第七章_典型例题

第七章 参数估计
2.定数截尾寿命试验
假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t 0 时 同时投入试验 , 试验进行到有 m 个( m 是事先规 定的, m n) 产品失效时停止, m 个产品的失效 时间分别为 0 t1 t 2 t m , 这里 t m 是第m 个产品的失效时间, 所得的样本 t1 , t 2 , , t m 称 为定数截尾样本 .

ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 参数 的最大似然估计量.
第七章 参数估计
最大似然估计的性质
设 的函数 u u( ) , 具有单值反函 ˆ 是 X 的概率密度函数 数 ( u) , u U , 又设 f ( x; ) ( f 形式已知) 中的参数 的最大似然估 ˆ ) 是 u( )的最大似然估计. ˆ u( 计, 则 u
( 0 1 ) 分布的置信区间
设有一容量 n 50 的大样本, 它来自(0 1) 分 布的总体 X , X 的分布律为 f ( x; p) p x (1 p)1 x , x 0, 1, 其中 p为未知参数, 则 p的置信水平为1 的置信区间是
b b 2 4ac b b 2 4ac , , 2 a 2 a
这是一个包含k 个未知参数1 , 2 ,, k 的方程组,
解出其中1 , 2 ,, k . ˆ1 , ˆ2 ,, ˆk 分别作为 1 , 2 ,, k 的 用方程组的解
估计量, 这个估计量称为矩估计 量.
第七章 参数估计
最大似然估计量
得到样本值 x1 , x2 ,, xn 时 , 选取使似然函数L( )
第七章 参数估计
置信区间和置信上限、置信下限
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 含有一个未知参 数 , 对于给定值 (0 1), 若由样本X 1 , X 2 ,, X n 确定的两个统计量
( X 1 , X 2 ,, X n )和 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 满足
第七章 参数估计
2 的一个置信水平为 1 的单侧置信区间
( n 1) S 2 0, 2 ( n 1) , 1
2 的置信水平为 1 的单侧置信上限
2 ( n 1 ) S 2 2 . 1 ( n 1)
第七章 参数估计
n 1S 2 ( n 1) , /2 n 1S . 12 / 2 ( n 1)
第七章 参数估计
两个正态总体
1.两个总体均值差1 2 的置信区间
(1) 1 和 2 均为已知,
2 2
1 2的一个置信水平为1 的置信区间
第七章 参数估计
求置信区间的一般步骤
(1) 寻求一个样本X 1 , X 2 ,, X n 的函数 : Z Z ( X 1 , X 2 ,, X n ; ) 其中仅包含待估参数 , 并且Z的分布已知 且不依赖于任何未知参 数(包括 ).
( 2) 对于给定的置信水平 1 , 定出两个常数a , b, 使P{a Z ( X 1 , X 2 ,, X n ; ) b} 1 .
2 2 2 其中 a n z , b ( 2 n X z ), c nX . /2 /2
第七章 参数估计
无偏性
若 X1 , X 2 ,, X n 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体X 的分布中的待估参数 , (是 的取值范围)
ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )的数学期望 若估计量 ˆ )存在, 且对于任意 有 E ( ˆ ) , 则称 E ( ˆ 是 的无偏估计量.
2 2 1 2 X Y z / 2 . n n 1 2
( 2) 1 和 2 均为未知,
2 2
1 2的一个置信水平为1 的近似置信区间
2 2 S S 1 2 X Y z / 2 . n n 1 2
第七章 参数估计
似然函数
1. 设总体 X 属离散型
L( ) L( x1 , x2 , , xn ; ) p( xi ; ),
i 1
n
L( )称为样本似然函数.
2. 设总体 X属连续型
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) f ( xi ; ),
截尾样本的最大似然估计
1. 定数截尾样本的最大似然估计 设有n个产品投入定数截尾试验, 截尾数为m, 得定数截尾样本 0 t1 t 2 tm , 取似然函数为 L( ) 1 me
1 [ t1 t 2 t m ( n m ) t m ]


.
s( t m ) ˆ . 得到 的最大似然估计值为 m
第七章 参数估计
第七章 参数估计 习 题 课
一、重点与难点
二、主要内容
三、典型例题
第七章 参数估计
一、重点与难点
1.重点
最大似然估计. 一个正态总体参数的区间估计.
2.难点
显著性水平 与置信区间.
第七章 参数估计
二、主要内容
矩估计量
最大似然估 计量 似 然 函 数
估 计 量 的 评 选
无偏性 有效性 相合性
2.方差 2 的置信区间
未知, 方差 2 的置信水平为 1 的置信区间
2 ( n 1) S 2 ( n 1) S 2 ( n 1) , 2 ( n 1) . /2 1 / 2
标准差 的一个置信水平为1 的置信区间
( 3) 1 2 2 , 但 2 为未知
2 2
1 2的一个置信水平为1 的置信区间
1 1 X Y t / 2 ( n1 n2 2) S w n n . 1 2
其中 S w
2
( n1 1) S1 ( n2 1) S 2 2 , Sw Sw . n1 n2 2
正态总 体均值 方差的 置信区 间与上 下限
最大似然估计的性质
截尾寿命 试验
求置信区间的 步骤
截尾样本的最 大似然估计
置信区间和上下限
第七章 参数估计
矩估计量
用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续 函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称 为矩估计法. 矩估计法的具体做法: 令 l Al , l 1, 2,, k ,
第七章 参数估计
单侧置信区间的定义
对于给定值 (0 1) , 若由样本X 1 , X 2 ,, X n 确定的统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) , 对于任意
满足
P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的单 侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧置 信下限.
有效性
ˆ1 和 ˆ2 , 如果 比较参数 的两个无偏估计量 ˆ1 的观察值在真值 在样本容量 n 相同的情况下 , ˆ2 更密集 , 则认为 ˆ1 较 ˆ2 有效 . 的附近较
由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好. ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 , , X n ) 与 ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 , , X n ) 设
ˆ 作为未知参数 的估计值, 取得最大值的 ˆ ) max L( x1 , x2 , , xn ; ). 即 L( x1 , x2 , , xn ;
( 其中 是 可能的取值范围)
ˆ 与样本值 x1 , x2 ,, xn有关, 记为 这样得到的 ˆ ( x1 , x2 ,, xn ), 参数 的最大似然估计值,
i 1 n
L( )称为样本的似然函数Biblioteka Baidu.
第七章 参数估计
正态总体均值方差的置信区间与上下限
单个正态总体
1. 均值 的置信区间
(1) 2为已知,
z / 2 . 的一个置信水平为1 的置信区间 X n ( 2) 2为未知,
S X t ( n 1 ) 的置信水平为 1 的置信区间 . /2 n
第七章 参数估计
( 3) 若能从 a Z ( X 1 , X 2 ,, X n ; ) b 得到等价 的不等式 , 其中 ( X 1 , X 2 ,, X n ) ,
( X 1 , X 2 ,, X n ) 都是统计量, 那么 ( , ) 就是 的一个置信水平为1 的置信区间.
第七章 参数估计
ˆ1 ) D( ˆ2 ), 都是 的无偏估计量, 若有 D( ˆ1较 ˆ2有效. 则称
第七章 参数估计
相合性
ˆ ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 为参数 的估计量, 若 ˆ ( X 1 , X 2 , , X n ) 若对于任意 , 当 n 时 , ˆ 为 的相合估计量. 依概率收敛于 , 则称
第七章 参数估计
2. 定时截尾样本的最大似然估计
设定时截尾样本 0 t1 t2 tm t0 ,
( 其中 t0 是截尾时间)
得似然函数为 L( ) 1 me
1 [ t1 t 2 t m ( n m ) t 0 ]


.
的最大似然估计值为
s ( t ) 0 ˆ . m
2
2
第七章 参数估计
1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 2 仅讨论总体均值 1 , 2 为未知的情况.
2
1 2 的一个置信水平为 1 的置信区间 2
2
2 S12 1 S1 1 2 . S F ( n 1, n 1) , S 2 F ( n 1 , n 1 ) 2 1 / 2 1 2 2 /2 1 2
第七章 参数估计
又如果统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ), 对于任 意 满足 P{ } 1 ,
则称随机区间 ( , ) 是 的置信水平为 1 的单 侧置信区间, 称为 的置信水平为 1 的单侧置 信上限.
第七章 参数估计
截尾寿命试验
1.定时截尾寿命试验
假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t 0 时 同时投入试验, 试验进行到事先规定的截尾时 间 t0 停止, 如试验截止时共有 m 个产品失效, 它们的失效时间分别为 0 t1 t 2 t m t0 , 此时 m 是一个随机变量, 所得的样本 t1 , t 2 , , t m 称为定时截尾样本.
P{ ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的置信 区间, 和 分别称为置信水平为 1 的双侧置信 区间的置信下限和置信 上限, 1 为置信水平.
第七章 参数估计
正态总体均值与方差的单侧置信区间
设正态总体 X 的均值是 , 方差是 (均为未知) ,
2
的一个置信水平为1 的单侧置信区间
S t ( n 1), , X n
的置信水平为1 的置信下限
S X t ( n 1). n