济南大学17年高数上试卷
2017高等数学上试题及解答
法线斜率k法
=
1 2
,
法线方程为y 1 x 1 2, x 2y 3 0.
2
3. 函数f
x
x
2
cos
x在
0,
2
上的最小值m=
2
先求内部驻点 y 1 2sin x,令y 0,sin x 1 , x ,
26
f
6
6
3,
f
0
2,
f
2
2
,
ymin
f
2
.
2
4.
广义积分 1
解 令x 3sect,则dx 3sect tan tdt
x
x2 9
t
原式
3 tan 3sec
t t
3sec
t
tan
tdt
3
tan2 tdt 3
3
sec2 t 1 dt 3tan t t C
x2 9 3arccos 3 C. 或令 x2 9 t,即x t2 9,则dx t dt
sin x
4.设F
x
x
0
x
t
f
t
dt , 则F
x
A
A.
x
0
f
t
dt
B.
x
0
f
t dt
C. 0
D. f x
F
x
xx 0
tf
t
dt
=
x
0
xf
t tf
t dt
x
0
x
f
t dt
x
0 tf
t dt
x
x0
f
t
dt
x
济南大学高数试题及答案
济南大学高数试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分值是：A. 0.5B. 1C. 0D. 22. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 以下哪个选项是二阶可导的？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 以下哪个级数收敛？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x+3的反函数是______。
2. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。
3. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。
4. 曲线y=x^2在点(2,4)处的法线方程是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。
3. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
4. 证明函数f(x)=x^2-2x在区间[1,2]上是增函数。
5. 求曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程。
答案：一、选择题1. A2. B3. B4. C5. C6. C二、填空题1. f^(-1)(x) = (x-3)/22. 0.53. x=34. y=-x+6三、解答题1. 最大值：f(3)=2，最小值：f(1)=-22. ∫(0到π/2) sin(x) dx = 13. 单调递增区间：(2,+∞)，单调递减区间：(-∞,2)4. 证明略5. 切线方程：y=2x-5。
2017高考数学山东卷(文)精编
2017年普通高等学校招生全国统一考试山东卷 文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的． 1．设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则MN =（）A ．(1,1)-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)【答案】C ，交集，绝对值不等式2．已知i 是虚数单位，若复数满足1zi i =+，则2z =（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【答案】A ，复数运算，由1zi i =+得22()(1)zi i =+，即22z i -=，故22z i =-3．已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】D ，简单线性规划 4．已知3cos 4x =，则cos 2x =（） A ．14-B ．14C ．18-D ．18【答案】D ，倍角公式5．已知命题:p x ∃∈R ，210x x -+≥；命题:q 若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B ，复合命题，p 真，q 假6．执行右侧的程序框图，当输入的x 值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为（） A ．3x >B ．4x >C ．4x ≤D ．5x ≤【答案】B ，程序框图-条件分支，由于输入x 为4，要想输出y 为2，则程序经过2log y x =的运算7．函数cos2y x x =+最小正周期为（）A ．2π B ．23π C ．π D ．2π【答案】C ，两角和差的三角函数，三角函数周期性8．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（） A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7【答案】A ，茎叶图-中位数，平均数9．设1()2(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()(1)f a f a =+，则1()f a =（） A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C ，分段函数，无理方程，由()(+1)f a f a =，2(11)a =+-，解得14a =，则1()(4)6f f a==10．若函数()xe f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（）A ．()2x f x -=B ．2()f x x =C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =【答案】A ，指数运算，指数函数单调性，看选项A ，得()x e f x 2x xe -=⋅2xe ⎛⎫= ⎪⎝⎭，单调递增．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量(2,6)a =，(1,)b λ=-，若//a b ，则λ=__________．【答案】3-，向量共线 12．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为__________． 【答案】8，均值不等式求最值-逆代法，∵121a b +=，∴2a b +12(2)()a b a b =++44b a a b =++4≥+8= 13．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为__________．【答案】22π+，三视图，长方体、圆柱体积，【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+． 14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-．若当[3,0]x ∈-时，()6x f x -=，则(919)f =__________．【答案】6，函数的奇偶性，函数的周期性，∵(4)(2)f x f x +=-，∴()f x 的周期6T =，∴(919)f (16153)(1)(1)6f f f =+⨯==-=15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22x py =(0)p >交于,A B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为____________．【答案】2y x =±，双曲线性质，抛物线定义，曲线交点， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得2221210p y y b a -+=，∴21222b p y y a +=， 由||||4||AF BF OF +=，得12222p py y p +++=，即12y y p +=， ∴2212b a =，即b a =． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（本小题满分12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家123,,A A A 和3个欧洲国家123,,B B B 中选择2个国家去旅游。
2017年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析
2017年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成（x n+1的区域的面积T n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e ≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）（2017•山东）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．2．（5分）（2017•山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．3．（5分）（2017•山东）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．4．（5分）（2017•山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．5．（5分）（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=x i=22.5，=y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．6．（5分）（2017•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；故选：D7．（5分）（2017•山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．8．（5分）（2017•山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，故选：C．9．（5分）（2017•山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．10．（5分）（2017•山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2017•山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= 4．【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r=（3x）r=3r x r．+1∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．12．（5分）（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．【解答】解：，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．13．（5分）（2017•山东）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为2+．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．14．（5分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．15．（5分）（2017•山东）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f （x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2017•山东）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．17．（12分）（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．18．（12分）（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）==．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．∴X的分布列为X01234PX的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．19．（12分）（2017•山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成+1的区域的面积T n．【解答】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n==（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n=．20．（13分）（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x ﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．21．（14分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b ＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．∴|AB|=．由题意可知圆M的半径r为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|=．由题意可知，sin=．而=．令t=，则t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．。
2017年山东理数高考试题文档版(含答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
学.科.网答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1)（2）已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B （C ） （D （3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q （4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79（9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,1⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是 .(13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 . （15）若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。
(精品word版)2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学理
2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学理一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数y =的定义域为A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ，则A ∩B=( )A.(1，2)B.(1，2]C.(-2，1)D.[-2，1)解析：由4-x2≥0，解得：-2≤x ≤2，则函数y =的定义域[-2，2]，由对数函数的定义域可知：1-x ＞0，解得：x ＜1，则函数y=ln(1-x)的定义域(-∞，1)， 则A ∩B=[-2，1). 答案：D.2.已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z=a+3i ，z z ⋅=4，则a=( ) A.1或-1C.解析：由z a =，则z 的共轭复数z a =，由()()234z z a a a⋅=-=+=，则a 2=1，解得：a=±1，∴a 的值为1或-1. 答案：A.3.已知命题p ：∀x ＞0，ln(x+1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2，下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∧￢q C.￢p ∧q D.￢p ∧￢q解析：命题p ：∀x ＞0，ln(x+1)＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题；取a=-1，b=-2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题.∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题. 答案：B.4.已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤++≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则z=x+2y 的最大值是( )A.0B.2C.5D.6解析：画出约束条件3035030x y x y x -+≤++≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，如图所示；由30350x x y ++⎨⎩+⎧＝＝解得A(-3，4)，此时直线1122y x z =-+在y 轴上的截距最大， 所以目标函数z=x+2y 的最大值为z max =-3+2×4=5.答案：C.5.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y bx a =+，已知10101122516004ii i i xy b ===∑∑＝＝，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A.160 B.163 C.166 D.170解析：由线性回归方程为4y x a =+，则101011112251601010i i i i x x y y ====∑∑＝＝，， 则数据的样本中心点(22.5，160)，由回归直线方程样本中心点，则4160422.570a y x =-=-⨯=， ∴回归直线方程为470y x =+， 当x=24时，42470166y =⨯+=，则估计其身高为166. 答案：C.6.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次输出的a 值分别为( )A.0，0B.1，1C.0，1D.1，0解析：当输入的x 值为7时，第一次，不满足b 2＞x ，也不满足x 能被b 整数，故b=3；第二次，满足b 2＞x ，故输出a=1； 当输入的x 值为9时，第一次，不满足b 2＞x ，也不满足x 能被b 整数，故b=3；第二次，不满足b 2＞x ，满足x 能被b 整数，故输出a=0. 答案：D7.若a ＞b ＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是( )A.()21log 2a ba ab b++＜＜ B.()21log 2a b a b a b ++＜＜ C.()21log 2a b a a b b ++＜＜D.()21log 2a ba b a b ++＜＜解析：∵a ＞b ＞0，且ab=1， ∴可取a=2，12b =. 则()()22221111524log log 2log 1222822a b a a b b +===+=⎛⎫ ⎪⎝⎭+=∈，，，， ∴()21log 2a b a b a b++＜＜. 答案：B.8.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518 B.49 C.59 D.79解析：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有2936C =种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有115420C C =种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率205369P ==. 答案：C.9.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是( ) A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A解析：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a.答案：A.10.已知当x∈[0，1]时，函数y=(mx-1)2的图象与y m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )A.(0，1]∪[+∞)B.(0，1]∪[3，+∞)C.(0∪[+∞)D.(0∪[3，+∞)解析：根据题意，由于m为正数，y=(mx-1)2为二次函数，在区间(0，1m)为减函数，(1m，+∞)为增函数，函数y m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有1m≥1，在区间[0，1]上，y=(mx-1)2为减函数，且其值域为[(m-1)2，1]，函数y m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有1m＜1，y=(mx-1)2在区间(0，1m)为减函数，(1m，1)为增函数，函数y m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有(m-1)2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是(0，1]∪[3，+∞).答案：B.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知(1+3x)n 的展开式中含有x 2的系数是54，则n=____.解析：(1+3x)n的展开式中通项公式：()133rr r r rr n n T C x C x +==.∵含有x 2的系数是54，∴r=2.∴22354n C =，可得26n C =，∴()162n n -=，n ∈N*. 解得n=4. 答案：4.12.已知12e e ，123e e -与12e e λ+的夹角为60°，则实数λ的值是____.解析：12e e ，是互相垂直的单位向量， ∴121e e ==，且120e e ⋅=；12e -与12e e λ+的夹角为60°，∴)()121212123c ||os60e e e e e e e λλ-+=-⨯⨯︒⋅+，即()222222211221122112213132322e e e e e e e e e e e λλλλ+-⋅-=-⋅+⨯+⋅+⨯，12λ=，λ=解得λ=3.答案：3.13.由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为____.解析：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V 1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积2211144V ππ=⨯⨯⨯=， 则该几何体的体积11222V V V π=+=+.答案：22π+.14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为____.解析：把x 2=2py(p ＞0)代入双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，可得：a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0，∴222A B pb y y a+=， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴2422A B p p y y ++⨯=⨯， ∴222pb p a=，∴2b a =.∴该双曲线的渐近线方程为：y x =.答案：y x =.15.若函数e xf(x)(e ≈2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为____.①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x 3 ④f(x)=x 2+2.解析：对于①，f(x)=2-x，则()()·22xx x x e g x e f x e -⎛⎫ ⎝==⎪⎭＝为实数集上的增函数；对于②，f(x)=3-x，则()()·33xx x xe g x ef x e -⎛⎫⎝==⎪⎭＝为实数集上的减函数；对于③，f(x)=x 3，则g(x)=e x f(x)=e x ·x 3，g ′(x)=e x ·x 3+3e x ·x 2=e x (x 3+3x 2)=e x ·x 2(x+3)，当x ＜-3时，g ′(x)＜0，∴g(x)=e xf(x)在定义域R 上先减后增；对于④，f(x)=x 2+2，则g(x)=e x f(x)=e x (x 2+2)，g ′(x)=e x (x 2+2)+2xe x =e x (x 2+2x+2)＞0在实数集R 上恒成立，∴g(x)=e xf(x)在定义域R 上是增函数. ∴具有M 性质的函数的序号为①④. 答案：①④.三、解答题16.设函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0＜ω＜3，已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求ω；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[344ππ-，]上的最小值.解析：(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数，根据06f π⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的值； (Ⅱ)写出f(x)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出x ∈[344ππ-，]时g(x)的最小值.答案：(Ⅰ)函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= sin coscos sinsin 662x x x πππωωω⎛⎫--- ⎪⎝⎭=3cos 22x x ωω-=3x πω⎛⎫-⎪⎝⎭，又0663f πππω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴63k ππωπ-=，k ∈Z ，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3， ∴ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到43y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，∴函数()12y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭； 当34]4[x ππ∈-，时，[2123]3x πππ-∈-，，∴sin 11[22]x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴当x=-4π时，g(x)取得最小值是32=-.17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点.(Ⅰ)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(Ⅱ)当AB=3，AD=2时，求二面角E-AG-C 的大小.解析：(Ⅰ)由已知利用线面垂直的判定可得BE ⊥平面ABP ，得到BE ⊥BP ，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；(Ⅱ)法一、取EC的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E-AG-C的大小.法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小.答案：(Ⅰ)∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；(Ⅱ)解法一、取EC的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，====∴AE GE AC GC取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角.=又AM=1，∴EM CM在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12，∴EC＝EMC为等边三角形，故所求的角为60°.解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意得：A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(13)，C(-10)，故()()()203130203AE AG CG -＝，，，＝，，，＝，，. 设()111m x y z ＝，，为平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩＝＝，得11112300x z x -⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，取z 1=2，得()3m＝； 设()222n x y z ＝，，为平面ACG 的一个法向量， 由00n AG n CG ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩＝＝，可得22220230x x z ⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，取z 2=-2，得()3-3-2n＝，，. ∴1cos 2m nm n m n ⋅=＜，＞＝. ∴二面角E-AG-C 的大小为60°.18.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(Ⅰ)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率.(Ⅱ)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX. 解析：(1)利用组合数公式计算概率；(2)使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望. 答案：(I)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则()48510518C P M C ==.(II)X 的可能取值为：0，1，2，3，4，∴()565101042C P X C ===，()41645105121C C P X C ===，()326451010221C C P X C ===，()23645105321C C P X C ===，()14564101442P X C C C ===. ∴XX 的数学期望0123424221212142EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2. (Ⅰ)求数列{x n }的通项公式；(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n+1(x n+1，n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n+1所围成的区域的面积T n .解析：(I)列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；(II)从各点向x 轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可. 【解答】解：(I)设数列{x n }的公比为q ，则q ＞0， 由题意得1121132x x q x q x q +⎧⎨-⎩＝＝，两式相比得：2132q q q +-＝，解得q=2或13q =-(舍)，∴x 1=1，∴x n =2n-1.(II)过P 1，P 2，P 3，…，P n 向x 轴作垂线，垂足为Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ， 记梯形P n P n+1Q n+1Q n 的面积为b n ， 则()12122122n n n n n b n --++=⨯=+⨯， ∴T n =3×2-1+5×20+7×21+…+(2n+1)×2n-2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n-1，②①-②得：-T n=32+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1=()()()111 21231212122 2122nn nn n----+-+⨯=-+-⨯-.∴()21212nnnT-⨯+=.20.已知函数f(x)=x2+2cosx，g(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)，其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；(Ⅱ)令h(x)=g(x)-a f(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 解析：(I)f(π)=π2-2.f′(x)=2x-2sinx，可得f′(π)=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程.(II)h(x)=g(x)-a f(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)，可得h′(x)=2(x-sinx)(e x-a)=2(x-sinx)(e x-e lna).令u(x)=x-sinx，则u′(x)=1-cosx≥0，可得函数u(x)在R上单调递增.由u(0)=0，可得x＞0时，u(x)＞0；x＜0时，u(x)＜0.对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出.答案：(I)f(π)=π2-2.f′(x)=2x-2sinx，∴f′(π)=2π.∴曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为：y-(π2-2)=2π(x-π).化为：2πx-y-π2-2=0.(II)h(x)=g (x)-a f(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)h′(x)=e x(cosx-sinx+2x-2)+e x(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=2(x-sinx)(e x-a)=2(x-sinx)(e x-e lna).令u(x)=x-sinx，则u′(x)=1-cosx≥0，∴函数u(x)在R上单调递增.∵u(0)=0，∴x＞0时，u(x)＞0；x＜0时，u(x)＜0.(1)a≤0时，ex-a＞0，∴x＞0时，h′(x)＞0，函数h(x)在(0，+∞)单调递增；x＜0时，h′(x)＜0，函数h(x)在(-∞，0)单调递减.∴x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-1-2a.(2)a＞0时，令h′(x)=2(x-sinx)(e x-e lna)=0.解得x1=lna，x2=0.①0＜a＜1时，x∈(-∞，lna)时，e x-e lna＜0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；x∈(lna，0)时，e x-e lna＞0，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；x∈(0，+∞)时，e x-e lna＞0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增.∴当x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-2a-1.当x=lna时，函数h(x)取得极大值，h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′(x)≥0，∴函数h(x)在R上单调递增.③1＜a时，lna＞0，x∈(-∞，0)时，e x-e lna＜0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；x∈(0，lna)时，e x-e lna＜0，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；x∈(lna，+∞)时，e x-e lna＞0，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增.∴当x=0时，函数h(x)取得极大值，h(0)=-2a-1.当x=lna 时，函数h(x)取得极小值，h(lna)=-a[ln 2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].综上所述：a ≤0时，函数h(x)在(0，+∞)单调递增；x ＜0时，函数h(x)在(-∞，0)单调递减.x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-1-2a.0＜a ＜1时，函数h(x)在x ∈(-∞，lna)是单调递增；函数h(x)在x ∈(lna ，0)上单调递减.当x=0时，函数h(x)取得极小值，h(0)=-2a-1.当x=lna 时，函数h(x)取得极大值，h(lna)=-a[ln 2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].当a=1时，lna=0，函数h(x)在R 上单调递增.a ＞1时，函数h(x)在(-∞，0)，(lna ，+∞)上单调递增；函数h(x)在(0，lna)上单调递减.当x=0时，函数h(x)取得极大值，h(0)=-2a-1.当x=lna 时，函数h(x)取得极小值，h(lna)=-a[ln 2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为2，焦距为2.(Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)如图，动直线l：12y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC 的斜率为k2，且124k k =M 是线段OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.解析：(Ⅰ)由题意得关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得a ，b 的值，则椭圆方程可求； (Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A ，B 的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M 的半径r ，则123r AB =＝.由题意设知214k k ＝.得到直线OC 的方程，与椭圆方程联立，求得C 点坐标，可得|OC|，由题意可知，1sin21SOT rOC r OCr∠=++＝.转化为关于k 1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT 的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为12k ±＝. 答案：(Ⅰ)由题意知，2222222c a c a b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪+⎪⎪⎩＝＝＝，解得a=2，b=1.∴椭圆E 的方程为2212x y +＝； (Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立221122x y y k x ⎧+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝()22114210k x x +--＝. 由题意得△=64k 12+8＞0.()12122111221x x x x k +-+＝. ∴121AB x =-. 由题意可知圆M 的半径r 为123r AB =＝.由题意设知，124k k ＝，∴21k 因此直线OC 的方程为1y . 联立22112x y y x⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，得22212211811414k x y k k ++＝，＝.因此，OC=由题意可知，1sin21SOT rOCr OCr∠=++＝.而21OCr=＝令t=1+2k12，则t＞1，1t∈(0，1)，因此，1 OCr=≥.当且仅当112t＝，即t=2时等式成立，此时12k±＝.∴1sin22SOT∠≤，因此26SOTπ∠≤.∴∠SOT的最大值为3π.综上所述：∠SOT的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为12k±＝.。
2017年高考试题：文科数学(山东卷)『一流精品』
2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；学.科.网如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N = （A ）()1,1- （B ）()1,2- （C ）()0,2（D ）()1,2 （2）已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =(A)-2i ( B)2i (C)-2 (D)2（3）已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3（4）已知3cos 4x =,则cos2x = (A)14- (B)14 (C)18- (D)18 （5）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是(A)p q ∧ (B)p q ∧⌝ (C)p q ⌝∧ (D)p q ⌝∧⌝（6）执行右侧的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤（7）函数2cos 2y x x =+最小正周期为 （A ）π2 （B ）2π3（C ）π （D ） 2π （8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为（A ） 3,5 （B ） 5,5 （C ） 3,7 （D ） 5,7（9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8（10）若函数()e x f x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是（A ）()2x f x -= （B ）()2f x x = （C ）()-3xf x = （D ）()cos f x x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分(11)已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ= .(12）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . (13）由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 .(14）已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)= . (15）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 . 三、解答题：本大题共6小题,共75分.(16）(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.(17）（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .（18）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.19.（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,z.x.x.k 讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为2,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.。
2017-2018学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）2．（5分）若复数z满足（1﹣2i）•z＝5（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．B．C．2i D．23．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5＝15，a6+a10＝34，则S10＝（）A．40B．80C．100D．1204．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝a+log2（x+1），则f（﹣7）的值为（）A．﹣3B．3C．log26D．无法确定6．（5分）某校从高三年级中随机选取400名学生．将他们的数学成绩绘制成频率分布直方图（如图）．若要从成绩在[120.130），[130，140），[140.150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取36人参加一项活动，则从成绩在[130，140）内的学生中选取的人数为（）A．16B．8C．4D．27．（5分）已知直线m，n和平面α，满足m⊄α，n⊂α．则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）如图所示的程序框图．运行相应的程序．则输出的结果是（）A．0B．C．D．9．（5分）设F1和F2为双曲线（a＞b＞0）的两个焦点，若点P（0，2b），F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）＝3﹣|x﹣a|是定义在R上的偶函数，则下列不等式关系正确的是（）A．f（log23）＞f（log0.57）＞f（a）B．f（log0.57）＞f（log23）＞f（a）C．f（a）＞f（log0.57）＞f（log23）D．f（a）＞f（log23）＞f（log0.57）11．（5分）在直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（1，3），C（3，2），点M（a，b）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，若，则2m﹣n的最大值为（）A．B．4C．D．312．（5分）已知函数f（x）＝2ax3﹣3ax2﹣6x的两个极值点是x1，x2，且A（x1，x1﹣1），B （x2，x2﹣1），则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系为（）A．相交B．相切C．相交或相切D．相离二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）曲线y＝sin x+e x在点（0，1）处的切线方程为．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．15．（5分）将2至2018这2017个自然数中能被3除余1且被7除余l的数按由小到大的顺序排成一列．构成数列{a n}，则该数列的项数为．16．（5分）在锐角△ABC中，已知，b＝3．则的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，△ABD为等边三角形，CB ＝CD，∠BCD＝120°．（1）求证：平面PBC⊥平面P AB；（2）若P A＝AB＝4，求四棱锥P﹣ABCD的表面积．19．（12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国．带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计．结果如表：（1）请在给出的坐标纸中作出散点图．并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．（2）求y关于x的线性回归方程．并预测该公司2018年2月份的市场占有率．参考数据：，，．参考公式：相关系数＝，回归直线方程为其中：，．20．（12分）已知点P（﹣2，1）在椭圆C：（a＞0）上．动点A，B都在椭圆上，直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点，（1）求椭圆C的方程和直线AB的斜率；（2）对定点Q．若直线QA和QB的斜率之和为定值．则称Q为“和谐点”．试求直线x＝2上“和谐点”的个数．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥1时，f（x）≥ax﹣1，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C1的极坐标方程；（2）曲线分别交直线l和曲线C1于A，B两点，求的最大值及相应α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|．（1）解不等式|3f（x）﹣4|≤2；（2）设函数g（x）＝|2x+6|，若∃x0∈R，使f（x0）+g（x0）≤a2﹣4a成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合，∴A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{y|y＞0}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}＝（0，2）．故选：B．2．【解答】解：由（1﹣2i）•z＝5，得z＝，∴z的虚部为2．故选：D．3．【解答】解：设公差为d，由题意可得，解得a1＝﹣，d＝，则S10＝10a1+45d＝10×（﹣）+45×＝100，故选：C．4．【解答】解：如图所示：∵，∴．故选：D．5．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且x≥0时，f（x）＝a+log2（x+1）；∴f（0）＝a+0＝0；∴a＝0；∴x≥0时，f（x）＝log2（x+1）；∴f（﹣7）＝﹣f（7）＝﹣log28＝﹣3．故选：A．6．【解答】解：某校从高三年级中随机选取400名学生，将他们的数学成绩绘制成频率分布直方图（如图）．由频率分布直方图得：（0.02+0.035+a+0.01+0.005）×10＝1，解得a＝0.03，要从成绩在[120.130），[130，140），[140.150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取36人参加一项活动，从成绩在[130，140）内的学生中选取的人数为：36×＝8．故选：B．7．【解答】解：∵m⊄α，n⊂α，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件，故选：A．8．【解答】解：根据题中的流程图，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sin+sin+…sin的值，由于：2018＝12×168+2，可得：S＝sin+sin+…sin＝168×（sin+sin+…+sin）+sin+sin＝0×168+sin+sin＝0+＝．故选：C．9．【解答】解：由题意可知：双曲线（a＞b＞0）焦点在x轴上，焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），由F1、F2、P（0，2b）是等腰直角三角形的三个顶点，∴2b＝c，∴4b2＝a2+b2，a2＝3b2，∴，则双曲线的渐近线方程是y＝．故选：C．10．【解答】解：f（x）＝3﹣|x﹣α|是R上的偶函数；∴3﹣|﹣x﹣α|＝3﹣|x﹣α|；∴|﹣x﹣α|＝|x﹣α|；∴|x+α|＝|x﹣α|；∴（x+α）2＝（x﹣α）2；∴x2+2αx+α2＝x2﹣2αx+α2；∴2αx＝﹣2αx；∴α＝0；∴；∴f（x）在[0，+∞）上单调递减；f（log0.57）＝f（﹣log27）＝f（log27）；∵α＜log23＜log27；∴f（α）＞f（log23）＞f（log27）；∴f（α）＞f（log23）＞f（log0.57）．故选：D．11．【解答】解：＝（2，2），＝（1，3），＝（x，y），∵＝m+n，∴，∴2m﹣n＝2x﹣y，作出平面区域如图所示：令z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点C（3，2）时，截距最小，即z最大．∴z的最大值为2×3﹣2＝4．即2m﹣n的最大值为4．故选：B．12．【解答】解：由f（x）＝2ax3﹣3ax2﹣6x，得f′（x）＝6ax2﹣6ax﹣6，又函数f（x）有两个极值点，∴方程ax2﹣ax﹣1＝0有两个不等的实数根，则a2+4a＞0，且x1+x2＝1，x1x2＝﹣，∴k AB＝＝﹣＝a，则过AB的直线方程为y﹣＝a（x﹣x1），整理得：y＝ax+，即y＝a（x﹣1），则直线y＝a（x﹣1）过定点（1，0），∴直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系为相交．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：y＝sin x+e x的导数为y′＝cos x+e x，在点（0，1）处的切线斜率为k＝cos0+e0＝2，即有在点（0，1）处的切线方程为y＝2x+1．故答案为：y＝2x+1．14．【解答】解：由三视图知：几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，其中半圆锥与四棱锥的高都为，半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，∴几何体的体积V＝××π×12×+×22×＝+．故答案为：．15．【解答】解：自然数中能被3除余1且被7除余l的数可以表示为21n+1．令21n+1≤2018，解得n≤96．其2至2018这2017个自然数中能被3除余1且被7除余l的数共有96个．故答案为：96．16．【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系：如图：因为，AC＝3，所以C（，），设B（x，0），因为△ABC是锐角三角形，所以∠B+∠C＝，所以﹣∠B，由0＜∠C＜得，0＜﹣∠B＜，得＜∠B＜，即B点在如图的线段DE上（不与D、E重合），所以＜x＜3，则•＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，所以•的取值范围是：（0，9）．故答案为：（0，9）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2．∴2ac sin B＝a2+c2﹣b2+2ac，可得：2ac sin B＝2ac cos B+2ac，∴sin B﹣cos B＝1，可得：2sin（B﹣）＝1，可得：sin（B﹣）＝，∵B∈（0，π），∴B＝…6分（2）∵b＝2，B＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：4＝a2+c2﹣ac，又∵a2+c2≥2ac，∴4＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴S△ABC＝≤＝．可得三角形面积的最大值为…12分18．【解答】解：（1）证明：CB＝CD，∠BCD＝120°，可得∠CBD＝30°，由△ABD为等边三角形，可得∠ABD＝60°，即有∠ABC＝90°，即CB⊥AB，由P A⊥底面ABCD，可得P A⊥CB，而P A∩AB＝A，可得BC⊥平面P AB，又BC⊂平面PBC，则平面PBC⊥平面P AB；（2）P A＝AB＝4，可得PB＝＝4，由（1）可得CB⊥PB，同理可得CD⊥PD，则底面ABCD的面积为×16+•••＝，S△P AB＝S△P AD＝•4•4＝8，S△PCB＝S△PCD＝•4•＝，则四棱锥P﹣ABCD的表面积为+16+．19．【解答】解：（1）如图示：由散点图可知，可以用线性回归方程模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系，＝（11+13+16+15+20+21）＝16，∴＝76，∴r＝≈0.96，故两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；（2）＝＝2，又＝（1+2+3+4+5+6）＝3.5，∴＝﹣＝16﹣2×3.5＝9，故回归方程是：＝2x+9，2018年2月的月份代码x＝7，∴＝23，估计2018年2月的市场占有率为23%．20．【解答】解：（1）将P（﹣2，1）代入，得a2＝8，∴椭圆方程为，设直线AB的方程：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），A，B中点M（x0，y0），由得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0∴，，直线OP经过AB的中点，则k OM＝k OP，，∴，∴k＝（2）由k＝，可得x1+x2＝﹣2m，x，设Q点的坐标为（2，t），∴k QA+k QB＝＝＝＝＝，当且仅当t﹣1＝0，即t＝1时，k QA+k QB为常数0，即Q点坐标为（2，1），故“和谐点”的个数为1个．21．【解答】解：（1）f′（x）＝2x+（a﹣2）﹣＝，（x＞0），令g（x）＝2x2+（a﹣2）﹣a＝（2x+a）（x﹣1），①当a≥0时，﹣≤0，x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增；②当﹣2＜a＜0时，0＜﹣＜1，x∈（﹣，1），f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（0，﹣），（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增；③当a＝﹣2时，﹣＝1，x∈（0，+∞），f′（x）≥0，f（x）递增；④当a＜﹣2时，﹣＞1，x∈（1，﹣），f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（），1），（﹣，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，综上，当a≥0时，x∈（0，1），f（x）递减，x∈（0，1），f（x）递减，x∈（1，+∞），f（x）递增；当﹣2＜a＜0时，x∈（﹣，1），f（x）递减，x∈（0，﹣），（1，+∞），f（x）递增，当a＝﹣2时，x∈（0，+∞），f（x）递增，当a＜﹣2时，x∈（1，﹣），f（x）递减，x∈（），1），（﹣，+∞），f（x）递增；（2）f（x）≥ax﹣1，即x2﹣2x﹣alnx+1≥0，令h（x）＝x2﹣2x﹣alnx+1，即h（x）min≥0，h′（x）＝，令t（x）＝2x2﹣2x﹣a，△＝4+8a，①若a≤﹣，即△≤0，h′（x）＞0，h（x）在[1，+∞）递增，h（x）min＝h（1）＝0≥0，②若a＞﹣．即△＞0，x1＝，x2＝，（i）若﹣＜a＜0，x∈[1，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）min＝h（1）＝0≥0，（ii）若a＝0，x∈[1，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）min＝h（1）＝0≥0，（iii）若a＞0，x∈[1，x2），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（x2，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）min＝h（x2）＜h（1）＝0，不合题意，舍，故a的范围是（﹣∞，0]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为转换为直角坐标方程为：x+y﹣4＝0．转换为极坐标方程为：．曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1．整理得：x2+y2＝2y，转换为极坐标方程为：ρ＝2sinθ．（2）令θ＝α，则：＝，即：|OA|＝，|OB|＝2sinα，所以：＝，由于：，所以：，故当，即：时，．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）不等式|3f（x）﹣4|≤2；可得：﹣2≤3f（x）﹣4≤2，即≤f（x）≤2∵f（x）＝|x﹣2|．∴≤|x﹣2|≤2则，解得：或∴原不等式的解集为[，4]∪[0，]．（2）由题意，∃x0∈R，使f（x0）+g（x0）≤a2﹣4a成立，则[f（x0）+g（x0）]min≤a2﹣4a成立，f（x0）+g（x0）＝|x﹣2|+|2x+6|＝根据一次函数的图象性质，可知：当x＝﹣3时，[f（x0）+g（x0）]min＝5；∴5≤a2﹣4a即a2﹣4a﹣5≥0解得：a≥5或a≤﹣1．故得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
济南大学2016～2017学年第一学期课程考试试卷（A 卷）
课 程 高等数学（一） 考试时间 2017 年 1 月 3 日
………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………
一、选择题（每小题2分，共10分）
(1) =-∞→x
x x )
sin(lim
(A) 1-. (B) 0. (C) 1. (D) ∞.
(2) 设2
cos 1)(x
x
x f -=，则0=x 是函数)(x f 的 (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是
(A) )1ln(x -. (B) 11-+x . (C) x cos . (D) 1e -x . (4) 设x x x x f 93)(23--=，下列命题中正确的是
(A) )1(-f 是极大值，)3(f 是极大值. (B) )1(-f 是极小值，)3(f 是极小值. (C) )1(-f 是极大值，)3(f 是极小值. (D) )1(-f 是极小值，)3(f 是极大值. (5) 设⎰
++=1
0d 1)
1ln(x x x I k
k （3,2,1=k ），则有
(A) 321I I I ≤≤. (B) 123I I I ≤≤. (C) 312I I I ≤≤. (D) 213I I I ≤≤.
二、填空题（每小题2分，共10分） (1) =+→x
x x 10
)21(lim ．
(2) 函数x x y arctan 2=的微分=y d ． (3) 曲线1015623-+-=x x x y 的拐点是 . (4) =+⎰
∞+1
2
d 11
x x
． (5) 微分方程02=+'-''y y y 的通解为_______________. 三、计算题（每小题6分，共18分）
(1) 4
58
6lim 224+-+-→x x x x x .
(2) 求曲线x x y xy =-+)ln()sin(在点)1,0(处的切线方程.
(3) 设函数)(x y y =由参数方程⎩
⎨⎧-=-=2
21t t y t x 所确定，求x y d d 和22d d x y
.
四、计算题（每小题8分，共32分） (1)
⎰
+x x
x d 23
2. (2)
⎰x x x
d ln 2
. (3) ⎰
-1
2
2d 4x x
x .
(4) 求微分方程
)1(2d d -=y xy x
y
满足初值条件1|0-==x y 的特解. 五、综合题（每小题10分，共20分） (1) 已知函数
⎪⎩⎪⎨⎧=<<+=⎰0,
,2||0,d 2cos 1)(0x a x t t t x x f x
在0=x 点可导，求数a 并求)0(f '.
(2) 设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内大于零，并满足23)()(x x f x f x +='，又曲线)(x f y =与
1=x ，0=y 所围成的图形的面积为2，求函数)(x f .
六、证明题（10分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且有0)0(=f ，2
1
d )(1
=
⎰x x f . 证明：(Ⅰ) 存在一点)1,0(∈c ，使得c c f =)(；
(Ⅱ) 存在一点)1,0(∈ξ，使得1)()(+-='ξξξf f .。