2
，
所以π6
.
所以sin ????2B ＋π6∈????1
2，1，所以|3m －2n |2∈(1,7)． 故|3m －2n |的取值范围是(1，7)．
第一步：进行三角变换，求出某个角的值或者范围；
第二步：脱去向量的外衣，利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数 问题；
第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．
跟踪训练2 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .
(1)将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期；
(2)记f (x )的最大值为M ，a 、b 、c 分别为△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的边长，若f ????
A 2＝M ，且a ＝2，求bc 的最大值．
解 (1)由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1
＝2sin ?
???2x ＋π
6＋1， 所以f (x )＝2sin ?
???2x ＋π
6＋1， 又T ＝2πω＝2π2＝π.
所以函数f (x )的最小正周期为π.
(2)由(1)易得M ＝3，于是由f ????
A 2＝M ＝3，
得2sin ????A ＋π6＋1＝3?sin ???
?A ＋π
6＝1， 因为A 为三角形的内角，故A ＝π
3
.
由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，解得bc ≤4. 于是当且仅当b ＝c ＝2时，bc 取得最大值4. 模板3 空间平行或垂直关系的证明
例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为
PC 、 BD 的中点，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝2
2
AD .
(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PCD .
审题破题 (1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．(2)先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理．
证明 (1)连接AC ，则F 是AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴在△CP A 中，EF ∥P A ，
又∵P A ?平面P AD ，EF ?平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .
(2)∵平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，
又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥P A .
又P A ＝PD ＝2
2AD ，∴△P AD 是等腰直角三角形，
且∠APD ＝90°，即P A ⊥PD .
又∵CD ∩PD ＝D ，∴P A ⊥平面PCD ， 又∵P A ?平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD .
第一步：将题目条件和图形结合起来；
第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；
第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系； 第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.
跟踪训练3 (2013·山东)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，
E ，
F ，
G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．
(1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .
证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连接EH ，DH .
又E 为PB 的中点，
所以EH 綊1
2AB .
又CD 綊1
2
AB ，所以EH 綊CD .
所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH ?平面P AD ，CE ?平面P AD . 所以CE ∥平面P AD . 方法二 连接CF .
因为F 为AB 的中点，
所以AF ＝1
2AB .
又CD ＝1
2
AB ，所以AF ＝CD .
又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF ?平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .
因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ?平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ?平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .
(2)因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF ∥P A . 又因为AB ⊥P A ，
所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .
又因为EF ∩FG ＝F ，EF ?平面EFG ，FG ?平面EFG . 所以AB ⊥平面EFG .
又因为M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥CD ， 又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG . 又因为MN ?平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . 模板4 数列通项公式的求解问题
例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋
1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成
等差数列． (1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式．
审题破题 (1)可令n ＝1，n ＝2得关系式联立求a 1；(2)由已知可得n ≥2时，2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减．
解 (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，
② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)，
③
由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋
1＋1，
∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，
两式相减得a n ＋1－3a n ＝2n ， 则a n ＋12n －32·a n 2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32???
?a n
2n －1＋2. 又a 120＋2＝3，知????
??a n 2n －1＋2是首项为3，公比为3
2的等比数列， ∴a n
2n －1＋2＝3????32n －1，即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式， ∴a n ＝3n －2n .
第一步：令n ＝1，n ＝2得出a 1，a 2，a 3的两个方程，和已知a 1，a 2，a 3的关系 联立求a 1；
第二步：令n ≥2得关系式后利用作差得a n ＋1，a n 的关系；
第三步：构造等比数列??????
a n 2n ＋1＋2，并求出通项；
第四步：求出数列{a n }的通项．
跟踪训练4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；
(2)求证：数列??????
a n ＋23(－1)n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式．
(1)解 在S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1中分别令n ＝1,2,3，得 ????
?
a 1＝2a 1－1a 1＋a 2＝2a 2＋1a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1
，解得????
?
a 1＝1，a 2＝0，
a 3＝2.
(2)证明 由S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1得： S n －1＝2a n －1＋(－1)n －
1，n ≥2.
两式相减得a n ＝2a n －1－2(－1)n ，n ≥2.
a n ＝2a n －1－43(－1)n －2
3(－1)n
＝2a n －1＋43(－1)n －
1－23
(－1)n ，
∴a n ＋23
(－1)n ＝2????a n －1＋23(－1)n －
1(n ≥2)． 故数列????
??
a n ＋23(－1)n 是以a 1－23＝13为首项，公比为2的等比数列．
所以a n ＋23(－1)n ＝13×2n －
1，
∴a n ＝13×2n －
1－23×(－1)n .
模板5 数列求和问题
例5 (2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－1
2
n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.
(1)确定常数k ，并求a n ；
(2)求数列????
??
9－2a n 2n 的前n 项和T n .
审题破题 (1)由S n 的最大值，可据二次函数性质求k ，因而确定a n ；(2)利用错位相减法求和．
解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－1
2
n 2＋kn 取最大值，
即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝1
2
k 2，故k 2＝16，因此k ＝4，
从而a n ＝S n －S n －1＝9
2
－n (n ≥2)．
又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝9
2－n .
(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n
2
n －1，
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n
2n －1，
所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n
2n －1
＝4－12n －2－n
2n －1＝4－n ＋22n －1.
第一步：利用条件求数列{b n }的通项公式； 第二步：写出T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n 的表达式；
第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如：公式法、裂项法， 本题用错位相减法)； 第四步：明确规范表述结论；
第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求a n 时，易 忽视对n ＝1，n ≥2时的讨论.
跟踪训练5 已知点???
?1，1
3是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上的一点．等比数列{a n }的 前n 项和为f (n )－c .数列{b n } (b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1 (n ≥2)．
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)若数列????
??1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，问满足T n >1 001
2 012的最小正整数n 是多少？
解 (1)∵f (1)＝a ＝1
3
，∴f (x )＝????13x . 由题意知，a 1＝f (1)－c ＝1
3－c ，
a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－2
9，
a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－2
27.
又数列{a n }是等比数列，
∴a 1＝a 2
2a 3＝481－227＝－23＝13
－c ，∴c ＝1.
又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23·????13n －1
＝－2·????13n (n ∈N *)． ∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1) ＝S n ＋S n －1 (n ≥2)．
又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.
∴数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.
当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式． ∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)．
(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1
b n b n ＋1
＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)
＝12×????1－13＋12×????13－15＋12×????15－17＋…＋1
2×???
?12n －1－12n ＋1
＝12×????1－12n ＋1＝n
2n ＋1.
由T n ＝n 2n ＋1>1 0012 012
，得n >1 001
10，
∴满足T n >1 001
2 012的最小正整数n 的值为101.
模板6 概率与统计问题
例6 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在
六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200, 140,110,160,220,140,160. (1)完成下列频率分布表： 近20
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 审题破题 (1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有3个．故近
(2)由题意知，当X ＝70时，Y ＝460； X 每增加10，Y 增加5，
故Y ＝460＋5×X －7010＝X
2
＋425.
P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210) ＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)
＝120＋320＋220＝310
. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为3
10
.
第一步：理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表； 第二步：利用互斥事件的概率公式求概率、作答.
跟踪训练6 (2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B
(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评 委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解 (1)
(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2
共4种，故所求概率P ＝418＝2
9.
模板7 圆锥曲线的定点问题
例7 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
1，离心率为e ＝2
2
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点(1,0)作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP →·MQ
→
为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
审题破题 (1)利用待定系数法求E 的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明．
解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
由已知得
解得
所以b 2＝a 2－c 2＝1.
所以椭圆E 的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)假设存在符合条件的点M (m,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，MP →·MQ →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2.
①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，
由
得x 2＋2k 2(x －1)2－2＝0，
即(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，
则x 1＋x 2＝4k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1
，
y 1y 2＝k 2
(x 1－1)(x 2－1)＝k 2
[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 2
2k 2＋1
，
所以MP →·MQ →＝2k 2
－22k 2＋1－m ·4k 22k 2＋1＋m 2
－k 22k 2＋1
＝(2m 2－4m ＋1)k 2＋(m 2
－2)2k 2＋1
.
因为对于任意的k 值，MP →·MQ →
为定值，
所以2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2)，得m ＝5
4
.
所以M ????54，0，此时，MP →·MQ →＝－716
. ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，
则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1，y 1y 2＝－1
2
，
由m ＝54，得MP →·MQ →＝－716
.
综上，符合条件的点M 存在，且坐标为????
54，0.
第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是
直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；
第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程； 第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y －y 0＝ k (x －x 0)的形式，则k ∈R 时直线恒过定点(x 0，y 0)；若是动态的曲线方程，将动态的 曲线方程转化成f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的形式，则λ∈R 时曲线恒过的定点即是f (x ， y )＝0与g (x ，y )＝0的交点；
第四步：下结论；
第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是 以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.
跟踪训练7 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)．
(1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；
(2)设A ，B 为抛物线上的两点，且直线AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．
(1)解 由已知得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，
因为点F 到直线l 的距离为3，所以
|3k |
1＋k 2
＝3， 解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±2
2.
(2)证明 设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 不与x 轴垂直，所以AB 斜率存在，
所以直线MN 的斜率为y 0
x 0－4
，直线AB 的斜率为4－x 0y 0，
直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0
y 0
(x －x 0)，
联立方程得
消去x ，得????1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4y 0
4－x 0
，
因为N 为线段AB 的中点，
所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 0
4－x 0＝y 0
，
所以x 0＝2.即线段AB 中点的横坐标为定值2.
模板8 圆锥曲线中的范围、最值问题
例8 已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到
直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥4
5
c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．
审题破题 用a ，b 表示s 可得关于a ，b ，c 的不等式，进而转化成关于e 的不等式，求e 的范围．
解 设直线l 的方程为x a ＋y
b
＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.
由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2
＋b
2，
同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2
， 于是s ＝d 1＋d 2＝
2ab a 2＋b 2
＝2ab
c .
由s ≥45c ，得2ab c ≥4
5c ，即5a c 2－a 2≥2c 2，
可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0， 解得5
4
≤e 2≤5.
由于e >1，故所求e 的取值范围是????5
2，5.
第一步：提取.从题设条件中提取不等关系式；
第二步：解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；
第三步：下结论.根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参 数的取值范围；
第四步：回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲 线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a ，b ，c 的大小关 系等.
跟踪训练8 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为
2
2
，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →
. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．
解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)，
设c >0，c 2＝a 2－b 2，
由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝2
2.
故椭圆C 的方程为y 2＋x
212
＝1，即y 2＋2x 2＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由
得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0，
Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)
x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1
k 2＋2.
因为AP →＝3PB →
，所以－x 1＝3x 2， 所以
所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0.
所以3·? ????－2km k 2＋22＋4·
m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.
当m 2＝1
4
时，上式不成立；
当m 2≠14时，k 2＝2－2m 2
4m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，
又k ≠0，所以k 2＝2－2m 2
4m 2－1>0. 解得－12
即所求m 的取值范围为????－1，－12∪????1
2，1. 模板9 函数的单调性、极值、最值问题 例9 已知函数f (x )＝2ax －a 2＋1
x 2＋1
(x ∈R )．其中a ∈R .
(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数f (x )的单调区间与极值．
审题破题 (1)直接求f ′(x )，得f ′(2)后写出切线方程；(2)求导函数f ′(x )后要对a 进行讨论，可以列表观察函数f (x )的单调性，极值．
解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1
，f (2)＝4
5，
又f ′(x )＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，f ′(2)＝－6
25. 所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －45＝－6
25
(x －2)，即6x ＋25y －32＝0.
(2)f ′(x )＝2a (x 2＋1)－2x (2ax －a 2＋1)
(x 2＋1)2
＝－2(x －a )(ax ＋1)(x 2＋1)2.
由于a ≠0，以下分两种情况讨论．
①当a ＞0，令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1
a ，x 2＝a .
当
所以f (x )在区间???－∞，－1
a ，(a ，＋∞)内为减函数， 在区间???
?－1
a ，a 内为增函数． 函数f (x )在x 1＝－1
a
处取得极小值f ????－1a ， 且f ????－1
a ＝－a 2. 函数f (x )在x 2＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1. ②当a ＜0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝a ，x 2＝－1a ，
当所以f (x )在区间(－∞，a )，??－1a ，＋∞内为增函数，在区间???a ，－1
a 内为减函数． 函数f (x )在x 1＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1.
函数f (x )在x 2＝－1a 处取得极小值f (－1
a
)，
且f ???
?－1
a ＝－a 2.
第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R . 第二步：求f (x )的导数f ′(x )． 第三步：求方程f ′(x )＝0的根．
第四步：利用f ′(x )＝0的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干 个小开区间，并列出表格．
第五步：由f ′(x )在小开区间内的正、负值判断f (x )在小开区间内的单调性． 第六步：明确规范地表述结论．
第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f ′(x )＝0的根为
x 1＝－1
a ，x 2＝a .要确定x 1，x 2的大小，就必须对a 的正、负进行分类讨论．这就是
本题的关键点和易错点．
跟踪训练9 已知函数f (x )＝a ln x ＋2a 2
x
＋x (a ≠0)．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直，求实数a 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性； (1)解 f (x )的定义域为{x |x >0}．
f ′(x )＝a x －2a 2
x
2＋1 (x >0)．
根据题意，有f ′(1)＝－2，所以2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝3
2
.
(2)解 f ′(x )＝a x －2a 2
x 2＋1＝x 2＋ax －2a 2x 2
＝(x －a )(x ＋2a )x 2 (x >0)．
①当a >0时，因为x >0，
由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0，解得x >a ； 由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0，解得0所以函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减． ②当a <0时，因为x >0，
由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0，解得x >－2a ； 由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0，解得0所以函数f (x )在(0，－2a )上单调递减，在(－2a ，＋∞)上单调递增． 模板10 导数与不等式问题
例10 设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1
x
，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．
(1)求g (x )的单调区间和最小值；
(2)讨论g (x )与g ????
1x 的大小关系；
(3)是否存在x 0>0，使得|g (x )－g (x 0)|<1
x 对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若
不存在，请说明理由．
审题破题 (1)先求出f (x )，再求g (x )，然后讨论g (x )的单调区间，最值；(2)可构造函数
h (x )＝g (x )－g ????1x ，通过g (x )的单调性比较g (x )，g ????1x 的大小；(3)对任意x >0若不存在x 0，只需取一特殊值即可；若存在x 0，一般利用最值解决． 解 (1)由题设易知f (x )＝ln x ，
g (x )＝ln x ＋1
x ，∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1，
当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调减区间， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. 故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，
因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点， 从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1. (2)g ????1x ＝－ln x ＋x ，
设h (x )＝g (x )－g ????1x ＝2ln x －x ＋1
x
， 则h ′(x )＝－(x －1)2
x 2
，
当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ????
1x ， 当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减， 当0h (1)＝0，即g (x )>g ????1x ， 当x >1时，h (x )假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1
x
对任意x >0成立，即对任意x >0，
有ln x x ，(*)
但对上述x 0，取x 1＝e
g (x 0)
时，有ln x 1＝g (x 0)，这与(*)左边不等式矛盾，
因此，不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1
x
对任意x >0成立．
第一步：构造函数h (x )＝g (x )－g ????
1x ；
第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h (x )的单调性； 第三步：根据h (x )的单调性比较h (x )和0的大小； 第四步：下结论，反思回顾.
跟踪训练10 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＋ln x .
(1)当a ＝b 时，若函数f (x )在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；
(2)设函数f (x )在x ＝1
2，x ＝1处取得极值，且f (1)＝－1，若对任意的x ∈????14，2，f (x )≤m 恒成立，求m 的取值范围．(参考数据：e ≈2.7)
解 (1)∵a ＝b 时，f (x )＝ax 2＋ax ＋c ＋ln x ，
∴f ′(x )＝2ax ＋a ＋1x ＝2ax 2
＋ax ＋1
x (x >0)．
当a ＝0时，f ′(x )＝1
x >0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
当a >0时，∵x >0，∴2ax 2＋ax ＋1>0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
当a <0时，设g (x )＝2ax 2＋ax ＋1，函数g (x )在????－1
4，＋∞上单调递减，且g (0)＝1>0，故在(0，＋∞)上，函数g (x )的符号不确定，即此时f ′(x )的符号不确定，∴函数f (x )在 (0，＋ ∞)上不单调．
综上可知，a 的取值范围是[0，＋∞)．
(2)∵f (x )在x ＝1
2，x ＝1处取得极值，
∴f ′(1)＝f ′????
12＝0， 即????? 2a ＋b ＋1＝0a ＋b ＋2＝0，∴?
????
a ＝1
b ＝－3， 即f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)
x
，
且f (x )＝x 2－3x ＋c ＋ln x .
又∵f (1)＝－1，∴1－3＋c ＝－1，得c ＝1， ∴f (x )＝x 2－3x ＋1＋ln x . ∵当x ∈????
14，12时，f ′(x )>0，
∴函数f (x )在????
14，12上单调递增；
∵当x ∈????
12，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在????12，1上单调递减； ∵当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，
∴函数f (x )在(1,2]上单调递增．
∴f (x )极大值＝f ????12＝14－32＋1＋ln 12＝－1
4
－ln 2， 而f (2)＝－1＋ln 2，f (2)－f ????12＝－3
4
＋ln 4 ＝ln 4－ln e ，由于4>e>e
，故f (2)>f ????12， ∴f (x )max ＝－1＋ln 2，∴m ≥－1＋ln 2.
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最新山东高考数学理科试题及答案1
2008年山东高考数学理科 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）满足M ?｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是 （A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 （2）设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则 z z 等于 （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i （3）函数y ＝lncos x (- 2 π＜x ＜)2π 的图象是 （4）设函数f (x )＝｜x +1｜+｜x -a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 （5）已知cos （α- 6π）+sin α=473,sin()56 πα+的值是 （A ）- 5 3 2 （B ） 532 (C)-54 (D) 5 4 （6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 (A)9π （B ）10π (C)11π (D)12π （7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ） 511 （B ）681 （C ）3061 （D ）408 1 (8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的
2020高考数学专题复习----立体几何专题
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。
新高中数学《集合》专项测试 (1145)
高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（ ） （A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足
2013山东高考数学试卷理科及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=?P AB P A P B 。 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为 (A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i 2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{} ,=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9 3、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21 (),=+ f x x x 则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为9 4 ， 的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A) 512π (B) 3π (C) 4π (D) 6 π 5、将函数sin(2)?=+y x 的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4 π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380， --≥?? +-≥??+-≤? x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM 的斜率的 最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12 - 7、给定两个命题,.p q 若?p 是q 的必要不充分条件，则p 是?q 的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为 (A) (B) (C) (D) 9、过点(3,1)作圆2 2 (1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为
高考数学大题练习
高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.
【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)Word版
教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________
一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
2016年山东省高考数学试卷理科-高考真题
2016年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．（5分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞） 3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（） A．56 B．60 C．120 D．140 4．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（） A．4 B．9 C．10 D．12 5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）
A．+πB．+πC．+πD．1+π 6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 7．（5分）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC． D．2π 8．（5分）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C．D．﹣ 9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x ≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．2 10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]
1．已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10<3．已知点A （－1，0)，B （1,0)，C （－ 5712,0)，D （5712 ,0)，动点P （x , y )满足AP →·BP → ＝0，动点Q （x , y )满足|QC →|+|QD →|＝10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1； ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由； ⑶固定曲线C 0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。 4．已知函数f (x )＝m x 2＋(m －3）x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m 的取值范围； ⑵令t ＝－m ＋2，求[1 t ]；(其中[t ]表示不超过t 的最大整数，例如：[1]＝1， [2．5]＝2， [－2．5]＝－3) ⑶对⑵中的t ，求函数g (t )＝t ＋1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。
2019高考数学复习专题：集合(含解析)
一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况． (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展 1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3．奇数集：{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数
2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习(各种专题训练)Word版
2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法：
2017年山东省高考数学试卷(理科)
2017年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（） A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1） 2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z?=4，则a=（） A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D． 3．（5分）已知命题p：?x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（） A．0 B．2 C．5 D．6 5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=22.5，y i=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） A．160 B．163 C．166 D．170 6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）
A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0 7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+ C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜ 8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D． 9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（） A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
2020高考数学专题训练16
六） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1．满足条件?≠?M ≠?{0，1，2}的集合共有（ ） A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 2．等差数列}{n a 中，若39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 3．函数)1(log 2-=x y 的反函数图像是（ ） A B C D 4．已知函数)cos()sin()(??+++=x x x f 为奇函数，则?的一个取值为（ ） A ．0 B ．4 π - C ．2π D ．π 5．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种 子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有（ ） A ．4 82 10A C 种 B ．5 91 9A C 种 C ．5 91 8A C 种 D ．5 81 8A C 种 6．函数512322 3 +--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．5，-15 B ．5，-4 C ．-4，-15 D ．5，-16 7．已知9)222(-x 展开式的第7项为4 21 ，则实数x 的值是（ ） A ．31- B ．-3 C ．4 1 D ．4 8．过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB ＝6，BC ＝8， AC ＝10，则球的表面积是（ ） A ．π100 B ．π300 C ． π3100 D ．π3 400 9．给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交；②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α；③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线α∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ ）
高考数学考点专题总复习15
1．若数列{a n }前8项的值各异，且a n +8=a n 对任意n ∈N *都成立，则 下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 A ．{a 2k +1} B ．{a 3k +1} C ．{a 4k +1} D ．{a 6k +1} 2．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累 积的需求量S n （万件）近似地满足S n =90 n （21n －n 2－5）（n =1，2，……，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 A ．5月、6月 B ．6月、7月 C ．7月、8月 D ．8月、9月 3．在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m+T =a m 对于任意的非 零自然数m 均成立，那么就称数列{a n }为周期数列，其中T 叫数列{a n }的周期。已知数列{x n }满足x n+1=|x n –x n-1|(n ≥2)，如果x 1=1，x 2=a (a ∈R ，a ≠0)，当数列｛x n ｝的周期最小时，该数列前2019项的和是 A ．668 B ．669 C ．1336 D ．1337 4．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关 系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是
5.已知{}n a 是 首项为1，公差为-2的等差数列 ，则 ∑=-10121k k a = 。 6.200根圆柱形钢管，堆成一三角形垛或梯形垛，每上一层少一根，最下一层最少要放 根 。 7．已知函数1 3)(+=x x x f ,数列{}n a 满足).)((,111*+∈==N n a f a a n n (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)记13221++++=n n n a a a a a a S ,求n S . 参考答案 BCDA -2019, (∑∑==-=+-=-∴+-=-+-=10110 122.20163021,321,32k k k k n k a k a n a ) 20．( ,2)1(321+=++++n n n 满足条件2002 )1(≥+n n 的最小自然数n 为20，故最小一层最少要放20根。) 7.解析：（Ⅰ）由已知得，131+= +n n n a a a ， ∴311 1+=+n n a a ，即3111=-+n n a a ∴数列?? ????n a 1是首项11=a ,公差3=d 的等差数列. ∴233)1(11-=?-+=n n a n , 故)(2 31*∈-=N n n a n
高考数学专题训练试题7
第一部分 专题二 第1讲 等差数列、等比数列 (限时60分钟，满分100分) 一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．(精选考题·北京高考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5， 则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 解析：由题知a m ＝|q |m －1＝a 1a 2a 3a 4a 5＝|q |10，所以m ＝11. 答案：C 2．(精选考题·广元质检)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则连乘积a 1a 2a 3…aa 精选考题的值为( ) A ．－6 B ．3 C ．2 D ．1 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，∴a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝ 2，∴数列{a n }的周期为4，且a 1a 2a 3a 4＝1， ∴a 1a 2a 3a 4…aa 精选考题＝aa 精选考题＝a 1a 2＝2×(－3)＝－6. 答案：A 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．54 B ．45
C ．36 D ．27 解析：根据2a 8＝6＋a 11得2a 1＋14d ＝6＋a 1＋10d ，因此a 1＋4d ＝6，即a 5＝6.因此S 9＝9(a 1＋a 9) 2 ＝9a 5＝54. 答案：A 4．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 2 7＋2a 11＝0，数 列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 解析：因为a 3＋a 11＝2a 7，所以4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4，所以 b 6b 8＝b 27＝a 2 7＝16. 答案：D 5．(精选考题·福建高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3， ∴d ＝a 5－a 1 5－1＝2， ∴a 6＝－1<0，a 7＝1>0， 故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6. 答案：A 6．(精选考题·陕西高考)对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”
高考数学真题分类汇编集合专题(基础题)
高考数学真题分类汇编集合专题（基础题） 一、单选题 1.集合M={x|1＜x+1≤3}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（?R M）∩（?R N）等于（） A. （﹣1，3） B. （﹣1，0）∪（2，3） C. （﹣1，0]∪[2，3） D. [﹣1，0]∪（2，3] 2.已知R是实数集，M={x| ＜1}，N={y|y= +1}，N∩?R M=（） A. （1，2） B. [0，2] C. ? D. [1，2] 3.已知集合，，若，则实数的值为（） A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合，，则等于（） A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x＞0}，函数的定义域为集合B，则A∩B=（） A. [3，+∞） B. [2，3] C. （0，2]∪[3，+∞） D. （0，2] 6.已知集合，，则（） A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（?R B）=（） A. {x|x≥4} B. {x|x＞4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x＜﹣2或x≥4} 8.已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝（3，4],则a+b＝（） A. 7 B. －1 C. 1 D. －7 9.已知集合A={2，4}，B={2，3，4}，，则C中元素个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合，，则的子集个数是________． 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页
高考数学考点专题总复习12
1. 在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是 A 5 B －5 C 23 D 2 3- 2.已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么| a + 3 | = A 7 B 10 C 13 D 4 3. 已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,=等于 A 2 B 21 C －3 D －31 4. 已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 A a ⊥e B a ⊥(a －e ) C e ⊥(a －e ) D (a ＋e )⊥(a －e ) 5.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=___ 6..已知向量a 与的夹角为120°,且|a |=2, ||=5,则 (2a -b )·a = . 7..已知向量 b a x f x x b x x a ?=-+=+=)()),4 2tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ. 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.
8.如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 最大值. 与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个 A B C a
参考答案 1.A [解析]： ∠C=90°，),3,2(),1,(==AC k AB 则 )2,2(k BC -=∵∠C=90° ∴506)2(20=∴=+-∴=?k k BC AC 2.C [解析]：已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么a ?b =2 1 ∴| a + 3 |2=13962 2=+?+
2018年山东省高考数学试卷(理科)
2018年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 2．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位． A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（） A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 5．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（） A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5） 6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣ 10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（） A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）观察下列各式： C=40； C+C=41； C+C+C=42； C+C+C+C=43； … 照此规律，当n∈N*时， C+C+C+…+C= ． 12．（5分）若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为． 13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为．
高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)
1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法
高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2.
高考数学专题：集合
高考数学专题：集合 最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A. (2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A. (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B. (4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补 集为?U A 图形表示 集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且x?A} 4. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. (2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
(4)?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )，?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B ). 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)任何集合都有两个子集.( ) (2)已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ＝B ＝C .( ) (3)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (4)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) 解析 (1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的. (2)错误.集合A 是函数y ＝x 2的定义域，即A ＝(－∞，＋∞)；集合B 是函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)；集合C 是抛物线y ＝x 2上的点集.因此A ，B ，C 不相等. (3)错误.当x ＝1，不满足互异性. (4)错误.当A ＝?时，B ，C 可为任意集合. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修1P7练习2改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤10}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A.{a }?A B.a ?A C.{a }∈A D.a ?A 解析 由题意知A ＝{0，1，2，3}，由a ＝22，知a ? A . 答案 D 3.（·全国Ⅰ卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________. A.? ? ???－3，－32 B.? ? ???－3，32 C.? ? ? ??1，32 D.? ?? ??32，3 解析 易知A ＝(1，3)，B ＝? ????32，＋∞，所以A ∩B ＝? ???? 32，3. 答案 D 4.（·石家庄模拟)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则?U (A ∪B )等于( ) A.{1，4} B.{1，5} C.{2，5} D.{2，4} 解析 由题意得A ∪B ＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U ＝{1，2，3，4，5}，∴?U (A ∪B )＝{2，4}. 答案 D
