直线方程的练习题上课讲义
直线与方程(讲义)
直线与方程（讲义）一、基础知识梳理1、直线方程的几种形式2、两条直线的位置关系3、两条直线的交角①直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 4、距离问题5、对称问题题型总结一、直线方程1、直线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 2、直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A.213, B.--213, C.--123, D.－2，－3 3、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。
4、若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0二、垂直与平行1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ）A.x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 2x+y-2=0D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB. 052=-+y x3、(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=04、（上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或25、（05北京卷）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件三、直线系问题（1）过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =（2）与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠）（3）与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=（4）过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）1、求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1；2、经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行；3、经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.4、求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，250x y +-=平行5、经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是6、求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.四、对称问题点关于点的对称问题1、求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.点关于直线的对称问题1、求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标2、在直线y =－2上有一点P ，它到点A (－3, 1)和点B (5, －1)的距离之和最小，则点P 的坐标为3、已知点A (1, 3), B (5, －2)，在x 轴上取点P ，使||P A |－|PB ||最大，则点P 坐标为 .4、从点P (3, －2)发出的光线，经过直线l 1: x －y －2=0反射，若反射光线恰好通过点Q (5, 1)，则光线l 所在的直线方程是 .5、（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；直线关于某点对称的问题1、求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.直线关于直线的对称问题1、求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.2、求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程.3、求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.五、最值问题1.设－π≤α≤π，点P (1, 1)到直线x cosα+y sinα=2的最大距离是（A ）2－2 （B ）2+2 （C ）2 （D ）22．点P 为直线x －y +4=0上任意一点，O 为原点，则|OP |的最小值为（A ）6 （B ）10 （C ）22 （D ）23．已知两点P (cosα, sinα), Q (cosβ, sinβ)，则|PQ |的最大值为（A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）不存在4．过点(1, 2)且与原点距离最大的直线方程是（A ）x +2y －5=0 （B ）2x +y －4=0 （C ）x +3y －7=0 （D ）x －2y +3=05．已知P (－2, －2), Q (0, 1), R (2, m )，若|PR |+|RQ |最小，则m 的值为（A ）21 （B ）0 （C ）－1 （D ）－34 6．已知A (8, 6), B (2, －2)，在直线3x －y +2=0上有点P ，可使|P A |+|PB |最小，则点P 坐标为（A ）(2, 0) （B ）(－4, －10) （C ）(－10, －4) （D ）(0, 2)7．已知点A(1, 3), B(5, －2)，在x轴上取点P，使||P A|－|PB||最大，则点P坐标为.。
人教版必修二：直线与方程复习讲义及巩固练习
直线与方程知识梳理：1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. 4．斜率与倾斜角的对应关系α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°5.直线的斜率公式已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).6.两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：7.8.直线方程的五种形式(1)直线的点斜式方程: y －y 0＝k(x －x 0). 由直线上一定点P 0(x 0，y 0)及斜率k 确定. (2)直线的斜截式方程：y ＝kx ＋b. 由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定. (3)直线的两点式方程:y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 由直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)确定. (4)直线的截距式方程：x a ＋yb＝1 . 由直线分别在x ，y 轴上的截距a ，b 确定.(5)直线的一般式方程: Ax ＋By ＋C ＝0. 当B≠0时，其斜率是－A B ，在y 轴上的截距是－CB 当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴. 9.两条直线的位置关系已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2.(1) l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2. (2) l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 10.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.11.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两直线相交，交点坐标为(x 0，y 0).12.两点间的距离公式(1)已知平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则它们的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝x 2＋y 2. ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 13.点到直线的距离公式点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2. 14.两条平行直线间的距离公式两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.巩固练习：1．如图，直线l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为__________.3．已知A(2,3)、B(－1,4)，则直线AB的斜率是________．4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为_______．5．已知直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，则直线l2的斜率k2＝________.6.已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．7．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y ＝________.8．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则( )A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α1－α2|＝90° D．α1＋α2＝180°9．直线l过点A(－1,2)，斜率为3，则直线l的方程为___________________.10．已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y 轴上的截距为________．11.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5的直线方程为____________________；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线方程为_____________________；12．(1)经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程为_____________________；(2)经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程为_________________．13．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是_________________.14．直线2x＋3y＋1＝0的斜率为________；在x轴上的截距为________；在y轴上的截距为________．15．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝516．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<017．在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：(1)直线与x轴平行时：_____________； (2)直线与y轴平行时：_________________；(3)直线过原点时：_________________； (4)直线过点(1，－1)时：_______________.18．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是______________.19．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|=_____________. 20．直线x －2y ＋1＝0与2x ＋y －1＝0的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．重合 21．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为___________.22．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________________. 23．若点(1，a)到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 为___________.24．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是_________. 25.当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2 (1)平行; (2)垂直26．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．。
【精品】高中数学 必修2_直线的一般式方程及综合 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础
直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
高中 平面解析几何直线方程 知识点+例题
辅导讲义――直线方程围是___________1、五种直线方程：名称已知条件 示意图方程使用范围点斜式 点P (x 0，y 0)和斜率k斜率存在斜截式 斜率k 和在y 轴上的截距b斜率存在两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2斜率存在且不为0截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且ab ≠0斜率存在且不为0，不过原点一般式在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一般式方程表示2、直线的截距：（1）直线在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标．（2）直线在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a ，0)的横坐标．注意：(1)截距不代表距离，它是可正可负的.(2) 每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.[例1] 经过点（4，2）平行于x 轴的直线方程为__________.[巩固1] 一条直线过点（2，0），且与直线y=x+8在y 轴有相同的截距，则该直线的方程为____________________.[巩固2] 已知直线m 的倾斜角是直线0333=--y x 的倾斜角的2倍，且直线m 在x 轴上的截距为-3，则直线m 的知识模块2直线方程 精典例题透析题型一：求直线的倾斜角与斜率[例]如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1，l2的斜率.[巩固]已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，（1）求直线AB和AC的斜率；（2）若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．题型二：三点共线问题[例]求证：A(1,1)，B(4,7)，C(－1，－3)三点共线．[巩固]已知三点A(0，a)，B(2,3)，C(4,5a)在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角．题型三：求直线方程[例1]三角形的顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．[巩固]写出下列直线的斜截式方程．（1）斜率是3，在y轴上的截距是－3；（2）倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；（3）倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.[巩固]设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．（1）l在x轴上的截距为－3；（2）斜率为1.题型五：直线方程的综合应用[例]已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．[巩固]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件__________.2．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是_______.解析 ∵tan α＝－sin π7cosπ7＝－tan π7＝tan 67π，∵α∈[0，π)，∴α＝67π.3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是_______________.解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 4．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________.解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.6．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1. 夯实基础训练当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0. ∴k ∈⎣⎡⎭⎫33，1∪[－3，0)．7．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞)．8．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过定点A (－3,4)；（2）斜率为16.解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫－4k －3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是 y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.15．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]．。
2024年新高二数学提升精品讲义直线的一般式方程(思维导图+3知识点+6考点+过关检测)(解析版)
2024年新高二数学提升精品讲义直线的一般式方程（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握直线的一般式方程；2．理解关于,x y 的二元一次方程0++=Ax By C （,A B 不同时为0)都表示直线；3．会进行直线方程的五种形式之间的转化；4．能运用直线的一般式方程解决有关问题.知识点1直线的一般式方程1、一般式方程的定义在平面直角坐标系中，任意一个关于x ，y 的二元一次方程0++=Ax By C 都表示一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程0++=Ax By C （其中A 、B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式．2、系数的几何意义（1）当0≠B 时，方程0++=Ax By C 可以写成A C y x B B=--它表示斜率为AB -，在y 轴截上的截距为CB-的直线．特别的，当0A =时，它表示垂直于y 轴的直线．（2）当0=B 时，0A ≠，方程0++=Ax By C 可以写成Cx A=-，它表示垂直于x 轴的直线．3、一般式方程适用范围直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线．知识点2直线的一般式方程与其他形式方程的互化1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式．2、一般式化为斜截式的步骤（1）移项得By Ax C =--；（2）当0B ≠时，得斜截式方程A C y x B B=--．3、一般式化为截距式的步骤（1）把常数项移到方程右边，得Ax By C +=-；（2）当0C ≠，方程两边同时除以C ，得1Ax ByC C+=--；（3）化为截距式方程：1x y C C A B+=--．知识点3一般式方程的平行与垂直1、平行与垂直的系数关系已知直线12,l l 的方程分别是1111:0++=l A x B y C （11,A B 不同时为0），2222:0++=l A x B y C （22,A B 不同时为0）（1）若1212120+=⇔⊥A A B B l l （2）若12211212210//0-=⎫⇔⎬-≠⎭A B A B l l A C A C 2、平行与垂直的直线系方程（1）平行直线系：与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0++=Ax By m（2）垂直直线系：与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0-+=Bx Ay m考点一：直线一般式方程及辨析例1．（23-24高二上·广东惠州·330x y --=的倾斜角为（）A ．120B ．60C ．30D ．150【答案】B330y --=的倾斜角为α，330x y --=3即tan 3α=，因为0180α≤< ，所以60α= ．故选：B ．【变式1-1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程()()2223410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，则实数m 满足（）A ．0m ≠B ．32m ≠-C ．1m ≠D ．1m ≠，32m ≠，0m ≠【答案】C【解析】因为方程()()2223410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，所以2230m m +-=，20m m -=，不能同时成立，解得1m ≠．故选：C.【变式1-2】（23-24高二上·浙江金华·月考）（多选）已知直线:0l Ax By C ++=，其中,A B 不全为0，则下列说法正确的是（）A ．当0C =时，l 过坐标原点B ．当0AB >时，l 的倾斜角为锐角C ．当0,0B C =≠时，l 和x 轴平行D ．若直线l 过点00(,)P x y ，直线l 的方程可化为()()000A x x B y y -+-=【答案】AD【解析】选项A ，当0C =时，00x y =⎧⎨=⎩是方程0Ax By +=的解，即l 过坐标原点，故A 正确；选项B ，当0AB >时，直线:0l Ax By C ++=的方程可化为A C y x B B=--，则直线的斜率0Ak B=-<，l 的倾斜角为钝角，故B 错误；选项C ，当0,0B C =≠时，由,A B 不全为0，0A ≠，直线:0l Ax By C ++=的方程可化为Cx A=-，故直线l 和x 轴垂直，不平行，故C 错误；选项D ，直线l 过点00(,)P x y ，则000Ax By C ++=，可得00C Ax By =--，代入直线方程:0l Ax By C ++=，得000Ax By Ax By +--=，即()()000A x x B y y -+-=，故D 正确.故选：AD.【变式1-3】（23-24高二上·贵州·开学考试）（多选）已知直线:0l Ax By C ++=（,A B 不同时为0），则（）A ．当0,0AB =≠时，l 与x 轴垂直B ．当0,0,0A BC ≠==时，l y 轴重合C ．当0C =时，l 过原点D ．当0,0A B >>时，l 的倾斜角为锐角【答案】BC【解析】对于A ：当0,0A B =≠时直线:0l By C +=（0B ≠），即Cy B=-，表示与x 轴平行（重合）的直线，故A 错误；对于B ：当0,0,0A B C ≠==时直线:0l Ax =，即0x =，即l 与y 轴重合，故B 正确；对于C ：当0C =时直线:0l Ax By +=，此时00x y =⎧⎨=⎩满足方程0Ax By +=，即l 过原点，故C 正确；对于D ：当0,0A B >>时直线:0l Ax By C ++=，即A C y x B B=--，斜率0Ak B =-<，所以l 的倾斜角为钝角，故D 错误；故选：BC考点二：一般式方程的图象判断例2.（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直线1:0l ax y b -+=与2:0(0,)l bx y a ab a b -+=≠≠的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对A ，由1y ax b =+经过第一，四，三象限，可知0a >，0b <，由2y bx a =+过第一，二，三象限知0b >，0a >，故本选项错误；对B ，由1y ax b =+经过第一，二，四象限，可知0a <，0b >，由2y bx a =+过第一，二，三象限知0b >，0a >，故本选项错误；对C ，由1y ax b =+经过第一，三，四象限，可知0a >，0b <，由2y bx a =+过第一，三，四象限知0b >，0a <，故本选项错误；对D ，由1y ax b =+经过第一，二，四象限，可知0a >，0b >，由2y bx a =+过第一，二，四象限知0b >，0a >，故本选项正确；故选：D.【变式2-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）（多选）若0ab <，0bc >，则在下列函数图象中，不可能是直线0ax by c ++=的图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】由0ax by c ++=可知直线斜率0a k b=->，直线在y 轴上的截距0cy b=-<，满足条件的只有B ，所以不可能是ACD.故选：ACD【变式2-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）（多选）如果0,0AC BC <>，那么直线0Ax By C ++=通过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】ACD【解析】因为0Ax By C ++=，0,0AC BC <>,所以0,AB <所以0Ak B=->，令0,0,Cx y B==-<所以直线经过一三四象限.故选：ACD.【变式2-3】（23-24高二上·新疆·期中）（多选）已知0abc ≠，直线:0l ax by c ++=经过第一、二、四象限，则（）A ．0ab >B ．0bc <C ．0ac <D ．0<a 【答案】ABC【解析】将直线l 的方程转化为a cy x b b=--，因为l 经过第一、二、四象限，所以0,0,ab c b⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩即0ab >，0bc <，0ac <.对D ，若0a >，则0b >，0c <，满足题意，故D 错误.故选：ABC.考点三：一般式下的平行问题例3.（22-23高二上·广西河池·月考）直线20x y m ++=与直线420x y n +-=的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．不确定D ．重合【答案】C【解析】当2n m =-时，两直线重合，当2n m ≠-时，两直线平行，所以题设两直线位置可能重合、平行.故选：C.【变式3-1】（23-24高二上·河北石家庄·月考）若直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行，则=a （）A ．1B ．3-C ．1或3-D ．32-【答案】C【解析】直线340ax y +-=与()220x a y +++=平行,所以()230a a +-=,即2230a a +-=，解得3a =-或1a =，当3a =-时，直线340ax y +-=为3340x y -+=；()220x a y +++=为+2=0x y -，两直线不重合.当1a =时，直线340ax y +-=为+340x y -=；()220x a y +++=为3+2=0x y +，两直线不重合.所以1a =或3-.故选：C【变式3-2】（23-24高三上·江苏连云港·月考）“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1λ=-时，直线2l ：3330x y -+-=即10x y -+=，与直线1l ：90x y -+=平行，充分性成立；直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行，有()23λλ-=，解得1λ=-或3λ=，其中3λ=时，两直线重合，舍去，故1λ=-，必要性成立.“1λ=-”是“直线1l ：90x y λ++=与2l ：()2330x y λλ-++=平行”的充要条件.故选：A.【变式3-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知直线l 过点(1,0)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（）A ．220x y +-=B ．220x y --=C ．210x y --=D ．210x y -+=【答案】C【解析】令直线l 为20x y k -+=，且过点(1,0)，所以10k +=，即1k =-，故直线l 的方程为210x y --=.故选：C考点四：一般式下的垂直问题例4.（22-23高二·江苏·假期作业）直线0cx dy a ++=与0dx cy b -+=(,c d 不同时为0)的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与a b c d ,,,的值有关【答案】B【解析】d 与c 不能同时为0，①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为1c dd c-⋅=-，故两条直线垂直；②当d 与c 中有一个为零时，若0,0d c =≠时，则两直线分别为0cx a +=与0cy b -=，两直线垂直，若0,0c d =≠时，则两直线分别为0dy a +=与0dx b +=，两直线垂直，故两条直线垂直．故选：B【变式4-1】（23-24高二上·上海·期末）已知直线1:0++=l ax by c ，直线2:0l mx ny p ++=，则1ambn=-是直线12l l ⊥的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若1ambn =-，则00bn am bn ≠⎧⎨+=⎩，则直线12l l ⊥，充分性满足；必要性：若直线12l l ⊥，则0am bn +=，当0,0,0,0a b n m =≠=≠时，1ambn=-不成立，则必要性不满足,所以1ambn=-是直线12l l ⊥的充分不必要条件.故选：A 【变式4-2】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线1:210l ax y +-=与直线21:(1)02l a x y ---=垂直，则实数a 的取值是（）A ．1a =-或2a =B ．1a =-C ．2a =D ．23a =【答案】A【解析】直线1:210l ax y +-=与直线21:(1)02l a x y ---=垂直，则有(1)20a a --=，解得1a =-或2a =，故选：A ．【变式4-3】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线l 经过点()2,1P -，且与直线2310x y ++=垂直，则直线l 的方程是（）A ．2370x y +-=B ．3280x y +-=C ．2310x y --=D ．3280x y --=【答案】D【解析】直线l 与直线2310x y ++=垂直，设直线l 的方程是320x y C -+=将()2,1P -代入直线l 中，620C ++=，解得8C =-，故直线l 的方程为3280x y --=.故选：D.考点五：含参直线过定点问题例5.（22-23高二上·山东菏泽·月考）直线130kx y k -+-=，当k 变动时，所有直线都通过定点（）A ．()3,1B ．()0,1C ．()0,0D ．()2,1【答案】A【解析】直线方程转化为：()310x k y --+=，令3010x y -=⎧⎨-+=⎩，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1，故选：A ．【变式5-1】（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论k 为何值，直线()()21240++---=k x k y k 都过一个定点，则该定点为（）A ．()2,0-B ．()0,2C ．()2,0D ．()0,2-【答案】C【解析】将直线方程整理成()2240k x y x y --++-=，令20240x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，即直线经过定点()2,0.故选：C.【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）已知a ，b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点（）A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由21a b +=，得12b a =-，代入直线方程30ax y b ++=中，得3120ax y a ++-=，即(2)310a x y -++=，令20310x y -=⎧⎨+=⎩，解得213x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以该直线必过定点2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D【变式5-3】（23-24高二上·甘肃白银·期中）直线()()2036m n x y m n m n ++--=-经过定点A ，则点A 的横坐标与纵坐标之和为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由()()2036m n x y m n m n ++--=-，得()()3620m x y n x y +-+--=，令360,20,x y x y +-=⎧⎨--=⎩得3,1,x y =⎧⎨=⎩所以点A 的横坐标与纵坐标之和为314+=．故选：B考点六：直线的综合应用例6.（23-24高二上·广东中山·月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(2,1)C ．(1)求经过点A 且与直线BC 平行的直线方程；(2)在ABC 中，求BC 边上的高线所在的直线方程．【答案】(1)50x y -+=；(2)10x y ++=【解析】（1）由ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(2,1)C ，可得直线BC 的斜率31142BC k -==-，所以过点A 且与直线BC 平行的直线方程为2(3)y x -=+，即50x y -+=.（2）由直线BC 的斜率1BC k =，可得BC 边上的高线斜率1k =-，所以BC 边上的高线方程为2(3)y x -=-+，即BC 边上的高线所在的直线方程为10x y ++=.【变式6-1】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程()()222321620m m x m m y m --++-+-=（m ∈R ）．(1)求该方程表示直线的条件；(2)当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．【答案】(1){}1m m ≠-；(2)340x -=；(3)不过定点，证明见解析【解析】（1）当x ，y 的系数不同时为0时，方程表示一条直线，令2230m m --=，解得1m =-或3m =；令2210m m +-=，解得1m =-或12m =，所以x ，y 的系数同时为零时1m =-，故若方程表示一条直线，则1m ≠-，即实数m 的取值范围为{}1m m ≠-；（2）当x 的系数不为0，y 的系数为0时斜率不存在，由（1）知当12m =时，2210m m +-=且2230m m --≠，方程表示的直线的斜率不存在，此时直线方程为340x -=；（3）不过定点，证明如下：证明：当x 的系数为0，y 的系数不为0时斜率为0，由（1）知当3m =时，2230m m --=且2210m m +-≠，方程表示的直线的斜率为0，此时直线方程为0y =，由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为340x -=，由340,0,x y -=⎧⎨=⎩得交点为4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，若直线过定点，则定点为4,03⎛⎫⎪⎝⎭，将4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程()()222321620m m x m m y m --++-+-=，得()24236203m m m --⨯+-=，整理得22730m m -+=，解得12m =或3m =，∴只有当12m =或3m =时，直线过4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线不过定点.【变式6-2】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线()21R l y kx k k =-+∈：．(1)若直线l 不经过第二象限，求k 的取值范围．(2)若直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为92时（O 为坐标原点），求此时相应的直线l 的方程．【答案】(1)12k ≥；(2)3y x =-+或4213=-+y x 【解析】（1）由题意可知直线():21R l y kx k k =-+∈，()21y k x =-+易知直线l 过定点()2,1，当直线l 过原点时，可得12k =，当12k ≥时，直线l 不经过第二象限．（2）由题意可知0,k <∵直线:21l y kx k =-+与x 轴、y 轴正半轴的交点分别是()12,0,0,12A k B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭-，2111(21)21222AOBk S k k k-∴=-⨯-=⨯ ，当0k <时，由92AOBS = 得：2144111944222k k k k k ⎡⎤-+⎛⎫⨯=⨯-++= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦，即：24510k k ++=，1k ∴=-或14k =-，即：直线l 的方程为3y x =-+或4213=-+y x .【变式6-3】（23-24高二上·重庆永川·月考）已知直线l 过点()3,2M .(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若l 与x 轴正半轴的交点为A ，与y 轴正半轴的交点为B ，求当AOB （O 为坐标原点）面积的最小值，直线l 的方程..【答案】(1)230x y -=或50x y +-=；(2)12;l 的方程为23120x y +-=【解析】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为23k =，所以直线的方程为23y x =，即230x y -=；当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=，代入点()3,2M ，可得5a =，所以所求直线方程为5x y +=，即50x y +-=，综上可得，所求直线方程为：230x y -=或50x y +-=.（2）依题意，设点()(),0,0,(0,0)A a B b a b >>，直线AB 的方程为1x ya b+=，又点()3,2M 在直线AB 上，于是有321a b+=，利用基本不等式321a b =+≥24ab ≥，当且仅当6,4a b ==时等号成立，所以1122AOB S ab =≥ ，即AOB 的面积的最小值为12，此时l 的方程为23120x y +-=.一、单选题1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）直线:1l x =的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】D【解析】直线:1l x =的斜率为[),0,παα∈，则5πtan 6αα=∴=，故选：D.2．（23-24高二上·陕西·期中）若直线1l ：210++=mx y 与直线2l ：2102x m y -+=垂直，则实数m 的值为（）A ．0B ．12-或C ．0或12D ．12【答案】C【解析】由题意得()220m m +-=，解得0m =或12.故选：C3．（23-24高二上·广西百色·期末）若直线210ax y ++=和()10x a y a +++=平行，则a 的值为（）A ．2a =-B ．1a =C ．2a =-或1a =D ．1a =-【答案】A【解析】因为直线210ax y ++=和()10x a y a +++=平行，所以()121a a +=⨯，解得2a =-或1a =；当2a =-时，此时直线102x y --=和20x y --=平行，满足题意；当1a =时，此时直线210x y ++=和210x y ++=重合，不满足题意，舍去.综上所述：2a =-.故选：A.4．（23-24高二上·河南焦作·月考）若直线0Ax By C ++=经过第一、二、三象限，则（）A ．0AB >，0BC >B ．0AB >，0BC <C ．0AB <，0BC >D ．0AB <，BC <【答案】D【解析】依题意，直线0Ax By C ++=不垂直于坐标轴，由0y =，得C x A=-，由0x =，得C y B =-，因为直线0Ax By C ++=经过第一、二、三象限，则0C A -<，且0CB->，即0AC >，且0BC <，有20ABC <，因此0AB <，所以0AB <，0BC <.故选：D5．（23-24高二上·福建泉州·月考）直线l 过点54（，），且方向向量为12（，），则（）A ．直线l 的点斜式方程为52(4)y x -=-B ．直线l 的斜截式方程为132x y =+C ．直线l 的截距式方程为136x y+=-D ．直线l 的一般式方程为260x y -+=【答案】C【解析】对于A 中，由直线l 的方向向量为()1,2，可得直线l 的斜率为2k =，又由直线l 过点()5,4，所以直线l 的点斜式方程为42(5)y x -=-，所以A 错误；对于B 中，由42(5)y x -=-，可得直线l 的斜截式方程为26y x =-，所以B 错误；对于C 中，由26y x =-，可得直线l 的截距式方程为136x y+=-，所以C 正确；对于D 中，由26y x =-，可得直线l 的一般式方程为260x y --=，所以D 错误.故选：C.6．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l ：210x y -+=与y 轴的交点为A ，把直线l 绕着点A 逆时针旋转45 得到直线l '，则直线l '的方程为（）A ．210x y +-=B ．310x y -+=C ．310x y +-=D ．330x y +-=【答案】C【解析】设直线l ：210x y -+=的倾斜角为,0180θθ≤< ，则tan 2θ=，由题意可得(0,1)A ，直线l '的倾斜角为45θ+ ，则直线l '的斜率为()tan tan 45tan 121tan 4531tan tan 451tan 12θθθθθ++++====--⋅--，所以直线l '的方程为13(0)y x -=--，即310x y +-=，故选：C二、多选题7．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知直线()()12:120:110l a x ay l ax a y +++=+--=，，则（）A ．1l 恒过()22-，B ．若12l l ∕∕，则212a =C ．若12l l ⊥，则21a =D ．当12a =时，2l 不经过第三象限【答案】BD【解析】A:对于直线()1:120l a x ay +++=，可化为：()2a x y x +=--，令020x y x +=⎧⎨--=⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩，直线1l 恒过定点()22-，.故A 错误;B:12l l ∕∕，()()211a a a ∴+⋅-=，解得：212a =，此时也不重合，故B 正确；C ：12l l ⊥ ，()()110a a a a ∴+⋅+-=，解得：0a =，故C 错误；D ：当12a =时，211:10,22l x y +-=即2:2l y x =-+不经过第三象限，故D 正确.故选:BD.8．（23-24高二上·青海西宁·月考）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0,0b a =≠，则直线l 的倾斜角为90︒C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0,0a b =≠，则直线l 的倾斜角为0︒【答案】ABD【解析】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，故A 正确；对于B 选项，若0,b a =，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90︒，故B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，故C 错误；对于D 选项，若0,0a b =≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0︒，故D 正确.故选：ABD .三、填空题9．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线:(1)240l x m y m ++--=恒过定点.【答案】(2,2)【解析】由直线:(1)240l x m y m ++--=，可化为(4)(2)0x y m y +-+-=，联立方程组4020x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,2)．故答案为：(2,2)．10．（23-24高二上·北京·期中）经过点()1,2M 且与直线280x y -+=垂直的直线方程为.【答案】250x y +-=【解析】由题可设所求直线方程为20x y c ++=，代入点()1,2M ，可得140c ++=，即5c =-，所以经过点()1,2M 且与直线280x y -+=垂直的直线方程为250x y +-=.故答案为：250x y +-=.11．（23-24高二上·北京西城·期末）过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为.【答案】10x y ++=【解析】由题意，与直线30x y ++=平行的直线的斜率为1-，直线过点()2,3A -，∴过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为：()()312y x --=--，即：10x y ++=.故答案为：10x y ++=.四、解答题12．（23-24高二上·全国·单元测试）已知直线1l ：2240kx y k --+=，直线2l ：224480k x y k +--=.(1)若直线1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线1l 的方程；(2)若12//l l ，求直线2l 的方程.【答案】(1)0x y -=或40x y +-=；(2)60x y +-=【解析】（1）①若直线1l 过原点，则1l 在坐标轴的截距都为0，显然满足题意，此时则240k -+=，解得2k =，②若直线1l 不过原点，因为直线1l 在两坐标轴上的截距相等，则斜率为12k=-，解得2k =-.因此所求直线1l 的方程为0x y -=或40x y +-=（2）若12l l //，则242k k ⨯=-⨯解得0k =或2k =-.当0k =时，直线1l ：240y -+=，直线2l ：480y -=，两直线重合，不满足12l l //，故舍去；当2k =-时，直线1l ：40x y +-=，直线2l ：60x y +-=，满足题意；因此所求直线2l ：60x y +-=13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线():20l kx y k k -++=∈R .(1)若直线不经过第三象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于,B AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程.【答案】(1)[]2,0-；(2)S 最小值为4，直线l 的方程为24y x =+.【解析】（1）直线():20l kx y k k -++=∈R 可化为2y kx k =++，要使直线不经过第三象限，则020k k ≤⎧⎨+≥⎩，解得20k -≤≤，k ∴的取值范围为[]2,0-.（2）由题意可得0,20k kx y k >-++=中，取0y =，得2k x k+=-，取0x =，得2y k =+，()11214124442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫=⋅=⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k=时，即2k =时，取“=”，此时S 的最小值为4，直线l 的方程为24y x =+.。
直线与方程常考题型PPT课件
法二：结合图象知点P到两直线的距离相等，
所以列方程求得m即可.
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第三节 点、线综合
2、轴对称
(1)点关于直线对称
若两点P1(x1, y1)与P2 (x2, y2 )关于直线l : Ax By C 0
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题
例6、直线l1过A(0,1),l2过B(5,0)，如果l1 // l2, 且l1与l2的 距离为5，求直线l1与l2的方程.
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第三节 点、线综合
题型一、对称问题
1、中心对称
（1）点关于点对称
若点M (x1, y1)及N(x2, y2)关于点P(a,b)对称，则由中点
则点P即为所求.简记为：同侧对称异侧连！
2、在直线l上求一点P，使 PA PB 取得最大值，其方法
与1恰好相反，即：异侧对称同侧连！
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第三节 点、线综合
题型二、几何方法求最值问题
例2、已知直线l：3x y 1 0 (1)在直线l上求一点P，使得点P到A(4,1)和B(0,4) 的距离之和最小； (2)在直线l上求一点Q，使得点Q到A(4,1)和B(0,4) 的距离之差最大；
例3、求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(3,4)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；
(3)经过点A(3,4)且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.
变式：5、将(3)中“经过点 A(3,4)”改为“斜率为 1”
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第一节 直线的倾斜角、斜率与方 程
2.2.3 直线的一般方程(精讲)同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
2.2.3直线的一般方程一、直线的一般方程1、定义：关于x 、y 的二元一次方程0++=Ax By C （其中A 、B 不同时为0）叫做直线的一般方程。
2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。
3、系数的几何意义：当0≠B 时，-=A k B （斜率），=-Cb B （y 轴上的截距）当0=B 时，则=-Ca A（x 轴上的截距），此时斜率不存在。
二、一般式直线方程的平行与垂直已知直线12,l l 的方程分别是1111:0++=l A x B y C （11,A B 不同时为0），2222:0++=l A x B y C （22,A B 不同时为0）（1）若1212120+=⇔⊥A A B B l l （2）若12211212210//0-=⎫⇔⎬-≠⎭A B A B l l A C A C 三、平行和垂直的直线的设法1、平行：与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0++=Ax By m2、垂直：与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0-+=Bx Ay m 题型一直线的一般方程【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是12-，经过点A（8，―2）；（2）经过点B（4，2），平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，3-；（4）经过两点 ᣠێ ， ᣠێ ．【答案】（1）240+-=x y ；（2）20-=y ；（3）230--=x y ；（4）10+-=x y 【解析】（1）由点斜式方程得1(2)(8)2--=--y x ，化成一般式得240+-=x y ．（2）由斜截式得2=y ，化为一般式得20-=y ．（3）由截距式得1332+=-x y ，化成一般式得230--=x y ．（4）由两点式得234(2)53+-=----y x ，化成一般式方程为10+-=x y 【变式1-1】如果AB >0，BC >0，那么直线 ᨠێ不经过的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由题意得B ≠0，∴y ＝A B x －CB.∵AB >0，BC >0，∴A B >0，－CB<0，故直线不经过第二象限．【变式1-2】直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a 、b 、c 应满足()A．ab >0，bc >0B．ab >0，bc <0C．ab <0，bc >0D．ab <0，bc <0【答案】B【解析】如图，由图可知，直线的斜率k ＝－ab<0，∴ab >0，又直线在y 轴上的截距为－cb>0，∴bc <0，故选B.【变式1-3】若方程mx ＋(m 2－m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 的取值范围是________．【答案】m ≠0【解析】若方程mx ＋(m 2－m )y ＋1＝0表示直线，则m 与m 2－m 不同时为0，故m ≠0.【变式1-4】直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是()【答案】B【解析】排除法：选项A 中，直线l 1的斜率大于0，在y 轴上的截距小于0，∴a >0，b <0，故l 2的斜率为－b >0，但图中l 2的斜率小于0，故A 不正确，同理排除C、D，故选B．题型二直线过定点问题【答案】(2,3)【解析】原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意mx －y －1＝0，＋3y －11＝0，＝2，＝3，∴直线恒过定点(2,3)．【变式2-1】直线 ᣠ ᣠ ᨠێ，当k 变化时，所有直线都恒过点()A．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)【答案】C【解析】直线方程可化为y －1＝k (x －3)，∴无论k 为何值时，都过定点(3,1)．【变式2-2】无论a 、b (ab ≠0)取何实数，直线ax ＋by ＋2a －3b ＝0都过一定点P ，则P 点坐标为．【答案】(－2,3)【解析】由ax ＋by ＋2a －3b ＝0得a (x ＋2)＋b (y －3)＝0，∴直线过定点P (－2,3)．【变式2-3】不论k 为何实数，直线()()()213110k x k y k --+--=恒通过一个定点，这个定点的坐标是（）A．()5,2B．()2,3C．()5,9D．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】原方程可化为()(2110)31x y k x y ---+=-，由直线恒过定点可知，2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点(2,3)，故选：B 【变式2-4】已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）[3，＋∞)【解析】（1）法一：将直线l 的方程整理为y －35＝∴直线l 的斜率为a，且过定点而点Aa 为何值，l 恒过第一象限．法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.∵上式对任意的a 总成立，x －1＝0，y －3＝0，＝15，＝35.即l 过定点（2）直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.如图所示，要使l 不经过第二象限，需斜率a ≥k OA ＝3，∴a 的取值范围为[3，＋∞)．题型三由一般方程判断直线平行与垂直【例3】已知两点(2,8)A --和(8,4)B -，则直线AB 与直线210x y +-=（）A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直【答案】B【解析】由题意，84228AB k --==--+，而直线210x y +-=的斜率为2AB k k =-=，将点(2,8)A --代入直线210x y +-=的方程，则()22810⨯---≠，即点A 不在直线210x y +-=上，所以直线AB 与直线210x y +-=平行.故选：B.【变式3-1】直线1l ：280x my -+=和直线2l ：240mx y +-=（m ∈R ）的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合【答案】B【解析】当0m =时，直线1l ：4x =-与直线2l ：2y =相互垂直；当0m ≠时，直线1l 方程可化为28y x m m =+，直线2l 方程可化为22my x =-+因为212m m-⋅=-，所以直线1l 与直线2l 相互垂直故选：B 【变式3-2】直线1l ：210x y +-=与直线2l ：()423210x y a x y ++++-=（实数a 为参数）的位置关系是（）A．1l 与2l 相交B．1l 与2l 平行C．1l 与2l 重合D．1l 与2l 的位置关系与a 的取值有关【答案】B【解析】由2l ：()423210x y a x y ++++-=，可得()42(2)30a x a y a ++++-=，因为()2(2)1420a a ⨯+-⨯+=且()1(3)12a a ⨯-≠-⨯+，所以1l 与2l 平行，故选：B【变式3-3】（多选）已知直线:220l x y --=（）A．直线210x y -+=与直线l 平行B．直线220x y +-=与直线l 平行C．直线210x y +-=与直线l 垂直D．直线220x y +-=与直线l 垂直【答案】AD【解析】对于A，210x y -+=与l 斜率相同，但截距不同，210x y ∴-+=与l 平行，A 正确；对于B，()112250⨯--⨯=≠，220x y ∴+-=与l 不平行，B 错误；对于C，()112230⨯+-⨯=-≠，210x y ∴+-=与l 不垂直，C 错误；对于D，()12210⨯+-⨯=，220x y ∴+-=与l 垂直，D 正确.故选：AD.【变式3-4】判断下列各对直线是否垂直：（1）12:340,:520l x l y +=+=；（2）12:1)3,:1)2l x y l x y +=++=．【答案】（1）两直线12l l 、互相垂直；（2）两直线12l l 、不互相垂直.【解析】（1）12:340,:520l x l y +=+=121230200A A B B =⨯+⨯=+，故两直线12l l 、互相垂直.（2）12:1)3,:1)2l x y l x y +=++=))1212110A A B B =-+=≠+，故两直线12l l 、不互相垂直.题型四由直线平行与垂直求参数【例4】若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（）A．1B．2-C．1或2-D．23-【答案】A【解析】直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，可得()1212m m m ⎧⨯=+⎨≠-⎩，得1m =.故选：A.【变式4-1】“12a =”是“直线210x ay +-=与直线()110a x ay ---=平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线210x ay +-=与直线()110a x ay ---=平行，则有()()()()()121,1111,a a a a ⎧⨯-=⋅-⎪⎨⨯-≠-⋅-⎪⎩解得0a =或12a =，所以当12a =时，直线210x ay +-=与直线()110a x ay ---=平行，当直线210x ay +-=与直线()110a x ay ---=平行时，0a =或12a =.故选：A【变式4-2】直线1:310l px y ++=与直线2:6250l x y --=垂直，则p 的值为（）A．1-B．1C．9-D．9【答案】B【解析】由题意，得63(2)0p +⨯-=，解得1p =.故选：B.【变式4-3】已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p .则m n p +-等于（）A．24B．20C．4D．0【答案】D【解析】由两直线垂直得24(5)0m ⋅+⨯-=，解得10m =，所以原直线直线420mx y +-=可写为10420x y +-=，又因为垂足为()1,p 同时满足两直线方程，所以代入得1014202150p p n ⨯+-=⎧⎨⨯-+=⎩，解得212p n =-⎧⎨=-⎩，所以-10-1220m n p +=+=，故选:D题型五由直线平行与垂直求直线【例5】与直线10x y +-=平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（）A．10x y -+=B．50x y ++=C．50x y +-=D．10x y --=【答案】C【解析】与直线10x y +-=平行，且经过点（2，3）的直线的方程为3(2)y x -=--，整理得50x y +-=．故选：C 【变式5-1】分别求过点()2,3A ，且平行于下列直线的直线的方程：（1）2530x y +-=；（2）40x y -=；（3）50x -=；（4）60y +=．【答案】（1）25190x y +-=；（2）450x y --=；（3）20x -=；（4）30y -=【解析】（1）由题意设直线方程为250x y m ++=，因为直线过点()2,3A ，所以22530m ⨯+⨯+=，得19m =-，所以所求直线方程为25190x y +-=（2）由题意设直线方程为40x y n -+=，因为直线过点()2,3A ，所以4230n ⨯-+=，得5n =-，所以所求直线方程为450x y --=（3）因为所求直线过点()2,3A ，且平行直线50x -=，所以所求直线方程为20x -=（4）因为所求直线过点()2,3A ，且平行直线60y +=，所以所求直线方程为30y -=【变式5-2】过点()1,3P 且垂直于直线230x y -+=的直线方程是（）A．250x y +-=B．250x y ++=C．250x y --=D．250x y -+=【答案】A【解析】因为所求直线垂直于直线230x y -+=，所以设其方程为20x y m ++=，又因为直线过点()1,3P ，所以2130m ⨯++=，解得5m =-所以直线方程为：250x y +-=，故选：A.【变式5-3】（1）已知直线l 过点()00,P x y ，且与直线1:0l Ax By C ++=（P 不在1l 上）平行，其中A ，B 不全为0，求证：直线l 的方程为()()000A x x B y y -+-=；（2）已知直线l 过点()00,P x y ，且与直线0Ax By C ++=垂直，其中A ，B 不全为0，求证：直线l 的方程为()()000B x x A y y ---=．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由直线l 与直线0Ax By C ++=平行，可设直线l 方程为：0Ax By C '++=，直线过点00(,)P x y ，所以000Ax By C '++=，得00C Ax By '=--，所以直线l 方程为：Ax By ++000Ax By --=，即00()()0A x x B y y -+-=，即证；（2）直线0Ax By C ++=的斜率为AB-，由直线l 与直线0Ax By C ++=垂直，可得直线l 的斜率为BA，又直线过点00(,)P x y ，由直线的点斜式方程，得00()By y x x A-=-，即00()()0B x x A y y ---=，即证.。
2023学年江苏高二上学期数学教材同步教学讲义1-2 直线的方程
1.2 直线的方程【知识点梳理】知识点一：直线的点斜式方程方程00()-=-y y k x x 由直线上一定点及其斜率决定，我们把00()-=-y y k x x 叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．知识点诠释：1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线；2．当直线的倾斜角为0°时，直线方程为1=y y ；3．当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：1=x x ． 4．0-=-y y k x x 表示直线去掉一个点000(,)P x y ；00()-=-y y k x x 表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，根据直线的点斜式方程可得(0)-=-y b k x ，即=+y kx b ．我们把直线l 与y 轴的交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距，方程=+y kx b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，所以方程=+y kx b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．知识点诠释：1．b 为直线l 在y 轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2．斜截式方程可由过点(0,)b 的点斜式方程得到； 3．当0≠k 时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线． 5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程=+y kx b 中，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程经过两点111222(,),(,)P x y P x y （其中1212,≠≠x x y y ）的直线方程为1112122121(,)--=≠≠--y y x x x x y y y y x x ，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式．知识点诠释：1．这个方程由直线上两点确定；2．当直线没有斜率（21x x =）或斜率为120()=y y 时，不能用两点式求出它的方程．3．直线方程的表示与111222(,),(,)P x y P x y 选择的顺序无关．4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式1112122121(,)--=≠≠--y y x x x x y y y y x x 通过交叉相乘转化为整式形式121211()()()()--=--y y x x y y x x ，从而得到的方程中，包含了x 1=x 2或y 1=y 2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x 1、x 2和y 1、y 2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．知识点四：直线的截距式方程若直线l 与x 轴的交点为0(),A a ，与y 轴的交点为()0,B b ，其中0,0≠≠a b ，则过AB 两点的直线方程为1+=x ya b，这个方程称为直线的截距式方程．a 叫做直线在x 轴上的截距，b 叫做直线在y 轴上的截距．知识点诠释：1．截距式的条件是0,0≠≠a b ，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令0=x 得直线在y 轴上的截距；令 0=y 得直线在x 轴上的截距． 知识点一：直线方程的一般式关于x 和y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为0++=Ax By C ，这个方程（其中A 、B 不全为零）叫做直线方程的一般式．知识点诠释：1．A 、B 不全为零才能表示一条直线，若A 、B 全为零则不能表示一条直线． 当0≠B 时，方程可变形为=--A C y x B B ，它表示过点0,⎛⎫- ⎪⎝⎭C B ，斜率为-A B 的直线．当0=B ，0≠A 时，方程可变形为0+=Ax C ，即=-Cx A，它表示一条与x 轴垂直的直线． 由上可知，关于x 、y 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x 、y 的一次方程．【题型归纳目录】题型一：求直线的点斜式方程题型二：求直线的斜截式方程题型三：用两点式求直线的方程 题型四：用截距式求直线的方程 题型五：直线的一般式方程题型六：判断动直线所过定点 题型七：直线与坐标轴形成三角形问题 题型八：直线方程的综合问题 【典型例题】题型一：求直线的点斜式方程例1．（2022·江苏·高二）已知直线l 过()2,1A -，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线l 的方程是（ ）． A ．10x y --=或30x y +-= B ．10x y --=或30x y -+= C ．10x y ++=或30x y -+=D ．10x y ++=或30x y +-=例2．（2022·全国·高二课时练习）经过点(3,2)-，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______． 例3．（2022·全国·高二课时练习）若直线l 经过点()2,3P -，斜率为2-，则直线l 的点斜式方程为______．【技巧总结】（1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k 是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标．（2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程00()-=-y y k x x 可知该直线过定点00(),P x y 且斜率为k ．题型二：求直线的斜截式方程例4．（2022·全国·高二课时练习）直线60x +=倾斜角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°例5．（2022·全国·高二课时练习）将直线2)y x -绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程的斜截式是______．例6．（2022·全国·高二课时练习）求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为32-的直线的斜截式方程．【技巧总结】（1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率k 和直线在y 轴上的截距b ． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数k 、b 即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数k 、0x 、0y 才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用．（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 题型三：用两点式求直线的方程例7．（2022·全国·高二课时练习）已知点(1,2)A 、(1,2)B --，则直线AB 的两点式方程是______． 例8．（2022·陕西汉中·高一期中）已知直线l 过点()1,3G -，()2,1H -，则直线l 的方程为__________． 例9．（2022·全国·高二课时练习）经过点(1,2)M -､(2,3)N 的直线l 的两点式方程为___________．【技巧总结】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程．题型四：用截距式求直线的方程例10．（2022·江苏·高二）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ） A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1例11．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求直线的方程：（1）过点(3,2)A -，且截距是2-； （2）过点(3,0)A ，且在两坐标轴上的截距和为5．例12．（2022·江苏·高二课时练习）求过点P （2，－3），且横、纵截距互为相反数的直线方程． 例13．（2022·辽宁沈阳·高二期中）在三角形ABC 中，已知点A （4，0），B （－3，4），C （1，2）． （1）求BC 边上中线的方程；（2）若某一直线过B 点，且x 轴上截距是y 轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．例14．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 过点()1,4，且在x 轴、y 轴上的截距依次为a 和b ． （1）若a 与b 互为相反数，求直线的l 方程；（2）若0a >，0b >，当a b +取得最小值时，求直线l 的方程．【技巧总结】应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 题型五：直线的一般式方程例15．（2022·江苏·高二）直线l 过点()1,2-，且在两坐标轴上截距相等，则直线l 的一般式方程为___________． 例16．（2022·重庆市两江中学校高二阶段练习）已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --．（1）求BC 边所在直线的方程；（2）求BC 边上的高所在直线方程； （3）求BC 边的中垂线所在直线方程．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：120(R)kx y k k -++=∈，直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l 的方程．例18．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式：（1）经过点（0，2），且倾斜角为3π； （2）经过点（－2，3）和点（－1，0）；（3）经过点（2，1），在x ，y 轴上有不为0且相等的截距．【技巧总结】对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．题型六：判断动直线所过定点例19．（2022·四川达州·高一期末（文））直线()()1120a x a y --++=恒过定点（ ） A ．()1,1B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1--例20．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）不论k 为何实数，直线()()()213110k x k y k --+--=恒通过一个定点，这个定点的坐标是（ ） A ．()5,2 B ．()2,3 C ．()5,9D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭例21．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）不论m 为何实数，直线2130x my m --+=恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ） A ．()1,0B ．()2,3C ．()3,2D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭例22．（2022·江苏·高二）对任意实数a ，直线y =ax -3a +2所经过的定点是（ ） A ．()2,3B ．()3,2C ．()2,3-D ．()3,2-【技巧总结】 合并参数题型七：直线与坐标轴形成三角形问题例23．（2022·云南省楚雄天人中学高二阶段练习）已知一条动直线()()311620m x m y m ++---=， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标； （2）若直线不经过第二象限，求m 的取值范围；（3）若直线与x ､y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AOB 的面积为6，求直线的方程． 例24．（2022·全国·高二课时练习）过点()1,2P 作直线l 分别与x ，y 轴正半轴交于点A ，B ．（1）若AOB 是等腰直角三角形，求直线l 的方程；（2）对于①OA OB +最小，①AOB 面积最小，若选择___________作为条件，求直线l 的方程． 例25．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:120()l kx y k k R -++=∈．若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为(S O 为坐标原点），求S 的最小值并求此时直线l 的方程． 例26．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知直线():210R l kx y k k -++=∈． （1）若直线l 不能过第三象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．例27．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l 经过点P （4， 1），且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程．例28．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知一条动直线()31640m x my m ++--=， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标；（2）若直线与x 、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：①AOB 的周长为12；①AOP 的面积为4．若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．例29．（2022·全国·高二课前预习）已知直线l 过点(2,1)P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别为交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB 面积的最小值为__________，此时的直线方程为__________．例30．（2022·江苏·高二）过点(1,1)P 作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【技巧总结】（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．题型八：直线方程的综合问题例31．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 过点(2,3)P -，且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．若点P 恰为AB 的中点，求直线l 的方程．例32．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形的三个顶点的坐标分别是()3,8A ､()3,2B -､()3,0C -． （1）求BC 边所在直线的方程；（2）求BC 边上的中线所在直线的方程．例33．（2022·全国·高二课时练习）已知ABC 的顶点()1,3A ，AB 边上的中线所在的直线方程为10y -=，AC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=．分别求AC ，AB 边所在直线的方程．例34．（2022·江苏·高二课时练习）已知点()000,P x y 不在直线1:2340l x y ++=上，直线2l 过点()000,P x y ，且它的斜率与直线1l 的斜率相等，证明：直线2l 的方程可以写成()()00230x x y y -+-=．例35．（2022·山东威海·高二期中）已知,(0,0),3ABC A B ABC π∠=，y 轴为BC 边中线（1）求AC 边所在直线方程； （2）求CAB ∠角平分线所在直线方程．【技巧总结】在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．【同步练习】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·广西·高二学业考试）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+2．（2022·广西·高二学业考试）已知直线:20l x y c ++=经过点(1,1)，则c 的值为（ ）A ．-3B ．-5C ．-7D ．-93．（2022·江苏·高二）已知k ∈R ，223b k k =-+，则下列直线的方程不可能是y kx b =+的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022·江苏·高二）如果AB >0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四5．（2022·全国·高二课时练习）1:1l x =与直线sin cos 1042x y ππααα⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭的夹角是（ ）A ．αB ．2πα-C ．2πα-D ．πα-6．（2022·上海市复兴高级中学高二期末）已知直线l 过点()3,4P ，且与坐标轴分别相交于点A ､B ，若OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，则这样的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．（2022·全国·高二专题练习）直线1l ：310x y -+=，直线2l 过点()1,0，且它的倾斜角是1l 的倾斜角的2倍，则直线2l 的方程为（ ） A ．61y x =+B ．()61y x =-C ．()314y x =- D ．()314y x =-- 8．（2022·全国·高二课时练习）若直线()0,0ax by ab a b +=>>过点()1,1，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（2022·江苏·高二）下列说法正确的是（ ） A ．直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2 B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2C10y -+=的倾斜角为60°D ．过点()1,2-且平行于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 10．（2022·江苏·高二）已知直线l 的方程是0Ax By C ++=，则下列说法中正确的是（ ） A ．若0A B C ⋅⋅≠，则直线l 不过原点 B ．若0A B ⋅>，则直线l 必过第四象限 C ．若直线l 不过第四象限，则一定有0A B ⋅< D ．若0A B ⋅<且0A C ⋅>，则直线l 不过第四象限 11．（2022·江苏·高二）下列说法正确的是（ ） A ．11y y x x --＝k 不能表示过点M （x 1，y 1）且斜率为k 的直线方程 B ．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为1x ya b+=C ．直线y ＝kx +b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．过两点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）的直线方程为212212()()()()0x x y y y y x x -----=12．（2022·江苏·高二）直线12,l l 的方程分别为1:0l x ay b ++=，2:0l x cy d ++=，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．0,0b d ><B ．0,0b d <>C ．a c >D ．a c <三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·四川达州·高一期末（文））直线y x b =+的倾斜角为______．14．（2022·江苏·高二）经过直线()()1232a x a y -++=的定点，且斜率为2-的直线方程为__________． 15．（2022·江苏·高二）直线:(12)(1)130l m x m y m +-+--=分别交x 轴､y 轴的正半轴于A ､B 两点，当AOB 面积最小时，直线l 的方程为___________．16．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））已知直线()()()11230k x k y k R ++--=∈恒过定点A ，点A 在直线()10,0x ym n m n+=>>上，则2m n +的最小值为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17．（10分）（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），（1）求AB 边所在的直线方程； （2）求AB 边的高所在直线方程． 18．（12分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 19．（12分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 经过点(5,2)A -，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． 20．（12分）（2022·天津市红桥区教师发展中心高二期中（文））完成下面问题：（1）求直线25200x y +-=分别在x 轴，y 轴上的截距；（2）求平行于直线20x y -+=，的直线的方程；（3）已知两点(7,1)M -，(5,4)N -，求线段MN 的垂直平分线的方程． 21．（12分）（2022·全国·高二课前预习）已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程． 22．（12分）（2022·全国·高二）（1）已知直线1y =-的倾斜角为α，另一直线l 的倾斜角2βα=，且过点()2,1M -，求l 的方程．（2）已知直线l 过点()2,3P -，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．。
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直线方程的练习题
1根据下列条件写出直线的方程
；3
⑴斜率是亍，经过点A (8, 3) (2)过点B (-2,。
)，且与x轴垂直;
(3)斜率为—4,在y轴上的截距为7; (4)在y轴上的截距为2,且与x轴
平行；
(5)经过两点A (-1 , 8) B (4, -2 )，求直线I的方程。
2、一直线过点A (2,—3),其倾斜角等于直线倍，
求这条直线的方程•
4
3、一条直线和y轴相交于点P (0, 2),它的倾斜角的正弦值为—，求这条
5
直线的方程。
这样的直线有几条？
4、直线y ax 3a 2(a R)必过定点______________ 。
5、已知点M是直线I : 2x y 4 0与x轴的交点，把直线I绕点M逆时针
旋转45，求所得直线的方程。
6、在同一坐标系下，直线|1 : y mx n及直线l2: y nx m的图象可能是( )
7、求过点(2, 1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程。
8、(1)已知三角形的顶点是A( 8, 5)、B (4,—2)、C( —6, 3)，求经过每两边中点的三条直线的方程.
(2) △ ABC的顶点是A ( 0, 5), B (1,—2), C (-6, 4)，求BC边上的中线所在的直线的方程.
y= x的倾斜角的2
9、求过点P(2, 3)，并且在两轴上的截距绝对值相等的直线的方程。
10、过点P(2, 1)作直线I交x, y正半轴于AB两点，当|PA| |PB|取到最小值时，求直线I的方程
11、已知直线丨：ax by c 0且ab 0,bc 0,则I不通过的象限是第 ____________ 象限
12、求过点(2, -1 )，倾斜角是直线4x 3y 4 0倾斜角的一半的直线方程。
13、设直线I的方程为(m2 2m 3)x (2m2 m 1)y 2m 6 0 ,试根据
下列条件，分别求出m的值：
(1) l在x轴上的截距为 3 ；( 2) l的斜率为1。
14、已知直线I与直线3x 4y 7 0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的
三角形的面积为24,求直线I的方程。
15、直线bx ay ab(a 0,b 0)的倾斜角是 ________________ ;
16、已知两点A (3,0) >B (0,4)，动点P (x, y)在线段AB上运动，则xy的最
大值为( )
A、2
B、3 C>4 D、5
17、直线3x4y k 0在两坐标轴上截距之和为2,则k为()
A、12
B、24
C、10
D、24
18求过点P(-5,⑷且与x轴，y轴分别交于A、B两点，且駕|
求直线的方程。
19、已知：点A是直线l : y 3x在第一象限内的点，定点B(3, 2)，直线
AB交x轴正半轴于点C,求OAC面积的最小值，并求此时A点的坐标。
20、过点P(4,3 )作直线I，直线I与x,y轴的正半轴交于A、E两点, 当OA OB最小时，求直线I方程。