投影变换
画法几何及工程制图第3章投影变换
a
X
V H
a
b1 a1e1
b
β1
e
c
b e
c1
V面倾角
c
变换H面（求β1）
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-垂直面变换为平行面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
a
X
V H
a
a1
b c
Why X1轴这么选？
b
c
c1
实形
b1
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为平行面
目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位
置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有 利于求解的特殊位置。
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
m1
m2 a2 b2
d2
Why？
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例4]求变形接头两侧面ABCD和ABFE之间的夹角。
分析
当两平面的交线垂直于投影面时，两平面 在该投影面上的投影为两相交直线，它们的夹 角即反映两平面间的夹角。
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
线）和度量问题（实长、实形和倾角）。
实形
a c
c
实长
k
l
b
e a
a X
a
c
b k
投影变换
投影变换投影变换就是要确定一个取景体积，其作用有两个：1). 确定物体投影到屏幕的方式，即是透视投影还是正交投影。
2). 确定从图象上裁剪掉哪些物体或物体的某些部分。
投影变换包括透视投影和正交投影（平行投影）。
●透视投影透视投影的示意图如下，其取景体积是一个截头锥体，在这个体积内的物体投影到锥的顶点，用glFrustum()函数定义这个截头锥体，这个取景体积可以是不对称的，计算透视投影矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glFrustum(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far);该函数以透视矩阵乘当前矩阵left, right 指定左右垂直裁剪面的坐标。
bottom,top 指定底和顶水平裁剪面的坐标。
near,far 指定近和远深度裁剪面的距离，两个距离一定是正的。
程序函数gluPerspective()可以创建一个与调用glFrustum()所得到的同样形状的视图体，它创建的是一个沿视线关于x和y轴均对称的平截台体，在很多实际应用中都采用函数gluPerspective()。
void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect, GLdouble zNear,GLdouble zFar)；fovy是在x-z平面内视区的角度，其值必须在区间【0.0，180.0】内。
Aspect为长宽比，是平截台体的宽度与高度之比。
zNear和zFar的值是视点（沿z轴负向）与两个裁剪平面的距离。
参数恒为正。
图1透视投影示意图●正交投影正交投影的示意图见下：其取景体积是一个各面均为矩形的六面体，用glOrtho()函数创建正交平行的取景体积，计算正交平行取景体积矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glOrtho(Gldouble left,Gldouble right,Gldouble bottom,Gldouble top,Gldoublenear,Gldouble far);该函数以正交投影矩阵乘当前矩阵。
投影变换
V1
a1
b
X1
a
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后 找出其在新投影面上的投影。
二、新投影面的选择原则
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
第3章 投影变换
§1 概 述
a' V b' a
A a1
V1 b1 B b H X1
§2 换面法
X
§1 概 述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置时，其投影可能 反映线段的实长、平面的实形以及相应的倾角。而直线或平面 处于一般位置时，其投影就没有这些特性。 为了较容易地解决有关的作图问题，将几何元素与投影面 的相对位置变换成处于有利解题位置的方法称为投影变换。 投影变换有两种形式： （1）变换投影面法（换面法）——几何元素保持不动， 改变投影面的位置，使其处于有利解题的位置。 （2）旋转法——投影面保持不动，将几何元素旋转到有 利解题的位置。
a2 b2 d2 d c2 实形
d
[例题6] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
15
b2 d2 e1
e2 c2
e
d
e
d
休息会！ 迎接下个开心课程！
东华大学机械工程学院
a2 b2
[例题2]
求点C到直线AB的距离
提示
作图过程
作图
a1
c1 k1 b1 k'
b'2 k'2
a'2 c'2
距离
k
计算机图形学13投影变换
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图 将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换 平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学 数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学 数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法 因为 所以 若令
则矩阵式为：
投影变换-高中数学知识点讲解
投影变换
1．投影变换
【知识点的知识】
将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P′（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
1/ 2
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，
k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
2/ 2。
投 影 变 换
透视投影
平行投影
1.1透视
在坐标系 oxyz 中来讨论投影，假定投影平面是z 0 , 设视点为
C (xc , yc , zc ) ，空间中任一点 Q (x, y, z) 在 z 0 平面上的投影为
P(xp , yp , 0) 。设 P，Q ，C 在 oxz 平面上的正投影分别为
x0 xr d xn
xn2
y
2 n
z
2 n
y0 yr d yn
xn2
y n2
z
2 n
(4.19)
z0 zr d zn
xn2
y
2 n
z
2 n
oz 轴和N方向一致，故有
(a31, a32 , a33 ) (xn , yn , zn )
xn2
yn2
z
2 n
(4.20)
计算x0, y0, z0和aij(i, j =1, 2, 3)的方法
P，Q ， C 则
xp xc x xc
zc
zc z
图示
透视投影的计算公式
整理后便有
同理可得
xp
xc
(x
xc )
zc zc
z
(4.13)
yp
yc
(y
yc )
zc zc
z
(4.14)
这两式便是透视投影的计算公式。把空间任一点 (x, y, z)
的坐标代入式（4.13）和式（4.14）便可求出在平面 z 0
ox 轴和向量U×N方向一致，设
i jk
U N x y z bi bj b k
u
u
u
投影变换
n′ ●
●
a′
m′
b′
XV H a c m ●
●
n
d b
d′1
.
a′1≡b●1≡m′1 ′
●
●
c′1
n′1
d′1
.
n′1
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ X1 求m点是难点。
圆半径=MN
c′1
●
例题4] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a′2
d
平面换面法小结
一 次 换 面 1．把一般位置平面变换为投影面垂直面
条件：需先在平面内作一条投影面的平行线
作图时：新的投影轴与该投影面平行线反映 实长的投影相互垂直
2．把投影面垂直面变换为投影面平行面 两 次 换 面
构造新的投影面与平面平行 作图时：新的投影轴与保留的平面具有积聚性 的投影相互垂直
§1 概述 §1 概述 §2 变换投影面法 §2 变换投影面法
§1 概 述
当空间几何元素对投影面处于特殊位置 时，则其投影或反映其真实形状，或具有积聚 性。 当我们图示、图解一般位置的空间几何元 素及其相互间的定位和度量问题时，如能把它 改变成特殊位置，则问题就可能比较容易地获 得解决 。 本章引入投影变换的方法来达到上述目的。
X1 H 1 V
.
aH
V1 X1
作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于旧投影到旧轴的距离。
2.2.2 点的二次换面 ⑴ 新投影体系的建立
X2
V
H2
a2
按次序更换 V1
∇
ax2
a′ A ax
第6章 投影变换
b′ ′
a′ ′
d′ ′ b 距离 b’1. a2≡b2≡d2 c2
c a
.
d
. a’1 d’1
H X1 V 1
c
如何确定d 如何确定 1 c’1 点的位置？ 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
V1 H2 X2
例：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 已知两交叉直线 和 的公垂线的长度 ， N 为水平线， 的投影。 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M 为水平线 及 的投影
●
a′ ′ XV H a c
m′ ′
b′ ′
● ●
m
n
d b
d’1
.
●
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
.
d1
n’1 圆半径=MN 圆半径
请注意各点的投 H V 1 影如何返回？ 影如何返回？ X1 求m点是难点。 点是难点。 点是难点
c’1
●
点作直线CD与 相交成 相交成60º角 例: 过C点作直线 与AB相交成 角。 点作直线
的实长及与H面的夹角 例：求直线AB的实长及与 面的夹角。 求直线 的实长及与 面的夹角。
面代替V面 投影体系中， 用 面代替 投影体系中 。 空间分析： V1面代替 面，在V1/H投影体系中，AB//V1。 b′ ′ 作图： 作图： a′′ V1 a′ ′ a’1
V
b′ ′ a
A
X
V
B
b’1
H
b a
4
6.2.1基本条件 基本条件
a'1 V1
6.2 换面法
X1
α
α b'1 O1
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怎么判定一个变换矩阵是可逆的？
a b
c
d
中
ad-bc=0
则为不可逆的。
1 0 1 0
0 0 1 1
1 21
1 2 1
2 2
例：直线
x－y=3
在矩阵
0 1
0 1
对应的变
换作用下变成了什么图形？
投影到 Ax By 0 的变换矩阵为
B2
M＝
A2
B2
AB
A2 B2
AB
A2
B2
A2
A2 B2
例：变换 T 把平面上所有点到直线 y＝x 上 的投影。求下列图形在变换 T 作用下的像。
(1)直线 l1 ：y＝2x，（2）直线 l2 ：y＝－x，
问题 1.中午，你手上拿上一棍子，棍子在 地面的投影可能是什么东西？
问题 2.如图 l' 在 l 上的投影是什么图形？
图2垃圾推到边界线 图1树在正午的阳光下形成影子
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会投影到 各自的树根.
排球中场休息时,工作人员用平地拖把拖 扫比赛场地.要求同时同向推动拖把,把 垃圾推到边界线停止.
（3）正方形 OABC,其中 O(0,0),A(2,1),C(-1,2)
用两种方法解决。
从刚例题可以看出我们不能逆求，为什么 不能逆求呢？从图上可以看出有很多点投
影到直线 l 后为 P ' 也就是 P ' 是很多点的像，当然就无法逆回
去了，它根本不知道是谁的像。这种变换 也是没有逆变换的，我们把这种变换叫不 可逆变换，所以不是每个变换都有逆变换 的.
1
直线 y=－ x+2 呢？
2
例.直线
x+y=5
在矩阵
1 0
1 0
对应的变换
作用下变成了什么图形？
如果 x+y=8 答案又是什么呢
总结： 1.当直接是说关于某条直线投影变换时我们可以直 接用观察法求其变换后图像， 2.当只给我们矩阵时，我们就只能用坐标关系式来 求了。用关系式求时右边化为同一个 x 或 y 求 x’,y’关系式.
要是平面上的变换 T 有逆变换，必须满足 两个条件：
（1）平面上不同的点被 T 变到不同的点 （2） T 将平面变到整个平面。也就说， 平面上的每一个点 Q 都是平面上某一点 P 的像。
10 年福建高考题
已知矩阵
M=
1
b
MN
2 2
0 0
，
a
1
，
c
N
相应的变换称做投影变换
设 平 面 上 的 任 一 点 的 坐 标 为 (x,y), 则 投 影 后 的 点 坐 标 为 (0,y). 故 所 求 矩 阵 为 ______________________
当直线 l 为直线 Ax By 0 时，求此时
投影到 Ax By 0 的变换矩阵，
这两件生活中事例，实质反映了平面上 的点在某一直线上的投影，
设l是平面上的一条直线，对平面上的 任意一点Ｐ，过Ｐ作ＰＰ’垂直于直线
l，与 l相交于Ｐ’，则Ｐ’称为Ｐ 在l上的投影
平面上每个点Ｐ变到它在L上的投影的 变换称为平面到直线L上的投影变换.
方案1:以直线为x轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 影后的点坐标为(x,0).
练习：（1）圆 x2 y2 1在 y 轴上的投影为
（2）直线
x+y=5
在矩阵
1 2
1 2
对应的变换作用下
变成了什么图形？
（3）直线 x+y=5 在矩阵 1
2 1
2
1 对应的变换作用下变
2 1
2
成了什么图形？
作业：（1）直线
x+2y=5
在矩阵
1 3
1 3
对应的变换
作用下变成了什么图形？
1
（3）直线 x－y=5 在矩阵
2
1 2
作用下变成了什么图形？
1 2
对应的变换
1
2
能写出矩阵吗？
y P(x,y)
关于x轴投影变换矩阵
1 0
o
0 0
P/(x,0) x
方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投 影后的点坐标为(0,y).
y
故所求矩阵为
0 0
0 1
P(x,y)形投影到某条直线上 的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
0
2
d
，
且
c 2
c 2
2 ad bc 2
0
b d
1 2
2b d 0 a 1
（Ⅰ）求实数 a,b, c, d 的值；（Ⅱ）求直线 y 3x 在
矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程。
例：抛物线 y x2 到直线 x＝1 上的投影