运筹学-3运输问题
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运筹学--第三章运输问题
并设Xij----第i个盐产地运往第j个盐销地的运量。 目标函数为：
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
运筹学——运输问题
22
2021/7/26
表3.20
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
2
5
7
A2
1
3
4
A3
6
3
9
销量
3
6
5
6
表3.21
销地
产地
B1
B2
A1
A2
3-
A3
6
销量
3
6
B3
B4
产量
5
2-
7
1+
4
3
9
5
6
23
2021/7/26
例：用表上作业法求下列运输问题的最优解:
销地 B1
B2
B3 产量
产地
A1
5
1
8 12
10
2021/7/26
1.求初始基可行解 方法1：最小元素法
基本思想：就近供应，即 从运价最小的地方开始供 应（调运），然后次小， 直到供完为止.
A1 A2 A3 销量
B1
3
3
1
7
03
B2
11
9
6
4
06
B3
4
3
1
2
10
045
B4
3
10
8
3
5
6
产量 73 410 93
11
2021/7/26
1.求初始基可行解 方法2：Vogel法
j1
m
xij bj ( j 1, , n)
i1
xij
0
(i 1,
,m
j 1,
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
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--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
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产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
2
9 10 2
1
3
4
2
8
4
2
5
2 9 3 10
u1＝0 u2 ＝－1 u3 ＝－5
v1＝2 v2 ＝9 v3 ＝3 v4 ＝10
按σij=cij－(ui+vj) 计算检验数，并以σij≥0 检验，或用 (ui+vj) －cij ≤0 检验。
cij
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
1.求初始方案（寻找初始基可行解）
Step1. 选择一个xij，
对xij的选择采用不同的规则就形成各种不同 的方法，比如每次总是在作业表剩余的格子中选 择运价（或运距）最小者对应的xij，则构成最小 元素法，若每次都选择左上角格子对应的xij就形 成西北角法（也称左上角法）。
Step2. 调整产销剩余数量：从ai和bj中分别减去xij的 值，若ai-xij=0，则划去产地Ai所在的行，即该产地 产量已全部运出无剩余，而销地Bj尚有需求缺口bj-ai； 若bj-xij =0，则划去销地Bj所在的列，说明该销地需 求已得到满足，而产地Ai尚有存余量ai-bj；
基本思想 ：
就近供应。按单位运价的大小决定供应 的先后，优先满足单位运价最小者的供
销要求。
步 骤：
从单位运价表中选最小元素，然后比较 产量和销量，如果产>销，则划去列，若销 >产，则划去行； 修改ai或bj的值； 再从划去一列和一行后的单位运价表中 找最小元素，……，继续下去； 直到单位运价表的所有元素划去为止。
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4
A1 2 9 3 10
－
A2 1 8 2 9
A3 －3 4 -2 5
B1 B2 B3 B4
＝σij
A1 1 2 0 0 A2 0 1 0 －1
A3 10 0 12 0
到的检验数是唯一的（位势可能不同）。
成本表Cij
B1 B2 B3 B4
A1
3 10 u1
A2 1
2
u2
A3
4
5 u3
v1 v2 v3 v4
u2+v1=1 u2+ v3 =2 u3+v2=4 u1+ v4 =10 u1+v3=3 u3+ v4 =5 令： u1＝0
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4 A1 2 9 3 10 0 A2 1 8 2 9 －1 A3 －3 4 －2 5 －5
3
8
4
6
产量
9 5 7
21
二、数学模型的一般形式
1. 已知资料如下：
设某种物品有m个产地A1，A2，…，Am，产 量
分别是 a1，a2，…，am个单位 有n个销地B1，B2，…，Bn，销量分别为b1，
b2，…bn个单位； 从Ai 到Bj运输单位物品
的运价是cij；
2. 运输问题的几种类型：
ij
ij
ik
lk
ls
xlk
xls
c c
us
uj
xij
xik
检验数
ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）-
（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
• 对调运方案中每一空格按闭回路法求出检验数 • 若所有检验数大于等于零，则此方案为最优方案； • 若存在检验数小于零，则需对此方案进行调整。
供销
西北角法
基本思想： 优先满足运输表中左上角（即西北 角）空格的供销要求。
供销
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
34
11
3
A2
12
92
2
10 7 4
2
8 42
4
A3
7
43
10 6
5 96
6
销量 3
62
53
6
1
3
5
6
Z 33 411 29 22 310 65 135
伏格尔法（Vogel 逼近法. VAM）
例
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
3 11 3 10 19 28 7 4 10 5 36 56
产量
7 4 9
供销
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11 4
3
3
10
3
7
6
A2
31
91 2
8 41 2
A3
76 4
10 3 5 9 3 5
销量 3
6
54
63
1
4
3
6
Z 43 310 31 12 64 35 86
回路的边。
例：x11，x12，x32，x34，x24，x21 就是一个闭回路。
B1 A1 x11
B2
B3
B4
x12
A2 x21
x24
A3 x32
x34
闭回路的特点：
1.每一个顶点都有两条边与之相接，一条是水平的，一条是铅直的； 2.每一个顶点都是转角点，与之相邻的两个顶点，分别在它的水平和铅直方向； 3.每一行（列）如果有闭回路的顶点，则必出现一对，顶点总个数是偶数； 4.从任何一个顶点出发，沿任何一个方向到它的位于同一行或同一列的相邻 顶点，如此继续下去，经过闭回路的所有顶点和边，最后又回到开始的顶点， 但每一定和边在闭回路中只经过一次。
0 ...
1... Aij 0 = ...
1... 0
第 i分量
第 m+j分 量
❖矩阵的元素均为1或0； 每一列只有两个元素为1，其 余元素均为0； ❖ 列向量Pij =(0,…，0，1， 0，…,0,1,0,…0)T，其中两 个元素1分别处于第i行和第 m+j行。 ❖ 将该矩阵分块，特点是：前 m行构成m个m×n阶矩阵， 而且第k个矩阵只有第k行元素 全为1，其余元素全为0 （k=1，…，m）；后n行构 成m个n阶单位阵。
3
5
93
1
— 2 2——
63 2 20
3
3
Z=53+210+31
2
+1 8+64+ 35
2
= 85
2
6
2. 解的最优性检验
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数，因 运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当所有 的检验数≥0时，为最优解。 常用两种求空格检验数的方法为：闭回路法和位 势法。
（1）闭回路法
在求一个可行解的过程中注意到包含在矩阵模型中 的成本信息。它通过建立“罚数”来达到此目的。 罚数表示对一方格不进行分配的可能的成本罚款。
步 骤：
Step1. 给定一个平衡的运输矩阵，分别计算行罚数和列罚数；
Step2. 确定具有最大罚数的行或列，然后在罚数所在行（或 列）中选择最小价格元素，将可能的最大单位数分配 给此方格，将相应的行（或列）的供应量和需求量减 去这个量，并划去完全满足的行（或列）；
31
31
21
23
13
14
34
c c c c 10 5 10 3 12
33
33
34
14
13
不是最优解
（2）对偶变量法（位势法）
运输问题的基可行解 X ( xi1 j1 , xi2 j2 , , ximn1 jmn1 )T 在这一组基变量下，建立求解ui，vj的方程组：
ui1 v j1 ci1 j1 ui2 v j2 ci2 j2
• 最小元素法的缺点：为了节省一处的费用，有时造成在其
它处要多花几倍的运费。若不能按最小运费就近供应，就选 择次最小运费，差额越大，说明不能按最小运费调运时，运 费增加越多。
• 每行（列）中次最小价格元素与最小价格元素的数值之差，
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
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运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
2
9 10 2
1
3
4
2
8
4
2
5
2 9 3 10
u1＝0 u2 ＝－1 u3 ＝－5
v1＝2 v2 ＝9 v3 ＝3 v4 ＝10
按σij=cij－(ui+vj) 计算检验数，并以σij≥0 检验，或用 (ui+vj) －cij ≤0 检验。
cij
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
1.求初始方案（寻找初始基可行解）
Step1. 选择一个xij，
对xij的选择采用不同的规则就形成各种不同 的方法，比如每次总是在作业表剩余的格子中选 择运价（或运距）最小者对应的xij，则构成最小 元素法，若每次都选择左上角格子对应的xij就形 成西北角法（也称左上角法）。
Step2. 调整产销剩余数量：从ai和bj中分别减去xij的 值，若ai-xij=0，则划去产地Ai所在的行，即该产地 产量已全部运出无剩余，而销地Bj尚有需求缺口bj-ai； 若bj-xij =0，则划去销地Bj所在的列，说明该销地需 求已得到满足，而产地Ai尚有存余量ai-bj；
基本思想 ：
就近供应。按单位运价的大小决定供应 的先后，优先满足单位运价最小者的供
销要求。
步 骤：
从单位运价表中选最小元素，然后比较 产量和销量，如果产>销，则划去列，若销 >产，则划去行； 修改ai或bj的值； 再从划去一列和一行后的单位运价表中 找最小元素，……，继续下去； 直到单位运价表的所有元素划去为止。
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4
A1 2 9 3 10
－
A2 1 8 2 9
A3 －3 4 -2 5
B1 B2 B3 B4
＝σij
A1 1 2 0 0 A2 0 1 0 －1
A3 10 0 12 0
到的检验数是唯一的（位势可能不同）。
成本表Cij
B1 B2 B3 B4
A1
3 10 u1
A2 1
2
u2
A3
4
5 u3
v1 v2 v3 v4
u2+v1=1 u2+ v3 =2 u3+v2=4 u1+ v4 =10 u1+v3=3 u3+ v4 =5 令： u1＝0
(ui+vj)
B1 B2 B3 B4 A1 2 9 3 10 0 A2 1 8 2 9 －1 A3 －3 4 －2 5 －5
3
8
4
6
产量
9 5 7
21
二、数学模型的一般形式
1. 已知资料如下：
设某种物品有m个产地A1，A2，…，Am，产 量
分别是 a1，a2，…，am个单位 有n个销地B1，B2，…，Bn，销量分别为b1，
b2，…bn个单位； 从Ai 到Bj运输单位物品
的运价是cij；
2. 运输问题的几种类型：
ij
ij
ik
lk
ls
xlk
xls
c c
us
uj
xij
xik
检验数
ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）-
（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
• 对调运方案中每一空格按闭回路法求出检验数 • 若所有检验数大于等于零，则此方案为最优方案； • 若存在检验数小于零，则需对此方案进行调整。
供销
西北角法
基本思想： 优先满足运输表中左上角（即西北 角）空格的供销要求。
供销
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
34
11
3
A2
12
92
2
10 7 4
2
8 42
4
A3
7
43
10 6
5 96
6
销量 3
62
53
6
1
3
5
6
Z 33 411 29 22 310 65 135
伏格尔法（Vogel 逼近法. VAM）
例
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
3 11 3 10 19 28 7 4 10 5 36 56
产量
7 4 9
供销
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11 4
3
3
10
3
7
6
A2
31
91 2
8 41 2
A3
76 4
10 3 5 9 3 5
销量 3
6
54
63
1
4
3
6
Z 43 310 31 12 64 35 86
回路的边。
例：x11，x12，x32，x34，x24，x21 就是一个闭回路。
B1 A1 x11
B2
B3
B4
x12
A2 x21
x24
A3 x32
x34
闭回路的特点：
1.每一个顶点都有两条边与之相接，一条是水平的，一条是铅直的； 2.每一个顶点都是转角点，与之相邻的两个顶点，分别在它的水平和铅直方向； 3.每一行（列）如果有闭回路的顶点，则必出现一对，顶点总个数是偶数； 4.从任何一个顶点出发，沿任何一个方向到它的位于同一行或同一列的相邻 顶点，如此继续下去，经过闭回路的所有顶点和边，最后又回到开始的顶点， 但每一定和边在闭回路中只经过一次。
0 ...
1... Aij 0 = ...
1... 0
第 i分量
第 m+j分 量
❖矩阵的元素均为1或0； 每一列只有两个元素为1，其 余元素均为0； ❖ 列向量Pij =(0,…，0，1， 0，…,0,1,0,…0)T，其中两 个元素1分别处于第i行和第 m+j行。 ❖ 将该矩阵分块，特点是：前 m行构成m个m×n阶矩阵， 而且第k个矩阵只有第k行元素 全为1，其余元素全为0 （k=1，…，m）；后n行构 成m个n阶单位阵。
3
5
93
1
— 2 2——
63 2 20
3
3
Z=53+210+31
2
+1 8+64+ 35
2
= 85
2
6
2. 解的最优性检验
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数，因 运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当所有 的检验数≥0时，为最优解。 常用两种求空格检验数的方法为：闭回路法和位 势法。
（1）闭回路法
在求一个可行解的过程中注意到包含在矩阵模型中 的成本信息。它通过建立“罚数”来达到此目的。 罚数表示对一方格不进行分配的可能的成本罚款。
步 骤：
Step1. 给定一个平衡的运输矩阵，分别计算行罚数和列罚数；
Step2. 确定具有最大罚数的行或列，然后在罚数所在行（或 列）中选择最小价格元素，将可能的最大单位数分配 给此方格，将相应的行（或列）的供应量和需求量减 去这个量，并划去完全满足的行（或列）；
31
31
21
23
13
14
34
c c c c 10 5 10 3 12
33
33
34
14
13
不是最优解
（2）对偶变量法（位势法）
运输问题的基可行解 X ( xi1 j1 , xi2 j2 , , ximn1 jmn1 )T 在这一组基变量下，建立求解ui，vj的方程组：
ui1 v j1 ci1 j1 ui2 v j2 ci2 j2
• 最小元素法的缺点：为了节省一处的费用，有时造成在其
它处要多花几倍的运费。若不能按最小运费就近供应，就选 择次最小运费，差额越大，说明不能按最小运费调运时，运 费增加越多。
• 每行（列）中次最小价格元素与最小价格元素的数值之差，