()()()()22():ad bc na b c d a c b d χ-⋅=++++αax ()1ln f x x a x x=--()f x 1x …()0f x …a ()ln 1n ++>+与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量，且.（1）求的值；（2）求；（3）证明：为定值.x n n X ()1518P X ==x ()1n P X =()n E X2024年秋季普通高中11月份阶段性联考高三数学试卷参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.B4.C5.C6.B7.A8.D8.【解析】，显然不满足上式，所以，令，则，在，且，画出的图像，可知：.二､选择题（多选）【有错选得0分，全对得6分，部分对得部分分.两解题，每答对一个得3分，三解题，每答对一个得2分】9.ACD 10.BCD11.BCD10.解析：（1）（当时取等号）；（2）（当时取等号）；()()()32481f x f x x x x m x '=⇒--+=-1x =32481,1x x x x m x--+≠=-()32481x x x g x x --+=-()()()22221(1)x x g x x '-+=--()g x ∴[)(4,1,1,2,2,3⎤⎤⎡-↑↑↓⎦⎣⎦()()()564,24,375g g g -=-=-=-[)7,4m ∈--8329ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥24,33a b ==8233a b ab +=≥24,33a b ==（3）（当时取等号）；（4）（当时取等号）.11.解析：（1）当时，，又A 错，B 对；（2），.故C 对；（3），当时，，，；故D对；三､填空题：12.13.14.14.【解析】，令，在，在，()()212122233,3225923a b a b ab a b a b a b b a b a b a ⎛⎫+=⇒+=∴+=++=++≥⇒+≥ ⎪⎝⎭1a b ==132233b b b b a b b --=-=+-≥-b =11,2n n nS a a ⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭2n ≥2211112,1n n n n n n n S S S S S S S ---=-+⇒-=-11111,02n S a a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭211;n n n a S n S a ⇒=∴=⇒==∴()1263211176,722n n n b b b b S S +===-∴+++=+-∈+ []12636b b b ∴+++= 12n S =>=]1210011122118;S S S ⎡⎤∴+++>+++=->⎣⎦2n ≥12n S =<=-]121001111212119S S S ⎡⎤∴+++<++++=+-=⎣⎦1210011118S S S ⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 3-21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()03e 1;x f x b a x =⇔+=-310,e x b x a a +-≠∴= ()()12,e ex x x x g x g x --=='()g x ∴()1,2-↓()2,3↑作出的图像，可知：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）解：（1）由减区间为（2），或.16.（本题满分15分）解：（1）设的公差为，又（2），两式相减，得：17.（本题满分15分）()g x 2132e e b a+-≤≤()23π3cos cos sin sin 222f x x x x x x x ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭()311π1cos21cos2sin 21,2226x x x x x ⎫⎛⎫=--=--=--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭πππππ2π22πππ,26263k x k k x k -+≤-≤+⇒-+≤≤+()f x ∴()*πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦N ()ππ0sin 21,,63f A A A ⎛⎫=⇒-== ⎪⎝⎭6,ABC S AB AC =⇒⋅= 227,BC AB AC AB AC =⇒+-⋅=2,3AB AC ∴==3,2,AB AC ==⋅{}n a ()()()221520,,21321(212)6d d a a a d d d d ≠=∴-+=-⇒= ()14133,16 3.n a a d a a n d n ∴=-==+-=-()1143141,n n n n b b b b ++=-⇒-=-111215,14,b a b =-=-=()*1441n n n n b b n ∴-=⇒=+∈N 6314n nn a n b -=-2323411633915631391563;;4444444444nn n n n n k n n n T T +=---==++++∴=++++∑2341336666635165;4444444334n n n n n n n T T +-+=+++++-⇒=-⋅解：（1）被调查的学生中男生有140人，女生有160人.男生中喜欢去乙食堂的有80人，喜欢去甲食堂的有60人..被调查的学生中喜欢去甲食堂的有160人.调查的是男生调查的是女生合计喜欢去甲食堂60100160喜欢去乙食堂8060140合计140160300零假设：假设学生喜欢去哪个食堂与性别无关.，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢去哪个食堂与性别有关.此推断犯错误的概率不大0.001.（2）根据男女生人数之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人.，，X 的分布列为：X 0123p，18.（本题满分17分）解（1）定义域为；..当时，恒成立，；()77,300140,1515P N =⨯=∴44(),14080,77P M N =⨯=∴∣533()(),60160,888P N M P N M =⇒=÷=∴∣∣0H 220.001(606010080)30011.5810.828160140160140χχ⨯-⨯⨯=≈>=⨯⨯⨯0.001α=0H 0,1,2,3X =()()()()615243712312312312777715151515C C C C C C C 8282450,1,2,3C 65C 65C 65C 65P X P X P X P X ============86528652465113()82824570123656565655E X =⨯+⨯+⨯+⨯=()0,∞+()()22211,Δ4,f x x ax a x=-+=-⋅'0122a -≤≤2Δ0,10x ax ≤-+≥()()0,f x f x ≥↑'.当时，有两根，但两根均为负数，当时，.当时，有两正根，当时，；当时，；当时；综上所述：.当时，增区间为；.当时，增区间为和；减区间为.（2），令，则在，若，则，与题意相符；若，则，所以必存在，使得当时，，从而使得当时，，与题意相矛盾；综上：.（3）证明：由（2）知，当时，（仅当时取等号），，令；，得证.19.（本题满分17分）解：（1）（2）022a<-2Δ0,10x ax >-+=()0,x ∞∈+()()0,;f x f x '≥↑32a >2Δ0,10x ax>-+=1x =2x =()10,x x ∈()()0,f x f x >↑'()12,x x x ∈()()0,f x f x <↓'()2,x x ∞∈+()(),0,f x f x >'↑012a ≤()f x ()0,∞+022a >()f x ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()11f x x a x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'()1g x x a x =+-()()()22110,g x x g x x =-≥∴'[)()1,,12g a ∞+↑=-2a ≤()()()()()()10,0,,10g x g f x f x f x f ≥≥≥↑≥='2a >()120g a =-<01x >()01,x x ∈()()()0,0,g x f x f x <'<↓()01,x x ∈()()10f x f <=2a ≤1x ≥()12ln 0f x x x x=--≥1x =12ln x x x∴-≥x =11ln ln n n n n ++>=⇒>()2341ln ln ln ln ln 1123n n n +>+++=+ ()111513;11118x x P x x x x x x ==⋅+⋅=⇒=++++()()()()()()()11111010111212n n n n n n n n n n P x P x P x x P x P x x P x P x x ++++===⋅==+=⋅==+=⋅==∣∣∣，又，.（3），令，则而，..得证.()()()()()()11331111510120122244442282n n n n n n P x P x P x P x P x P x ⎛⎫==⋅+=⋅⨯+⨯+=⋅==+=+= ⎪⎝⎭()()()0121n n n P x P x P x =+=+==()()()()()()11151141411111,11,2882787n n n n n n P x P x P x P x P x P x ++⎡⎤⎡⎤∴==-=+===+⇒=-==-⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()()114543431314311,11;78756756878778n n nn n P x P x P x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=∴=-=⨯=⨯⇒==+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()()1112020121n n n n n n n P x P x P x x P x P x x +++===⋅==+=⋅==∣∣()()1222n n n P x P x x ++=⋅==∣()()()1311913122162214828n n n n P x P x P x +⎛⎫==+===++ ⎪⎝⎭()()()()111131391339228248214214148141414n n n n n n n P x P x P x P x ++++⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⇒=-==-+⇒=-=⨯=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦()38214n n n a P x ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦1193344,141414n n n n a a a a ++⎛⎫=+⇒+=+ ⎪⎝⎭()113333338280141414161414a P x ⎡⎤⎡⎤+==-+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()3333310820214141414148n n n n n a P x P x ⎡⎤∴+=⇒=-+=⇒==-⨯⎢⎥⎣⎦()()()()43133100112212177814148n n n n n n E X P x P x P x ⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯+⨯-⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012—2013学年上学期高三期中考试数学（文科）试题时间：120分钟 主命题学校 曾都一中温馨提示：1.答题前，务必将自己嘚姓名、准考证号填写在答题卡规定嘚位置上．2.答选择题时，必须将答案书写在答题卡上对应嘚题号下面位置上。
3.答非选择题时，必须使用0. 5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定嘚位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．★祝考试顺利★一．选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分）1．已知集合P={x ∈N|1≤x ≤10},集合Q={x ∈R|06--2=x x },则P ∩Q 等于( )A.{2}B.{1，2}C.{2，3}D.{3} 2.若函数)2(),3,0[)1(xf x f 则的定义域为+嘚定义域为（ ）A ．[1，8]B ．[1,4)C ．[0,2)D ．[0，2]3. 设｝｛n a 为等差数列，公差d=-2，n S 为其前n 项和，若1110S S =，则1a =（ ）A.18B. 22C. 20D.24 4. 若把函数x x y 2sin -2cos 3=嘚图象向右平移0)(>m m 个单位长度后，所得到嘚图象关于y轴对称，则m 嘚最小值是（ ） A ．π3 B ．12π C ．π6 D ．5π6 5．在R 嘚定义运算： ⎝⎛c abc ad d b -=⎪⎪⎭⎫，若不等式 ⎝⎛+-11a x 12≥⎪⎪⎭⎫-x a 对任意实数x 恒成立，则实数a 嘚最大值为( ) A ．21-B ．23-C ．21 D ．23 襄州一中 枣阳一中 宜城一中 曾都一中6. 等差数列{}n a 嘚前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =（ ）A. 38B. 20C. 10D. 9 7.函数f(x)＝ln(4＋3x －x 2)嘚单调递减区间是( )A.），（∞+23B.），（23-∞C.），（41-D. ），（4238.已知f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧-∈+∈+)0,1[,1]1,0[,12x x x x ，则下列四图中所作函数嘚图像错误嘚是( )9. 若定义在R 上嘚函数)(-)1()(x f x f x f y =+=满足满足，且当]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，函数⎩⎨⎧≤>=1,21),1-(log )(3x x x x g x ，则函数)(-)()(x g x f x h =在区间]5,5[-内嘚零点嘚个数为（ ）A ．6 B. 7 C. 8 D. 910.已知()y f x =是定义在R 上嘚奇函数，且当0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立，若()0.30.333a f =⋅，)log (.log 33ππf b = 3311,log log 99c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则 , , a b c 大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b >>二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．将答案填在答题卡相应嘚位置上) 11.已知:()()110p x m x m -+--<；:1223q x <<，若q 是p 嘚充分不必要条件， 则实数m 嘚取值范围是___________________。
12. 在△ABC 中，已知113cos ,cos(),07142A AB B A π=-=<<<,则角B = 。
13.命题“2,2390x x ax ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 嘚取值范围为 。
14．已知数列｛n a ｝满足a 1＝2，1n a +＝3n a 一2，则n a =_______。
15.已知函数)(sin )(ϕω+=x A x f )2,0,0(πϕω<>>A 嘚一段图像如右图所示．则)(x f 嘚解析式是 。
16. 已知P 是边长为2嘚正ABC ∆边BC 上嘚动点，则)(AC AB AP +•=_______。
17．设函数)(),(x g x f 嘚定义域分别是g f D D ,，且g f D D ⊆。
若对于任意f D x ∈，都有)()(x f x g =，则称函数)(x g 为)(x f 在g D 上嘚一个延拓函数。
设)0(2)(≤=x x f x ，)(x g 为)(x f 在R 上嘚一个延拓函数，且)(x g 是偶函数，则)(x g = 。
三、解答题（共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.（本小题满分12分）已知向量b b a b y a ⊥+==)2),3,-1(),,1(且（。
（1）求a ；（2）若)4-a )//(22(b b a k +，求k 嘚值。
19. （本小题满分12分）已知向量n m x f x n x m •===)(),2sin ,1(),3,cos 2(2函数. （1）求函数()f x 嘚最小正周期及单调增区间；（2）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,嘚对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,嘚值．ABCDMNP20.（本小题满分13分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大嘚矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，由于受地理条件限制，AN 长不超过8米，设x AN =。
（1）要使矩形AMPN 嘚面积大于32平方米，则AN 嘚长应在什么范围内？（2）若|AN| [3,4)∈（单位：米），则当AM 、AN 嘚长度是多少时，矩形花坛AMPN 嘚面积最大？并求出最大面积。
21.（本小题满分14分）若S n 是公差不为0嘚等差数列{}n a 嘚前n 项和，且124,,S S S 成等比数列。
(1)求等比数列124,,S S S 嘚公比； (2)若24S =，求{}n a 嘚通项公式； （3）在（2）嘚条件下，设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 嘚前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立嘚最小正整数m 。
22.（本小题满分14分）已知函数321()(1) 1.32a f x x x a x =+--+ （1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处嘚切线与直线610x y ++=平行，求出这条切线嘚方程； （2）当0a >时，求：①讨论函数()f x 嘚单调区间；②对任意嘚1x <-，恒有()1f x <，求实数a 嘚取值范围.2012—2013学年上学期高三期中考试数学（文科）参考答案一．选择题：DCCBD CDDCA 二、填空题： 11．2331-≤≤m ；12. 3π=B ；13.]22,22[-；14． 131-+n ；15.)10-52(sin 3)(πx x f =；16. 6；17.x⎪⎭⎫⎝⎛21(写成分段函数也给分)。
三、解答题：18.解：（1）.2),32,3(a 2=∴-=+y y b ----------------3分 5=∴a ---------------6分（2）)16,2(4a 2),62,2(a -=--+=+b k k b k ------------9分 1-=∴k -----------12分19.解：（1）22()(2cos ,3)(1,sin 2)2cos 3sin 2f x m n x x x x =⋅=⋅=+ ---2分cos 213sin 22sin(2)16x x x π=++=++------4分∴函数()f x 嘚最小周期22T ππ== -----5分由得)(22622-2Z k k x k ∈+≤+≤πππππ：单调增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，6,3-ππππ ----------6分 （2）31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62sin(=+πCC 是三角形内角，∴262ππ=+C 即：6π=C -------8分 ∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a ． -------9分 将32=ab 代入可得：71222=+aa ，解之得：432或=a ∴23或=a ,∴32或=b ---- --11分襄州一中 枣阳一中 宜城一中 曾都一中b a >,∴2=a ，3=b ． -------12分20．解：设AN 嘚长为x 米（82≤<x ）∵|DN||DC||AN||AM|=，∴|AM|＝32xx - ∴S AMPN ＝|AN|•|AM|＝232x x - - ---------------- 4分（1） 由06432-3,322-33222>+∴>>x x x x S AMPN 得382<<∴x 或38282,8<<∴≤<>x x x 又 即AN 长嘚取值范围是)38,2( ----------------------------------8分（2）令2/2)2-()4-(3,2-3x x x y x x y ==则 ---------------------------------10分 23,0)4,3[2/-=∴<∈x x y y x 函数时，当 在)4,3[上为单调减函数，时当3=∴x 232-=x x y 函数取得最大值，即27)(max =AMPN S （平方米）此时AN =3米，9=AM 米 -----------------------------------------12分21.解：∵数列{a n }为等差数列，∴112141,2,46S a S a d S a d ==+=+， ∵S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴ S 1·S 4 =S 22∴ 2111(46)(2)a a d a d +=+，∴212a d d =∵公差d 不等于0，∴12d a = -----------------2分（1）211144S a q S a === --------------------4分 （2）∵S 2 =4，∴124a d +=，又12d a =，∴11,2a d ==， ∴21n a n =-。
------------------8分（3）∵3311()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+ ------------------9分∴3111[(1)()2335n T =-+-+…11()]2121n n +--+313(1)2212n =-<+ ----11分 要使20n m T <对所有*N n ∈恒成立，∴3202m ≥，30m ≥， ---------13分 ∵*N n ∈， ∴m 嘚最小值为30。