第七章习题解答

第七章习题解答填空题1.解 由于100113,55x EX p ++++===，故由35p =解得µ35p =．2.解 似然函数为12(,,;)n L x x x λK 12211()niii nnx x ni i i i x eex λλλλ=--==∑==∏∏，故ln L 112ln ln n ni i i i n x x λλ===-+∑∑，由ln d L d λ12ni i n x λ==-∑0=，得λ的最大似然估计量为ˆλ2X=． 3.解 由222()(1)E X kS E X kES EX kDX np knp p np +=+=+=+-=，得1k =-．4.解 222222112()()()3nniii i xE XE X nE X n x dx θθθ=====∑∑⎰32222532x n dx n θθθθ==⎰． 由22215()2ni i E cX cn θθ===∑，解得25c n=． 5.解 由于123EX EX EX μ===，且由题意有123()E X aX bX μ+-=，2342E bX X aX μ(--)=，得11a b +-=，211b a --=解得2a =，2b =．6.解 由于21σ=，所以μ的置信度为1α-的置信区间为22(,)x x αα+，将40,x =1σ=,0.025216,0.05, 1.96n U U αα====代入其中，即得μ的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49)．7.解 由于μ未知，且10,10.90=-=n α，得220.050.95(9)16.919,(9) 3.325==χχ，2σ的置信水平为0.90的置信区间为222222122(1)(1)935935(,)(,)(651.63,3315.79)(1)(1)16.919 3.325n S n S n n ααχχ---⨯⨯==--． 8.解 由于μ的置信度为0.95的置信区间为0.0250.025(x U x U -+，所以得0.02524l U =≤．又因为0.025 1.96U =，解得2(2 1.96)15.3664n ≥⨯=，所以n 至少取16．选择题1.解 似然函数1111()(;),1,1,2(1)(1)nni i ni i L f x x i n θθθθθ=====≤≤=--∏∏L ；()L θ为θ的单增函数，而θ的取值范围为1min i i nx θ≤≤≤，故当1min i i nx θ≤≤=时，()L θ取最大值，所以θ最大似然估计量$1min ii nX θ≤≤=，选（A ）． 2.解 因为ˆˆE a b aE b a b θθθ(+)=+=+，而2222ˆˆˆˆE D E D θθθθθθ()=+()=+>，所以ˆa b θ+是a b θ+的无偏估计，2ˆθ是2θ的有偏估计，选（Ｂ）．3.解 因为1E X EX λ==，所以X 是1λ的无偏估计． 由于X 为连续型随机变量，故对于任意的常数a ，{}0P X a ==，所以不存在常数a ，使得1P ==或1P ==，利用柯西-许瓦兹不等式得1E X EX>2[E 211E =()=，得11EX E X λ>=，所以1X是λ的有偏估计，选（C ）． 4.解 由于,1,2,3i EX i μ==，故得123E E E μμμμ∧∧∧===，而467E μμμ∧=≠，所以123,,μμμ∧∧∧为 μ的无偏估计，而4μ∧为 μ的有偏估计，故舍去4μ∧．又由于123,,X X X 相互独立，且2,1,2,3i DX i σ==，故计算得222124719,,18325D D D μσμσμσ∧∧∧===，其中2D μ∧最小，故选（B ）．5.解 222221110E X DX EX σσ()=+()=+=，所以21X 为2σ的无偏估计．2222121212[()]()[()]2E X X D X X E X X σσ-=-+-=≠，所以212()X X -为2σ的有偏估计，舍去．2222111111n n n i i i i i E X E X n n n σσ===()=()==∑∑∑，所以211n i i X n =∑为2σ的无偏估计． 22E S σ()=，所以2S 为2σ的无偏估计．由于2212~X χσ(1)，所以2122X Dσ=，得2412D X σ()=．进而2221111n ni ii i D X D X n n==()=()=∑∑4421122ni nn σσ==∑． 由于222~n S n χσ(-1)(-1)，所以222n S Dn σ(-1)=(-1)，得242D S n σ()=-1．因为n >1，所以211n i i X n =∑为2σ的无偏估计，且方差最小，选（C ）．6.解 由题意知，9.76510.235102x +==，所以（A ）正确．由于0.0510.235100.235U =-=，且0.05 1.645U =0.23511.6457==， 解得49n =，所以（B ）正确．由于0.0251.96U =，故μ的置信度为95%的置信区间为0.025(x U ±=1(10 1.96)7±⋅(100.280)(9.720,10.280)=±=，所以（C ）正确．0.050.0250.0251.6450.901.960.952U U U ==≠，所以（D ）不正确，选（D ）．解答题（Ａ类）1.解 ⑴ 因为总体X 服从参数为p 的几何分布，故1=EX p，由1==X EX p 解得p 的矩估计量为µ1=M p X． ⑵ 似然函数为11121(,,,;)(1)(1)ni i i nx nx nn i L x x x p p p p p =--=∑=(-)=-∏L ，故1ln ln ()ln(1)n i i L n p x n p ==+--∑，令1ln 1()01ni i d L n x n dp p p==--=-∑，解得p 的极大似然估计量为µ11===∑L nii np XX． 2.解 ⑴ 由1λ==X EX ，解得λ的矩估计量为$1λ=M X ． ⑵ 似然函数为1121(,,,;)()niii nx x nn i L x x x eeλλλλλ=--=∑==∏L ，故1ln ln λλ==-∑ni i L n X ，1ln ni i d L n x dp λ==-∑，令ln 0=d L dp，解得λ的极大似然估计量为$11L nii nXXλ===∑． 3.解 由题意知X 为连续型随机变量，其密度函数为1,1,(;)0,1.x f x x x βββ+⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⑴ 由111+∞+==⋅=-⎰X EX x dx xββββ，解得β的矩估计量为ˆ1=-MXX β． ⑵ 似然函数为11112()()inni n L x x x x βββββ++===∏L ，故1ln ()ln (1)ln ni i L n x βββ==-+∑，1ln ln ni i d L n x d βββ=()=-∑．令ln ()0d L d ββ=，得β的极大似然估计量为1ˆln ==∑Lnii nXβ．4.解 似然函数()(1)N n NL θθθ-=-，ln ()L θ=ln ()ln(1)N n N θθ+--．令ln d Ld θ01Nn N θθ-=-=-，解得θ的极大似然估计值为$N nθ=． 5.解 ⑴(;)EX xf x dx θ+∞-∞=⎰1022(1)x x dx dx θθθθ=+-⎰⎰142θ=+．令X EX =，即142X θ=+，得θ的矩估计量为$122X θ=-． ⑵因为22(4)4[()]E X DX EX =+2114[()]42DX n θ=++22414DX n θθθ=+++>，因此24X 不是2θ的无偏估计量．6.解 此为2k =的情形．由1211,1()(1)m i i mi i X X EX np m X X DX np p m ==⎧===⎪⎪⎨⎪-==-⎪⎩∑∑解得n 和p 的矩估计量为2221111,1()1()====----∑∑))m i mi i i Xn p X X m X X X X m ． 7.解 由于22111222[()]()()nnni i i i i i i i i i i i E X X X E X X X E X EX EX ---===⎡⎤-=-=-⎣⎦∑∑∑2222()(1)ni n σμμμσ=⎡⎤=+-⋅=-⎣⎦∑， 所以2(1)EY c n σ=-，令2EY σ=，解得11c n =-． 8.证 由于22212()()E S E S σ==，故µ222222121()1()11()22n E S m E S n m E n m n m σσσσ(-)+(-)(-)+(-)===+-+-，所以µ2σ是2σ的无偏估计． 9.解 ⑴由于X 与Y 均服从正态分布，且相互独立，所以Z X Y =-服从正态分布，又20,3EZ DZ DX DY σ==+=，从而2~(0,3)Z X Y N σ=-，故Z 的密度函数为2226(,)z f z σσ-=，(,)z ∈-∞+∞．⑵似然函数为2222116226221)(6)()ni i i z n n nz i L e σσσπσ=----=∑()==∏，则222211ln ln(6)ln()226nii n n L zσπσσ=()=---∑，令222241ln 110()26nii d L n z d σσσσ=()=-⋅+=∑，解得µ22113n i i Z n σ==∑． ⑶由于µ2211()()3n ii E E Z n σ==∑21()3E Z =21[()]3DZ EZ =+2221(30)3σσ=+=，所以^2σ为2σ的无偏估计量．10.证 由于)E X EY μ==，故111ˆ()()22E E X EY μμμμ=+=+=，211ˆ(2)(2)33E E X EY μμμμ=+=+=， 所以12ˆˆ,μμ均为μ的无偏估计． 又由于11,2DX DY n n==，且X 与Y 相互独立，故 111113ˆ()()4428D DX DY n n n μ=+=+=，211111ˆ(4)(4)9923D DX DY n n nμ=+=+⋅=．因为12ˆˆD D μμ>，所以2ˆμ比1ˆμ更有效． 11.证⑴由于E X EY μ==，所以()EZ aE X bEY a b a b μμμμ=+=+=+=，表明Z 是μ的无偏估计．⑵ 由于22121211,D X DY n n σσ==，且X 和Y 相互独立，故 2222222222121212121111(1)DZ a D X b DY a b a a n n n n σσσσ=+=+=+- 22222122212221121()a a n n n n σσσσ=+-+， 故当222212222*********2112()n n a n n n n σσσσσσ-=-=++，2212221121n b a n n σσσ=-=+时，DZ 最小． 12.证由切比雪夫不等式及概率的性质得$$$$21{}{}1D P P E θθθεθθεε≥-<=-<≥-，且依题意$2lim(1)1n D θε→∞-=，所以由夹逼定理，有$lim {}1n P θθε→∞->=，即$θ是θ的一致估计． 13.解 ⑴由于2σ未知，且10,10.95=-=n α，得0.0252(1)(9) 2.2622-==t n t α，故μ的置信水平为0.95的置信区间为22(((--+-x t n x t n αα(457.5 2.2622457.5 2.2622=-+(432.3047,482.6953)=． ⑵ 由于μ未知，且10,10.90=-=n α，得220.050.95(9)16.919,(9) 3.325==χχ，σ的置信水平为0.90的置信区间为)(25.69,57.94)==． 14.解 设机器A 生产的钢管内径为X ，机器B 生产钢管的内径为Y ，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，而两总体方差未知但相等，故12μμ-的置信度为1-α的置信区间为121222(()(2)()(2)--+--++-x y t n n s x y t n n s αα，其中s ω由题意知，12120.05218,13,10.90,0.05,(2)(29) 1.69912==-==+-==n n t n n t ααα，2291.73,93.75,0.34,0.29====X Y x y s s ，代入上式后计算得总体均值差12μμ-的置信度为0.90的置信区间为( 2.37, 1.67)--．15.解 设X 表示化验员A 对某种聚合物中的含氯量的测定值，Y 表示化验员B 对某种聚合物中的含氯量的测定值，则总体22~(,),~(,)A A B B X N Y N μσμσ．由于两个样本相互独立，两总体的均值A μ与B μ都未知，且1210,10.90,0.05,10.95,22==-==-=n n ααα查表得120.05120.9510.052211(1,1)(9,9) 3.18,(1,1)(9,9)(9,9) 3.18---==--===F n n F Fn n F F αα0.3145=，又220.5419,0.6065ABs s ==，所以22ABσσ的置信水平为0.90的置信区间为2222121212211(,)(1,1)(1,1)-⋅⋅----A A B B s s s F n n s Fn n αα0.541910.54191(,)(0.2810,2.8413)0.6065 3.180.60650.3145=⋅⋅=．16.解 设汽车轮胎磨坏时所行驶的路程为X ，则2~(,)X N μσ．由于总体X 的方差2σ未知，且0.0516,10.95,(1)(15) 1.7531,41116,6346=-=-====n t n t x s αα，所以μ的0.95置信下限为(41116 1.753138443--=-=x t n α（公里）． 17.解 由于均值μ未知，且由题意知2210.955,10.95,(1)(4)0.71-=-=-==n n ααχχ，再由样本值计算得11.9=s ，所以σ的置信度0.95置信上限为28.2==（C o ）．解答题（Ｂ类）1.解 ⑴设{},0,1,2i p P X i i ===，则221p θ=(-)，且201210122121EX p p p p θθ=⋅+⋅+⋅=+(-)=(-)，得121p θθ=(-)，2201211p θθθθ=-(-)-(-)=，故X 的分布律为22012~2(1)(1)X q q q q 骣÷ç÷ç÷ç÷--桫． ⑵由21EX X θ=(-)=，解得q 的矩估计量为1ˆ12MX θ=-．由于111ˆ11121222ME E X EX θθθ=-=-=-⋅(-)=，所以ˆq是q 的无偏估计． ⑶似然函数为441234{0}{1}{1}{2}41L P X P X P X P X θθθ()======(-)，则ln ()ln 44ln 4ln 1L θθθ=++(-)，令ln 4401d L d θθθθ()=-=-，解得q 的极大似然估计值为1ˆ=2Lθ． 2.解 ⑴ 由2223X EX x xdx θθθ==⋅=⎰，解得θ的矩估计量为$32M X θ=． ⑵ 似然函数为1222122()()nni n ni L x x x x θθθ===∏L ，0,1,2,,i x i n θ≤≤=L ．由于()L θ为θ的单调减少函数，且θ的取值范围为1max i i nx θ≤≤≥，所以当1max i i nx θ≤≤=时，θ的取值最小，从而()L θ的取得最大值，故θ的极大似然估计量为$1max L i i nX θ≤≤=．3.解 ⑴ 由于0=EX ，故根据低阶矩优先原则，采用二阶原点矩建立方程2222201111()22σσσσ+∞+∞---∞=====∑⎰⎰xxn i i X E X x e dx x e dx n ， 从中解得σ的矩估计量为µσ=M ⑵ 似然函数为11111()22niii x nx n ni L e e σσσσσ=--=∑==∏，故11ln ln 2ln ni i L n n x σσσ=()=---∑，21ln 1nii d L n xd σσσσ=()=-+∑，令ln 0d L d σσ()=，解得σ的极大似然估计为µ11σ==∑n L i i X n ． 4.⑴证 由于221()ET E X S n =-221E X E S n=()-()2222n n σσμμ=(+)-=，所以T 是2μ的无偏估计量．⑵解 当0,1μσ==时，~(0,1)X N ．故22~(1)nX χ，22(1)~(1)n S n χ--，且X 与2S 独立，所以221()DT D X S n =-2221D X D S n=()+()22222111()[(1)](1)D nX D n S n n n =+⋅-- 222211121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n =⋅+⋅⋅-=⋅+=---．5.证 ⑴ 因为12ˆE EX EY μμμμ=-=-=,所以ˆX Y μ=-是12μμμ=-的无偏估计．⑵由于X与Y 相互独立，故ˆμ的方差为1414ˆ()60D D X Y DX DY n m n nμ=-=+=+=+-． 为求解方便，将正整数n 视为正实数，则有22ˆ1414()60(60)dD dn n n n n μ'=+=-+--，令22140(60)n n -+=-，解得20n =，40m =，可进一步验证此时ˆμ的方差达到最小． 6.解 ⑴设X 为任取一张卡片的号码，则12~111N X NNN ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L，12(,,,)n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本．①由12N X EX +==，解得µ21M N X =-． ②似然函数111nn i L N N N =()==∏，1i x N ≤≤．L 为N 的单减函数，而N 的取值为 111max ,max 1,max 2,i i i i ni ni nx x x ≤≤≤≤≤≤++L ．当1max i i nN x ≤≤=时，L 取最大值，故µ1max L ii nN X ≤≤=． ⑵①µ12121212M N ENE X EX N +=-=-=-=，所以µM N为N 的无偏估计量． ②µ1max L ii nN X ≤≤=的分布律为 µ1{}{max }L i i nP N k P X k ≤≤===11{max }{max 1}i ii n i nP X k P X k ≤≤≤≤=≤-≤- 1()()n nk k N N-=-，1,2,,k N =L ， 所以µ11[()()]Nn n L k k k E N k N N =-=-∑121[()()()]n n n N N N N N N -=-+++<L ，由于µlim L n E NN →∞=，所以µL N 为N 的有偏估计量，且为渐进无偏估计量． 7.解 ⑴由于11E ()2n E X X μμ∧=+=，211()42n D D X X σμ∧=+=，所以22222E()E 022D σσμμμμμ∧∧∧-=+(-)=+=．⑵由于221n S nσ∧-=，且由第六章例3.2 知42222(),()1E S D S n σσ==-，所以 221n E n σσ∧-()=，24222212(1)n n D D S n n σσ∧(-)-=()=， 因此2222222E()()σσσσσ∧∧∧-=+-D E 44222222(1)1(21)()σσσσ---=+-=n n n n n n． 解答题（Ｃ类）1.解 此为2k =的情形．⑴ 由1222211,2()1()12=+⎧==⎪⎪⎨-⎪-==⎪⎩∑n ii X EX X X DX n θθθθ解得12,θθ的矩估计量分别为µµ12,MMX X θθ==+． ⑵ 由于X 的密度函数为()1221121,,;,0,,⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩x f x θθθθθθ其它故似然函数为12121212111(,),,1,2,,()ni ni L x i n θθθθθθθθ===≤≤=--∏L ，由此可得L 关于1θ为单增函数，关于2θ为单减函数．又1θ和2θ的取值范围分别为1211min ,max i i i ni nx x θθ≤≤≤≤≤≥，故当1211min ,max i i i ni nx x θθ≤≤≤≤==时，L 取得最大值，所以12,θθ的极大似然估计量分别为µµ**11211min ,max i i nL L i ni nX X X X θθ≤≤≤≤====． 2.解 ⑴此为2k =的情形．由于1~X E μθ-()，进而计算得2,EX DX θμθ=+=．由方程组221,1()n i i X X X n θμθ=⎧=+⎪⎨-=⎪⎩∑解得,q m 的矩估计量为,MM M X X θμθ∧∧∧===-=-．⑵似然函数为11()()/111(,)ni i i nx x ni L eeμθμθθμθθ=----=∑=()=∏=，,1,2,,i x i n μ≥=L ．由于(,)L q m 关于m 为单增函数，且1min i i nx μ≤≤≤，所以1min L i i nX μ∧≤≤=．又11ln (,)ln ()ln ()ni i nL n x n X θμθμθμθθ==---=-+-∑，令ln (,)L θμθ∂=∂2()0nnX μθθ---=，解得1min L L i i nX X X θμ∧∧≤≤=-=-．3.解 ⑴n X 的分布律为1000120012001000{}k k n n nC C P X k C --==， 0,1,2,,1000k =L ． ⑵由题意知，现从总体n X 中取了一个容量为1的样本，并得观测值1100k =，因此似然函数为100900120012001000(){100}n n nC C L n P X C -===． 现在的问题是：求n ∧，使得()L n ∧为最大值．由于10090012001200100010090012001120010001()(1200)(1000)(2200)1200000(1)(2100)(2200)100n n n n C C C L n n n n n C C L n n n n n nC -------+===---+． 当1001200000n ≤，即12000n ≤时，()1(1)L n L n ≥-，表明()L n 随着n 增大而不减少．当1001200000n ≥，即12000n ≥时，()1(1)L n L n ≤-，表明()L n 随着n 增大而不增加．因此当12000n =时，()L n 取最大值，所以n 的极大似然估计值为12000n ∧=．4.解 记11p θ=-，22p θθ=-，23p θ=，则~(,),1,2,3i i N B n p i =．于是22112233123[(1)()]ET a EN a EN a EN n a a a θθθθ=++=-+-+．若使T 是θ的无偏估计，则有22123[(1)()]n a a a θθθθθ-+-+=．因此得10a =，21321,0a a a a n -=-=，解得13210,a a a n===．由于123N N N n ++=，故1231()1N T N N n n=+=-，其中1~(,1)N B n -θ，故11221(1)(1)(1)N n DT D DN n n n nθθθθ--=-===．5.解 ⑴2n =，故12S X X ===-． 由于12(,)X X 为来自总体2(0,)X N σ:的一个简单随机样本，故由正态分布的性质知212~(0,2)X X N σ-．S的分布函数为12(){}}S F s P S s P X s =≤=-≤． 当0s <时，()0S F s =； 当0s ≥时，()}}2()1S s sF s P s P σσ=≤=≤=Φ-．从而S的概率密度为2222(),0,,0,()()0,00,0.s S S s s s f s F s s s σϕσσ-⎧⎧≥≥⎪'===⎨⎪<⎩<⎩⑵由于2222220()s s S ES sf s ds s ds e σσσ+∞--+∞+∞-∞====≠⎰⎰，所以S 不是σ的无偏估计．6.证 ⑴ 因为µ111111()22222E E X E X EX θθθθ++=-=-=-=-=，所以µ1θ是θ的无偏估计．⑵ 由于总体X 密度函数和分布函数分别为1,1,(;)0,,x f x θθθ<<+⎧=⎨⎩其它 和0,,(;),1,1, 1.x F x x x x θθθθθθ≤⎧⎪=-<<+⎨⎪≥+⎩故*1max ni i nX X ≤≤=概率密度为*11(),1()[(;)](;)0,nn n X n x x f x n F x f x θθθθθ--⎧-<<+==⎨⎩其它，，所以111(max )()1n i i nnE X x n x dx n θθθθ+-≤≤=⋅-=++⎰，从而有 µ211(max )(max )1111ii i ni n n n n nE E X E X n n n n θθθ≤≤≤≤=-=-=+-=++++，所以µ2θ是θ的无偏估计．。