初中数学中考复习课件--四边形总复习

如图：点C就是线段AB的中点
2、用平行线等分线段
把线段AB二等分把线段AB五等分 C N
A
C
B A D E F H B
如图：点C就是线段AB的中点
如图：点D、E、F、H就是线段AB的五等分点
七、典型举例：
例1：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至 E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交 E AD于G. G A 求证：∠E=∠F
4、一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等。条件：AD∥BE∥CF，AB=BC 结论：DE=EF B C
A
D E F A
5、过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必过第三边的中点。条件：在△ABC中，AD= BD ， DE∥BC
结论：AE=EC 6、过梯形一腰的中点，且平行于底边的直线，必过另一腰的中点。条件：在梯形ABCD中，AE=DE ， AB∥EF∥DC 结论：BF=FC B D
证明：四边形ABCD 是平行四边形 B AB∥ = CD BE=DF 四边形AFCE是平行四边形 H F AE∥ = CF ∠E=∠F C
D
注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。
例2：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°， ∠B= ∠D=90 °，求四边形ABCD的面积。 A 解：延长AD，BC交于点E， D 2 ∵在Rt△ABE中，∠A=60°， ∴∠E=30° 又∵AB=2 B ∴BE=√3AB=2 √3 ∵在Rt△CDE中，同理可得 DE=√3CD= √3 ∴S四边形ABCD=S Rt△ABE - S Rt△CDE =
1 2 1 2
1 C
E
AB· BE -
1 2
CD· DE
1 2
=
×2×2√3 -
×1×√3
=
3 2
√3
注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。
例3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF=7cm，对角线AC⊥BD，∠BDC=30°，求梯形的高线AH A B 析：求解有关梯形类的题目，常需添加辅助 F 线，把问题转化为三角形或四边形来求解， E 添加辅助线一般有下列所示的几种情况： C H
1、定义：有一外角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
菱形
正方形
等腰梯形
A
。。
1 结论： EF ∥ AB ∥ CD ， EF= （AB+CD） 2 C
3、两条平行线之间的距离以及性质：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫这两条如： L1 平行线的距离。 L2 夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的垂线段相等
L1 如： L2
B A C A C D D B B
二、几种特殊四边形的性质：
项目四边形
对边
角
对角相等邻角互补四个角
对角线
对称性
中心对称图形中心对称图形
平行且相等
平行四边形
互相平分
平行且相等
矩形
菱形
平行且四边相等平行且四边相等两底平行两腰相等
都是直角对角相等
邻角互补四个角都是直角同一底上
互相平分且相等
互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
D
平移一腰
作两高
平移一对角线
过梯形一腰中点和上底一端作直线
延长两腰
例3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF=7cm，对角线AC⊥BD，∠BDC=30°，求梯形的高线AH 解：过A作AM∥BD，交CD A B 的延长线于M E F 又∵AB∥CD ∴四边形ABDM是平行四边形， ∴DM=AB，∠AMC= ∠BDC=30° C H 又∵中位线EF=7cm， ∴CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm 1 又∵AC⊥BD， ∴AC⊥AM， ∴AC= 2 CM=7cm ∵AH⊥CD，∠ACD=60°
1、两腰相等的梯形 3、对角线相等的梯形
2、在同一底上的两角相等的梯形
四、中心对称图形与中心对称的区别和联系
A
中心对称图形：
B o A DB AC D B C C A D B
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。中心对称图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分
解法2
CD = AD
FO
AO
FO 6
=
5 8 15 4 15 2
A O B E
F
D
FO= FE=
C
2
2
25 4
7 4
） ∴EF=±7.5(负根舍去）
注：①解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形。 ②本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”。
例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。
E
C
A E
B F
D
C
六、主要画图：
1、画平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形如：画一个平行四边形ABCD，使边BC=5cm, 对角线AC=5cm，BD=8cm.
A
4 B 5 O 2.5 C
D
A
O 4 B 5 2.段AB五等分 C N
A
C
B A B
B
中心对称： C o
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心。
A
C′ A′
1、中心对称的两个图形是全等图形
C
2、中心对称的两个图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分
B A
B′
C
五、有关定理：
1、四边形的内角和等于 360°，外角和等于 360°。 n边形的内角和等于（n - 2）180°，外角和等于 360° 2、梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半 A B 如：条件：在梯形ABCD中，EF是中位线 E F D
轴对称图形中心对称图形
正方形
轴对称图形互相垂直平分且相等，每中心对称图形一条对角线平分一组对角轴对称图形
相等
轴对称图形
等腰梯形
的角相等
三、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形条件 1、定义：两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等 2、两组对边分别相等 4、对角线互相平分
平行四边形
矩形
7 ∴AH=AC· sin60°= 2
D
M
√3(cm)
例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。 D 解：设折痕为EF，连结AC，AE，CF，若A，C两点重合，它们必关于EF对 F A D 称，则EF是AC的中垂线，故AF=FC，设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm O 则FD=AD – AF=8 - x
中考总复习
四边形
一、四边形的分类及转化二、几种特殊四边形的性质三、几种特殊四边形的常用判定方法四、中心对称图形与中心对称的区别和联系五、有关定理六、主要画图七、典型举例
一、四边形的分类及转化
两组对边平行平行四边形
矩形
正方形任意四边形菱形等腰梯形一组对边平行梯形
另一组对边不平行直角梯形
∵在Rt△CDF中，FC = FD2 + CD 2
2 2 2
B
25 4
E
∴ x 2 = （8 - x）+ 6 解得x= 25 7 ∴AF=FC= 4 ,FD=8 – x= 4 作FH⊥BC于H
在Rt△FEH中， EF = FH 2 + EH 2 2
2
H
C
∴EF =6 + （答：折痕的长为7.5cm

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初三数学复习计划PPT课件

明确指导思想
知识技能
数学思考问题解决情感态度
知识技能
1．体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。 2．探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平面直角坐标系，能确定位置。 3．体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率。
情感态度
1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。 3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。 4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。
12课时序号复习内容课时过关测试内容时间第1课时实数第2课时二次根式第3课时代数式整式运算第4课时因式分解分式第5课时一次方程分式方程一次方程组方程与不等式1课时第6课时一元二次方程第7课时一元一次不等式组1第8课时不等式的应用第9课时函数概念一次函数函数及其图像1课时第10课时反比例函数第11课时二次函数第12课时函数的应用第13课时平行线三角形与证图形的性质1课时第14课时特殊三角形第15课时多边形平行四边形与证明第16课时特殊平行四边形梯形与证明第19课时投影与视图图形与变换第20课时图形的变换图形与变换1课时第21课时相似形第22课时解直角三角形图形与坐标第23课时图形变换与坐标图形与坐标1课时14概率与统3课时第24课时统计概率测试1课时第5课时概率151620201217重视模块之间的联系

2024年新版最新中考数学复习全套课件完整版

2024年新版最新中考数学复习全套课件完整版一、教学内容1. 实数与方程实数的概念、分类及运算一元一次方程、一元二次方程的求解2. 函数及其图像一次函数、二次函数的性质与应用函数图像的识别与变换3. 不等式与不等式组一元一次不等式、一元二次不等式的求解不等式组的解法与应用4. 几何图形与证明平面几何图形的性质与计算空间几何图形的识别与证明二、教学目标1. 让学生熟练掌握实数、方程、不等式、函数、几何图形等基本概念和性质，提高解题能力。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学素养。

3. 帮助学生巩固数学知识体系，提高中考复习效果。

三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的分类与运算函数图像的识别与变换不等式组的求解与应用几何图形的证明2. 教学重点：基本概念的巩固与理解解题方法与技巧的掌握数学思维的培养四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔2. 学具：教材、练习册、文具五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，引出实数、方程、不等式、函数等概念。

2. 例题讲解：针对每个章节，挑选经典例题进行讲解，分析解题思路与方法。

3. 随堂练习：讲解结束后，布置随堂练习，巩固所学知识。

5. 答疑解惑：针对学生提出的问题，进行解答，帮助学生消除疑惑。

六、板书设计1. 2024年新版中考数学复习全套课件2. 各章节、知识点、公式、例题等七、作业设计1. 作业题目：几何图形与证明：证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是锐角三角形。

2. 答案：（具体答案略）八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：2. 拓展延伸：探索实数、方程、不等式、函数等在生活中的应用，提高数学素养。

了解初中数学竞赛的相关知识，拓展知识面。

重点和难点解析1. 实数与方程的求解方法2. 函数图像的识别与变换3. 不等式组的求解与应用4. 几何图形的证明方法5. 例题讲解与随堂练习的设计6. 作业题目的设置与答案解析一、实数与方程的求解方法1. 实数的分类与运算：包括有理数、无理数的概念，以及实数的加减乘除、乘方等运算。

人教初中数学八下 18 平行四边形总复习课件【经典初中数学课件汇编】

b3
h
2
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
a 读作“根号 ”
形如 a ( a 0 ) 的式子叫做二次根式 .
1.表示a的算术平方, a ≥0 ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(5) (1 2)2 ( 21)2
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1<x<3 )
思考：若m(m m 24)82 m 416m4, 则m的取值范围是 _________
1.若 (1x)2 1x ,则x的取值范围为 A
((A) x)≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2
7 _____;
1 22_____.
一般地,二次根式有下面的性质:
2
a aa0
面积 a a
a
2
2
1
32______,2
2 7
______,3
213
________,
4
52________,5
232________.
? 一般地,二次根式有下面的性质:
性质1: a 2a (a0) 1149a765
例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) x 5 (2) 1 x2 (3) 1 x 3 x
例2 当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。 x5
练习、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1
(2) 3x
(3)4x2 1
(4)x1
(5) x3

初一上期末数学复习整理(四边形-多边形的概念和性质 )

初中数学第六章四边形多边形的概念及性质1、多边形定义：平面内，由不在一条直线上的一些线段首尾顺次连结而形成的封闭图形。

分类：1）按凹凸分：凹多边形，凸多边形；2）按边数分：三边形，四边形，五边形；3）一类特殊多边形：正多边形，各边相等，各角相等。

2、内角和N边形的内角和等于（n-2）X 180°，三角形的内角和等于180°。

四边形的内角和等于360°，任意一个四边形都可以通过连结对角线分割成两个三角形。

3、外角和N边形的外角和等于360°。

四边形的外角和也等于360°4、镶嵌定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖。

特征：1）拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°，2）相邻的多边形有公共点。

1、多边形的密铺问题正方形、矩形、正三角形、正六边形等都能将地板铺满。

2、多边形问题转化为三角形或四边形问题连结对角线，将多边形分成若干个三角形，运用三角形性质转化多边形中的角，补全图形转化为四边形的问题3、多边形的内角和从一个顶点出发，连对角线，将四边形问题转化成三角形问题，每个三角形的内角和都等于180°，四边形的内角和等于360°，多边形的内角和等于（n-2）X 180°4、N边形的对角线1）N边形共有n(n-3)/2 条对角线。

2）N边形的一个顶点可引（n-3）条对角线，这些对角线将多边形分成（n-2)个三角形。

5、四边形的外角和（多边形的外角和等于360°）推导：1）每一个内角与相邻的一个外角组成一个平角。

2）四个内角与相邻的四个外角组成四个平角。

3）外角和等于四个平角的和减去内角和，等于360°。

1、学习误区不是在理解的基础上运用多边形的内角和公式已知一个多边形的内角和与外角和的关系，求边数的问题。

（却不知道多边形的外角和为多少）2、知能提升1)多边形的外角和为360°；2)多边形的密铺问题；3)多边形的内角和公式（n-2）X 180°；（知道一个条件可以求另一个条件：边和度数）4)熟记n边形的对角线公式：n(n-3)/2。

《平行四边形》期末复习 —初中数学课件PPT

∴△ODE≌△FCE（AAS）．（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC． ∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形．在矩形ABCD中，OC＝OD，∴ ODFC是菱形．
6.如图M-55-10，四边形ABCD是正方形，E,F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE,AF,EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC=8，DE=3，求△AEF的面积.
21.如图M-55-22，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上
一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不
一定正确的是
（ B）
A．△AFD≌△DCE
B．AF= AD
C．AB=AF
D．BE=AD-DF
22.如图M-55-23，在△ABC中，CD⊥AB于
点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE= AD，CF= BC. ∴AE=CF. ∴四边形AFCE是平行四边形.
综合提升
20.如图M-55-21，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于点F，则AE的长为（ D ） A．4 B．4.8 C．2.4 D．3.2
14.如图M-55-16，在△ABC中，已知AB=8， ∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE 的长为____2____.
15. 已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为____5______cm. 16. 如图M-55-17，矩形ABCD的对角线AC=8 cm，∠AOD=120°，则AB的长为_____4_____cm.

MSDC初中数学中考复习四边形第09讲(通用讲)教师版

内容基本要求略高要求较高要求多边形了解多边形与正多边形的概念；了解多边形的内角和及外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系会用多边形的内角和和外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行镶嵌设计；依据图形条件分解与拼接简单图形平行四边形会识别平行四边形掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题会运用平行四边形的知识解决有关问题矩形会识别矩形掌握矩形的概念、性质和判定，会用矩形的性质和判定解决简单问题会用矩形的知识解决有关问题菱形会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题正方形会识别正方形掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题会用正方形的知识解决有关问题梯形会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题一、平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等．平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形．平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍．平行四边形的面积：底乘以高．二、平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．知识点睛四边形三、矩形1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2.矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3.矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．四、菱形1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．中点中点平行中点定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．五、正方形1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）正方形菱形矩形平行四边形3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．六、梯形 1．定义：四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形.AB CD ABCD AD BC ⎫⇒⎬⎭∥叫做梯形. C B A D底角腰底高2．等腰梯形AB CD AD BC AD BC ⎫⎪=⇒⎬⎪⎭∥.ABCD DAB CBA ADC BCD AC BD ∠=∠∠=∠=是等腰梯形，，，B CAD3．直角梯形AB CD CB AB ABCD AD BC ⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭∥是直角梯形. CAB D4．平行线等分线段定理1234l l l l AB BC CD ⎫⇒⎬==⎭∥∥∥111111A B B C C D ==.l 4l 3l 2l1D 1C 1B 1A 1DC B A5．中位线定理⑴ 三角形中位线定理 ABC ∆中：1122AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬=⎭∥，. BN C MA⑵ 梯形中位线定理梯形ABCD 中：AB CD AM DM BN CN ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭∥()12MN AB CD MN AB CD =+∥∥，B NC A MD八、等腰梯形1. 等腰梯形的性质①等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等．③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴；2. 等腰梯形的判定①同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形． ②对角线相等的梯形是等腰梯形．九、梯形中常见的辅助线我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形. 常见的辅助线添加方式如下：梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线．【例1】如图，已知：在平行四边形ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．FGE DCBA【解析】⑴ ①（答案不惟一）⑵ ∵四边形ABCD 是平行四边形（已知）∴AD BC ∥，AB CD =（平行四边形的对边平行且相等）∴GBC BGA ∠=∠，BCE CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵BG 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠（已知）∴ABG GBC ∠=∠，BCE ECD ∠=∠（角平分线定义） ∴ABG AGB ∠=∠，ECD CED ∠=∠．∴AB AG =，CE DE =（在同一个三角形中，等角对等边） ∴AG DE =∴AG EG DE EG -=-，即AE DG =【答案】⑴ ①（答案不惟一）⑵ ∵四边形ABCD 是平行四边形（已知）∴AD BC ∥，AB CD =（平行四边形的对边平行且相等）∴GBC BGA ∠=∠，BCE CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵BG 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠（已知）∴ABG GBC ∠=∠，BCE ECD ∠=∠（角平分线定义） ∴ABG AGB ∠=∠，ECD CED ∠=∠．∴AB AG =，CE DE =（在同一个三角形中，等角对等边） ∴AG DE =∴AG EG DE EG -=-，即AE DG =【例2】如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中CE =CF ，G 是CD 与EF 的交点.（1）求证：△BCF ≌△DCE .（2）若BC =5，CF =3，∠BFC =900，求DG ：GC 的值.GFEDCBA【解析】【答案】（1）∵四边形 ABCD 是正方形∴∠BCF +∠FCD =90°，BC =CD ∵△ECF 是等腰直角三角形， ∴∠ECD +∠FCD =90︒. CF =CE ∴∠BCF =∠ECD. ∴△BCF ≌△DCE(2)在△BFC 中，BC =5，CF =3，∠BFC =900.∴BF4 ∵△BCF ≌△DCE ，∴DE =BF =4，∠BFC =∠DEC =∠FCE =900.∴DE ∥FC∴△DGE ∽△CGF ∴DG ：GC =DE ：CF =4：3【例3】如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，BF 平分∠ABC ，AF ∥DC ，连接AC ，CF . 求证：（1）AF =CF ；（2）CA 平分∠DCF .FDCBA【解析】略【答案】（1）∵ BF 平分ABC ∠，∴ ABF CBF ∠=∠．在△ABF 与△CBF 中，,,,AB CB ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBF ． ∴ AF CF =．（2）∵ AF CF =， ∴ FCA FAC ∠=∠． ∵ AF ∥DC ，∴ FAC DCA ∠=∠．∴ FCA DCA ∠=∠，即CA 平分DCF ∠．【例4】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ．（1）求tan ABD ∠的值；（2）求AF 的长．FEDCBA【解析】略【答案】（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3）∵AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ， ∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4CD =， ∴ MN =CD = 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，NM FEDCBA∴ ∠DAB =∠CBA ，DM =CN ． ∴ △ADM ≌△BCN ．又∵10AB =，∴ AM =BN =()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB =BN +MN =7．∵ 在Rt AMD △中，∠AMD =90︒，AD =5，AM =3，∴4DM ．∴4tan 7DM ABD BM ∠== （2）∵EF AB ⊥， ∴ ∠F =90︒． ∵∠DMN =90︒， ∴ ∠F =∠DMN . ∴ DM ∥EF ．∴ △BDM ∽△BEF ． ∵ DE BD =，∴12BM BD BF BE ==． ∴BF =2BM =14∴AF =BF -AB =14-10=4【例5】梯形ABCD 中DC ∥AB ， AB =2DC ，对角线AC 、BD 相交于点O ， BD =4，过AC 的中点H 作EF ∥BD 分别交AB 、AD 于点E 、F ，求EF 的长.【解析】略【答案】过点C 作CP ∥BD 交AB 的延长线于P∵DC ∥AB ，∴四边形BPCD 是平行四边形. ∴ DB ∥CP , DC =BP . ∵AB =2DC ，设DC =x ， ∴BP =x ,AB =2x . ∴AP =3x .∵EF ∥BD ，CP ∥BD ， ∴EF ∥CP .又∵点H 为AC 的中点， ∴12AE AH AP AC ==. ∴AE =12AP =32x .∴33224xAE AB x == ∵EF ∥BD ，∴BDEFAB AE =. ∵BD =4， ∴344EF =.∴EF =3ABC D EFO HPHO FED C BA【例6】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD ⊥CD ，∠C =60°，AD =3，BC =43，求AB 的长．A BCD【解析】略【答案】如图，分别过点A 、D 作AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F∴AE //DF ．又∵AD //BC ，∴四边形AEFD 是矩形． ∴EF =AD =3∵BD ⊥CD ，∠C =60°，BC =43，∴DC =BC·cos60°=143232⨯=．∴CF =DC·cos60°=12332⨯=．∴ AE =DF = DC·sin60°=32332⨯= ∴23BE BC EF CF =--= 在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∴ AB =22223(23)21AE BE +=+=【例7】如图：正方形ABCD 的边长为6cm ，E 是AD 的中点，点P 在AB 上，且∠ECP =45°。

春季第11讲-初中数学《四边形综合》教师版

教学辅导教案1．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∥ABC和∥DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：过点P作PE∥BC于E，∥AB∥CD，PA∥AB，∥PD∥CD，∥BP和CP分别平分∥ABC和∥DCB，∥PA=PE，PD=PE，∥PE=PA=PD，∥PA+PD=AD=8，∥PA=PD=4，∥PE=4．故选：C．2．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：第1页共41页3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9B．2：5C．2：3D．：【解答】解：∥四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3，∥DA：D′A′=OA：OA′=2：3，∥四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2=，故选：A．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将∥ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为．【解答】解：由折叠的性质可知，∥B′AC=∥BAC，∥四边形OABC为矩形，∥OC∥AB，∥∥BAC=∥DCA，∥∥B′AC=∥DCA，∥AD=CD，设OD=x，则DC=6﹣x，在Rt∥AOD中，由勾股定理得，OA2+OD2=AD2，即9+x2=（6﹣x）2，解得：x=，∥点D的坐标为：（0，），故答案为：（0，﹣）．4．如题图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.∥求证：△ABG≌△AFG；∥求BG的长.【解析】解：（1）∥四边形ABCD是正方形，∥∥B=∥D=90°，AD=AB.由折叠的性质可知，AD=AF，∥AFE=∥D=90°，∥∥AFG=90°，AB=AF.∥∥AFG=∥B.又∥AG=AG，∥∥ABG∥∥AFG（HL）.（2）∥∥ABG∥∥AFG，∥BG=FG.设BG=FG=x，则GC=6-x,Rt CEG中，由勾股定理，得∥E为CD的中点，∥CF=EF=DE=3，∥EG=3+x，在∆2223(6)(3)x x，解得2+-=+x，=∥BG=2.5．如图，四边形ABCD中，AC平分∥DAB，∥ADC=∥ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【解答】（1）证明：∥AC平分∥DAB，∥∥DAC=∥CAB，∥∥ADC=∥ACB=90°，∥∥ADC∥∥ACB，∥AD：AC=AC：AB，∥AC2=AB•AD；（2）证明：∥E为AB的中点，∥CE=AB=AE，∥∥EAC=∥ECA，∥∥DAC=∥CAB，∥∥DAC=∥ECA，∥CE∥AD；（3）解：∥CE∥AD，∥∥AFD∥∥CFE，∥AD：CE=AF：CF，∥CE=AB，∥CE=×6=3，∥AD=4，∥，∥．6．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH∥DE．【解答】证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，∥BCD=∥ECH=90°，∥∥BCD+∥DCH=∥ECH+∥DCH，即∥BCH=∥DCE，在∥BCH和∥DCE中，，∥∥BCH∥∥DCE（SAS），∥BH=DE；（2）∥∥BCH∥∥DCE，∥∥CBH=∥CDE，又∥∥CGB=∥MGD，∥∥DMB=∥BCD=90°，∥BH∥DE．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∥DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使∥PBE的周长最小，则∥PBE的周长的最小值为．【解答】解：连接DE．∥BE的长度固定，∥要使∥PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，∥四边形ABCD是菱形，∥AC与BD互相垂直平分，∥P′D=P′B，∥PB+PE的最小长度为DE的长，∥菱形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∥DAB=60°，∥∥BCD是等边三角形，又∥菱形ABCD的边长为2，∥BD=2，BE=1，DE=，∥∥PBE的最小周长=DE+BE=+1，故答案为：+1．2．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC∥AB，E是BC中点，∥AOD的周长比∥AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【解答】解：∥∥ABCD的周长为26cm，∥AB+AD=13cm，OB=OD，∥∥AOD的周长比∥AOB的周长多3cm，∥（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∥AB=5cm，AD=8cm．∥BC=AD=8cm．∥AC∥AB，E是BC中点，∥AE=BC=4cm；故选：B．3．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH∥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．4【解答】解：∥四边形ABCD是菱形，∥AO=OC，BO=OD，AC∥BD，∥AC=8，DB=6，∥AO=4，OB=3，∥AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∥S菱形ABCD=，∥，∥DH=，故选：A．4．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH 的周长为（）A．B．2C．+1D．2+1【解答】解：∥正方形ABCD的面积为1，∥BC=CD==1，∥BCD=90°，∥E、F分别是BC、CD的中点，∥CE=BC=，CF=CD=，∥CE=CF，∥∥CEF是等腰直角三角形，∥EF=CE=，∥正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，垂足为点E，若∥EAC=2∥CAD，则∥BAE=度．【解答】解：∥四边形ABCD是矩形，∥AC=BD，OA=OC，OB=OD，∥OA=OB═OC，∥∥OAD=∥ODA，∥OAB=∥OBA，∥∥AOE=∥OAD+∥ODA=2∥OAD，∥∥EAC=2∥CAD，∥∥EAO=∥AOE，∥AE∥BD，∥∥AEO=90°，∥∥AOE=45°，∥∥OAB=∥OBA==67.5°，∥∥BAE=∥OAB﹣∥OAE=22.5°．故答案为22.5°．6．已知：如图，在∥ABC中，AB=AC，AD是∥ABC的一条角平分线，AN是∥ABC 外角∥CAM的平分线，CE∥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论．【解答】（1）证明：∥在∥ABC中，AB=AC，AD是∥ABC的一条角平分线，∥AD∥BC，∥BAD=∥CAD，∥∥ADC=90°，∥AN为∥ABC的外角∥CAM的平分线，∥∥MAN=∥CAN，∥∥DAE=90°，∥CE∥AN，∥∥AEC=90°，∥四边形ADCE为矩形；（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：证明：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE．又∥AB=AC，BD=CD，∥AB=DE，AE=BD，∥四边形ABDE是平行四边形；（3）DF∥AB，DF=AB．理由：解：∥四边形ADCE为矩形，∥AF=CF，∥BD=CD，∥DF是∥ABC的中位线，∥DF∥AB，DF=AB．7．如图，在∥ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=4，求∥C的大小．【解答】解：（1）在∥AEB和∥AEF中，，∥∥AEB∥∥AEF，∥∥EAB=∥EAF，∥AD∥BC，∥∥EAF=∥AEB=∥EAB，∥BE=AB=AF．∥AF∥BE，∥四边形ABEF是平行四边形，∥AB=BE，∥四边形ABEF是菱形；（2）如图，连结BF，交AE于G．∥菱形ABEF的周长为16，AE=4，∥AB=BE=EF=AF=4，AG=AE=2，∥BAF=2∥BAE，AE∥BF．在直角∥ABG中，∥∥AGB=90°，∥cos∥BAG===，∥∥BAG=30°，∥∥BAF=2∥BAE=60°．∥四边形ABCD是平行四边形，∥∥C=∥BAF=60°．【学科分析】（结合考纲要求）1．多边形在中考命题中多以选择题、填空题和解答题的形式出现，主要考查多边形的边角关系、多边形内角和、平面镶嵌及平行四边形的定义、性质和判定．2．平行四边形常和三角形、圆、函数结合起来命题，考查学生的综合运用能力．3．特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中．【学生分析】学生认知方式（老师自行预设）：整体型/分析型，场依存型/场独立型；学生风格：听觉型/视觉型/动觉型/混合型精讲1：多边形与平行四边形【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∥3+∥1﹣∥2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【例2】（1）如图，在∥ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若∥CED的周长为6，则∥ABCD的周长为（）A．6B．12C．18D．24【解答】解：∥四边形ABCD是平行四边形，∥DC=AB，AD=BC，∥AC的垂直平分线交AD于点E，∥AE=CE，∥∥CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，∥∥ABCD的周长=2×6=12；故选：B．（2）如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC∥AB，E是BC中点，∥AOD的周长比∥AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【解答】解：∥∥ABCD的周长为26cm，∥AB+AD=13cm，OB=OD，∥∥AOD的周长比∥AOB的周长多3cm，∥（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∥AB=5cm，AD=8cm．∥BC=AD=8cm．∥AC∥AB，E是BC中点，∥AE=BC=4cm；故选：B．（3）如图，在∥ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∥ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．【解答】解：根据作图的方法得：BE平分∥ABC，∥∥ABE=∥CBE∥四边形ABCD是平行四边形，∥AD∥BC，AD=BC=5，∥∥AEB=∥CBE，∥∥ABE=∥AEB，∥AE=AB=3，∥DE=AD﹣AE=5﹣3=2；故答案为：2．（4）在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（﹣1，﹣2）、C（2，﹣2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是____．（填序号，多填或填错得0分，少填酌情给分）∥（﹣2，0）∥（0，﹣4）∥（4，0）∥（1，﹣4）【解答】解：若以AC为对角线则D的坐标为（4，0）；若以AB为对角线则D的坐标为（﹣2，0）；若以BC为对角线则D的坐标为（0，﹣4）；综上可得∥∥∥正确．【例3】（1）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．∥，∥B．∥，∥C．∥，∥D．∥，∥【解答】解：∥只有∥∥两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∥带∥∥两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．（2）下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．（3）如图，分别以Rt∥ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边∥ACD及等边∥ABE，已知：∥BAC=30°，EF∥AB，垂足为F，连接DF．①试说明AC=EF；②求证：四边形ADFE是平行四边形．【解答】证明：（1）∥Rt∥ABC中，∥BAC=30°，∥AB=2BC，又∥∥ABE是等边三角形，EF∥AB，∥AB=2AF∥AF=BC，在Rt∥AFE和Rt∥BCA中，，∥Rt∥AFE∥Rt∥BCA（HL），（2）∥∥ACD是等边三角形，∥∥DAC=60°，AC=AD，∥∥DAB=∥DAC+∥BAC=90°又∥EF∥AB，∥EF∥AD，∥AC=EF，AC=AD，∥EF=AD，∥四边形ADFE是平行四边形．精讲2：矩形、菱形的性质与判定【例4】（1）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．（2）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC=8，BD=6，E是AB的中点，则∥OAE的周长是（）A．18B．16C．9D．8【解答】解：∥四边形ABCD为菱形，∥AC∥BD，OB=BD=3，OA=AC=4，∥AB==5，∥E为AB的中点，∥AE=OE=AB=2.5，∥AE+EO+AO=4+5=9，故选：C．（3）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．【解答】证明：如图，连接AC、BD，∥AD∥BC，AB=CD，∥AC=BD，∥E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∥在∥ABC中，EF=AC，在∥ADC中，GH=AC，∥EF=GH=AC，同理可得，HE=FG=BD，∥EF=FG=GH=HE，∥四边形EFGH为菱形．（4）如图，在Rt∥ABC中，∥B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∥BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．【解答】证明：∥AF∥CD，∥∥AFE=∥CDE，在∥AFE和∥CDE中，，∥∥AEF∥∥CED．AF=CD，∥AF∥CD，∥四边形ADCF是平行四边形．由题意知，AE=AB，∥EAD=∥BAD，AD=AD，∥∥AED∥∥ABD．∥∥AED=∥B=90°，即DF∥AC．∥四边形ADCF是菱形．【例5】（1）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC∥BD时，四边形ABCD是矩形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当∥ABD=∥CBD时，四边形ABCD是矩形【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论错误；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项错误；C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、不能得到一个角是直角，故错误，故选：C．（2）已知坐标平面上有一长方形ABCD，其坐标分别为A（0，0），B（2，0），C （2，1），D（0，1），今固定B点并将此长方形依顺时针方向旋转，如图所示．若旋转后C点的坐标为（3，0），则旋转后D点的坐标为何（）A．（2，2）B．（2，3）C．（3，3）D．（3，2）【解答】解：∥旋转后C点的坐标为（3，0），∥点C落在x轴上，∥此时AC=3，DC=2，∥点D的坐标为（3，2），故选：D．（3）如图，在∥ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∥ACB、外角∥ACD的平分线于点E、F．①若CE=8，CF=6，求OC的长；②连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【解答】①证明：∥EF交∥ACB的平分线于点E，交∥ACB的外角平分线于点F，∥∥OCE=∥BCE，∥OCF=∥DCF，∥EF∥BC，∥∥OEC=∥BCE，∥OFC=∥DCF，∥∥OEC=∥OCE，∥OFC=∥OCF，∥OE=OC，OF=OC，∥OE=OF；∥∥OCE+∥BCE+∥OCF+∥DCF=180°，∥∥ECF=90°，在Rt∥CEF中，由勾股定理得：EF==10，∥OC=OE=EF=5；②解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，∥EO=FO，∥四边形AECF是平行四边形，∥∥ECF=90°，∥平行四边形AECF是矩形．（4）如图，在∥ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．①求证：BD=CD；②如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【解答】证明：①∥AF∥BC，∥∥AFE=∥DCE，∥E是AD的中点，∥AE=DE，，∥∥AEF∥∥DEC（AAS），∥AF=DC，∥AF=BD，∥BD=CD；②四边形AFBD是矩形．理由：∥AB=AC，D是BC的中点，∥AD∥BC，∥∥ADB=90°∥AF=BD，∥过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，∥四边形AFBD是平行四边形，又∥∥ADB=90°，∥四边形AFBD是矩形．精讲3：正方形的性质与判定【例6】（1）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：∥绕顶点A顺时针旋转45°，∥∥D′CE=45°，∥CD′=D′E，∥ED′∥AC，∥∥CD′E=90°，∥AC==，∥CD′=﹣1，∥正方形重叠部分的面积是×1×1﹣×（﹣1）（﹣1）=﹣1．故选：D．（2）已知：如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE=AD，∥ADE=75°，则∥AEB=．【解答】解：∥AE=AD，∥ADE=75°，∥∥DAE=180°﹣2∥DAE=180°﹣2×75°=30°，∥∥BAE=∥BAD+∥DAE=90°+30°=120°，∥AB=AD，∥AB=AE，∥∥AEB=（180°﹣∥BAE）=×（180°﹣120°）=30°．故答案为：30°．（3）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．【解答】解：∥四边形ABCD为菱形，∥当∥BAD=90°时，四边形ABCD为正方形．故答案为∥BAD=90°．【例7】已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．（1）求证：AE=CE；（2）若将∥ABE沿AB翻折后得到∥ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE 是正方形？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∥四边形ABCD是正方形，∥AB=CB，∥BAD=∥ABC=90°，∥ABE=∥CBE=45°，在∥ABE和∥CBE中，，∥∥ABE∥∥CBE（SAS），∥AE=CE．（2）解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形；理由如下：由折叠的性质得：∥F=∥AEB，AF=AE，BF=BE，∥∥BAD=90°，E是BD的中点，∥AE=BD=BE=DE，∥AE=CE，∥AE=BE=CE=DE=AF=BF，∥四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，∥AE∥BD，∥∥AEB=90°，∥四边形AFBE是正方形．精讲4：四边形综合【例8】（1）若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形【解答】解：如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是∥ABD、∥BCD的中位线，EF、HG分别是∥ACD、∥ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∥AC=BD，∥EH=FG=FG=EF，∥四边形EFGH是菱形．故选：A．（2）已知，如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．①四边形EFGH的形状是，证明你的结论．②连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件时，四边形EFGH是矩形，并证明你的结论．【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：如图，连结BD．∥E、H分别是AB、AD中点，∥EH∥BD，EH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∥EH∥FG，EH=FG，∥四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：如图，连结AC、BD．∥E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∥EH∥BD，HG∥AC，∥AC∥BD，∥EH∥HG，又∥四边形EFGH是平行四边形，∥平行四边形EFGH是矩形；故答案为：平行四边形，对角线满足互相垂直．【例9】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∥C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）请直接写出BD=；AB=；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t，使得点P、Q关于BD对称？若存在，请你直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）BD=20，AB=13；（2）如图，过P作PM∥BC于M，由图可知：CM=PD=2t，CQ=t，若以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：∥若PQ=BQ，在Rt∥PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2，得t2+122=（16﹣t）2，解得t=；∥若PB=PQ，由PB2=PQ2，得（16﹣2t）2+122=t2+122，整理，得3t2﹣64t+256=0，解得，t=，t2=16（不合题意，舍去），∥若BP=BQ，在Rt∥PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122，由BP2=BQ2，得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144=0，∥∥=﹣704＜0，∥3t2﹣32t+144=0无解，∥BP≠BQ；综合上面的讨论可知：当t=或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）不存在点P、Q关于BD对称．理由∥P、Q关于BD对称，∥BD垂直平分PQ，则BP=BQ，在Rt∥PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122，由BP2=BQ2，得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144=0，∥∥=﹣704＜0，∥3t2﹣32t+144=0无解，∥BP≠BQ，∥不存在点P、Q关于BD对称．1．一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：180°﹣144°=36°，360°÷36°=10，则这个多边形的边数是10．故选：C．2．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：∥平行四边形；∥矩形；∥菱形；∥正方形；∥等腰三角形；∥等边三角形，一定能拼成的图形是（）A．∥∥∥B．∥∥∥C．∥∥∥D．∥∥∥【解答】解：根据题意，能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形．故选D．3．顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是（）A．菱形B．正方形C．矩形D．等腰梯形【解答】解：是矩形．证明：如图，∥四边形ABCD是菱形，∥AC∥BD，∥E，F，G，H是中点，∥EF∥BD，FG∥AC，∥EF∥FG，同理：FG∥HG，GH∥EH，HE∥EF，∥四边形EFGH是矩形．故选：C．4．已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的周长是cm．【解答】解：因为菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，可求得另一对角线长8cm，根据勾股定理，菱形的边长为=5cm，则菱形的周长=5×4=20cm．故答案为20．5．如图，将∥ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：∥ABD∥∥BEC；（2）连接BD，若∥BOD=2∥A，求证：四边形BECD是矩形．【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∥AB=BE，∥BE=DC，∥四边形BECD为平行四边形，∥BD=EC．∥在∥ABD与∥BEC中，，∥∥ABD∥∥BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．∥四边形ABCD为平行四边形，∥∥A=∥BCD，即∥A=∥OCD．又∥∥BOD=2∥A，∥BOD=∥OCD+∥ODC，∥∥OCD=∥ODC，∥OC=OD，∥OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∥平行四边形BECD为矩形．6．如图，在矩形ABCD中，AE平分∥BAD，交BC于E，过E做EF∥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∥ADP的值．【解答】（1）证明：∥四边形ABCDABCD是矩形，∥∥FAB=∥ABE=90°，AF∥BE，∥EF∥AD，∥∥FAB=∥ABE=∥AFE=90°，∥四边形ABEF是矩形，∥AE平分∥BAD，AF∥BE，∥∥FAE=∥BAE=∥AEB，∥AB=BE，∥四边形ABEF是正方形；（2）解：过点P作PH∥AD于H，如图所示：∥四边形ABEF是正方形，∥BP=PF，BA∥AD，∥PAF=45°，∥AB∥PH，∥AB=4，∥AH=PH=2，∥AD=7，∥DH=AD﹣AH=7﹣2=5，在Rt∥PHD中，∥PHD=90°．∥tan∥ADP==．1．四边形有关知识∥ n边形的内角和为．外角和为．∥ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和增加．∥ n边形过每一个顶点的对角线有条，n边形的对角线有条．2．平面图形的镶嵌∥ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形．∥ 只用一种正多边形铺满地面，有．3．易错知识辨析：多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360º．正方形的性质：⎪⎩⎪⎨⎧⇒.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（是正方形因为ABCD 正方形的判定：.321是正方形所以四边形一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（ABCD ⇒⎪⎭⎪⎬⎫++++1．如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A ．B ．4C ．4.5D ．5【解答】解：设FC′=x ，则FD=9﹣x ，∥BC=6，四边形ABCD 为矩形，点C′为AD 的中点， ∥AD=BC=6，C′D=3．在Rt∥FC′D 中，∥D=90°，FC′=x ，FD=9﹣x ，C′D=3， ∥FC′2=FD 2+C′D 2，即x 2=（9﹣x ）2+32，解得：x=5．故选：D ．2．如图，四边形ABCD 是菱形，CE∥AB 交AB 的延长线于点E ，CF∥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE ．CD A BA B CD O【解答】证明：连接AC，∥四边形ABCD是菱形，∥AC平分∥DAE，CD=BC，∥CE∥AB，CF∥AD，∥CE=FC，∥CFD=∥CEB=90°．在Rt∥CDF与Rt∥CBE中，，∥Rt∥CDF∥Rt∥CBE（HL），∥DF=BE．3．如图，在Rt∥ABC中，∥ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，且AD=4，过点D作DE∥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求CE的长；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．【解答】（1）解：∥DE∥BC，∥∥DFB=90°∥∥ACB=90°，∥∥ACB=∥DFB【解答】解：（1）AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF∥BE．答案是：相等，互相垂直；（2）结论仍然成立．理由是：∥正方形ABCD中，AB=AD=CD，∥在∥ADE和∥DCF中，，∥∥ADE∥∥DCF，∥∥DAE=∥CDF，又∥正方形ABCD中，∥BAD=∥ADC=90°，∥∥BAE=∥ADF，∥在∥ABE和∥ADF中，，∥∥ABE∥∥ADF，∥BE=AF，∥ABM=∥DAF，又∥∥DAF+∥BAM=90°，∥∥ABM+∥BAM=90°，∥在∥ABM中，∥AMB=180°﹣（∥ABM+∥BAM）=90°，∥BE∥AF；（3）第（1）问中的结论都能成立．理由是：∥正方形ABCD中，AB=AD=CD，∥在∥ADE和∥DCF中，，∥∥ADE∥∥DCF，∥∥DAE=∥CDF，又∥正方形ABCD中，∥BAD=∥ADC=90°，∥∥BAE=∥ADF，∥在∥ABE和∥ADF中，，∥∥ABE∥∥ADF，∥BE=AF，∥ABM=∥DAF，又∥∥DAF+∥BAM=90°，∥∥ABM+∥BAM=90°，∥在∥ABM中，∥AMB=180°﹣（∥ABM+∥BAM）=90°，∥BE∥AF．1．如图，在四边形ABCD中，∥B=∥C，点E，F分别在边AB，BC上，AE=DF=DC．（1）若∥DFC=70°，则∥C的大小=（度），∥B的大小=（度）；（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；（3）若∥FDC=2∥EFB，则四边形AEFD一定是“菱形、矩形、正方形”中的．【解答】解：（1）∥DF=DC，∥∥C=∥DFC=70°，∥∥B=∥C，∥∥B=70°．（2）由（1），可得：∥DFC=∥B，∥AE∥DF，∥AE=DF，∥四边形AEFD是平行四边形．（3）∥2∥DFC+∥FDC=180°，∥FDC=2∥EFB，∥2∥DFC+2∥EFB=180°，∥∥DFC+∥EFB=90°，∥∥DFE=180°﹣90°=90°，∥四边形AEFD是平行四边形，∥四边形AEFD一定是“菱形、矩形、正方形”中的矩形．故答案为：70、70、矩形．2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P 从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？【解答】（1）证明：连接CD交AE于F，∥四边形PCOD是平行四边形，∥CF=DF，OF=PF，∥PE=AO，∥AF=EF，又CF=DF，∥四边形ADEC为平行四边形；（2）解：当点P运动的时间为秒时，OP=，OC=3，则OE=，由勾股定理得，AC==3，CE==，∥四边形ADEC为平行四边形，∥周长为（3+）×2=6+3．3．如图，在平行四边形ABCD中，∥BAD、∥ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E．（1）求证：AF∥BG，DF=CG；（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的长度．【解答】（1）证明：∥AF平分∥BAD，∥∥DAF=∥BAF=∥BAD．∥BG平分∥ABC，∥∥ABG=∥CBG=∥ABC．∥四边形ABCD平行四边形，∥AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，∥∥BAD+∥ABC=180°，即2∥BAF+2∥ABG=180°，∥∥BAF+∥ABG=90°．∥∥AEB=180°﹣（∥BAF+∥ABG）=180°﹣90°=90°．∥AF∥BG；∥AB∥CD，∥∥BAF=∥AFD，∥∥AFD=∥DAF，∥DF=AD，∥AB∥CD，∥∥ABG=∥CGB，∥∥CBG=∥CGB，∥CG=BC，∥AD=BC．∥DF=CG；（2）解：∥DF=AD=6，∥CG=DF=6．∥CG+DF=12，∥四边形ABCD平行四边形，∥CD=AB=10．∥10+FG=12，∥FG=2，过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．∥∥GBH=∥AEB=90°．∥AF∥BH，AB∥FH，∥四边形ABHF为平行四边形．∥BH=AF=8，FH=AB=10．∥GH=FG+FH=2+10=12，∥在Rt∥BHG中：BG==．∥FG的长度为2，BG的长度为4．。

初中数学四边形复习--

∵四边形ABCD是矩形， ∴CO=BO．
∴四边形COBP是菱形．
A
D
O
B
C
P
精讲点拨 A
例1：①如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点
B作 BP∥OC，且 BP=OC，连结CP，试说明：四边形COBP
的形状。
B
②如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？
③如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？
(B)对角线相等。
（C）对角线平分一组对角。 (D)对角线互相垂直。
3.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（）
D
(A)矩形。 (B)正方形。(C ) 菱形。(D)平行四边形
4.内角和等于外角和的多边形是（）
B
(A) 三角形。(B)四边形。(C )五边形。(D)六边形。
5.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）
__________,
面积为__________，BD的长度__________
尝试练习（三） 1、在 ABCD中，∠1= ∠B=50°，则∠2= _______
A
D
B 80°
2 1
C
2、正方形边长与对角线之比是________
1: 2
S=对角线积的一半
3、菱形的两条对角线长分别为2，3。则菱形的面积为______
3
4、如图，菱形有一个内角是120°，有一条对角线长是8，则
B
8或 8 3
3
D
A
O
C
菱形边长为_________ C
D
A
B
5、如图，在平行四边形ABCD中， ∠B=45 °，CA⊥BA,AC=2，则平行四边形ABCD的周长为

初中数学四边形知识点复习汇总

中考四边形及三角形复习要求是，能运用这些图形进展镶嵌，你必需会计算特殊的，能依据图形的条件把四边形面积等分。

可以对初中数学特殊四边形的断定方法及联络深入理解。

驾驭平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特殊是梯形添加协助线的常用方法．驾驭三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用。

会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的学问解题．结合几何中的其他学问解答一些有探究性、开放性的问题，进步解决问题的实力·〔一〕、平行四边形的定义、性质及断定．1：两组对边平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边相等且平行；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线相互平分．3．断定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线相互平分的四边形是平行四边形．4·对称性：平行四边形是中心对称图形．〔二〕、矩形的定义、性质及断定．1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3．断定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．〔三〕、菱形的定义、性质及断定．1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(1)菱形的四条边都相等；。

(2)菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：s菱=争6(n、6分别为对角线长)．3．断定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线相互垂直的平行四边形是菱形．4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．〔四〕、正方形定义、性质及断定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线及边的夹角是45。

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