高等数学应用案例讲解

高等数学应用案例讲解-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高等数学应用案例

案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变

一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量为

y x y x f 2),(= （件）

现有16名技术工人和32名非技术工人，如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？

解：现在产品产量为(16,32)8192f =件，保持这种产量的函数曲线为8192),(=y x f 。对于任一给定值x ，每增加一名技术工人时y 的变化量即为这函数曲线切线的斜率dx

dy 。而由隐函数存在定理，可得 y

f

x f

dx dy ∂∂∂∂= 所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为

x

y y

f x f

dx dy 2-=∂∂∂∂= 当16,32x y ==时，可得4-=dx

dy 。 因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地减少约4名非技术工人。

下面给出一个初等数学解法。令

c ：每天可生产的产品产量；

0x ；技术工人数；

0y ；非技术工人数；

x ∆；技术工人增加人数；

y ∆；在保持每天产品产量不变情况下，当技术工人由16名增加到17名时，非技术人员要增加（或减少）的人数。

由已知列方程：

（1）当技术工人为16名，非技术工人为32名时，每天的产品产量为c ，则有方程：

c y x =⋅020 （1）

（2）当技术工人增加了1名时，非技术工人应为（y y ∆+0）

名，且每天的产品产量为c ，则有方程：

c y y x x =∆+⋅∆+)()(020 （2）

联立方程组（1）、（2），消去c 得：

)(020020y y x x y x ∆+⋅∆+=⋅）（

即 []

002020)/(y y x x x y -⋅∆+=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+--=20200)(1x x x y ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+--=200111x x y 代入x y x ∆,,00，得：46.3-≈-≈∆y 名，即减少4名非技术工人。

比较这两种解法我们可以发现，用初等数学方法计算此题的工作量很大，究其原因，我们注意到下面之展开式：

∑∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-110120020)1(32111n n n x x n x x x x x x

从此展开式我们可以看到，初等数学方法不能忽略掉高阶无穷小：

0)x ( )1(31

04120→∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--∞=-∑n n n x x n x x （3） 而高等数学方法却利用了隐函数求导，忽略掉高阶无穷小

（3），所以计算较容易。

案例2、征税的学问

工厂想赚钱，政府要收税，一个怎样的税率才能使双方都受益这是一个具有现实意义的问题。假设工厂以追求最大利润为目标而控制它的产量q ，政府对其产品征税的税率(单位产品的税收金额)为t ，我们的任务是，确定一个适当的税率，使征税收益达到最大。

现已知工厂的总收益函数和总成本函数分别为R=R(q)、C=C(q)。由于每单位产品要纳税t ，故平均成本要增加t ，从而纳税后的总成本函数是

tq q C C t +=)(

利润函数是

tq q C q R q C q R L t t --=-=)()()()(

令 0=dq

dL t ，有 t dq

dC dq R +=d （1） 这就是在纳税的情况下获得最大利润的必要条件。

政府征税得到的总收益是

tq T = （2）

显然，总收益T 不仅与产量q 有关，而且与税率f 有关。当税率t=0(免税)时，T=0；随着单位产品税率的增加，产品的价格也会提高，需求量就会降低，当税率f 增大到使产品失去市场时，有q=0，从而也有T=0。因此，为了使征税收益最大，就必须恰当地选取t 。我们利用一元函数极值的有关知识来解决本问题，下面看一个

实例。

例1： 厂商的总收益函数和总成本函数分别为

22,33022++=-=q q C q q R 。

厂商追求最大利润，政府对产品征税，求

1)征税收益的最大值及此时的税率t ；

2)厂商纳税前后的最大利润及价格．

解： 1)由纳税后获得最大利润的必要条件(1)，得

t q q ++=-22630

故 )28(81t q t -=

根据实际问题的判断，t q 就是纳税后厂商获得最大利润的产出

水平。于是，这时的征税收益函数

)28(8

12t t tq T t -== 要使税收T 取最大值，令0=dt

dT ，得 0)228(8

1=-t ，即t=14 根据实际问题可以断定必有最大值，现在

0=dt

dT 只有一个根，所以当t=14时，T 的值最大。这时的产出水平75.1)1428(81=-=t q ，最大征税收益为

5.2475.114=⨯==t tq T

2)容易算得纳税前，当产出水平q=3.5时，可获得最大利润L=47，此时价格p =19.5；将q t =1.75，t =14代入纳税后的利润函数

2)28(4)()(2--+-=-=q t q q C q R L t t

得最大利润L=10.25，此时产品价格

75.175.1)330()

(==-==q q q q q R p =24.75

可见，因产品纳税，产出水平由3.5下降到1.75；价格由19.5上升到24.75，最大利润由47下降到10.25。