南昌大学概率论练习册答案

练习一一、1．BCD 2. ABC 3. CD 4. BD 5. D二.1. 88365365A 2. 41/90 3. 0.4 0.6 4. 25/42 三、已知：P (A )=0.45，P (B )=0.35，P (C )=0.3，P (AB )=0.1，P (AC )=0.08，P (BC )=0.05，P (ABC )=0.03(1)3.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P AC P AB P A P C B A P A P C B A P Y (2)07.0)()()(=-=ABC P AB P C AB P (3)3.0)(=C B A P23.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AB P B P C A B P B P C B A P Y 2.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AC P C P B A C P C P C B A P Y得73.0)()()(=++=C B A P C B A P C B A P P(4)14.0)()()()(=-+-+-==ABC BC P ABC AC P ABC AB P BC A C B A C AB P P Y Y (5)P (A ∪B ∪C )=0.73+0.14+0.03=0.9 (6)1.09.01)(=-=C B A P四、令x 、y 为所取两数，则Ω={(x ,y )|0<x <1, 0<y <1}； 令事件A ：“两数之积不大于2/9，之和不大于1”，则A ={(x ,y )| xy ≤2/9, x +y ≤1, 0<x <1, 0<y <1}S Ω=S OAED =1×1=1； 2ln 9231)921(11213231+=---⨯⨯==⎰dx x x S S A 阴得2ln 9231+==ΩS S P A 练习二一、1．ABCD 2. ABC 3. ABC 4. C二、Ω：“全厂的产品”；A 、B 、C 分别为：“甲、乙、丙各车间的产品”，S ：“次品”，则(1)由全概率公式，得 P (S )=P (A )P (S |A )+P (B )P (S |B )+P (C )P (S |C )=25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45%(2)由贝叶斯公式，得%23.366925345125%45.3%5%25)()|()()|(≈==⨯==S P A S P A P S A P三、Ω={(女,女,女),(女,女,男),(女,男,女),(男,女,女),(女,男,男),(男,女,男),(男,男,女)}有：P {至少有一男}=6/7或132333331C C C C P ++-= 四、101)(,157)(,154)(===AB P B P A P有：143157101)()()|(===B P AB P B A P 83154101)()()|(===A P AB P A B P 3019)()()()(=-+=AB P B P A P B A P Y五、bB A P b a B P B A P B P A P B P AB P B A P )()()()()()()()|(Y Y -+=-+==又P (A ∪B )≤1，则bb a B A P 1)|(-+≥练习三一、1．BD 2. ABCD 3. AD 4. B二、A 1、A 2、A 3分别“甲、乙、丙击中飞机”，则A 1、A 2、A 3相互独立 B i ：“有i 个人击中飞机”（i =1,2,3），有：Ω==Y 31i i B ；B ：“飞机被击落”由已知：P (A 1)=0.4，P (A 2)=0.5，P (A 3)=0.73213213211A A A A A A A A A B Y Y =36.0075.06.03.05.06.03.05.04.0 )()()()()()()()()()(3213213211=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P41.0)(23213213212=⇒=B P A A A A A A A A A B Y YB 3=A 1A 2A 3⇒P (B 3)=0.14又P (B |B 1)=0.2，P (B |B 2)=0.6，P (B |B 3)=1 由全概率公式，得：458.0114.06.041.02.036.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B B P B P B P三、A i ：“C 发生时第i 只开关闭合”，由已知有：P (A i )=0.96 (1)P (A 1∪A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1A 2)=0.96+0.96-0.96×0.96=0.9984 (2)设需k 只开关满足所需可靠性，在情况C 发生时，k 只开关中至少有一只闭合的概率为：39999.004.01)96.01(1)()()(1)(1)(1)(min 21212121=⇒≥-=--=-=-=-=k A P A P A P A A A P A A A P A A A P kkk k k k ΛΛY ΛY Y Y ΛY Y四、(1)3087.0)3.01(3.0)2(32255=-=C P(2)A ：“5个样品中至少有2个一级品”，有：47178.07.03.01)(1)()(15515525=-=-==∑∑∑=-==i i i i i i C i P i P A P练习四一、1. ABCD 2. D 3. A 4. AB 二、(1)任掷两骰子所得点数和i 有2→12共11种可能令ωi 表示和数为i 的样本点(i =2,3,…,12),则基本事件集Ω={ω2, ω3,…, ω12 }(2)由已知,得：∀ωi ∈Ω，有ξ(ωi )=2i (i =2,3,…,12）,则ξ的可能值为2i (i =2,3,…,12） (3){ξ<4}=φ； {ξ≤5.5}={ξ=4}={ω2}； {6≤ξ≤9}={ξ=6}∪{ξ=8}={ω3}∪{ω4}； {ξ>20}={ξ=22}∪{ξ=24}={ω11}∪{ω12}(4)P {ξ<4}=0；P {ξ≤5.5}=P {ω2}=1/36；P {6≤ξ≤9}=P {ω3}+P {ω4}=2/36+3/36=5/36； P {ξ>20}= P {ω11}+P {ω12}=2/36+1/36=3/36=1/12 三、(1) ξ的所有可能值为0，1，2P {ξ=0}=3522315313=C C ； P {ξ=1}=3512321312=C C ； P {ξ=2}=35131511322=C C C 故ξ的分布律为： (2)F (x )=P {ξ≤x }当x <0时，{ξ≤x }为不可能事件，得F (x )=P {ξ≤x }=0当0≤x <1时，{ξ≤x }={ξ=0}，得F (x )=P {ξ≤x }=P {ξ=0}=22/35当1≤x <2时，{ξ≤x }={ξ=0}∪{ξ=1}，又{ξ=0}与{ξ=1}是两互斥事件，得F (x )=P {ξ≤x }=P {ξ=0}+P {ξ=1}=22/35+12/35=34/35当x ≥2时，{ξ≤x }为必然事件，得F (x )=P {ξ≤x }=1 综合即得 四、五、(1)ππ11111)(112=⇒=⇒=-⇒=⎰⎰-+∞∞-A A dx x A dx x f (2)3111)2121(21212=-=<<-⎰-dx xP πξ(3)dt t f x F x⎰∞-=)()( 当x <－1时，00)(==⎰∞-dt x F x当－1≤x ≤1时，x dt x dt x F xarcsin 121110)(121ππ+=-+=⎰⎰--∞- 当x >1时, 10110)(11121=+-+=⎰⎰⎰--∞-dt dt xdt x F xπ 综合即得六、(1)P {2<ξ≤5}=Φ(235-)-Φ(232-)=Φ(1)-Φ(-0.5)=Φ(1)-[1-Φ(0.5)]=0.5328P {-4<ξ<10}=Φ(2310-)-Φ(234--)=Φ(3.5) -Φ(-3.5)= 2Φ(3.5) -1=0.9996 P {|ξ|>2}=1-P {-2≤ξ≤2}=1-Φ(232-)+Φ(232--)=1-Φ(-0.5)+Φ(-2.5)=0.6977P {ξ>3}=1-P {ξ≤3}=1-Φ(233-)=1-Φ(0)=1-0.5=0.5(2) P {ξ>C}=1-P {ξ≤C}=P {ξ≤C}⇒P {ξ≤C}=0.5⇒Φ(23-C )=0.5⇒23-C =0.5⇒练习五一、1．AB 2. BC 3. AC 4. BD 5. B二、⎩⎨⎧∉∈=)1,0( ,0)1,0( ,1)(x x x f X(1)y =e x 在(0,1)严格单调增且可导，则x =ln y 在(1,e )上有：(ln y )'=y1∴⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,01 |,1|)(ln )(e y y y f y f X Y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,01 ,1)(e y y y f Y (2)y = -2ln x 在(0,1)严格单调减且可导，则2yex -=在(0,+∞)上有：2221)(yy e e---='∴⎪⎩⎪⎨⎧>-=--其它 ,00 |,21|)()(22y e e f y f y y X Y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它 ,00,21)(2y e y f y Y 三、⎩⎨⎧-∈=其它 ,0]2/ ,2/[ ,/1)(πππx x f Xy =cosx 在[-π/2,0]上严格单调增且可导，则x 1=h 1(y )= -arccosy 在[0,1]上有：x 1'=211y - y =cosx 在[0, π/2]上严格单调减且可导，则x 2=h 2(y )=arccosy 在[0,1]上有：x 2'=211y-- ∴⎪⎩⎪⎨⎧∈-='+'=其它 ,0]1,0[ ,12|)(|)]([|)(|)]([)(22211y y y h y h f y h y h f y f X X Y π四、五、(1)12112/1),(0403=⇒==⇒=⎰⎰⎰⎰+∞-+∞∞-+∞-+∞∞-k k dy e dx e k dxdy y x f y x(2)⎪⎩⎪⎨⎧>>--===--+-∞-∞-⎰⎰⎰⎰其它,00,0 ),1)(1(12),(),(4300)43(y x e e dxdy edxdy y x f y x F y x y xy x yx(3)P (0<X ≤1,0<Y ≤2)=F (1,2)-F (1,0)-F (0,2)+F (0,0)= (1-e -3)(1-e -8)六、(1)X 与Y 独立，则⎪⎩⎪⎨⎧>>⨯==+-其它， 00,0 ,1021)()(),(200026y x e y f x f y x f y x Y X(2)311021),()(02000206=⨯==>⎰⎰⎰⎰+-∞+>dy edx dxdy y x f Y X P x yx yx练习六1．(1)2211),(ππ=⇒==⎰⎰+∞∞-+∞∞-A A dxdy y x f (2) 161)1)(1(11010222=++=⎰⎰dxdy y x P π (3))1(1)1)(1(1)(2222x dy y x x f X +=++=⎰+∞∞-ππ，同理)1(1)(2y y f Y +=⇒π 有f (x ,y )=f X (x )f Y (y )，故X 与Y 独立2．X 与Y 独立，则P {X =x i ,Y =y j }=P {X =x i }P {Y =y j }有：3．(1)2,10)]3/()[2/(0),(0)2/)](2/([0),(1)2/)(2/(1),(2ππππππ===⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+-⇒=-∞=-+⇒=-∞=++⇒=+∞+∞C B A y arctg C B A y F C x arctg B A x F C B A F(2))9)(4(6),(),()32)(22(1),(22222++=∂∂∂=⇒++=y x y x y x F y x f y arctg x arctg y x F ππππ (3)2121)22)(22(1),()(2x arctg x arctg x F x F X πππππ+=++=+∞=则有)4(2)(2+=x x f X π；同理得：3121)(yarctg y F Y π+=，)9(3)(2+=y y f Y π4．5．设第i 周需要量为X i （i =1,2,3）⎩⎨⎧≤>=⇒-0 ,00,)(i i x i i X x x e x x f i i (i =1,2,3)(1)令X =X 1+X 2，则⎩⎨⎧>>=+-其它 ,00,0 ,),(21)(212121x x e x x x x f x x⎪⎩⎪⎨⎧≤>+++-===--+-≤+⎰⎰⎰⎰0,00,)12161(1),()(2320)(2101212112121x x e x x x dx e x x dx dx dx x x f x F x x x x x x x x x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⇒-0,00 ,61)(3x x e x x f x X(2)令Y =X 1+X 2+X 3=X +X 3，则⎪⎩⎪⎨⎧>>=--其它,00,0 ,61),(33333x x e x e x x x f x x⎪⎩⎪⎨⎧≤>+++++-===----≤+⎰⎰⎰⎰0,00,)12624120(161),()(2345303303333y y e y y y y y dx e x e x dx dxdx x x f y F y x y x x y y x x Y ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⇒-0,00 ,1201)(5y y e y y f y Y6．dxdy y x f dxdy y x f z Z P z F z y x z yx Z ⎰⎰⎰⎰≤+≤+==≤=22),(),()()((1)z ≤0⇒F Z (z )=0； (2)z z xz y x zZ ze e dy e dx z F z 2220)(2021)(0---+---==⇒>⎰⎰故⎩⎨⎧≤>=⇒⎩⎨⎧≤>--=---0,00 ,4)(0 ,00 ,21)(222z z ze z f z z ze e z F zZ z z Z练习七一、1. D 2. B 3. AD 4. D 5. BC 二、令Z 表示整数，则P {Z =i }=1/10=0.1 (i =1,2, (10)除的尽1的整数有且只有整数1这一个；除的尽2，3，5，7的有二个；除的尽4，9的有三个；除的尽6，8，10的有四个，则 P {X =1}=P {Z =1}=0.1； P {X =2}=P {Z =2}+P {Z =3}+P {Z =5}+P {Z =7}=0.4 P {X =3}=P {Z =4}+P {Z=8}+P {Z =10}=0.3 得X 的分布律为：E (X )=1×0.1+2×0.4+3×0.2+4×0.3=2.7三、E (X )=p q pq q p q p q p kqp kpqk k k kk k k k 1)1()1()()(2111111=-='-='='==∑∑∑∑∞=∞=∞=-∞=- E (X 2)=)()()(1111112112'='='==∑∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞=-∞=-k k k kk kk k k k kq q p kq p kq p qk p pqk222])1([p pq q p -='-=D (X )=E (X 2)-E 2(X )=221pqp p =- 四、E (X )=0)(2||==⎰⎰∞+∞--∞+∞-dx xe dx x xf xD (X )=322)()]([0222||22===-⎰⎰⎰∞+-∞+∞--∞+∞-dx e x dx ex dx x f X E x x x五、令搜索时间为T ，则T 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)( t t e t F t λ，得：⎩⎨⎧≤>=-0,00,)( t t e t f t λλ，则有E (T )=λλλ1)(0 ==⎰⎰+∞-+∞∞-dt e t dt t tf t六、b X E a b dx x bf dx x xf X E dx x af a ba b a b a ≤≤⇒=≤=≤=⎰⎰⎰)()()()()(E [(X -x )2]=E (X 2)-2xE (X )+x 2=E (X 2)+[x -E (X )]2-E 2(X )=[x -E (X )]2+D (X )可见，当x =E (X )时，E [(X -x )2]取最小值D (X ) 则当2b a x +=时，有：D (X )=E {[X -E (X )]2}2222)2(])2[(])2[(])2[(a b a b E b a b E b a X E -=-=+-≤+-≤练习八一、1. AD 2. AD 3. B 4. D 5. ABD 二、(1)2/112)sin(1),(22=⇒==+⇒=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A A dxdy y x A dxdy y x f ππ(2)4)sin(21)(22πππ=+=⎰⎰dxdy y x x X E228)sin(21)(220222-+=+=⎰⎰ππππdxdy y x x X E2216)()()(222-+=-=ππX E X E X D同理可得：2216)( ,4)(2-+==πππY D Y E(3)12)sin(21)(22-=+=⎰⎰πππdxdy y x xy XY E 1612)()()(),(2ππ--=-=Y E X E XY E Y X Cov 328168)()(),(22-+-+-==ππππρY D X D Y X Cov XY 三、(1)设X i 为第i 个加数取整后的误差，则X i ~U[-0.5,0.5] (i =1, (1500)总误差∑==15001i i X X ，且125211500)()(,0)()(1500115001=⨯====∑∑==i i i i X D X D X E X E由独立同分布的中心极限定理：P {|X |>15}=1-P {|X |≤15}1802.0)34.1(22)553(22)125015()125015(1=Φ-=Φ-=--Φ+-Φ-≈(2)在(1)的假设下，设∑==ni i X X 1，有E (X )=0，12)(n X D =则求最小自然数n ，使P {|X |≤10}≥0.90，即65.112/1095.0)12/10(9.01)12/10(2)12/010()12/010(≥⇒≥Φ⇒≥-Φ=--Φ--Φn n n n n ⇒n ≤440.77⇒n =440为所求四、E (X )=E (Y )=μ, D (X )=D (Y )=σ2E (Z 1)=αE (X )+βE (Y )=μ(α+β), E (Z 2)=αE (X )-βE (Y )=μ(α-β) E (Z 1Z 2)=E (α2X 2-β2Y 2)=α2E (X 2)-β2E (Y 2)=α2[D (X )+E 2(X )]-β2[D (Y )+E 2(Y )]=α2(σ2+μ2)-β2(σ2+μ2) =(σ2+μ2)(α2-β2)D (Z 1)=α2D (X )+β2D (Y )=σ2(α2+β2), D (Z 2)=α2D (X )+β2D (Y )=σ2(α2+β2)22222222222121212121)()()()()()()()()(),(21βαβαβασβασρ+-=+-=-==Z D Z D Z E Z E Z Z E Z D Z D Z Z Cov Z Z 阶段自测一一、1. D 2. A 3. B 4. A 5. B二、1. 0 3/4 5/8 1/8 2. 1/2 1/[π(1+x 2)] 3. 20 16 4. 41 41 5. 1 三、X 的可能值为：2，3，4，5P {X =2}=101125=C =0.1 P {X =3}=104251212=C C C =0.4 P {X =4}=103)1(2512=+C C =0.3 P {X =5}=1022512=C C =0.2 得X 的分布律：E (X )=2×0.1+3×0.4+4×0.3+5×0.2=3.6 E (X 2)=22×0.1+32×0.4+42×0.3+52×0.2=13.8 D (X )=E (X 2)-E 2(X )=0.84 四、令A i ：第i 台车床加工的零件；B ：废品，则A 1与A 2不相容 由已知：P (B |A 1)=0.03, P (B |A 2)=0.02, P (A 1)=2/3, P (A 2)=1/3由贝叶斯公式：25.0413/203.03/102.03/102.0)()|()()|()|(21222==⨯+⨯⨯==∑=i ii A P A B P A P A B P B A P 五、(1)1)(2)arcsin (lim )(lim ==+=+=--→→a F B A a x B A x F a x a x π0)(2)(lim )(=-=-=+-→a F B A x F a x π，则得：A =1/2, B =1/π(2)31)21arcsin 121()21arcsin 121()2()2(}22{=--+=--=<<-ππa F a F a X a P(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-='=其它 ,0|| ,1)()(22a x x a x F x f π六、⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤==⎰⎰---∞+∞-其它其它 ,01|| ,12 ,01|| ,1),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X ππ同理：⎪⎩⎪⎨⎧≤-=其它,01|| ,12)(2y y y f Y πf (x ,y )≠f X (x )f Y (y )，则X 和Y 不独立012)()(112=-==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E Xπ，同理：E (Y )=001),()0)(0(),(122==--=⎰⎰⎰⎰≤++∞∞-+∞∞-dxdy xy dxdy y x f y x Y X Cov y x π, 则X 和Y 不相关七、设A i ：第i 次误差的绝对值不超过30米 , ξ~N (20,402)所求为：3321321)](1[1)()()(1)(i A P A P A P A P A A A P --=-=Y Y8698.0)]402030()402030(1[1}]30|{|1[133=--Φ+-Φ--=≤--=ξP八、⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-≤≤===≤dy dx x f y f dxdy y f x fdxdy y x f Y X P yyx Y Xyx ])()([)()(),(}{21)]()([21)(21)()()()(222=-∞-+∞====+∞∞-+∞∞-+∞∞-⎰⎰F F y F y dF y F dy y F y f练习九一、1. C 2. A 3. C 4. C 5. A 二、(1)∵)1,0(~/N nX σμ- ∴}05.02)(05.0{}/21.0/2||{}1.0|{|n X n n P nn X P X P ≤-≤-=≤-=≤-μμμ153764.153695.01)05.0(2)05.0()05.0(≥⇒≥⇒≥-Φ=-Φ-Φ=n n n n n(2)n p p p np n X n D X D p np n X n E X E ni i n i i )1()1(1)1()( ,1)1()(211-=-=====∑∑==p (1-p )在p =1/2处取得最大值1/4,nX D X E X E p X E 41)(|)(|||22≤=-=-要使01.0||2≤-p X E ，只需1/4n ≤0.01，即n ≥25三、X 1,X 2,X 3,X 4~N (μ,σ2)，且相互独立⇒X 1-X 2~N (0,2σ2), X 3-X 4~N (0,2σ2)，且X 1-X 2与X 3-X 4相互独立则)1(~)2();1(~)2()1,0(~2);1,0(~2224322214321χσχσσσX X X X N X X N X X --⇒-- )1,1(~)()()1,1(~)2()2(243221243221F X X X X F X X X X --⇒--⇒σσ 05.095.01)()(1)()(243221243221=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--a X X X X P a X X X X P ⇒a =F 0.05(1,1)=161.4四、由题意知：)1,0(~)(212N X X C i i +- (i =1,2,3)22222122112)()]([σσσσ=⇒==+=+⇒-C C C X X C D i i又σ2212i i X X +- (i =1,2,3)是相互独立的，得Y ~χ2(3)，即自由度为3五、X 1,X 2,...,X 16相互独立，且)16(~)()1,0(~21612χσμσμ∑=-⇒-i i i X N X }32)({}8)({}32)(8{161216121612>--≥-=≤-≤=∑∑∑===i i i i i i X P X P X P P σμσμσμ=0.95-0.01=0.94六、X 1,X 2,...,X n 相互独立，且E (X i )=D (X i )=λn n nX n D X D n n X n E X E ni i n i i λλλλ======∑∑==2111)1()( ;1)1()()(112122X n X n S ni i --=∑=E (X i 2)=D (X i )+E 2(X i )=λ+λ2, 222)()()(λλ+=+=nX E X D X Eλλλλλ=--+-=)(11)(222n n n n S E练习十一、1. A 2. D 3. A 4. B 5. B 二、矩估计量:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++===+===⎰⎰∞+--∞+--22222122)()(θμθμθμθμθμμθμμθμdx e x X E dx e x X E x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∑∑==n i i n i i X n A X X n A 1221111 令⎩⎨⎧==2211A A μμ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+∑=n i i X n X1222122θμθμθμ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==2122121ˆ1ˆX X n X X n X ni i n i i θμ 极大似然估计量:设x 1, x 2,..., x n 是相应于样本X 1, X 2,..., X n 的一个样本值 似然函数L (x 1, x 2,..., x n , μ, θ )=∑==--=--∏ni i i x n ni x ee1)(1111μθθμθθ(x i ≥μ, i =1,2,..., n )⇒ln L = -n ln θ -∑=-n i i x 1)(1μθ,令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂==∂∂∑=0)(1ln 0ln 12ni ixn L n L μθθθθμ⇒μ和θ无解∵x i ≥μ,取k nk x ≤≤=1min ˆμ,有 L =∑=--ni i x n e 1)(11μθθ≤∑=≤≤--ni k nk i x x n e 11)min (11θθ=∑=--ni i x n e 1)ˆ(11μθθ令g (θ )=∑=≤≤--ni k n k i x x n e 11)min (11θθ令0)(=∂∂θθg ⇒0)min (1112=-+-∑=≤≤ni k n k i x x n θθ,得⎪⎩⎪⎨⎧-==≤≤=≤≤∑)min (1ˆmin ˆ111k nk n i i k nk x x n x θμ三、似然函数L (x 1, x 2,..., x n , σ )=∑==-=-∏ni i i x nni x ee1||1||)2(121σσσσ⇒ln L = -n ln(2σ) -∑=ni i x 1||σ= -n ln(2σ) -∑=ni ix1||1σ令0ln =∂∂σL ⇒0||112=+-∑=n i i x n σσ⇒∑==n i i X n1||1ˆσ由大数定律,有: ∑∑==−→−ni iPn i i X E n X n 11||1||1 E |X i |=E |X |=dx e x dx e x dx e x xxx ⎰⎰⎰∞+-∞-∞+∞--⋅+⋅-=⋅00||2121)(21||σσσσσσ=22σσ+=σ⇒σn n X E n n i i 1||11=∑==σ, 即σ−→−∑=P ni i X n 1||1⇒σˆ为σ的一致估计量 四、E (X )=2β, D (X )=122β⇒βˆ21)(ˆ=X E,2ˆ121)(ˆβ=X D 似然函数L (x 1, x 2,..., x n , β )=n ni ββ111=∏= (0≤x 1,..., x n ≤β)⇒ln L = -n ln β令0ln =∂∂βL ⇒0=-βn ⇒β无解∵L =n β1≤nn x )(1* (x n *=max(x 1,..., x n ))∴取*ˆnx =β时,有L (x 1, x 2,..., x n , β )≤L (x 1, x 2,..., x n ,βˆ) ∴21)(ˆ=X Emax(x 1,..., x n ), 121)(ˆ=X D [max(x 1,..., x n )]2 X 的观察值为1.3, 0.6, 1.7, 2.2, 0.3, 1.1时,最大值为2.2∴2.221)(ˆ⨯=X E=1.1, 22.2121)(ˆ⨯=X D =0.403 五、(1)证明连续型的情形: 设f (x )为X 的概率密度,则 P {|X -μ|≥ε}=dx x f y x ⎰≥-ε||)( ≤dx x f x y x )()(||22⎰≥--εεμ≤dx x f x ⎰∞+∞--)()(22εμ=21εE (X -μ)2(2)∀ε >0, P {|t n -θ |<ε}=1-P {|t n -θ |≥ε}≥1-22)(1θε-n t E22)(1θε-n t E =)]()([122θθε-+-n n t E t D =}])([)({122θε-+n n t E t D=])([122n n K t D +ε=0)(1222−−→−+∞→n n n K σε∴1}|{|lim =<-∞→εθn n t P , 即t n 是θ的一致估计量 练习十一一、n =16, 1-α =0.95⇒α =0.05, σ2未知)1(2-n t α=t 0.025(15)=2.131516029.01315.2705.2)1(2⨯-=--n t n s x α=2.6916029.01315.2705.2)1(2⨯+=-+n t n s x α=2.72∴μ的置信度为0.95的置信区间为(2.69, 2.72) 二、n =9, 1-α =0.95⇒α =0.05)8()1(2025.022χχα=-n =17.535, )8()1(2975.0221χχα=--n =2.180 535.171218)1()1(222⨯=--n s n αχ=55.20, 180.21218)1()1(2212⨯=---n s n αχ=444.04 ∴σ2的置信度为0.95的置信区间为(55.20, 444.04) 三、μ1, μ2分别为一号方案和二号方案的平均产量n 1= n 2=8, α =0.05, x =81.63, 21s =145.70, y =75.88, 22s =101.98)2(212-+n n t α=t 0.025(14)=2.14, 2)1()1(21222211-+-+-=n n s n s n s ω=11.132121211)2(n n s n n t y x +-+--ωα= -6.162121211)2(n n s n n t y x +-++-ωα=17.66 ∴μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间为(-6.16, 17.66)四、n 1= n 2=10, α =0.05, )1,1()1,1(122212--=--n n F n n F αα=F 0.05(9, 9)=4.0303.416065.05419.0)1,1(121222⋅=--n n F S S BA α=0.222 )1,1()1,1(11)1,1(11222212222212122--=--=---n n F S S n n F S S n n F S S B A B A B A ααα03.46065.05419.0⋅==3.601 ∴22BAσσ的置信度为0.95的置信区间为(0.222, 3.601) 五、∵212111)()(n n S Y X +---ωμμ~t (n 1+n 2-2)∴P {212111)()(n n S Y X +---ωμμ< t α(n 1+n 2-2)}=1-α∴P {2111n n S Y X +--ωt α(n 1+n 2-2)<μ1-μ2}=1-α∴μ1-μ2的置信度为1-α的置信下限为2111n n S Y X +--ωt α(n 1+n 2-2)x =0.14125, s 12=0.0000083, y =0.1392, s 22=0.0000052,7432221s s s +=ω=0.0025495 2111n n s y x +--ωt α(n 1+n 2-2)=0.14125-0.1392-0.00254955141+t 0.05(7) = -0.0011901≈ -0.0012 ∴μ1-μ2的置信度为0.95的置信下限为-0.0012 六、∵S nX )(μ-~t (n -1), 且P {)1(|)(|2-<-n t S n X αμ}=1-α∴P {nS n t X nS n t X )1()1(22-+<<--ααμ}=1-α∴μ的置信度为1-α的置信区间为(n S n t X )1(2--α,n S n t X )1(2-+α)此时n S n t L )1(22-=α⇒2222222)]1([4)()]1([4)(-=-=n t n S E n t n L E αασ阶段自测二一、1. 1 2. 21σnn - 11--n 3. F (1, n -1) 4. 11-n 5.二、1. AD 2. AC 3. CD 4. 三、(1)∵22)1(σnS n -~χ 2(n -1)∴P {22σn S ≤1.5}=P {22)1(σnS n -≤1.5(n -1)}≥0.95⇒P {22)1(σnS n ->1.5(n -1)}≤0.05⇒1.5(n -1)≥)1(205.0-n χ查χ 2分布表得满足上式的最小的n 为27 (2)∵n X σμ-~N (0,1), n n X E X E σσμμ⋅-=-||||, 令Y =nX σμ-∴E |Y |=ππ22||2122=⎰∞+∞--dy ey y ∴nn X E ππμ24222||=⋅=-≤0.1⇒n ≥255 四、(1)矩估计量: μ1=E (X )=dx xe x ⎰+∞--θθ)(=1+θ, A 1=X 令μ1=A 1⇒θ+1=X ⇒1ˆ-=X θ⇒∑∑==-=-=ni i ni i X n X n 111)1(111ˆθ极大似然估计量: L (x 1,..., x n ,θ )=∑=--ni i x e1)(θ (x i ≥θ )⇒ln L = -∑=-n i i x 1)(θ, 令0ln =∂∂θL ⇒θ无解∵x i ≥θ时L 非零 ∴当θ =i ni x ≤≤1min 时, L 有最大值⇒i n i X ≤≤=12min ˆθ (2))()1()ˆ(1X E X E E =-=θ-1=E (X )-1=θ+1-1=θ⇒1ˆθ是θ的无偏估计量2ˆθ的分布函数G (y )=P {i ni x ≤≤1min ≤y }=1-P {i ni x ≤≤1min >y }=1-P {X 1>y , X 2>y ,..., X n >y }=1-[1-F (y )]nX 的分布函数F (x )=⎩⎨⎧<≥---θθθx x e x,0 ,1)(⇒G (y )=⎩⎨⎧<≥---θθθy y e y n ,0 ,1)(⇒g (y )=G ' (y )=⎩⎨⎧<≥--θθθy y ne y n,0 ,)(⇒ndy yne E y n 1)ˆ()(2+==⎰+∞--θθθθ⇒2ˆθ不是θ的无偏估计量 五、n 1=5, n 2=7, α=0.01103262842)1()1(22212221⨯+⨯=-+-+-=n n S n S n S BA ω=30.46)2(212-+n n t α=t 0.05(10)=3.16932121211)2(n n s n n t x x B A +-+--ωα=63.47, 2121211)2(n n s n n t x x B A +-++-ωα=176.52 ∴所求置信区间为(63.47, 176.52) 六、七、E (T )=)()(21X bE X aE +=a μ+b μ=(a +b )μ=μ⇒T 是μ的无偏估计 T =21)1(X a X a -+ ∵1X 与2X 相互独立∴D (T )=222122221222212])1([)1()()1()(σσσn a n a n a n aX D a X D a -+=-+=-+ 则问题归结为求2212)1(n a n a -+的最小值, 令f (a )=2212)1(n a n a -+令0)(=daa df ⇒0)1(2221=--n a n a ⇒a =211n n n + )()(2)(2112121n n n a n n n n a f +-+='⇒a >211n n n +时, f '(a )>0; a <211n n n+时, f '(a )<0⇒f (a )在点211n n n +处取得最小值 ∴使D (T )达到最小值的a =211n n n +, b =212n n n+。