最小二乘法Matlab自编函数实现及示例.docx
用matlab中最小二乘法编程求解
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解：拟合两组数据、，已知，只需确定多项式系数、、.根据最小二乘原则，使所求问题成为三元一次函数（）地极小点问题.
由多元函数取极值地必要条件知比为
，，
地解，即满足
将三元一次线性方程组带入，其程序如下：
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最小二乘法MATLAB程序及结果
最小二乘一次完成算法的MATLAB仿真针对辨识模型，有z(k)-+a1*z(k-1)+a2*z(k-2)=b1*u(k-1)+b2*u(k-2)+v(k)模型结构，对其进行最小二乘一次完成算法的MATLAB仿真，对比真值与估计值。
更改a1、a2、b1、b2参数，观察结果。
仿真对象：z(k)-1.5*z(k-1)+0.7z(k-2)=u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k)程序如下：u=[-1,1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,1];%输入信号为一个周期的M序列z=zeros(1,16);for k=3:16z(k)=1.5*z(k-1)-0.7*z(k-2)+u(k-1)+0.5*u(k-2);%以理想输出值作为观测值endsubplot(3,1,1)stem(u)subplot(3,1,2)i=1:1:16;plot(i,z)subplot(3,1,3)stem(z),grid onu,z %显示输入信号与输出观测信号L=14;HL=[-z(2) -z(1) u(2) u(1);-z(3) -z(2) u(3) u(2);-z(4) -z(3) u(4) u(3);-z(5) -z(4) u(5) u(4);-z(6) -z(5) u(6) u(5);-z(7) -z(6) u(7) u(6);-z(8) -z(7) u(8) u(7);-z(9) -z(8) u(9) u(8);-z(10) -z(9) u(10) u(9);-z(11) -z(10) u(11) u(10);-z(12) -z(11) u(12) u(11);-z(13) -z(12) u(13)u(12);-z(14) -z(13) u(14) u(13);-z(15) -z(14) u(15) u(14)] %给样本矩阵HL赋值ZL=[z(3);z(4);z(5);z(6);z(7);z(8);z(9);z(10);z(11);z(12);z(13);z(14);z(15);z(16)] %给样本矩阵ZL 赋值c1=HL'*HL;c2=inv(c1);c3=HL'*ZL;c=c2*c3a1=c(1),a2=c(2),b1=c(3),b2=c(4)程序运行结果如下：u =-1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1z =Columns 1 through 90 0 0.5000 0.2500 0.5250 2.1125 4.3012 6.4731 6.1988Columns 10 through 163.2670 -0.9386 -3.1949 -4.6352 -6.2165 -5.5800 -2.5185HL =0 0 1.0000 -1.0000-0.5000 0 -1.0000 1.0000-0.2500 -0.5000 1.0000 -1.0000-0.5250 -0.2500 1.0000 1.0000 -2.1125 -0.5250 1.0000 1.0000 -4.3012 -2.1125 1.0000 1.0000 -6.4731 -4.3012 -1.0000 1.0000-6.1988 -6.4731 -1.0000 -1.0000-3.2670 -6.1988 -1.0000 -1.00000.9386 -3.2670 1.0000 -1.00003.1949 0.9386 -1.0000 1.00004.6352 3.1949 -1.0000 -1.00006.2165 4.6352 1.0000 -1.00005.58006.2165 1.0000 1.0000 ZL =0.50000.25000.52502.11254.30126.47316.19883.2670-0.9386-3.1949-4.6352-6.2165-5.5800-2.5185c =-1.50000.70001.00000.5000a1 =-1.5000a2 =0.7000b1 =1.0000b2 =0.5000程序运行曲线：图.1 最小二乘一次完成算法仿真实例输入信号与输出观测值分析:从仿真结果知,由于所用的输出观测值没有任何噪声成分,所以辨识结果也无任何误差。
matlab最小二乘法求微分方程系数
matlab最小二乘法求微分方程系数在Matlab中，可以使用最小二乘法来求解微分方程的系数。
最小二乘法是一种统计方法，用于寻找一组参数，使得这组参数与数据之间的误差平方和最小化。
下面是使用Matlab实现最小二乘法求解微分方程系数的步骤：1. 首先，定义微分方程的形式，如y'(t) = a * y(t) + b *u(t)，其中y'(t)表示y关于t的导数，a和b是待求解的系数，u(t)是输入函数。
2. 生成输入数据u(t)和对应的输出数据y(t)。
将输入数据和输出数据存储在向量中。
3. 创建误差函数，该函数计算模型预测值与实际输出值之间的误差。
根据微分方程的形式，计算预测值y_pred(t) = a * y(t-Δt) + b * u(t-Δt)，其中Δt是时间步长。
4. 使用Matlab的非线性最小二乘函数（如lsqnonlin）来求解最小二乘问题。
将误差函数作为目标函数，并给定初始猜测的参数值，通过迭代优化参数值以最小化误差函数。
5. 获取最优参数值。
下面是使用Matlab实现最小二乘法求解微分方程系数的示例代码：```matlab% 定义微分方程形式 y'(t) = a * y(t) + b * u(t)% 生成输入数据 u(t) 和输出数据 y(t)% 将输入数据和输出数据存储在向量 u 和 y 中% 创建误差函数function error = diff_eqn_coefficients(x, u, y, dt)a = x(1);b = x(2);y_pred = a * y(1:end-1) + b * u(1:end-1);error = y(2:end) - y_pred;end% 给定初始猜测的参数值x0 = [1, 1];% 使用 lsqnonlin 求解最小二乘问题coefficients = lsqnonlin(@(x) diff_eqn_coefficients(x, u, y, dt), x0);% 获取最优参数值a = coefficients(1);b = coefficients(2);```在实际应用中，需根据具体的微分方程形式和数据进行适当的修改和调整。
matlab function编程最小二乘法
matlab function编程最小二乘法在MATLAB中，使用最小二乘法拟合数据通常涉及到使用函数进行编程。
以下是一个简单的MATLAB函数，用于实现最小二乘法拟合直线的例子：function [coefficients, fittedData] = leastSquaresFit(x, y, degree)% x: 输入数据的 x 值% y: 输入数据的 y 值% degree: 拟合多项式的次数% 创建 Vandermonde 矩阵A = zeros(length(x), degree + 1);for i = 1:degree + 1A(:, i) = x.^(degree + 1 - i);end% 使用最小二乘法计算系数coefficients = (A' * A)\(A' * y);% 生成拟合曲线的数据fittedData = polyval(coefficients, x);% 绘制原始数据和拟合曲线figure;plot(x, y, 'o', x, fittedData, '-');legend('原始数据', '拟合曲线');xlabel('X轴');ylabel('Y轴');title('最小二乘法拟合');end你可以通过调用这个函数并提供你的数据和拟合多项式的次数来进行最小二乘法拟合。
例如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.1, 2.8, 3.4, 3.7, 4.2];degree = 1;[coefficients, fittedData] = leastSquaresFit(x, y, degree);disp('拟合系数:');disp(coefficients);这是一个简单的线性拟合的例子。
你可以根据需要修改该函数，以适应高次多项式的情况。
matlab 最小二乘法 多个自变量
matlab 最小二乘法多个自变量多个自变量的最小二乘法在MATLAB中的应用最小二乘法（Least Squares Method）是一种常见的数据拟合方法，在MATLAB中具有广泛的应用。
它可以用于多个自变量的情况，即多元线性回归问题。
本文将介绍如何使用MATLAB进行多个自变量的最小二乘法拟合，并给出一个实际案例进行说明。
我们需要明确什么是多元线性回归问题。
在统计学中，回归分析是研究两个或多个变量之间关系的一种方法。
多元线性回归是回归分析中的一种常见形式，其模型可以表示为：Y = β0+ β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差项。
我们的目标是通过拟合数据，估计回归系数的值。
在MATLAB中，可以使用“polyfit”函数来进行多元线性回归拟合。
该函数的基本用法如下：p = polyfit(X, Y, n)其中，X是自变量的矩阵，Y是因变量的向量，n是多项式的次数。
函数的返回值p是一个向量，包含了拟合多项式的系数。
使用polyval函数可以通过这些系数来计算拟合的值。
下面我们通过一个实际案例来演示多个自变量的最小二乘法拟合在MATLAB中的应用。
假设我们有一组数据，包含两个自变量X1和X2，和一个因变量Y。
我们的目标是通过这些数据来拟合一个多元线性回归模型。
我们需要准备数据。
我们可以使用rand函数生成一组随机数据作为示例数据，代码如下：X1 = rand(100,1);X2 = rand(100,1);Y = 2*X1 + 3*X2 + randn(100,1);接下来，我们可以使用polyfit函数进行拟合，代码如下：p = polyfit([X1, X2], Y, 1);这里我们将X1和X2合并成一个矩阵作为自变量。
函数的第三个参数1表示拟合一个一次多项式。
拟合完成后，我们可以使用polyval函数来计算拟合的值，代码如下：Y_fit = polyval(p, [X1, X2]);现在，我们已经得到了拟合的值Y_fit。
多元最小二乘法matlab
多元最小二乘法matlab
以下是使用MATLAB实现多元最小二乘法的示例代码：
假设我们有以下数据：
X1=[1,2,3,4,5]';。
X2=[2,3,4,5,6]';。
Y=[8,10,12,14,16]';。
我们的目标是拟合一个线性模型Y=b1*X1+b2*X2+e，其中b1和b2是系数，e是误差项。
首先，我们需要将数据构建成矩阵形式：
X=[X1X2];。
A = [ones(length(X1), 1) X];。
然后，可以使用MATLAB内置函数（\）来计算多元最小二乘解：
b=A\Y;。
在这里，MATLAB计算AX≈Yb，其中AX是我们的设计矩阵，Y是响应变量，b是我们的参数估计值。
最后，我们可以使用参数估计值来预测新数据：
X_new = [6,7,8]';。
Y_new = [ones(length(X_new), 1) X_new] * b;。
这将返回一个新的响应变量向量Y_new，其中包含新数据的预测值。
有关更多详细信息，可以阅读MATLAB文档中关于多元最小二乘法的章节。
(完整word版)最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现
2009-01-17 |最小二乘法(least squares analysis) 是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitti ng) 。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。
最小二乘法拟會圆曲线；= (x- +R2 = +- 2By4-B2令a=-2J4b = -2Bc = J^ +矿-0可得圆曲线方程的另一个册式Ix2 -\-y3十切十u = 0只要求出参数就可以求得圆心半径的参教；d)样本集（禺＜并e （123…N）中点到圆心的距离为a：打=（禺・4）2+（E傢点（耳乙）到圆边嫌的距离的平方与和半径平方的差为：@=£2_衣=（圣.4）2+（込.8）2_氏2=血2+込2+込+&乙+卍令Q（a,b,c）为Q的平方和：Q（aM = Z^2=工【（*/ + §2 + 込+b 齐+C）］2求参数a f b,c使得Q（a,g的值最小值。
解・PTT •平方差Qgg大于0,因此函数存在大于或等于0的极小值，极大值为无穷大.F（a,M）对a,吐求偏导，令偏导等于0,得到极值点，比较所有极值点的函数值即可得到最小值.绘仏"疋）=工2窗 +里+込+埒+c）Xjda —=0 迤(a,bQ =匸2阳+貯+込+坷+训=0範仏上疋）=工2（禺2+乙2+込 +空+° = 0 d解这个方程组。
(2)(3)(4)di（诵先消去c(2) W ⑷*工扎得：Ng 代'+Y-+aX +bY + c)X -工莎‘ +严 +aX +bY+c)x^X = 0 N^(X 2 +Y : +bY)X -^(X : +Y : +aX +bY)x^X =0("工禺2_工兀工兀)a + (“Y*占一工禺工齐仏(*+ + M 工*必2 -工牡丁 +去2)工禺=0(3) *N_⑷*工£得：N 工(X’ + y' + oZ +bY+c)Y-^(X 2 +Y- +aX +bY + c)x^Y =Q 吧(/+护 +aX +bY)Y +Y : +aX +dK)xVy =o （N'X 必一工禺工齐归+ （“丫呼一工§工齐）3 +“Y+N 工厅一 g af +严）三齐=o C =〔NgQ -gX 二X)D = (N 工尤F -工龙三卩)E-N^X 、+N^XY -工疔+丫‘)工XG = (NM 旷-三丫工丫)H =NW X'Y 七NT H -工 2’ +K-)YK可解得：|G? + Db + 5 = 0Da+Gb + H = 0HD-EG a = r CG-D 、v HC- ED o =D' _GC 工（疔+齐2）+幺工兀+c ―― ---------------------------------------------- N得A 、B 、R 的估计拟合值：R= - Ja‘ +2?' -牡 2(6)matlab 实现：function [R,A,B]=circ(x,y,N)x1 = 0;x2 = 0;x3 = 0;y1 = 0;y2 = 0;y3 = 0;x1y1 = 0;x1y2 = 0;x2y1 = 0;for i = 1 : Nx1 = x1 + x(i);x2 = x2 + x(i)*x(i);x3 = x3 + x(i)*x(i)*x(i);y1 = y1 + y(i);y2 = y2 + y(i)*y(i);y3 = y3 + y(i)*y(i)*y(i); x1y1 = x1y1 + x(i)*y(i); x1y2 = x1y2 +x(i)*y(i)*y(i); x2y1 = x2y1 + x(i)*x(i)*y(i); endC = N * x2 - x1 * x1;D = N * x1y1 - x1 * y1;E = N * x3 + N * x1y2 - (x2 + y2) * x1;G = N * y2 - y1 * y1;H = N * x2y1 + N * y3 - (x2 + y2) * y1;a = (H * D - E * G)/(C * G - D * D);b = (H * C - E * D)/(D * D - G * C);c = -(a * x1 + b * y1 + x2 + y2)/N;A = a/(-2); %x 坐标B = b/(-2); %y 坐标R = sqrt(a * a + b * b - 4 * c)/2;void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting(){if (m_nNum<3){ return; } int i=0;double X1=0;double Y1=0;double X2=0;double Y2=0;double X3=0;double Y3=0;double X1Y1=0;double X1Y2=0;double X2Y1=0;for (i=0;i<m_nNum;i++){X1 = X1 + m_points[i].x;Y1 = Y1 + m_points[i].y;X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y;X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y; } double C,D,E,G ,H,N;double a,b,c;N = m_nNum;C = N*X2 - X1*X1;D = N*X1Y1 - X1*Y1;E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;G = N*Y2 - Y1*Y1;H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;double A,B,R;A = a/(-2);B = b/(-2);R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2; m_fCenterX = A; m_fCenterY = B;m_fRadius = R; return;}。
matlab最小二乘法实现三参数拟合
matlab最小二乘法实现三参数拟合
在MATLAB中，你可以使用`polyfit`函数来实现三参数的最小二乘拟合。
以下是一个示例，其中我们试图拟合一个三次多项式：
```matlab
% 创建一些示例数据
x = linspace(-10,10,100);
y = 3x.^3 + 2x.^2 + x + randn(size(x));
% 使用polyfit进行三参数拟合
p = polyfit(x, y, 3);
% 绘制原始数据和拟合曲线
plot(x, y, 'o');
hold on;
plot(x, polyval(p, x), '-');
hold off;
```
在这个例子中，`polyfit(x, y, 3)`函数试图找到一个三次多项式，该多项式能最小化所有`(xi, yi)`的平方和。
返回的`p`是一个包含三个系数的向量，这些系数对应于多项式的最高次项，即`p(1)x^3 + p(2)x^2 + p(3)x + p(4)`。
在这个例子中，我们没有提供第四个系数，所以它默认为0。
请注意，由于MATLAB中的`polyfit`函数默认使用最小二乘法进行拟合，因此我们不需要做任何额外的最小二乘法计算。
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、最小二乘拟合原理
x= xl x2 ... xn
y= yl y2 ... yn
求m 次拟合 «力*
y 卅…I ZA ；
A T A = ZX 茁 X x i - X x i +1 ,- «
«
«
［函Oi …备F =⑷矿丄• A T y 所以m 次拟合曲线为y = a 0 +勿・怎+吐■审+•・・・ +如■牙皿 二、 Matlab 实现程序
function p=funLSM (x, y, m) %x z y 为序列长度相等的数据向量，m 为拟合多项式次数
format short;
A=zeros(m+l,m+l);
for i=0:m
for j=0:m
A(i + 1, j + 1)=sum(x.A (i+j));
end
b(i+1)=sum(x.A i.*y);
end
a=A\b 1;
p=fliplr (a');
三、 作业
题1：给出如下数据，使用最小二乘法球一次和二次拟合多项式(取小数点后3位) X 1.36 1.49 1.73 1.81 1.95 2.16 2.28 2.48
Y 14.094 15.069 16.844 17.378 18.435 19.949 20.963 22.495 解:
» x=[1.36 1.49 1.73 1. 81 1. 95 2. 16 2. 28 2. 48]:
» y=[14.094 15.069 16.844 17. 378 18.435 19.949 20.963 22.495]; >> p=funLSM(x, y? 1)
P =
7.4639 3.9161
>> p=funLSM(x, y? 2)
P =
0.3004 6.3145 4.9763
一次拟合曲线为：
y = 7.464x+ 3.91S
二次拟合曲线为：
y = +6.315^4-4.976
一次拟合仿真图
二次拟合仿真图例5-8 给定函数y二f(x)的实例数据表题
2：
1 2 3 4 6 7 8
yt 2 3 6 7 5 3 2
试用最小二乘法求二次拟合多项式。
解：
» x=[l 2 3 4 6 7 8];
» y=[2 3 6 7 5 3 2];
>> p=funLSM(Xj y y 2)
P =
-0.3864 3.4318 -1.3182
所以
y = —0.3864%' + 3.4318X' —1.3152。