高二数学第二学期阶段测试(附答案)
高二数学下学期阶段性检测试题含解析 试题 2
2021-2021学年高二数学下学期阶段性检测试题〔含解析〕单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明一、填空题〔本大题一一共12小题，满分是54分，其中1-6题每一小题4分，7-12题每一小题5分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写上结果.1.i 为虚数单位，假设复数()()12ai i ++是纯虚数，那么实数a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的运算法那么进展化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】∵复数〔1+ai 〕〔2+i 〕＝2﹣a +〔1+2a 〕i 是纯虚数，∴20120a a -=⎧⎨+≠⎩，解得a ＝2． 故答案为：2．【点睛】纯熟掌握复数的运算法那么、纯虚数的定义是解题的关键，此题属于根底题．5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕的焦距为______. 【答案】6 【解析】 【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩变形为cos 5sin 4xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平方相加消去参数θ可得：2212516x y +=， 所以，c ==3，所以，焦距为2c ＝6．故答案为6．【点睛】此题考察椭圆的参数方程，考察椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______. 【答案】221x y -= 【解析】 【分析】根据椭圆的HY 方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．【详解】椭圆2212x y +=的焦点为F 〔±1，0〕，，0〕；那么双曲线的顶点为〔±1，0〕0〕， ∴a ＝1，c，∴b ==1， ∴双曲线的方程为221x y -=， 故答案为：221x y -=．【点睛】此题考察了椭圆与双曲线的HY 方程与简单几何性质的应用问题，是根底题．23π的扇形，当侧面积是27π时，那么该圆锥体的体积是______.【答案】 【解析】 【分析】由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长，展开图的弧长是底面圆的周长，可以求出圆锥的母线和底面圆半径，从而得出高和体积．【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l ，那么侧面展开图扇形的面积S 1223π=⨯ l 2＝27π；∴l ＝9．又设圆锥的底面圆半径为r ，那么2πr ＝23πl ， ∴r 13=l ＝3； ∴圆锥的高h === ∴该圆锥体的体积是：V 圆锥13=•πr 2•h 13=•π•9•=．故答案为：．【点睛】此题考察圆锥的体积公式，考察了空间想象才能，计算才能，关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于根底题．x 、y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，那么目的函数2z x y =-的最大值为______.【答案】5 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(2,1),(1,0)A B C -，直线2z x y =-过点C 时取最大值1. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.M 的底面圆的半径与球O 的半径一样，假设圆柱M 与球O 的体积相等，那么它们的外表积之比:S S =圆柱球______.〔用数值答题〕 【答案】76【解析】 【分析】由中圆柱M 与球O 的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的外表积后，即可得到S 圆柱：S 球的值．【详解】∵设圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径均为R ，M 的高为h 那么球的外表积S 球＝4πR 2 又∵圆柱M 与球O 的体积相等 即2343R h R ππ= 解得h ＝43R ， 4πR 2＝2πR 2+2πR •h 那么S 圆柱＝2πR 2+2πR •h=2143R π，S 球24R π=，∴S 圆柱：S 球147436==：， 故答案为：76.【点睛】此题考察的知识点是球的体积和外表积，圆柱的体积和外表积，其中根据求出圆柱的高，是解答此题的关键．1z 、2z 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，那么pq =______.【答案】1 【解析】 【分析】设z 1＝a +bi ，那么z 2＝a ﹣bi ，〔a ，b ∈R 〕，根据两个复数相等的充要条件求出z 1，z 2，再由根与系数的关系求得p ，q 的值．【详解】由题意可知z 1与z 2为一共轭复数，设z 1＝a +bi ，那么z 2＝a ﹣bi ，〔a ，b ∈R 且b 0≠〕，又212z z =，那么222abi a b -+=a ﹣bi ，∴〔2a +b 〕+〔a +2b 〕i ＝1﹣i ，∴22122ab a a b a b b ⎧=-⎪⎧-=⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩．∴z 1＝12-，z 2＝12-i ，〔或者z 2＝12-，z 1＝12--i 〕由根与系数的关系，得p ＝﹣〔z 1+z 2〕＝1，q ＝z 1•z 2＝1， ∴pq ＝1． 故答案为：1.【点睛】此题考察实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考察了两个复数相等的充要条件，属于根底题．221x y -=，1A 、2A 是它的两个顶点，点P 是双曲线上的点，且直线1PA 的斜率是12，那么直线2PA 的斜率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】设P 〔x 0，y 0〕，那么22001x y -=，202011y x =-，由A 1〔﹣1，0〕，A 2〔1，0〕，知k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--，由此能求出直线PA 2的斜率． 【详解】设P 〔x 0，y 0〕，那么22001x y -=，∴202011y x =-， ∵A 1〔﹣1，0〕，A 2〔1，0〕，设直线PA 1的斜率为k 1，直线PA 2的斜率为k 2，∴k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--， ∵k 112=， ∴k 22=． 故答案为：2．【点睛】此题考察两直线的斜率之积的求法，考察曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考察了分析问题的才能，属于根底题．R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面间隔 都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，那么R =______.【答案】【解析】 【分析】根据题意，得出AB ＝BC ＝CA ＝R ，利用其周长得到正三角形ABC 的外接圆半径r ，故可以得到高，设D 是BC 的中点，在△OBC 中，又可以得到角以及边与R 的关系，在Rt △ABD 中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R ．【详解】∵球面上三个点，其中任意两点间的球面间隔 都等于3Rπ， ∴∠ABC ＝∠BCA ＝∠CAB 3π=，∴AB ＝BC ＝CA ＝R ，设球心为O ，因为正三角形ABC 的外径r ＝2，故高AD 32=r ＝3，D 是BC 的中点． 在△OBC 中，BO ＝CO ＝R ，∠BOC 3π=，所以BC ＝BO ＝R ，BD 12=BC 12=R ．在Rt △ABD 中，AB ＝BC ＝R ，所以由AB 2＝BD 2+AD 2，得R 214=R 2+9，所以R ＝故答案为：．【点睛】此题考察了球的根本概念及性质应用，考察了空间想象才能，是根底题．x的方程1x +m 的取值范围是______.【答案】m 1≥-． 【解析】 【分析】由题意可得，函数y ＝x +1的图象和函数y =的图象有一个交点，对函数y =的m 分类，分别画出y =的图象，可求出实数m 的取值范围．【详解】∵关于x 的方程x+12m x =+有一个实数解， 故直线y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象有一个交点．在同一坐标系中分别画出函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象．由于函数y 2m x =+，当m=0时，y 22m x x x =+==和直线y ＝x +1的图象如图：满足有一个交点； 当m>0时，y 2m x =+y 2﹣x 2＝m(y>0)此双曲线y 2﹣x 2＝m 的渐近线方程为y ＝±x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行， 双曲线y 2﹣x 2＝m 的顶点坐标为〔0，m 〕， 如图：只要m>0，均满足函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象有一个交点，当m<0时，y 2m x =+x 2﹣y 2＝﹣m(y>0)，此双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的渐近线方程为y ＝±x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行， 而双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的顶点坐标为〔m ±-，0〕，如图：1m -≤时，满足函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x +即当1m 0-≤<时符合题意； 综上： m 1≥-， 故答案为：m 1≥-．【点睛】此题考察的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+是解答此题的关键，考察了数形结合思想，属于中档题．1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别在线段1AB 、1BC 上运动〔不包括线段端点〕，且AM BN =.以下结论：①1AA MN ⊥；②假设点M 、N 分别为线段1AB 、1BC 的中点，那么由线MN 与1AB 确定的平面在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为等边三角形；③四面体MBCN 的体积的最大值为124；④直线1D M 与直线1A N 的夹角为定值.其中正确的结论为______.〔填序号〕【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，可得四边形MNEF 是矩形，可得MN ∥FE ，利用AA 1⊥面AC ，可得结论成立；②截面为△AB 1C ，为等边三角形，故正确．③设=BN 1λB C ，那么MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），故③成立； ④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角接近于3π，当λ接近于1时，夹角接近于2π，故④不正确；【详解】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，∵AM ＝BN ，∴NE ＝MF ，∴四边形MNEF 是矩形，∴MN ∥FE ，∵AA 1⊥面AC ，EF ⊂面AC ，∴AA 1⊥EF ，∴AA 1⊥MN ，故①正确；②点M 、N 分别为线段AB 1、BC 1的中点，那么由线MN 与AB 1确定的平面在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 上的截面为△AB 1C ，为等边三角形，故②正确． ③设=BN 1λB C ，那么M BCN V -＝13BCNS d M ﹣BCN ，又AM=BN=11λB λA C B =,∴BCN S=1λ2，d M ﹣BCN =()1λAB 1λ-=-，∴MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），当且仅当1λ2=时获得最大值，故③成立；④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线1A D 和直线1BA 的夹角，接近于3π，当λ接近于1时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线11D B 和直线11A C 的夹角，接近于2π，故④不正确； 综上可知，正确的结论为①②③故答案为：①②③【点睛】此题考察线面平行、垂直，考察点到面的间隔 的计算，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题．12.“横看成岭侧成峰，远近上下各不同.〞同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[]3,4至少有一个零点，那么22a b +的最小值为______.【答案】1100【解析】【分析】把等式看成关于a ，b 的直线方程：〔x 2﹣1〕a +2xb +x ﹣2＝0，由于直线上一点〔a ，b 〕到原点的间隔 大于等于原点到直线的间隔 222222(1)(2)x a b x x -+≥-+，从而可得a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-；从而解得． 【详解】把等式看成关于a ，b 的直线方程：〔x 2﹣1〕a +2xb +x ﹣2＝0，由于直线上一点〔a ，b 〕到原点的间隔 大于等于原点到直线的间隔 ，≥所以a2+b222221()51(24)2xx xx-≥=+-++-，∵x﹣252x+-在[3，4]是减函数，∴252+≤x﹣252x+≤-1+5；即92≤x﹣252x+≤-6；故2115100(24)2xx≥-++-；当x＝3，a225=-，b350=-时取等号，故a2+b2的最小值为1100．故答案为：1100．【点睛】此题考察了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程〔x2﹣1〕a+2xb+x ﹣2＝0是难点，属于较难题．二、选择题〔本大题一一共有4小题，满分是20分，每一小题5分〕每一小题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A. 直线l不平行于直线mB. 直线l与直线m异面C. 直线l与直线m没有公一共点D. 直线l与直线m不垂直【答案】C【解析】【分析】由中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或者平行，进而得到答案．【详解】∵直线l 与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公一共点， 又直线m 在平面α上，∴直线l 与直线m 没有公一共点，应选：C ．【点睛】此题考察的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考察了直线与平面平行的定义，属于根底题．{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，假设A B ⋂=∅，那么a ，b 之间的关系是〔 〕A. 1a b +>B. 1a b +<C. 221a b +<D. 221a b +>【答案】C【解析】【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，假设A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，那么〔a +bi 〕〔x ﹣yi 〕+〔a ﹣bi 〕〔x +yi 〕+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=0的点集，假设A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=0没有交点，d 2211a b =+＞，即a 2+b 2＜1应选：C ．【点睛】此题考察了复数相等的定义及几何意义，考察了直线与圆的位置关系，考察了转化思想，属于中档题．15.某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，那么两条较长棱所在直线所成角的余弦值为〔 〕A. 0B. 79C. 0或者79D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，那么∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB⊆平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE72=，不满足AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ9947 2339+-==⨯⨯综上所述，得所求余弦值为7 9应选B.【点睛】此题考察了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考察了余弦定理、线面垂直的断定与性质和异面直线所成角等知识，属于根底题．16.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④假设两个二面角的半平面互相垂直，那么这两个二面角的大小相等或者互补.其中正确命题的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由斜二测画法规那么直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误；【详解】对于①，由斜二测画法规那么知：三角形的直观图是三角形；故①正确；对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如下图的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个角的平面角相等或者互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；∴只有命题①正确．应选A．【点睛】此题考察了命题的真假判断与应用，考察了空间几何体的构造特征，考察了学生的空间想象才能和思维才能，是中档题．三、解答题〔本大题一一共5题，满分是76分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1.〔1〕求二面角1B AC B --的大小；〔用反三角函数表示〕〔2〕求直线1A B 与平面11BDD B 所成角的大小.【答案】〔1〕2；〔2〕6π. 【解析】【分析】〔1〕连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，先说明1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角，再在1Rt BO B 中求得1tan BOB ∠即可．〔2〕取11B D 的中点1O ，连接1A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得1A O ⊥平面11BDD B ，可得11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角. 在直角三角形11AO B 中， 计算11sin A BO ∠即可.【详解】〔1〕连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，因为AB BC =，那么BO AC ⊥， 因为11AB CB =，那么1B O AC ⊥，所以1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角.因为1B B ⊥平面ABCD，2BO =，11BB =，所以11tan BB BOB BO ∠==所以1BOB ∠=，即二面角1B AC B --的大小为.〔2〕取11B D 的中点1O ，连接1A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得1AO ⊥平面11BDD B ， 所以11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角.在直角三角形11AO B中，11A O =，1A B = 所以111111sin 2A O A BO A B ∠==，所以116A BO π∠=， 所以直线1AB 与平面11BDD B 所成角的大小为6π. 【点睛】此题考察线面角的大小的求法，考察二面角的大小的求法，利用定义定理作出所求角是关键，是中档题．24y x =，(),0A a 是x 轴上一点，(),P x y 是抛物线上任意一点.〔1〕假设1a =，求PA 的最小值；〔2〕O 为坐标原点，假设PA 的最小值为OA ，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕1；〔2〕2a ≤.【解析】【分析】〔1〕由题意及抛物线的定义可得PA =P 到准线的间隔 ，可得P 为抛物线的顶点时，PA 的最小值为1.〔2〕将PA 表示为关于x 的函数，结合二次函数的性质求得结果.【详解】〔1〕当a=1时，A 〔1，0〕为抛物线的焦点，此时PA =P 到准线的间隔 ， ∴当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的间隔 最小为1，即PA 的最小值为1.〔2〕222||()214PA x a y x ax x =-+=-++22(2)43x a a a =+-+--||PA 的最小值为||OA ，即当0x =时||PA 获得最小值，所以20a -≤，即2a ≤.【点睛】此题考察了抛物线的定义的应用，考察了二次函数最值问题，考察了分析转化才能，属于根底题.19.如图，四面体ABCD 中，32DA DB DC ===且DA DB DC ==两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心.〔1〕过O 作OE AD ⊥，求DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积；〔2〕将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，那么在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角记为θ，求cos θ的取值范围.【答案】〔146；〔2〕60cos θ≤≤. 【解析】【分析】〔1〕由圆锥的几何特征可得，该几何体由两个底面相等的圆锥组合而成，其中两个圆锥的高〔2〕以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求得cosθ=，令t y =+，结合点A 的轨迹方程求得t 的范围，可得结果.【详解】〔1〕过E 作EH DO ⊥，经计算得DO =，=OA 2OE =，由此得EH =所以DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积21339V π⎛== ⎝⎭. 〔2〕过O 作OG AC 交AB 于G ，以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，那么D ，()10y f x π=-，3,0)C -，设(, ,0)A x y ，那么(33,3,0)BC =-，(,AD x y =--，所以cosθ=， 在xOy 平面上，点A 的轨迹方程为2212x y +=，令t y =+，将t y =+看作直线y=，那么直线y=与圆2212x y +=有公一共点，那么||2t d =≤所以0t ≤≤0cos θ≤≤. 【点睛】此题考察了旋转体的体积，考察了利用空间向量进展异面直线所成的角的求法，涉及点的轨迹问题，属于中档题．20.如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 是边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AD DC ⊥，2AD =，90ADF ∠=︒.〔1〕求异面直线BE 和CD 所成角的大小；〔2〕求几何体EF ABCD -的体积；〔3〕假设平面ABCD 内有一经过点B 的曲线Γ，该曲线上的任一动点都满足EQ 与CD 所成角的大小恰等于BE 与CD Γ的形状并说明理由.【答案】〔1〕6arccos 3；〔2〕163；〔3〕双曲线. 【解析】【分析】〔1〕根据几何体的特征，建立空间直角坐标系，求出向量CD ，BE 的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；〔2〕利用几何体的体积V ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣CEF ，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．〔3〕利用向量夹角公式直接可得关于x ，y 的表达式，满足双曲线方程，可得结果.【详解】〔1〕∵AD DC ⊥且90ADF ︒∠=，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥如图建系，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系， 那么(2,4,0)B ，(0,0,2)E ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(2,4,2)BE =--，(0,2,0)CD =- 设异面直线BE 和CD 所成角的大小为θ，那么6cos 13||||BE CD BE CD θ⋅==⋅所以异面直线BE 和CD 所成角的大小为6arccos 3. 〔2〕如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，那么BN ⊥平面CDEF ，且BN ＝2．∵V EF ﹣ABCD ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣ECF ()1111111642222223332323ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=． ∴几何体EF ﹣ABCD 的体积为163． 〔3〕设(, , 0)Q x y ，那么(,,2)EQ x y =-，由题意知EQ 与CD 所成角的大小为6 所以226|3||42EQ CD EQ CD x y ⋅==++⋅‖ 化简得22184y x -= 所以曲线Γ的形状是双曲线.【点睛】此题考察了利用向量法求异面直线所成角，考察了组合几何体体积的计算，考察了学生的空间想象才能与运算才能，属于中档题．C ：22221(0)x y a b a b+=>>，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段5π，直线l 与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点.〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点O 作直线l 的垂线，垂足为D .假设OA OB ⊥，求点D 的轨迹方程；〔3〕设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为1k ，k ，2k ，其中0k >且212k k k =.设OAB ∆的面积为S .以OA 、OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ，求12S S S+的取值范围. 【答案】〔1〕2214x y +=；〔2〕2245x y +=；〔3〕5,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】〔1〕由题意知a ＝2b=，由此能求出椭圆方程．〔2〕先考虑直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，和椭圆的方程联立，结合向量的垂直关系即可找到找m ，k的关系式，从而求得||5OD =．再验证斜率不存在时也满足，那么可得点D 的轨迹方程. 〔3〕设直线l 的方程为y ＝kx +m ，A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合条件能求出12S S S+的取值范围． 【详解】〔1〕由题可知，2a b =，解得：2a =，1b =， 故椭圆的方程为：2214x y +=. 〔2〕当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有： ()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+-> ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=∴()()12120x x kx m kx m +++=由韦达定理代入化简得：22544m k =+∵OD 垂直直线l，∴ ||5OD ==当直线l 斜率不存在时，设l ：x t =，易求255t，此时||5OD =所以点D 的轨迹方程为2245x y +=.〔3〕设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有：()12221228144114kmx x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+->∵212k k k =⋅，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++=⋅=，即()2120km x x m ++=由韦达定理代入化简得：214k =. ∵0k >，∴12k =此时()21620m ∆=->，即(m ∈⋃.故121||2S AB d x =⋅=-||||m m ==又()22221211224S S x y x y π+=⋅+++2212332444x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=⋅+-+=⎣⎦为定值.∴1254S S S π+=5544ππ=≥ ∴当且仅当1m =±时等号成立.综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】此题考察椭圆方程的求法及求曲线的方程，考察弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考察了函数思想，属于较难题．。
广东省高二下学期阶段性测试 数学 解析版
高二数学测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ） {}11A x x =-<<{}02B x x =≤≤A B = A. B.C.D.[)0,1(]1,2-(]1,2()0,1【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，， {}11A x x =-<<{}02B x x =≤≤所以； [)0,1A B ⋂=故选：A2. 若复数满足（为虚数单位），则= z ()12z i i +=i zA. 1B. 2C.D.【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为，所以因此(1)2z i i +=22(1)1,12i i i z i i -===++1z i =+=考点：复数的模3. 已知两条直线和，若，则实数的值为()1:110l m x y ++-=21:20l x my +-=12l l //m （ ） A. 或1 B.C. 1D.2-2-1-【答案】B 【解析】【分析】根据题意得，解方程得或，再检验即可得答案. ()120m m +-=2m =-1m =【详解】解：因为直线和， ()1:110l m x y ++-=21:20l x my +-=12l l //所以，解得或，()120m m +-=2m =-1m =当时，直线和重合，不满足；1m =1:210l x y +-=2:210l x y +-=当时，直线和，满足平行. 2m =-1:10l x y -+-=2:2210l x y --=所以 2m =-故选：B4. 已知函数f(x)=2sin(ωx+) (ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图像6πA. 关于点(,0)对称B. 关于点(,0)对称 3π53πC. 关于直线x=对称D. 关于直线x=对称 3π53π【答案】B 【解析】【分析】先根据最小正周期的值求出的值确定函数的解析式，然后令求出w 6x k πωπ+=的值，得到原函数的对称点，然后对选项进行验证即可． x 【详解】解：由函数的最小正周期为得， ()2sin(0)6f x x πωω=+>4π12ω=由得，对称点为，，当时为126x k ππ+=23x k ππ=-(23k ππ-0)()k z ∈1k =(53π，， 0)故选：．B 【点睛】本题主要考查正弦函数的最小正周期的求法和对称性． 5. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ）()3,3M -()22125C x y -+=：A. B. C.D.4330x y ++=43210x y -+=0x y +=60x y -+=【答案】B 【解析】【分析】先求，由切线与MC 垂直可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程. MC k 【详解】由题可知点在圆上，，则切线的斜率为， ()3,3-C 303314MC k -==---43所以切线方程为，化简可得. ()4333y x -=+43210x y -+=故选：B6. 已知，，若，则（ ）()sin ,1a α= ()1,2cos b α= a b ⊥ πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. B.C. D. 33-13-1-【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算求出，代入两角差的正切计算可求出结果.tan α【详解】解：因为，所以有，即，a b ⊥sin 2cos 0αα+=tan 2α=-所以. πtan 13tan 341tan 1ααα--⎛⎫-=== ⎪+-⎝⎭故选：D7. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则函数21()cos 4f x x x =+()t f t （，）k 的大致图象是（ ）()k g t =A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】求得，得到函数在点处的切线的斜率为1()sin 2f x x x '=-()t f t （，），1()sin 2k f t t t ='=-得出函数，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。
2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试(二)数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试（二）数学试题一、单选题1．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）A ．13种B ．22种C ．30种D ．60种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.【详解】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，26560⨯⨯=故选：D ．2．若直线与直线平行，则实数（ ）．410mx y -+=230x y +-=m =A ．2B ．C ．D ．2-1212-【答案】B【分析】根据直线平行的关系计算求解即可.【详解】解：两直线的斜率分别是，，由两直线平行可知，解得．4m12-142m =-2m =-故选：B ．3．已知数列满足，，则（ ）．{}n a 13a =()111n na n a *+=-∈N 4a =A ．B ．C ．3D ．2312-32【答案】C【分析】根据递推关系直接求解即可.【详解】解：因为，，13a =()111n na n a *+=-∈N 所以，，，．211213a a =-=321112a a =-=-43113a a =-=故选：C4．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种33A 排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种22A 2323A A 12=排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）．ln x ay x +=()1,a :250l x y -+==a A ．B ．1C ．D ．21232【答案】C【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a 值.()11k f =':250l x y -+=【详解】因为，21ln x ay x --'=所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l 的斜率，ln x a y x +=()1,a ()111k f a ='=-22k =由切线与直线l 垂直知，即，解得．121k k =-()211a -=-32a =故选：C ．6．记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与C 22221(0)x y a b a b +=>>A F A 30 l 椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）C B BF AF ⊥CA B C D 1【答案】A【分析】由条件列关于的方程，由此可求离心率.,,a b c 【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，22221x y a b +=A F 所以，()(),0,,0A a F c -因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，B x BF AF ⊥x c =C 2b y a =2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为直线的倾斜角为，l 30所以，又，2b ac a +222b a c =-化简，所以解得)222a ac a c +-)211e e +=-e =故选：A.7．已知等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）{}n a n n S 0n a >68S =1838S =24S =A ．27B ．45C ．65D ．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据n 6S 126S S -1812S S -2418S S -等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.1220S =【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，n 6S 126S S -1812S S -2418S S -所以有，即，()()212661812S S S S S -=-()()212128838S S -=⨯-整理可得，解得（舍）或.2121282400S S --=1212S =-1220S =又因为，()()()181212624182S S S S S S -=--所以有，解得.()()224(3820)20838S -=--2465S =故选：C.8．已知函数的定义域为R ，为的导函数，且，则不等式()f x ()f x '()f x ()()0xf x f x '+>的解集是（ ）()()()2222x f x x f x ++>A ．B ．()2,1-()(),21,-∞-⋃+∞C ．D ．()(),12,-∞-⋃+∞()1,2-【答案】D 【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.()()g x xf x =【详解】根据题意，构造函数，则，()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>所以函数在R 上单调递增，又，即，()g x ()()()2222x f x x f x ++>()()22g x g x +>所以，即，解得.22x x +>220x x --<12x -<<故选：D.二、多选题9．下列运算错误的是（ ）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ．(sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x'=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误；(sin1)0'=对于D ，，D 正确.31(log )ln 3x x '=故选：AC10．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（ ）A ．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种B ．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种C ．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种D ．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种【答案】AD【分析】A 选项只在女生5人中选取4人，直接列式求解；B 选项男、女生选取各2人，则分别选取即可列式求解；C 用间接法列式求解；D 分情况讨论.【详解】选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A 正确；45C 5=恰有2名女生的不同选法共有=100种，故B 错误；2255C C 至少有1名女生的不同选法共有种，故C 错误；44105C C 205-=选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D 正确.041322555555C C C C C C 155++=故选：AD.11．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于C 22(0)y px p =>F ()4,A n C 5AF =AF C另一点，记坐标原点为，则（ ）B O A ．B ．C ．D ．2p =8n =1(,1)4B -3OA OB ⋅=- 【答案】AD【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.【详解】依题意，抛物线C 的准线为，2:2(0)y px p =>2px =-因为为C 上一点，且，则，()4,A n ||5AF =452pAF =+=解得，故A 正确；2p =可得抛物线C :，焦点为，24y x =()1,0F 因为A 为C 上一点，则4，所以 ，故B 错误；24n =⨯4n =±若，则线的方程为，()4,4A AF ()413y x =-代入，得，整理得，解得或，2:4C y x =()216149x x -=241740x x -+=14x =4x =因为B 与A 分别在x 轴的两侧，可得；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理：若，可得；()4,4A -1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：或，故C 错误；1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则，则；()4,4A ()1,,144,4OB OA ⎛⎫=⎝=- ⎪⎭ 143OA OB ⋅=-=-同理：若，可得；()4,4A -3OA OB ⋅=-故D 正确；故选：AD.12．已知是数列的前项和，，，，则（ ）nS {}n a n ()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =A ．583S =B ．数列是等比数列{}1n n aa +-C ．1323n n a -=⋅-D ．3223nn S n =⋅--【答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A 正确；将递推关系式转化为{}n a 5，结合，由等比数列定义可得B 正确；利用累加法可求得C 错误；()112n n n n a a a a +--=-213a a -=采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D 正确.【详解】对于A ，，，，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =，，，3213210a a a ∴=-=4323222a a a =-=5433246a a a =-=，A 正确；51410224683S ∴=++++=对于B ，由得：，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ()112n n n n a a a a +--=-又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B 正确；213a a -=∴{}1n n a a+-32对于C ，由B 知：，1132n n n a a -+-=⋅当时，2n ≥()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=，()()1231112322213321132212n n n n n ------++⋅⋅⋅++=⨯=-+=⋅--又满足，，C 错误；11a =1322n n a -=⋅-()1322n n a n -*∴=⋅-∈N 对于D ，，D 正确.()011123222232322312nn n n S n n n --=++⋅⋅⋅+-=⨯-=⋅---故选：ABD.三、填空题13．已知等差数列的前n 项和为，若，则__________．{}n a n S 785a a +=14S =【答案】35【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前n 项和公式求解作答.【详解】因为是等差数列，，所以．{}n a 114785a a a a +=+=()1141414352a a S +==故答案为：3514．若圆与圆外切，则________．221:5C x y +=222:480C x y x y m +---=m =【答案】15-【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解．1212C C r r =+【详解】由题意可得：圆的圆心分别为，半径分别是12,C C 12(0,0),(2,4)C C，)1220r r m ==>-因为圆外切，所以，12,C C 1212C C r r =+．=1520m =->-故答案为：.15-15．在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种.【答案】450【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；2223642333C C C A 90A ⋅=方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，共有（种）不同的方案.32136313C C C A 360=所以共有不同的安排方案.()90360450+=种故答案为：450.16．设函数 在区间[上有零点，则实数的取值范围是___________.()e 2xf x mx =-1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解.【详解】令 ，则，函数 在区间[，3]上有零点等价于()e 20x f x mx =-=e 2xm x =()e 2x f x mx =-12直线与曲线在上有交点， y m =()e 2xg x x =1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则 ，当时，单调递减，当 时，单()()'21e 2x x g x x -=1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()'0,g x g x ＜(]1,3x ∈()()'0,g x g x ＞调递增，， ，显然， ，()()mine 12g x g ==()1321e e ,326g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭132e e 6∴()3e e ,26g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即当时，函数在上有零点；m 3e e ,26⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为： .3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.nx ⎛⎝37(1)求；n (2)求展开式中的常数项.【答案】(1)；8n =(2).1792【分析】（1）写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；37n （2）利用通项，并令的指数为0，求出常数项．x 【详解】（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，nx ⎛⎝0C n 1C n 2C n 所以，()012711C C 32C n n n n n n -=+++=+即，2720n n +-=解得或8n =()9n =-舍去（2）的展开式中通项为，8x ⎛ ⎝()()4883188C C 208N kk k k k kk T x x k k --+⎛==-≤≤∈ ⎝，由时，可得，即第7项为常数项，4803k -=6k =所以展开式中的常数项为.()66618C 21792T +=-=18．已知等差数列的前项和为，且.{}n a n 632n S a a =，7499S S a -=+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，求.1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T 【答案】(1)n a n=(2)21n n T n =+【分析】（1）根据等差数列公式，运用条件列方程求出；1,a d（2）运用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{}的公差为，n a d 由，得 ，解得 ，637492,9a a S S a =-=+()()()111115227214689a d a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+-+=++⎪⎩11,1a d == ；∴n a n =（2），()()11111,2221n n n n a a n n S S n n ++⎛⎫===- ⎪+⎝⎭ ；11111112212233411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上，.2,1n n na n T n ==+19．已知函数的两个极值点满足.()()323129R f x ax x x a =++-∈12,x x 122x x =-(1)求的值；a (2)求在区间上的最值.()f x []3,3-【答案】(1)2a =-(2)最大值为36，最小值为-16【分析】（1）有2个极值点等价于导函数有2个零点，根据条件运用韦达定理求解；()f x ()'f x （2）根据导函数求出的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解.()f x 【详解】（1），令，则有2个零点，显然 ，()'23612f x ax x =++()'0f x =()'f x 12,x x 0a ≠由韦达定理得 ，又代入①得： ，121224x x a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②122x x =-1242,x x a a =-=再代入②得： ， ，符合题意，284,2a a a -==-2646120∆=+⨯⨯＞；()3223129f x x x x ∴=-++-（2） ，得下表：()()()'26612621f x x x x x =-++=--+x()3,1---1()1,2-2()2,3()'f x0＜00＞00＜()f x 单调递减极小值-16单调递增极大值11单调递减又，，()336f -=()30f =所以在区间上的最大值为36，最小值为-16；()f x []3,3-综上，，在区间上的最大值为36，最小值为-16.2a =-()f x []3,3-20．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是1111ABCD A B C D -ABCD 11AA D D ⊥ABCD E 的中点，.AD 1122A A A D AD AB ====(1)求证：平面平面；1A EB ⊥ABCD (2)求直线与平面所成角的正弦值.1A D 1A BC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判1A E AD ⊥1A E ABCD 定定理证明平面平面； 1A EB ⊥ABCD （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式1A D 1A BC 求直线与平面夹角.1A D 1A BC【详解】（1）因为，点是的中点，所以，11A A A D =E AD 1A E AD ⊥又平面平面，平面平面，11AA D D ⊥ABCD 11AA D D ABCD AD =平面，1A E ⊂11AA D D 所以⊥平面ABCD ，又平面，1A E 1A E ⊂1A EB 所以平面平面；1A EB ⊥ABCD （2）取的中点，连结，BC F EF 因为四边形为矩形，且，ABCD 22AD AB ==所以四边形为正方形，，CDEF EF AD ⊥以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，E EF ED 1EA x yz 则，()()()(11,1,0,1,1,0,0,1,0,B C D A -所以，()((110,2,0,,0,1,BC BA A D ==-= 设平面的法向量，1A BC (),,m x y z = 则 有，即，100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令，则1z =0,y x ==所以平面的一个法向量，1A BC )m = 设直线与平面所成角为，1A D 1A BC θ则1sin cos ,m A θ= 直线与平面1A D 1A BC21．已知双曲线是上一点.()2222:10,0x y C a b a b -=>>()4P C (1)求的方程；C (2)已知直线与交于两点，为坐标原点，若，判断直线是():0l y kx m m =+>C ,E F O 4OE OF ⋅= l 否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)22124x y -=(2)直线恒过定点l(0,【分析】（1）根据离心率、双曲线关系和双曲线所过点可构造方程求得，进而得到双曲,,a b c 22,ab 线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得.m =【详解】（1）双曲线的离心率，，则， C ==c e a 22223c a b a ∴=+=222b a =又为上一点，，解得：，，()4P C 22101612a a ∴-=22a =24b ∴=双曲线的方程为：.∴C 22124x y -=（2）设，，()11,E x y ()22,F x y 由得：，22124y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()2222240k x kmx m ----=，则；()()2222220Δ44240k k m k m ⎧-≠⎪∴⎨=+-+>⎪⎩222224k m k ⎧≠⎨>-⎩，，12222km x x k ∴+=-212242m x x k +=--()()()()221212121212121OE OF x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++ ，()()2222222142422k m k m m k k ++=-++=--整理可得：，又，，则212m =0m >m ∴=:l y kx =+直线恒过定点.∴l (0,22．已知函数，.()()ln f x x x a =-a ∈R (1)若函数在上单调递增，求a 的取值范围；()f x []1,4(2)若，求证：.0a >()()2ln f x x x a ≤--【答案】(1)；(,1]-∞(2)证明见解析.【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4]上恒成立，进而求得的最小值即可()f x ()0f x '≥()f x '求解；（2）由可得只需证明，令，求导后求得0x >ln 2ln x a x a -≤--()2ln ln g x x a a x =+---；令，求导后求得，从而可得，()(1)1ln g x g a a ≥=--()1ln (0)h a a a a =-->()(1)0h a h ≥=()0g x ≥问题得证.【详解】（1），因为函数在[1,4]上单调递增，()ln 1=-+'f x x a ()f x 所以在[1,4]上恒成立，()0f x '≥又在[1,4]上单调递增，所以，()ln 1=-+'f x x a min ()1f x a '=-+所以，解得，所以的取值范围是.10a -+≥1a ≤a (,1]-∞（2）因为，所以要证，只需证，0,0a x >>()(2ln )f x x x a ≤--ln 2ln x a x a -≤--令，则.()2ln ln g x x a a x =+---11()1x g x x x -'=-=当时，，函数单调递减；01x <<()0g x '<()g x 当时， ，函数单调递增.1x >()0g x '>()g x 所以，()(1)1ln g x g a a ≥=--令，则，()1ln (0)h a a a a =-->11()1a h a a a -'=-=当时，单调递减，当时，单调递增.01a <<()0,()h a h a '<1a >()0,()h a h a '>所以时，取最小值, 则,1a =()h a ()(1)0h a h ≥=所以时，，因此.0a >()0h a ≥()0g x ≥所以.()(2ln )f x x x a ≤--。
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试(期中)数学试卷及参考答案
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试（期中）数学试卷及参考答案本试卷22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上。
2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
)第II卷（非选择题）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)四、解答题(本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
) 17．(10分)甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到A，B，C三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两位志愿者的概率.(1)根据散点图可知，可用函数模型b y a x=+拟合y (2)已知该产品的年销售额m （单位：千万元）与每件产品成本222001005002510y y m y =-+++-.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入（注：年利润=年销售额—年投入成本）参考公式：对于一组数据()11,u v 、()22,u v 、L 、(21．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y 的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.22．（12分）已知函数()22ln f x x x x x =+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)已知()()2g x f x x x =--，若()()12g x g x =且12x x ≠，证明：1201x x <<参考答案：9．AC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB ；利用隔板法计算判断C ；利用分类加法计数原理列式计算判断D 作答.【详解】对于A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有222642C C C 种，A 正确；对于B ，把6本不同的书按1:2:3分成3组有123653C C C 种方法，再分给甲、乙、丙三人有33A 种方法，不同分法种数是12336533C C C A ，B 错误；对于C ，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，。
2024年上外版高二数学下册阶段测试试卷141
2024年上外版高二数学下册阶段测试试卷141考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、【题文】为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为m e,众数为m o,平均值为则()A. m e=m o=B. m e=m o<C. m eo<D. m oe<2、【题文】设则下列不等式中恒成立的是 ( )A.B.C.D.3、【题文】已知数列是等差数列，且又则=" " （）A. 1B. 4C. 5D. 64、曲线与直线围成的封闭图形的面积为（）A.B.C.D.5、若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为（）A.B.C.D.6、已知双曲线的一个焦点坐标是(5,0)，则b等于（）.A. 16B. 8C. 5D. 47、设O为坐标原点，M(1,2)，若N(x,y)满足则的最大值为( )A. 4B. 6C. 8D. 108、已知抛物线y2=4x过焦点且倾斜角为60∘的直线与抛物线交于AB两点，则△AOB的面积为()A. 33B. 833C. 433D. 2339、设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)对于任意的实数x都有f(x)=4x2−f(−x)当x∈(−∞,0)时，f′(x)+12<4x若f(m+1)≤f(−m)+4m+2则实数m的取值范围是()A. [−12,+∞)B. [−32,+∞)C. [−1,+∞)D. [−2,+∞)评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、已知设则____．11、已知一个样本的方差则这组数据的总和等于____．12、【题文】“无字证明”(proofs wi thout words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：____．13、【题文】已知则_．14、【题文】在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式|x|＋|y|≤1表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是____.15、【题文】锐角三角形ABC中，若A=2B，所对的边分别为则下列四个结论:①②③④其中正确的是____．16、设向量=（-1，3，2），=（4，-6，2），=（-3，12，t），若=m+n则t=______ ，m+n= ______ ．17、某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是则最多1名同学遇到红灯的概率是______ ．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共5分)25、【题文】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.评卷人得分五、计算题(共3题，共9分)26、1. （本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。
高二数学下学期阶段性检测试题含解析 试题
实验中学2021-2021年高二数学下学期阶段性检测试题〔含解析〕单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明一、单项选择题1.设函数()f x x =，那么0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆〔 〕A. 0B. 1C. 2D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】根据极限的运算法那么，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为()f x x =，所以()()001111limlimlim 1x x x f x f x xxx x∆→∆→∆→+∆-+∆-∆===∆∆∆.应选：B.【点睛】此题主要考察极限的运算，属于根底题型.2.假设33210n n A A =，那么n =〔 〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式，求解，即可得出结果.【详解】因为33210n n A A =，所以*3,n n N ≥∈，所以有()()()()221221012n n n n n n ⋅-⋅-=⋅-⋅-， 即()()22152n n -=-，解得：8n =. 应选：C.【点睛】此题主要考察排列数的计算，熟记公式即可，属于根底题型.3.一物体做直线运动，其位移s 〔单位：m 〕与时间是t 〔单位：s 〕的关系是25s t t =-+，那么该物体在2t s =时的瞬时速度为〔 〕 A. 3 B. 7 C. 6 D. 1【答案】D 【解析】 【分析】求出25s t '=-+即可求出物体在2t s =时的瞬时速度. 【详解】解：25s t '=-+，当2t =时，1s '=. 应选:D.【点睛】此题考察了函数导数的求解.此题的关键是求出函数的导数. 4.函数334y x x =-+有〔 〕 A. 极大值6，极小值2 B. 极大值2，极小值6 C. 极小值－1，极大值2 D. 极小值2，极大值8【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，令其为0，解出方程后那么可判断函数及导数随自变量的变化情况，从而可求出极值.【详解】解：令2330y x '=-=，解得1x =±，那么,y y '随x 的变化如下表x(),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞y '+-+y62所以，当1x =-时，函数有极大值为6；当1x =时，函数有极小值为2. 应选:A.【点睛】此题考察了函数极值的求解.一般求函数的导数时，求出导数后，令导数为0，解出方程后，画表探究函数、导数随自变量的变化情况，从而可求出极值. 5.函数()f x 与fx 的图象如下图，那么不等式组()()03f x f x x '<⎧⎨<<⎩解集为〔 〕A. 0,1B. ()1,3C. 1,2D. ()1,4【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数与原函数单调性关系确定()f x 与()f x '的图象，然后可得结论．【详解】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是()f x '的图象，虚线是()f x 的图象，不等式组()()03f x f x x <⎧⎨<<'⎩解集是{|13}x x <<．应选：B ．【点睛】此题考察导函数与函数单调性的关系，属于根底题．6.从6男2女一共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队，要求效劳队中至少有1名女生，一共有不同的选法种数为〔 〕 A. 420 B. 660 C. 840 D. 880【答案】B 【解析】 【分析】利用间接法可得答案.【详解】从6男2女一共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队，一共有2286840A C ⋅=种选法，其中不含女生的有2264180A C =种选法，所以效劳队中至少有1名女生的选法种数为840180660-=. 应选：B【点睛】此题考察了有限制条件的排列组合综合题，使用间接法是解题关键，属于根底题. 7.设01a <<，离散型随机变量X 的分布列是那么当a 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时〔 〕 A. ()D X 增大 B. ()D X 减小 C. ()D X 先减小后增大 D. ()D X 先增大后减小【答案】D 【解析】 【分析】根据方差公式计算出方差后，利用二次函数的单调性可得答案.【详解】111()0122222a a E X a -=⨯+⨯+⨯=+， 所以22211111()(0)(1)(2)222222a a D X a a a -=--⨯+--⨯+--⨯21124a a =-++， 所以()D X 在1(0,)4上增大，在12(,)43上减小，即()D X 先增大后减小. 应选：D【点睛】此题考察了离散型随机变量的方差公式，以及二次函数的单调性，属于根底题. 8.函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，那么m 的取值范围为〔 〕A. (,-∞B. )⎡+∞⎣C. (,-∞D. )⎡+∞⎣【答案】A【解析】 【分析】函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数,等价于()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，然后别离变量，得2122e 2e x x m +-≤+，求出2122e 2e +-+x x 的最小值，就能确定m 的取值范围.【详解】因为函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，所以()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，即2122e 2e x x m +-≤+对x ∈R 恒成立，又因为2122e 2e x x +-+≥=m ≤ 应选：A【点睛】此题主要考察利用函数的单调性求参数的取值范围，别离变量是解决此题的关键. 二、多项选择题9.关于()11a b -的说法，正确的选项是〔 〕 A. 展开式中的二项式系数之和为2048 B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质进展分析可知A 正确，B 不正确，C 正确，根据项的系数的符号可知D 不正确.【详解】()11a b -的展开式中的二项式系数之和为1122048=，所以A 正确；因为11n =为奇数，所以展开式中有12项，中间两项〔第6项和第7项〕的二项式系数相等且最大，所以B 不正确，C 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D 不正确. 应选：AC【点睛】此题考察了二项展开式的二项式系数的性质，考察了二项展开式中项的系数的最值问题，属于根底题.10.函数()32f x x ax bx c =+++，那么〔 〕A. 函数()y f x =一定存在最值B. 0x R ∃∈，()00f x =C. 假设0x 是()f x 的极值点，那么()00f x '=D. 假设0x 是()f x 的极小值点，那么()f x 在区间()0,x -∞单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】根据x →-∞时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，可判断A 不正确；再结合图象的连续性可判断B 正确；根据可导函数在极值点处的导数值为零，可判断C 正确；根据三次函数的单调性可知，D 不正确.【详解】()32f x x ax bx c =+++，2()32f x x ax b '=++，当x →-∞时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数无最值，故A 不正确； 又函数图象是连续不断的，所以函数图象与x 轴有交点，所以0x R ∃∈，使()00f x =，所以B 正确；因为0x 是()f x 的极值点，且函数()f x 是可导函数，所以()00f x '=，故C 正确； 因为0x 是()f x 的极小值点，那么()f x 在区间()0,x -∞上先递增，再递减，故D 不正确. 应选：BC【点睛】此题考察了三次函数的图象和性质，考察了函数的极值点，属于根底题. 11.甲、乙两类水果的质量〔单位：kg 〕分别服从正态分布()211,N μσ，()222,Nμσ其正态分布的密度曲线如下图，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. 乙类水果的平均质量20.8μ=B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99=σ 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，逐一进展判断即可.【详解】由图象可知，甲图象关于直线0.4x =对称，乙图象关于直线0.8x =对称 所以12120.4,0.8,μμμμ==<，故A ，C 正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦〞，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确；因为乙图象的最大值为1.9921.992πσ=，所以2 1.99σ≠，故D 错误； 应选：ABC【点睛】此题主要考察了正态分布的性质的应用，属于中档题. 12.函数()2ln f x x x=+，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. 函数()f x 的单调减区间是(0,2)B. 函数()y f x x =-有且只有1个零点C. 存在正实数k ，使得()f x kx >成立D. 对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，假设()()12f x f x =那么124x x +> 【答案】ABD 【解析】 【分析】A 选项，对函数求导，解对应不等式，可判断A ；B 选项，令()2ln x x x xg +=-，对其求导，研究单调性，根据零点存在定理，可判断B ； C 选项，先由()f x kx >得到22ln x k x x<+，令()22ln xh x x x =+，用导数的方法判断其单调性，即可断定C ；D 选项，令()0,2t ∈，那么()20,2t -∈，令()()()22g t f t f t =+--，对其求导，断定其单调性，得到()()22f t f t +<-，令122x t =+>，根据题中条件，即可断定出D. 【详解】A 选项，因为()2ln f x x x=+，所以()22212x f x x x x -'=-+=，由()0f x '>得，2x >；由()0f x '<得，02x <<，因此函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；故A 正确；B 选项，令()2ln x x x xg +=-，那么()22222172122014x x x x x x x g x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭+'=---==<-显然恒成立； 所以函数()2ln x x x xg +=-在()0,∞+上单调递减； 又()ln112110g =-=>+，()212ln 21ln 20g =-=-<+， 所以函数()2ln x x x xg +=-有且仅有一个零点；故B 正确； C 选项，假设()f x kx >，可得22ln x k x x<+，令()22ln x h x x x =+，那么()42341ln ln 4x x x x x h x x x x ----'=+=， 令()ln 4u x x x x =--，那么()1ln 1ln u x x x '=--=-， 由()0u x '>得01x <<；由()0u x '<得1x >；所以函数()u x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 因此()()130u x u ≤=-<；所以()3ln 40x x x h x x --'=<恒成立，即函数()22ln xh x x x=+在()0,∞+上单调递减，所以函数()22ln xh x x x=+无最小值； 因此，不存在正实数k ，使得()f x kx >成立；故C 错； D 选项，令()0,2t ∈，那么()20,2t -∈，那么22t +>； 令()()()()()2224222ln 2ln 2ln 2242t tg t f t f t t t t t t t+=+--=++---=++---， 那么()()()()222222241624802244t t t g t t t tt ---'=+⋅=-<+---， 所以()g t 在()0,2上单调递减，那么()()00g t g <=，即()()22f t f t +<-， 令122x t =+>，由()()()122f x f x f t =<-，得22x t >-，那么12224x x t t +>-++=，当14≥x 时，124x x +>显然成立，所以对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，假设()()12f x f x =那么124x x +>.故D 正确. 应选：ABD.【点睛】此题主要考察导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的性质即可，属于常考题型. 三、填空题13.曲线y ＝x 2+lnx 在点〔1，1〕处的切线方程为_____．【答案】320x y --= 【解析】 【分析】首先求1x =处的导数，再根据切线公式()()000y y f x x x '-=-求切线方程. 【详解】解析：12y x x'=+，在点〔1，1〕处的切线斜率为3，所以切线方程为320x y --=. 【点睛】此题考察了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14.用1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为______.〔用数字答题〕 【答案】24 【解析】 【分析】由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列即可.【详解】解：由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，只有1种方法，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列有34=432=24A ⨯⨯， 故答案为：24【点睛】此题考察了分步计数原理的应用，主要抓住能被5整除的整数的特征〔末位数为0或者5〕，此题末位数字只能是5，属于根底题．15.盒中一共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色一样外完全一样.从盒中一次随机取出4个球，设X 表示取出的三种颜色球的个数的最大数，那么()3P X ==______.【答案】1363【解析】 【分析】由题意3X =表示抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者者3个黄球、1个其他色，计算概率即可.【详解】当3X =时，随机取出4个球中有3个红球、1个其他色，一共有314520C C ⋅=种取法，随机取出4个球中有3个黄球、1个其他色，一共有31366C C ⋅=种取法，所以当取出的三种颜色球的个数的最大数为3时，一共有20626+=种取法， 所以()49262613312663P X C ====, 故答案为：1363【点睛】此题主要考察了组合的实际应用，古典概型，考察了推理运算才能，属于中档题.16.设函数()32f x ax bx cx =++〔a ，b ，R c ∈，0a ≠〕假设不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，那么a =______，b ca+的取值范围为______. 【答案】 (1). 3 (2). 1[,)6-+∞【解析】 【分析】由()32f x ax bx cx =++，先求导，那么不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，即为()()()2323220a a x b ab x c ac x -+-+--≤对一切R x ∈恒成立，结合三次函数的性质那么230a a -=，然后再利用二次函数的性质求解. 【详解】因为()32f x ax bx cx =++，所以()232f x ax bx c '=++，因为不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立， 所以()()()2323220a ax b ab x c ac x -+-+--≤对一切R x ∈恒成立，所以230a a -=，解得3a =或者0a =〔舍去〕，所以2220bx cx ++≥对一切R x ∈恒成立， 当0,0b c ==时，20≥，成立，当0,0b c =≠时，1x c ≥-或者1x c≤-，不成立，当0b ≠时， 那么()20280b c b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩，解得22c b ≥， 当0,0b c ==时，03b c b ca ++==， 当0b ≠时， ()22111112223336c c c b c b c a ++-++=≥=≥-， 综上：b ca +的取值范围为1[,)6-+∞. 故答案为：①3；②1[,)6-+∞【点睛】此题主要考察不等式恒成立，导数的应用以及函数性质的应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 四、解答题17.求以下函数的导数：〔1〕()()()31cos 1f x x x =+-；〔2〕()21x xf x x =-+. 【答案】〔1〕322sin sin 33cos x x x x x x -+--〔2〕212ln 2(1)x x -+【解析】 【分析】〔1〕根据积的导数运算法那么及根本初等函数的导数公式计算即可；〔2〕先化简函数，根据商的导数运算法那么及根本初等函数的导数公式计算即可. 【详解】〔1〕()()()()()()()33321cos 11cos 1sin 131cos f x x x x x x x x x '''=+-++-=---+322sin sin 33cos x x x x x x =-+--.〔2〕因为1()21211x x x f x x x =-=--++， 那么21()2ln 2(1)xf x x '=-+. 【点睛】此题主要考察了根本初等函数的导数公式和和差积商的求导法那么，考察了计算才能，属于根底题.年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进展网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某在网上随机抽取120名学生对线上教育进展调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意. 〔1〕完成22⨯列联表，并答复能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关〞；〔2〕从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经历介绍，其中抽取男生的个数为ζ，求出ζ的分布列及期望值.参考公式：附：()()()()()22n ad bc K a b a c b d c d -=++++【答案】〔1〕表格见解析，有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关〞；〔2〕分布列见解析，()98E ξ= 【解析】 【分析】〔1〕根据男生与女生的人数之比为11∶13，以及总人数120，可求出男，女生总人数，即可完成22⨯列联表，并根据HY 性检验的根本思想，求出2K 的观测值，对照临界值表，即可判断是否有把握；〔2〕根据〔1〕可知，男生抽3人，女生抽5人，于是，离散型随机变量 的可能取值为0,1,2,3，并且服从超几何分布，即可利用公式()33538k kC C P k C ξ-==〔0,1,2,3k =〕，求出各概率，得到分布列，求出期望【详解】〔1〕因为男生人数为：11120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下：根据列联表中的数据，得到2K 的观测值22120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关〞. 〔2〕由〔1〕可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()33538k kC C P k C ξ-==〔0,1,2,3k =〕，即()35385028C P C ξ===，()21533815128C C P C ξ===， ()23138515256C C P C ξ===，()33381356C P C ξ===.可得分布列为可得()51515190123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题主要考察HY 性检验根本思想的初步运用，以及超几何分布的应用，意在考察学生的数学建模才能和数学运算才能，属根底题．19.函数()ln x e af x a x x x=--〔1〕当0a =时，求函数()f x 的单调区间；〔2〕假设函数()f x 在1x =处获得极大值，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕增区间为()1,+∞，减区间为()0,1 〔2〕(,.)e +∞ 【解析】 【分析】〔1〕()()()21,'x x e x e f x f x x x -==，根据导数的正负得到函数单调性. 〔2〕()()()21'xe a xf x x --=，讨论a e ≤和a e >两种情况，根据函数的单调性得到极值情况，得到答案.【详解】〔1〕()f x 的定义域为()0,∞+，当0a =时，()()()21,'x xe x ef x f x x x-==， 令()0f x >得1x >，令()'0f x <得，所以()f x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1.〔2〕()()()21'xe a xf x x--=①当a e ≤时，假设()1,x ∈+∞，那么0x x e a e e -≥->， 此时()()()21'0xe a xf x x--=>，()f x 在()1,+∞上单调递增所以函数()f x 在1x =处不可能获得极大值，a e ≤不合题意. ②当a e >时，ln 1a >函数()f x 在1x =处获得极大值. 综上可知，a 的取值范围是(,.)e +∞【点睛】此题考察了函数的单调性，根据极值点求参数，意在考察学生的计算才能和应用才能.20.某工厂消费某种型号的农机具零配件，为了预测今年7月份该型号农机具零配件的场需求量，以合理安排消费，工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进展了调查，销售单价x 〔单位：元〕和销售量y 〔单位：千件〕之间的6组数据如下表所示：〔1〕根据1至6月份的数据，求y 关于x 的线性回归方程〔系数准确到〕；〔2〕结合〔1〕中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的消费本钱为每件3元，那么工厂如何制定7月份的销售单价，才能使该月利润到达最大？〔计算结果准确到〕参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑参考数据：621605.82i i x ==∑，61168.24i i i x y ==∑【答案】〔1〕ˆ0.30 5.86y x =-+；〔2〕销售单价为元时，该月利润才能到达最大【解析】 【分析】〔1〕求出,x y 的平均数，利用最小二乘法即可得出y 关于x 的线性回归方程； 〔2〕由题意得出7月份的利润的关系式，结合二次函数的性质，即可得出结论.【详解】〔1〕由条件知，11.19.19.410.28.811.4106x +++++==，2.53.13 2.8 3.2 2.41766y +++++==所以()()()16666122221117168.24610886ˆ0.30605.82610291iiiii i iii i x x y y x ynx ybx x xnx ====---⋅-⨯⨯====-≈--⨯--∑∑∑∑，1788ˆ10 5.866291a⎛⎫=--⨯≈ ⎪⎝⎭故y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.30 5.86yx =-+. 〔2〕假设7月份的销售单价为x 元那么由〔1〕可知，7月份零配件销量为ˆ0.30 5.86yx =-+ 故7月份的利润()()20.3 5.8630.3 6.7617.58x x x x ω=-+-=-+-，其对称轴33.811.33x =≈，故7月份销售单价为元时，该月利润才能到达最大. 【点睛】此题主要考察了求线性回归方程以及用回归直线方程进展估计，属于中档题. 21.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，20AB =km,10km CD =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上〔含边界〕，且A ，B 与等间隔 的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km ．〔I 〕按以下要求写出函数关系式：①设(rad)BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设(km)OP x =，将y 表示成x 的函数关系式．〔Ⅱ〕请你选用〔I 〕中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短．【答案】〔I 〕①2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+<<②2220200(010)y x x x x =+-+<<〔Ⅱ〕选择函数模型①，P 位于线段AB 的中垂线上且间隔 AB 边3km 3处． 【解析】【详解】〔I 〕①由条件可知PQ 垂直平分AB ，(rad)BAO θ∠=，那么10cos cos AQ OA BAO θ==∠故10cos OB θ=，又1010tan OP θ=-，所以 10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-2010sin 10(0)cos 4θπθθ-=+<<．单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明②(km)OP x =，那么10OQ x =-，所以OA OB ===所以所求的函数关系式为10)y x x =+<<．〔Ⅱ〕选择函数模型①． 22210cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθ-----=='． 令0y '=得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=． 当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数． 所以当6πθ=时min 10y =．当P 位于线段AB 的中垂线上且间隔 AB边km 3处． 22.函数()()()221ln f x a x x a =--++.〔1〕当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；〔2〕假设函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞；〔2〕24ln 2a ≥-【解析】【分析】〔1〕把1a =代入到()f x 中求出()f x '，令()0f x '>求出x 的范围即为函数的增区间，令()0f x '<求出x 的范围即为函数的减区间；〔2〕()0f x <时不可能恒成立，所以要使函数在1(0,)2上无零点，只需要对1(0,)2x ∈时()0f x >恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函 数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的取值范围；单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日创编者：阳芡明 【详解】解：〔1〕当1a =时，()12ln f x x x =--，定义域为()0,∞+，那么()21f x x '=-，令()0f x '>，得2x >，令()0f x '<，得02x <<，∴()f x 的单调递减区间为〔0，2〕，单调递增区间为()2,+∞.〔2〕∵函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点， ∴在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x >恒成立或者()0f x <恒成立，()()()()()221ln 212ln f x a x x a a x x =--++=---，()()1111221ln 4ln 222222f a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①当102f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭时，24ln 2a ≥-， 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上，()()()()()212ln 4ln 212ln f x a x x x x =---≥---，记()()()4ln 212ln x g x x ---=，()114ln 212ln 02212g ⎛⎫--⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎪⎭⎝=那么()24ln 2g x x '=-， 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()24ln 24ln 240x g x <'-=-<， ∴在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上，()g x 单调递减，∴()102g x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()()4ln 212ln 0x x --->，∴()()()4ln 212ln 0f x x x ≥--->，即()0f x >在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，满足题意； ②当102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，4ln 22a <-+，24ln 2110162a e e --<<=<，单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明 ()()()()()2222221ln 21a a a a f e a e e a a e ----=--++=-+，∵24ln 20a ->>，210a e -+>，∴()()()22210a a f ea e --=-+>， ∴()f x 在21,2a e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，即函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，不符合题意. 综上所述，24ln 2a ≥-.【点睛】此题考察学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，属于中档题．。
2024年沪科版高二数学下册阶段测试试卷698
2024年沪科版高二数学下册阶段测试试卷698考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、在等比数列｛an｝中，a1＝1，q∈R且｜q｜≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于A. 9B. 10C. 11D. 122、已知椭圆的左、右两焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，∠F1AF2=45°；则椭圆的离心率e等于（）A.B.C.D.3、已知椭圆上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（）A.B. 2C. 3D. 64、过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.5、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.B.C.D.6、已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7、在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8、已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3，•=•则•等于（）A. 1B. 2C. 3D. 49、已知复数z满足z（1+i）=1-i，则|z|=（）A. iB. 1C. -iD. -1评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、【题文】手表的表面在一平面上．整点1，2，，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上．从整点到整点的向量记作则＝____．11、【题文】一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输出的结果为_________.12、【题文】已知的最小值为则正数____．13、设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为____14、在等差数列{a n}中，a1=45，a3=41，则前n项的和S n达到最大值时n的值是____．15、若z=(sinθ−35)+i(cosθ−45)是纯虚数，则tanθ的值为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共5分)23、如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？评卷人得分五、综合题(共1题，共2分)24、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(a b0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】试题分析：由题可知，由等比数列通项公式知，若有成立，则有成立，即则有故考点：等比数列的通项公式【解析】【答案】C2、B【分析】由题意，F1（-c；0）；将x=c代入椭圆方程可得∴y=∵∠F1AF2=45°；∴∴∴e2+2e-1=0∵0＜e＜1∴e=故选B．【解析】【答案】将x=c代入椭圆方程可得可得y= 由∠F1AF2=45°，可得由此可求椭圆的离心率．3、C【分析】试题解析：不妨设则考点：本题考查椭圆的定义点评：解决本题的关键是应用椭圆第一定义【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】试题分析：结合已知作图则可知：|AF2|=a+c，|BF2|=∴k=tan∠BAF2=故可知化简得到故答案为C考点：本题主要考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】由图形可知：第一个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6=8；第二个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6=14；第三个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6=20；；第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6=2+6n．故答案为2+6n．【解析】【答案】C6、A【分析】【解答】由得是线面垂直的判定定理，但时，平面的直线不可能都垂直于平面故本题选A．7、A【分析】解：“ ”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”；反之不成立；可能为B或C=90°．因此“ ”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．“ ”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”；反之不成立，可能为B或C=90°．即可判断出．本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．【解析】【答案】 A8、C【分析】解：如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b；c，且设AD=m；∵∠A=60°，∴由得：∴又BD=3；∴在△ABD中由余弦定理得：∴ m=∴．故选：C．可画出图形，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，并设AD=m，这样根据便可得到从而得到m= 这样在△ABD中由余弦定理便可建立关于c的方程，可解出c= 从而有m=然后进行数量积的计算便可求出的值．考查向量数量积的计算公式，余弦定理，以及向量夹角的概念．【解析】【答案】 C9、B【分析】解：z（1+i）=（1-i）；则∴|z|=1．故选：B．利用复数的运算法则；共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】【答案】 B二、填空题(共6题，共12分)10、略【分析】【解析】试题分析：因为整点把圆分成12份，所以每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点与圆心组成等腰三角形底边平方为每对向量的夹角为30°，所以每对向量的数量积为所以=考点：平面向量的数量积运算；数列求和。
高二数学第二学期阶段测试
高二数学第二学期阶段测试高二数学第二学期阶段测试必修五专题检测一.填空题1．在△ABC中,角均为锐角,且则△ABC的形状是钝角三角形.2．在△中,若,则等于 .3．等差数列项的和等于99.4．在公比为整数的等比数列中,如果那么该数列的前项之和为.5．若,则等于3 .6．若,则函数的值域是7．下列不等式(1) (2) (3) (4),其中不能恒成立的是(1)(2)(4).8．二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是9．一个两位数的个位数字比十位数字大,若这个两位数不大于,则这个两位数为13或24.10．函数的最大值为1.11．在△ABC中,,则的最大值是4 . 12．在△ABC中,,则的最大值是. 13．两个等差数列则_shy;_shy;= 14．在等比数列中, 若则_shy;_shy;=三.解答题15 ．⑴在△ABC中, ,求.⑵在△ABC中,设求的值.解析:(1) ,而,所以(2)∵∴,即,∴,而∴,∴16．已知.满足约束条件(1)求的最小值,以及相应的.值;(2)求的最大值,以及相应的.值解析:作出区域如右图(1)直线经过点时,有最小值3(2),其中点为三角形ABC内部及其边界上的点,可知当点P与点C重合时, 17．已知数列的前项和,(1)求的值. (2)求的表达式解析: (1)=;;∴(2)为偶数时;为奇数时∴18.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?解析:设该厂天购买一次面粉,平均每天所支付的总费用为元．∴购买面粉的费用为元,保管等其它费用为,∴,即当,即时,有最小值,答:该厂天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少．19．已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上.(1)求数列的通项公式;(2)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;解析:(1)设这二次函数f(_)＝a_2+b_ (a≠0) ,则 f`(_)=2a_+b,由于f`(_)=6_－2,得a=3 , b=－2, 所以f(_)＝3_2－2_.又因为点均在函数的图像上,所以＝3n2－2n.当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－＝6n－5.当n＝1时,a1＝S1＝3_12－2＝6_1－5,所以,an＝6n－5 ()(2)由(1)得知＝＝,故Tn＝＝＝(1－).因此,要使(1－)_lt;()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.20.已知数列中,,且(1)求数列的通项公式;(2)设函数,数列的前项和为,求的通项公式;(3)求数列的前项和.解析:(1)∵∴∴,累乘,得.(2) ∴当时,时,也符合∴的通项公式是(3)数列是首项为,公差的等差数列当,即时,;当时,=综上所述,。
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高二数学第二学期阶段测试
必修五专题检测
一、填空题
1．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是钝角三角形。
2．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于0015030或 。
3．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于99。
4．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为510。
5．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于3 。
6．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是1[,2]8 7．下列不等式（1）
b a 11< （2）b a 11> （3）2a b > （4）22a b >，其中不能恒成立的
是（1）（2）（4）。
8．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是10a -<<
9．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数不大于30，则这个两位数为13或24。
10．函数)2(22x x y -=的最大值为1。
11．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是4 。
12．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是
21。
13．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =12
65 14．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则12a =375±
三、解答题
15 ．⑴在△ABC 中， 3,21,,1200==>=∆ABC S a b c A ，求c b ,。
⑵在△ABC 中，设,3,2π=
-=+C A b c a 求B sin 的值。
解析：（1）1sin 3,4,2
ABC S bc A bc ∆=== 2222cos ,5a b c bc A b c =+-+=， 而c b >，所以4,1==c b
（2）∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222A C A C B B +-=， ∴13sin cos 2224B A C -==，而0,22
B π<<∴13cos 24B =， ∴313sin 2sin
cos 222B B B ===839 16．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y
（1）求y x z +=21的最小值，以及相应的x 、y 值；
（2）求222y x z +=的最大值，以及相应的x 、y 值
解析：作出区域如右图
（1）直线y x z +=21经过点)1,2(-C 时，有最小值3
（2）222y x z +=OP =，其中点),(y x P 为三角形ABC
内部及其边界上的点，可知当点P 与点C 重合时，5)(max 2=z
17．已知数列{}n a 的前n 项和)34()1(...139511--++-+-=-n S n n ，
（1）求312215S S S -+的值。
（2）求n S 的表达式
解析： （1）15S =29741=⨯+；22S 44114-=⨯-=；
61154131=⨯+=S ∴312215S S S -+76614429-=--=
（2）n 为偶数时n n S n 2)4(2
-=-⨯=； n 为奇数时12]3)1(4[)1(211-=-+++-=-=++n n n a S S n n n
∴⎩
⎨⎧--=为奇数为偶数n n n n S n 122 18。
某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解析：设该厂x 天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为y 元．
∴购买面粉的费用为6180010800x x ⨯=元，
保管等其它费用为3(6126)9(1)x x x ⨯+++=+， ∴108009(1)900100108099()x x x y x x x
+++=
=++
10809910989≥+⨯=，即当100x x
=，即10x =时，y 有最小值10989， 答：该厂10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 19．已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；
解析：（1）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.
又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[]
)1(2)132---n n （
＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）
（2）由（1）得知13+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ， 故T n ＝∑=n i i b 1＝
21⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使
21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20
m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 20。
已知数列{}n a 中，11a =，113(2n n n a a n --=⋅≥且*)n N ∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设函数3()log (
)(*)9n n a f n n N =∈，数列{}n b 的前n 项和为()f n ，求{}n b 的通项公式；
（3）求数列{||}n b 的前n 项和n S 。
解析：（1）∵*),2(311N n n a a n n n ∈≥⋅=--且 ∴11
3--=n n n a a ∴ ,3,322312==a a a a ，11
3--=n n n a a 累乘，得2)1(3-=n n n a 。
（2）*)(25)9
(log )(23N n n n a n f n n ∈-== ∴2)1(1-==f b 当2≥n 时，()3)]1(5)1[(2
1521)1()(22-=-----=--=n n n n n n f n f b n 1=n 时，3121-=-=b 也符合
∴{}n b 的通项公式是*)(3N n n b n ∈-=
（3）数列{}n b 是首项为2-，公差1=d 的等差数列
当03≤-=n b n ，即3≤n 时，2
5|)(|2n n n f S n -==； 当4≥n 时，||||||21n n b b b S +++= =||2||32121b b b b b b n ++++++ 2
125|)3(|2)(2+-=+=n n f n f
综上所述，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈>+-∈≤-=),3(2125*),3(2522
N n n n n N n n n n S n。