高二人教版数学选修教案空间向量与运算复习小结
高中数学人教A版选修2-1 空间向量与立体几何 章末小结与测评 课件
[ 典 例 1] 中
已 知 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 ，
则 x＝________，y＝________．
解：
1 从而有 x＝1，y＝4. 答案：1 1 4
[ 典例Байду номын сангаас2]
如图所示，已知空间四边形
ABCD，连接 AC，BD，E，F，G 分别是 BC， CD，DB 的中点，请化简(1) AB ＋ BC ＋ CD ； (2) AB ＋ GD ＋ EC ，并标出化简结果的向量．
解：(1) (2)∵E， F， G 分别为 BC， CD， DB 的中点．
[对点训练] 1．已知 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且|a|＝5，|b|＝6， a1＋a2＋a3 a·b＝30，则 ＝________． b1＋b2＋b3
解析：因为 a· b＝|a||b|· cos〈a，b〉 ，且|a|＝5，|b|＝6，a· b ＝30，所以 cos〈a，b〉＝1，即 a 与 b 同向共线，故可 设 a＝kb(k>0)，即 a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3，又|a|＝5，
证明：如图所示，以 A 为坐标原点，AB， AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建 立空间直角坐标系 Axyz.
设 PA＝AD＝a，AB＝b.则， (1)P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0，)，C(b，a， 0)，B(b，0，0)． ∵M，N 分别为 AB，PC 的中点，
b b a a ∴M2，0，0，N2，2，2.
又∵MN⊄平面 PAD，∴MN∥平面 PAD.
b (2)由(1)可知，P(0，0，a)，C(b，a，0)，M2，0，0，
D(0，a，0)．
数学 3.2.3用空间向量求空间角教学设计 新人教A版选修2 1 教案
立体几何中的向量方法——空间“角”问题（后附学案）一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。
用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。
二、学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。
三、教学目标知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。
认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。
能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。
情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式；2）空间角与向量夹角的区别和联系。
教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关 键： 建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.四、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价 五、教学手段：借助多媒体辅助教学 六、教学过程：教师教学活动学生参与活动设计意图 教师提出问题：1、异面直线所成的角、线面角、二面角的X 围分别是什么？2、两向量夹角的X 围是什么？3、向量的有关知识（1）两向量数量积的定义 （2）两向量夹角公式（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？（4）如何用直线的方向向量和平面的法向量证明线面间的平行与垂直？ 提问学生，学生一一作出回答。
数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
高二数学(新人教A版选修2-1)第三章知识点总结《3.1.1 空间向量及其线性运算》(学生版) Word版无答案
空间向量及其线性运算
．空间向量的概念及表示
()与平面向量一样，我们把空间中具有和的量叫做空间向量，向量的叫做向量的长度或模．
()与平面向量一样，空间向量也用表示．起点是，终点是的向量也可以记作.其模记作.
()的向量叫做零向量，记为；模为的向量叫做单位向量．
()的向量称为相等向量．与向量
的向量称为的相反向量，记为.
．空间向量的线性运算
空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样．
()加法满足平行四边形法则，加法和减法满足三角形法则，加法的交换律、结合律都成立．
()实数λ与向量的乘积λ是一个向量，λ时，λ与方向相同，λ时，λ与方向相反，λ时，λ＝，其方向是任意的，λ＝.
设λ、μ是实数，则有
①分配律：λ(＋)＝
②结合律：λ(μ)＝.。
高二数学复习考点知识与题型专题讲解1--- 空间向量及其线性运算
高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算【考点梳理】考点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB→，其模记为|a|或|AB→|.4．几类特殊的空间向量考点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA→＋AB→＝OB→减法a－b＝OA→－OC→＝CA→数乘当λ>0时，λa＝λOA→＝PQ→；当λ<0时，λa＝λOA→＝MN→；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.考点三1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．考点四共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a的有向线段OA→所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a 平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .【题型归纳】题型一：空间向量的概念1．下列说法正确的是（ ） A ．任一空间向量与它的相反向量都不相等B ．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D ．不相等的两个空间向量的模必不相等2．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量,a b 满足a b =，则a b =；③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC AC =；④若空间向量,,m n p 满足m n =，n p =，则m p =．其中正确的个数为（ ）． A ．4B ．3C ．2D ．13．下列说法正确的是（ ） A ．任一空间向量与它的相反向量都不相等B ．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C ．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D ．不相等的两个空间向量的模可能相等题型二：空间向量的线性运算（加减法）4．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且，M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．111222a b c -++B ．111222a b c ++C ．122121a b c +-D ．111222a b c -+5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1MB 相等的是（ ）A ．1122-+a b c B ．1122a b c +-C ．1122a b c -++D ．1122--+a b c6．如图，在三棱锥O ABC -中，E 为OA 的中点，点F 在BC 上，满足2BF FC =，记OA ，OB ，OC 分别为a ，b ，c ，则EF =（ ）A ．112233a b c -++B ．121233a b c -++C ．211322a b c -++D ．211322a b c --题型三：空间两个向量共线的问题7．向量(),1,1a x =-，()4,,2b y =，若//a b ，则x y +的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点,E F 分别在棱111,BB B C 上，1//EF AD ，113BE BB =，则1B F =（ ）A ．1B ．43C ．2D ．839．已知非零向量()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则“111222x y z x y z ==”是“//a b →→”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非必要非充分条件题型四：空间共面向量定理10．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是A ．OM OA OB OC =++B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++11．已知()2,1,3=-a ，()1,2,3b =-，()7,6,c λ=，若a ，b ，c 共面，则λ等于（ ）． A ．3-B ．3C ．9-D ．912．已知P 为空间中任意一点，A B C D 、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且2136PA PB xPC BD =-+，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．16D ．16-【双基达标】一、单选题13．下列说法正确的是（ ） A ．零向量没有方向B ．空间向量不可以平行移动C ．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量14．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（ ） A ．OA OB OC OP ++=-B ．OA OB OC OP ++= C ．2OA OB OC OP ++=D ．3OA OB OC OP ++=15．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c16．已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1- 17．有下列命题：①若a 与b 平行，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 所在的直线是异面直线，则a 与b 一定不共面； ③若a 、b 、c 两两共面，则a 、b 、c 一定也共面；④若a 与b 是平面α上互不平行的向量，点A α，点B α∉，则AB 与a 、b 一定不共面． 其中正确命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．318．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+19．已知空间向量()2,1,a m =-，()1,1,2b =-，()1,2,2c t =-，若a ，b ，c 共面，则m ＋2t ＝（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．－620．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 、N 分别在线段OA 、BC 上，且2OM MA =，2CN NB =，则MN 等于（ ）A ．121333a b c ++B ．121333a b c -+ C ．121333a b c +-D ．121333a b c -++21．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E 的两点为始点和终点的向量，分别写出：(1)AB 的相等向量，1AA 的负向量； (2)用另外两个向量的和或差表示11B D ；(3)用三个或三个以上向量的和表示CE （举两个例子）.22．如图，已知O ､A ､B ､C ､D ､E ､F ､G ､H 为空间的9个点，且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+，,R k m ∈.求证：(1)A ､B ､C ､D 四点共面，E ､F ､G ､H 四点共面； (2)AC EG ∥； (3)OG kOC =.【高分突破】一：单选题23．在三棱柱ABC A B C '''-中，已知点M ，N 分别为BB '和AC 的中点，则MN =（ ）. A ．()12AC AB BB '++B ．()12C C B C B A +'+'''' C ．()12AC CB BB '++D ．()12BB BA BC '-- 24．已知空间四边形ABCO 中，OA a =，OB b =，OC c =，点N 在BC 上，且2CN NB =，M 为OA 中点，则MN 等于（ ）A ．121233a b c -+B ．121233a b c -++ C ．111232a b c +-D ．121233a b c -+-25．在四棱锥A BCD -中，,M N 分别为,AB CD 的中点，则（ ） A ．111222MN AD AC AB =+-B ．111222MN AD AC AB =++ C ．111222MN AD AC AB =--+D ．111222MN AD AC AB =-+26．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上，若1311444AP AA AB AD =++，则11A PAC =（ ） A ．13B ．34C ．14D ．2327．如图，在四面体OABC 中，M 在棱OA 上，满足2OM MA =，N ，P 分别是BC ，MN 的中点，设OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示OP ，则（ ）A ．111444OP a b c =++B ．111234OP a b c =++ C ．111344OP a b c =++D ．111324OP a b c =++28．在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OP PA =，BQ QC =，则PQ 等于（ ）A ．211322a b c --+B ．211322a b c -++C ．211322a b c +-D ．211322a b c -+29．已知平面ABCD 外任意一点O 满足15133OA OB OC OD λλ=++-⎛⎫⎪⎝⎭，R λ∈．则λ取值是（ ）A ．12B ．25C ．13D ．16二、多选题(共0分)30．给出下列四个命题，其中是真命题的有（ ） A ．若存在实数x ，y ，使p xa yb =+，则p 与a ，b 共面； B ．若p 与a ，b 共面，则存在实数x ，y ，使p xa yb =+；C ．若存在实数x ，y ，使MP xMA yMB =+则点P ，M ，A ，B 共面；D ．若点P ，M ，A ，B 共面，则存在实数x ，y ，使MP xMA yMB =+． 31．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -，则下列向量相等的是（ ）A ．DO 与BOB ．AC 与DB C ．AD 与11B C D ．1A B 与1D C32．给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若a b =，则a b =或a b =-B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则a b =C ．在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC AC =D ．若空间向量m ，n ，p 满足m n =，n p =，则m p =33．有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则0.AB BC CD DA +++=B ．若两个非零向量AB 与CD 满足AB ＋CD ＝0，则//AB CD .C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.D ．对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若 OP xOA yOB zOC =++ (x ，y ，z R ∈)，则P ，A ，B ，C 四点共面.34．下列命题中正确的是（ ） A ．若AB ∥CD ，则AB ∥CDB ．a b a b +=+是,a b 共线的必要条件C ．,,A B C 三点不共线，对空间任一点O ，若111244OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面 D ．若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+（,PB PC 不共线），则1λμ+=是,,A B C 三点共线的充要条件35．下列说法正确的是（ ） A ．空间中任意两非零向量,a b 共面 B ．直线的方向向量是唯一确定的C ．若(),AB AC AD R λμλμ=+∈，则A ，B ，C ，D 四点共面D ．在四面体ABCD 中，E ，F 为CB ，CD 中点，G 为EF 中点，则113424AG AB AC AD =-++ 三、填空题(共0分)36．在长方体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c =，若用向量a 、b 、c 表示向量1AC ，则1AC =____________．37．已知向量()21,,2,(0,1,2),(1,0,0)a x b c ===，若,,a b c 共面，则x =________．38．设a 、b 、c 是不共面的向量，下列命题中所有正确的序号是________． ①若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥；②a 、b 、c 两两共面；③对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++；④a b +，b c +，c a +是不共面的向量．39．若A 、B 、C 、D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______． ①22AB BC CD DC +++；②2233AB BC CD DA AC ++++； ③AB CA BD ++；④AB CB CD AD -+-．40．如图，M 、N 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、CD 的中点，则向量MN 与AD 、BC ______．（填“共面”或“不共面”）41．已知长方体1111ABCD A B C D -，若O 为1AC 与1A C 的交点，则()113AB AD AA ++=___________AO . 42．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外任意一点O ，有111333OM OA OB OC =++，则A ，B ，C ，M 四点__________（填“共面”或“不共面”）． 四、解答题(共0分)43．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ､BD ､EF ，点E ､F ､G 分别是BC ､CD ､DB 的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.(1)AB BC CD ++； (2)AB GD EC ++.44．已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 是对角线1AC 中点，化简下列表达式：(1)1AA CB -； (2)11111AB BC C D ++； (3)1111222AD AB A A +-.45．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1AA 、BC 的中点．设1AA a =，AB b =，AD c =．(1)已知P 是11C D 的中点，用a 、b 、c 表示AP 、1A N 、1MP NC +；(2)已知P 在线段11C D 上，且1112C P PD =，用a 、b 、c 表示AP ．46．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是上底面1111D C B A 和侧面11CC D D 的中心，分别求满足下列各式的x ，y ，z 的值．(1)1AE xAD y AB z AA =++； (2)1AF xAD yAB zAA =++； (3)1EF xAD yAB zAA =++．47．如图，在空间四边形ABCD 中，F ，M ，G 分别是BD ，BC ，CD 的中点，化简下列各式：(1)()12AB BC BD ++； (2)()12AG AB AC -+； (3)AC GD MB ++．48．构造始点、终点都是平行六面体ABCD A B C D ''''-顶点的向量，使它与下列各式所表示的向量分别相等：(1)AB B C''+；(2)AB A D''-；(3)AB CB AA+；+' (4)BA BC CC'++；(5)AD CC BA+-'．【答案详解】1．C 【解析】 【分析】根据空间向量的基本概念及性质，结合各选项中空间向量的描述判断正误即可. 【详解】A ：零向量与它的相反向量相等，故错误；B ：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误；C ：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确；D ：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误； 故选：C 2．C 【解析】 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同，②错误；对于③，根据正方体的性质，在正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC 与向量11AC 的方向相同，模也相等，则11AC AC =，③正确；对于④，由向量相等关系可知m n p==，④正确．故选：C.3．D【解析】【分析】根据空间向量的定义，从向量的大小和方向两个方面依次判断选项；【详解】对A，零向量的相反向量是本身，故A错；对B，终点构成一个球，故B错；对C，向量不能比较大小，故C错；对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确；故选：D4．A【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222 MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选：A 5．A 【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量1MB ，即得答案. 【详解】111111()22MB MB BB DB AA AB AD AA =+=+=-+ 1122a b c =-+ , 故选;A 6．A 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法进行求解. 【详解】解：在三棱锥O ABC -中2BF FC =，E 为OA 的中点12EA a =，AB OB OA b a =-=-，222()()333BF BC OC OB c b ==-=- 所以12112()23233EF EA AB BF a b a c b a b c =++=+-+-=-++ 故选：A 7．A 【解析】 【分析】由//a b 可得b a λ=，进而求解即可. 【详解】因为//a b ，所以b a λ=，即42x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以222x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以0x y +=， 故选：A 8．D 【解析】 【分析】依题意可得11//BC AD ，从而得到1//BC EF ，即可得到11123B F BC =，从而得解； 【详解】解：由长方体的性质可得11//BC AD ，又1//EF AD ，所以1//BC EF ，因为113BE BB =，所以11113C F C B =，所以11123B F B C =，因为114B C AD ==，所以1113238B BC F ==；故选：D 9．A 【解析】 【分析】先讨论充分性，令111222x y zk x y z ===()0k ≠，可得出a k b →→=，从而确定充分性成立；再讨论必要性，举出反例当()()1,0,0,2,0,0a b ==，此时满足//a b →→，但“111222x y z x y z ==”不成立，确定必要性不成立；从而得出结论. 【详解】解：由题可知，非零向量()()111222,,,,,a x y z b x y z ==， 当“111222x y z x y z ==”成立，令111222x y z k x y z ===()0k ≠， 121212,,x kx y ky z kz ∴===，则()()()111222222,,,,,,a x y z kx ky kz k x y z ===，而()222,,b x y z →=，a kb ∴=，则//a b →→，故充分性成立； 若()()1,0,0,2,0,0a b ==，此时满足//a b →→， 由于分母不能为0，可知“111222x y z x y z ==”不成立，故必要性不成立； 所以“111222x y z x y z ==”是“//a b →→”的充分非必要条件. 故选：A.10．D【解析】【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在,λμ使得AM AB AC λμ=+，由此得出正确选项.【详解】不妨设()()()()0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1O A B C .对于A 选项，()1,1,3OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标31>，故M 不在平面ABC 上，故A 选项错误.对于B 选项，()231,3,6OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标61>，故M 不在平面ABC 上，故B选项错误.对于C选项，111113,, 222222OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M的竖坐标312>，故M不在平面ABC上，故C选项错误.对于D选项，11111,,1 33333OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M的竖坐标为1，故M在平面ABC上，也即,,,A B C M四点共面.下面证明结论一定成立：由111333OM OA OB OC=++，得()()1133OM OA OB OA OC OA-=-+-，即1133AM AB AC=+，故存在13λμ==，使得AM AB ACλμ=+成立，也即,,,A B C M四点共面.故选：D. 【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．C【解析】【分析】由a ，b ，c 共面，设c ma nb =+，列方程组能求出λ的值．【详解】∵a ，b ，c 共面，∴设c ma nb =+(实数m 、n )，即(76)(213)(123)m n λ=-+-，，，，，，， ∴272633m n m n m n λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得9λ=-． 故选：C ．12．B【解析】根据向量共面的基本定理当PD x yPB z PA PC =++时1x y z ++=即可求解.【详解】()111136226362PB x BD PB PA PC PC PC x PD PB PB x PD =-+=-+-=-+， 又∵P 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴11261x -+=，解得13x =-故选：B【点睛】方法点睛：设P 是平面上任一点，,,A B C 是平面上的三点，PC xPA PB y =+（,,P A B 不共线），则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=，把此结论类比到空间上就是：,,PA PB PC 不共面，若PD x yPB z PA PC =++，则,,,A B C D 四点共面1x y z ⇔++=．13．D【解析】【分析】根据零向量的规定可以确定A 错误；根据空间向量是自由向量可以确定B ；根据相等向量的定义可以确定C 、D.【详解】对于A ：零向量的方向是任意的，A 错误；对于B ：空间向量是自由向量可以平移，B 错误；对于C 、D ：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C 中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C 错误；D 符合定义，正确. 故选：D.14．D【解析】【分析】要使空间中的P 、A 、B 、C 四点共面，只需满足OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=即可.【详解】对于A 选项，OP OA OB OC =---，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面； 对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面； 对于D 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面. 故选：D.15．D【解析】【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】 由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+. 故选：D16．D【解析】【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决【详解】54BD PA PB PC λ=-+ ⇒54PD PB PA PB PC λ-=-+53PD PA PB PC λ=-+由A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线可得531λ-+=，解之得1λ=-故选：D17．A【解析】【分析】根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可；【详解】解：①若向量a ，b 平行，则向量a ，b 所在的直线平行或重合，因此①不正确； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 是共面向量，因此②不正确； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 不一定共面， 可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中x 轴、y 轴、z 轴方向上的单位向量，因此③不正确；④若a 与b 是平面α上互不平行的向量，即a 与b 可以作为平面α上的一组基底，点A α，点B α∉，但是直线AB 可以平行平面α，则AB 与a 、b 共面，故④错误． 故选：A18．A【解析】【分析】根据向量的线性运算依次验证各个选项即可.【详解】连接,AC BD 交于点O ，连接11,A O B O ，对于A ，11111111112222a b c BD AA B D AA B M BB BM -++=+=+=+=，A 正确； 对于B ，11111111112222a b c AC AA AC AA A M A A AM BM ++=+=+=-=≠，B 错误； 对于C ，()1111111111112222a b c AC AA AC AA AA A M A A A M --+=-+=-+=-=-+11AO OA BM =-=≠，C 错误；对于D ，()1111111111112222a b c DB AA D B AA MB BB B M B B -+=+=+=+=-+11BO OB BM =-=≠，D 错误.故选：A.19．D【解析】【分析】根据向量共面列方程，化简求得2m t +.【详解】2111-≠-，所以,a b 不共线， 由于a ，b ，c 共面，所以存在,x y ，使c xa yb =+，即()()()21,2,22,,1,11,t x m y -=--+，()()(),,21,2,22,,t x x y x y y m -+-=-，()()1,2,22,,2y t x y x x m y ---+=+，21222x y x y mx y t -+=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，()()13123222x y m t mx y t =-⎧⎪=-⇒⋅-+⋅-=⎨⎪+=⎩， 即26m t +=-.故选：D20．D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图形即可得解.【详解】根据题意可得:MN MO ON =+13OA OB BN =-++ 13OA OB BN =-++ 1133OA OB BC =-++ ()1133OA OB OC OB =-++- 121333OA OB OC =-++121333a b c =-++ 故选：D.21．(1)11A B ，DC ，11DC ；1A A ，1B B ，1C C ，1D D(2)111111B D B A A D =+，1111B D B E ED =+，111111B D B A D A =-，1111B D B E D E =-（答案不唯一）(3)11CE CB BB B E =++，1111CE CA AA A D DD D E =++++（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根据相等向量，相反向量的定义，结合图形分析求解.（2）由向量加减运算法则，结合图形分析求解.（3）由向量加法运算法则，结合图形分析求解.(1)解：AB 的相等向量有：11A B ，DC ，11DC ；1AA 的负向量即相反向量有：1A A ，1B B ，1C C ，1D D .(2)由向量加减运算法则得：111111B D B A A D =+，1111B D B E ED =+，111111B D B A D A =-，1111B D B E D E =-（答案不唯一）(3)由向量加法运算法则得：11CE CB BB B E =++，1111CE CA AA A D DD D E =++++（答案不唯一）22．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理证明即可，（2）由EG EH mEF =+，结合空间向量的减法和数乘运算可得EG k AC =，从而可证得结论，（3）由OG EG EO =-，结合（2）中的结论与OE kOA =可得证(1)因为AC AD mAB =+，EG EH mEF =+， 所以由共面向量定理可得,,AC AD AB 是共面向量，,,EG EH EF 是共面向量， 因为,,AC AD AB 有公共点A ，,,EG EH EF 有公共点E ， 所以A ､B ､C ､D 四点共面，E ､F ､G ､H 四点共面，(2)因为()EG EH mEF OH OE m OF OE =+=-+- ()()k OD OA km OB OA =-+-()k AD kmAB k AD mAB k AC =+=+=， 所以AC EG ∥；(3)()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+= 23．B【解析】【分析】由空间向量的加减法运算，寻找包含MN 的封闭图形即可. 【详解】MN MB BN=+12MB CC '=-,()()111222BN BA AN BA AC BA BC BA BC BA =+=+=+-=+所以()()112122MN MB BN CC BC BA C C B C B A ''''''=+=-+=+++ 故选：B24．B 【解析】 【分析】利用空间向量运算求得正确答案. 【详解】111=+=+232MN ON OM OB OA BN OA OB BC =---111121+()3223213233OA OA OB OC OB a OB OC b c -==+=+--+-+.故选：B 25．A 【解析】 【分析】结合空间几何体以及空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】因为,M N 分别为,AB CD 的中点，则12AM AB =,12CN CD =,MN AM AC CN =-++111222AB AC AC AD =-+-+ 111222AB AC AD =-++, 故选：A.26．C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可. 【详解】因为11111311114444144AA AB AD A P A A AP A A A A AB AD +=+=++++=，111AC A A AB BC A A AB AD =++=++， 所以有1114A P AC =，因此11A P AC =14， 故选：C 27．C 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则求解. 【详解】解：根据空间向量可知OP OM MP =+ 2132OA MN =+ ()2132OA MO ON =++ ()21123223OA OB OC OA ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦111344OA OB OC =++ OA a =，OB b =，OC c = 111344OP a b c ∴=++故选：C 28．B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 解：由题知，()11321132211322211322PQ PA AB BQOA OB OA BC OA OB OA OC OBOA OB OCa b c=++=+-+=+-+-=-++=-++ 故选：B. 29．A 【解析】 【分析】利用向量共面定理列方程直接求得. 【详解】由向量共面定理可知：115133λλ⎛+⎫ ⎝+=⎪⎭-，解得：12λ=. 故选：A 30．AC 【解析】 【分析】由向量共面定理可判断AC ；取a ，b 为零向量可判断B ；取M ，A ，B 三点共线，点P 与M ，A ，B 不共线可判断D.【详解】由向量共面定理可知A 正确； 当a ，b 为零向量可知B 错误；由向量共面定理可知,,MP MA MB 共面，又因为共始点，所以点P ，M ，A ，B 共面，故C 正确；当M ，A ，B 三点共线，点P 与M ，A ，B 不共线时可知D 错误. 故选：AC 31．CD 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可. 【详解】 由正四棱柱可知，A ：DO BO =，但DO 与BO 方向相反，故A 不符题意；B ：AC DB =，但AC 与DB 方向不同，故B 不符题意； C ：11AD B C =，且AD 与11B C 方向相同，故C 符题意； D ：11A B D C =，且1A B 与1D C 方向相同，故D 符题意. 故选：CD. 32．BCD 【解析】 【分析】依据向量相等的概念否定选项A ；依据向量相等的概念判断选项BCD 正确. 【详解】依据向量相等的概念，选项A 判断错误；若向量a 是向量b 的相反向量，则a b =.选项B 判断正确；依据向量相等的概念，在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC AC =.选项C 判断正确； 依据向量相等的概念，若空间向量m ，n ，p 满足m n =，n p =，则m p =.选项D 判断正确. 故选：BCD. 33．ABC 【解析】 【分析】根据空间向量的加法的几何意义、平行向量的定义，结合共面的定义逐一判断即可. 【详解】A ：因为0AB BC CD DA AC CD DA AD DA +++=++=+=，所以本选项命题正确；B ：由0AB CD AB CD +=⇒=-，所以//AB CD ，所以本选项命题正确；C ：根据平移，当空间向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量可以是共面向量，所以本选项命题正确；D ：只有当1x y z ++=时，P ，A ，B ，C 四点才共面，所以本选项命题不正确， 故选：ABC 34．ACD 【解析】 【分析】根据向量的共线向量定理、共面向量定理及平行概念，再结合充要条件即可求解. 【详解】对于A,由AB ∥CD ，则一定有AB ∥CD ，故A 正确； 对于B ，由,a b 反向共线，可得a b a b -=+，故B 不正确；对于C ，由,,A B C 三点不共线，对空间任一点O ，若111244OP OA OB OC =++，则11114444OP OA OB OA OC OA ⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1144AP AB AC =+，所以,,,P A B C 四点共面，故C 正确；对于D,若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+（,PB PC 不共线）， 当1λμ+=，即1μλ=-时，可得()PA PC PB PC λ-=-，即CA CB λ=，所以,,A B C 三点共线，反之也成立，即1λμ+=是,,A B C 三点共线的充要条件， 故D 正确. 故选：ACD. 35．AC【解析】 【分析】由空间中任意两个向量,a b 都共面判断A ；由直线的方向向量定义判断B ；由共面定理的推理判断C ；根据向量的平行四边形法则判断D. 【详解】对于A ，空间中任意两个向量,a b 都共面，故A 正确；对于B ，空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量，故B 错误；对于C ，因为(),AB AC AD R λμλμ=+∈，所以()()OB OA OC OA OD OA λμ-=-+-，(1)OB OC OA OD λλμμ=+--+，因为(1)1λμλμ--++=，所以A ，B ，C ，D 四点共面，故C正确；对于D ，因为E ，F 为CB ，CD 中点，G 为EF 中点，所以11(),()22AE AB AC AF AC AD =+=+，11411(4) 22AG AE AF AB AC AD =+=++，故D 错误；故选：AC 36．a b c ++ 【解析】 【分析】根据空间向量的加法法则求解即可 【详解】由题意，111AC AB BC CC AB AD AA a b c =++=++=++故答案为：a b c ++ 37．±1 【解析】 【分析】利用共面向量定理直接求解 【详解】因为向量()21,,2,(0,1,2),(1,0,0)a x b c ===共面,所以存在实数m 、n ，使得a mb nc =+,m ≠0,n ≠0,即()()21,,2,,2x n m m =,所以2122n x m m =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得21x m ==,所以x =±1.故答案为：±1. 38．②③④ 【解析】 【分析】对①，由向量的垂直没有传递性可得；对②，由空间任意两个向量都共面可得；对③，由空间向量基本定理可得；④由反证法可得.【详解】对①，若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 可能平行或者既不平行也不垂直，故①错误； 对②，空间任意两个向量都共面，故②正确；对③，由空间向量基本定理可得对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++，故③正确；对④，假设a b +，b c +，c a +共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1b c xa x +=-，所以,,a b c 共面，与已知矛盾，所以a b +，b c +，c a +是不共面的向量，故④正确. 故答案为：②③④. 39．②④ 【解析】 【分析】利用空间向量加法与减法法则化简①②③④中的向量，可得结果. 【详解】对于①，()()()22AB BC CD DC AB BC BC CD CD DC AC BD +++=+++++=+； 对于②，()()223323AB BC CD DA AC AB BC CD DA AC ++++=++++330AC CA =+=；对于③，AB CA BD CA AB BD CB BD CD ++=++=+=；对于④，()()0AB CB CD AD AB AD CD CB DB BD -+-=-+-=+=. 故答案为：②④. 40．共面【解析】 【分析】用AD 、BC 的线性关系表达出MN ，从而得到共面关系. 【详解】由图可知：()11111112222222MN MA AN AB AC AD AD AC AB AD BC =+=-++=+-=+. 则向量MN 与AD 、BC 共面. 故答案为：共面 41．23 【解析】 【分析】由题知12AC AO =，进而计算即可得答案. 【详解】解：如图，因为O 为1AC 与1A C 的交点，所以O 为1AC 的中点， 所以，12AC AO = 所以，()()11111123333AB AD AA AC AA AC AO ++=+==. 故答案为：2342．共面 【解析】 【分析】将AM 用,AB AC 表示即可得共面， 【详解】111112333333AM OM OA OA OB OC OA OB OC OA=-=++-=+-111111333333OB OA OC OA AB AC ⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为A ，B ，C 三点不共线 则,AB AC 不共线， 则,,AM AB AC 共面 则A ，B ，C ，M 四点共面. 故答案为：共面.43．(1)AB BC CD AD ++=，作图答案见解析 (2)AB GD EC AF ++=，作图答案见解析 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解.(1)解：AB BC CD AC CD AD++=+=；向量AD如图所示.(2)因为点E､F､G分别为BC､CD､DB的中点. 所以BE EC=，=，EF GD所以AB GD EC AB BE EF AF++=++=. 向量AF如图所示.44．(1)BC1(2)AD1(3)AM【解析】【分析】（1）根据11AA CC =，结合向量减法法则求解； （2）根据向量加法法则求解即可； （3）根据向量加法法求解即可. (1)解：111AA CB CC CB BC -=-= (2)解：111111111AB BC C D AC C D AD ++=+= (3)解：()11111111112222222AD AB A A AD AB A A AC A A +-=+-=- 1111111122222AC AA AC CC AC AM =+=+== 45．(1)12=++AP a c b ，112=-++A N a b c ，1313222+=++MP NC a b c (2)23=++AP a c b 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算可得. (1)因为M 、N 、P 分别是1AA 、BC 、11C D 的中点 所以，()11112AP AD D P AA AD AB =+=++12a cb =++；11A N A A AN =+112AA AB AD =-++12a b c =-++；1MP NC +()()11111MA A D D P NC CC =++++ 11111222AA AD AB AD AA =++++1331222AA AD AB =++ 313222a b c =++； (2)因为1112C P PD =，所以11123D P D C =所以1112233AP AD D P AA AD AB a c b =+=++=++． 46．(1)1,12x y z ===(2)11,2x y z ===(3)11,0,22x y z ===- 【解析】 【分析】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得11AE AA A E =+和()112AB E AD A =+，由此即可求出结果；（2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得AF AD DF =+和()112DF AB AA =+，由此即可求出结果；（3）因为EF AF AE =-，由（1），（2）可知，11122AD A EF A -=，由此即可求出结果. (1)解：由向量加法的三角形法则得，11AE AA A E =+，由平行四边形法则和向量相等得，()()111111122A B A D A AD A E B =+=+； 所以()1111111222AE AA A E AA AB AD AD AB AA =+=+=+++， 所以1,12x y z ===； (2)解：由向量加法的三角形法则得，AF AD DF =+， 由四边形法则和向量相等得，()()111122DF DC DD AB AA =+=+； 所以()11111222AF AD DF AD AB AA AD AB AA =+=++=++， 所以11,2x y z ===． (3)解： 由（1），（2）可知，1111112222EF AF AE AD AB AA AD AB AA ⎛⎫⎛⎫=-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122AD AA =-， 所以11,0,22x y z ===-. 47．(1)AG (2)MG (3)AF 【解析】 【分析】（1）由于G 是CD 的中点,所以()12BC BD BG +=，再根据空间向量的加法运算即可求出（2）由于M 是BC 的中点,所以()12AB AC AM +=，再根据空间向量的减法运算即可求出结果；（3）由于M ，G 分别BC ，CD 的中点，所以11,22MB CB GD CD ==，又F 是BD 的中点，()12CD CB CF +=，再根据空间向量的加法运算即可求出结果； (1)解：因为G 是CD 的中点，所以()12BC BD BG +=， 所以，()12AB BC BD AB BG AG ++=+=； (2)解：因为M 是BC 的中点,所以()12AB AC AM +=， 所以，()1=2AG AB AC AG AM MG -+-=； (3)解：因为M ，G 分别BC ，CD 的中点，所以11,22MB CB GD CD ==， 又F 是BD 的中点，()12CD CB CF +=， 所以， ()111222AC GD MB AC CD CB AC CD CB AC CF AF ++=++=++=+=. 48．(1)AC (2)DB (3)DB '(5)AC ' 【解析】 【分析】（1）由B C BC ''=，根据向量的加法法则可得答案.. （2）由A D AD ''=，根据向量的减法法则可得答案.（3）由,AB DC BB AA ''==，根据向量的加法法则可得答案.. （4）由C D C D '='，BC AD =，根据向量的加法法则可得答案.. （5）由AD BC =，根据向量的加，减法法则可得答案.. (1)在平行六面体ABCD A B C D ''''-中， B C BC ''= 所以AB B C AB C BC A ''=++= (2)在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，A D AD ''= 所以AB A D AB B AD D ''=-=- (3)在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,AB DC BB AA ''== 所以AB CB AA CB BB D DC B ''+++='=+ (4)在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，C D C D '='，BC AD = 所以BA BC CC BA AD DD BD ='''++++= (5)在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AD BC = 所以AD CC BA BC A CC BA BC C BA '+-+-'''=-==。
人教版高中数学选修(2-1)-3.1《空间向量的数量积运算》参考教案2
3.1.3空间向量的数量积运算教学目标:1.知识目标：掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；运用公式解决立体几何中的有关问题。
2.能力目标：比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。
3.情感目标：通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。
教学重点：空间向量数量积公式及其应用。
教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。
授课过程：一、复习引入1.“数量积”概念提出的背景：如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所作的功 ||||cos W F S F S θ=⋅=，为了在数学中体现“功”的这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念。
2.平面向量的数量积定义：我们把 ||||cos a b θ叫做向量a b 与的数量积(或内积，点积)记作a b ⋅，其中,0a b θθπ≤≤是和的夹角范围是。
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量02πθ≤<时，0a b ⋅>，2πθπ<≤时，0a b ⋅<，2πθ=时，0a b ⋅=:00a ⋅=规定 3.平面向量的数量积的几何意义 cos .a b a a b a b θ⋅数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积4.平面向量的数量积的主要性质设,a b 是两个非零向量(1)0a b a b ⊥⇔⋅=数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件 (2),;,a b a b a b a b a b a b ⋅=⋅⋅=-⋅当与同向时当向量与反向时2,a a a a a a ⋅==⋅特别地或 用于计算向量的模 (3)cos a ba b θ⋅=⋅用于计算向量的夹角5.平面向量数量积满足的运算律(1)交换律：a b b a ⋅=⋅(2)对数乘的结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅(3)分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅注意:数量积不满足结合律，即：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅二、新课引入这时候我们发现平面向量的数量积运算已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题了,这时我们需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度.1.两个空间向量数量积的定义 因为空间任意的两个向量总是共面的,所以对于两个非零向量,a b ，总可以在空间中任取一点O ，,,OA a OB b ==使从而可知AOB a b ∠角为向量与的夹角，,a b 〈〉记作：0,a b π≤〈〉≤范围：,,a b b a 〈〉〈〉＝， ,,2a b a b a b π〈〉=⊥特别的:时则称与互相垂直，并记作： 注意:,,,OA OB OA OB OA OB π<->=<->=-<> cos ,,,cos ,a b a b a b a b a b a b a b 〈〉⋅⋅=〈〉叫做空间两向量的数量积，记作：即2.空间向量的数量积的几何意义:cos ,.a b a a b a b a b ⋅〈〉数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积空间向量的数量积的主要性质：设,a b 是两个非零向量(1)0a b a b ⊥⇔⋅=数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件。
人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(教师版)
人教版高中数学空间向量及其运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ． 4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示[坐标表示数量积 a ·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ＝λb (b ≠0) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用OA →，OB →，OC →表示OG →，MG →等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和． 3.数量积的应用：(1)求夹角，设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一 空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D ''''-. 求证:2.AC AB AD AC '''++=【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,,,AC AB AD AB AB AA ''∴=+=+.AD AD AA ''=+∴AC AB AD ''++()()()AB AD AB AA AD AA ''=+++++ 2().AB AD AA '=++又∵,,AA CC AD BC ''==,AB AD AA AB BC CC AC CC AC ''''∴++=++=+=2.AC AB AD AC '''∴++=练习１：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：AP →,A 1N →【答案】(1)AP →=a+c+2b ；(2)A 1N →=-a+b+2c练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12类型二 共线定理、共面定理的应用例2：射线AB 、AC 、AD 不共面,连结BC 、CD 、DB ,取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ,如图3-1-20,试判断四边形EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH 是平行四边形. ∵1()2EH EA AH BA AD =+=+=111,(),222BD FG FC CG BC CD BD =+=+=.EH FG ∴=∵E 点不在FG 上,∴EH ∥FG ,且EH =FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形. 解法2:∵11(),22HG HD DG AD DC AC =+=+= 11(),22EF EB BF AB BC AC =+=+=∴.HG EF =又H 点不在EF 上, ∴HG ∥EF ,且HG =EF .∴四边形EFGH 是平行四边形.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-,若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,),则n m -的值为______.【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【答案】3-类型三 空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． 【解析】（1）设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN =AN -AM =12（AC +AD ）-12AB =12（q+r-p ）， ∴MN ·AB =12（q+r-p ）·p =12（q ·p+r ·p-p 2）=12（a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2）=0. ∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）由（1）可知MN =12（q+r-p ） ∴|MN |2=MN 2=14（q+r-p ）2=14［q 2+r 2+p 2+2（q ·r-p ·q-r ·p ）］=14[a 2+a 2+a 2+2（22a -22a -22a ）=14×2a 2=22a . ∴|MN |=22a,∴MN 的长为22a. (3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r)，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r)·(q －12p) ＝12(q2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p)＝12(a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60°)＝22a . 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝22a . ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23. 【答案】（1）见解析（2）MN 的长为22 a.（3）异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23练习1：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求BD →1与AC →夹角的余弦值． 【答案】设AB =a,AD =b.1AA =cBD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1. ∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝66.1．（2014·广东卷）已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)【答案】B 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A3.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B4.O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－143C.145D ．2【答案】D2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF→的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2 D.34a 2 【答案】C3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能 【答案】B4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3)【答案】B5.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°6.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．【答案】657能力提升（2）7.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】111244a b c ++ 8.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．【答案】锐角9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．【答案】解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。
2019-2020年高中数学 3.1.5 空间向量运算的坐标表示优秀教案 新人教A版选修2-1
2019-2020年高中数学 3.1.5 空间向量运算的坐标表示优秀教案新人教A版选修2-1学习目标：1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。
2、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。
3、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。
学习重点：1、利用空间向量的坐标运算证明线线垂直或平行。
2、利用空间向量的坐标运算求两点间的距离。
学习难点：利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角。
学习方法：类比法和启发探究学习过程：一、复习回顾平面向量坐标运算已知=(,)，=(,)，写出下列向量的坐标表示+=(+，+)-=(-，-)=(，)=//=0⊥=0设，则或如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么||(a x =-平面内两点间的距离公式)co s θ =222221212121y x y x y y x x +++=（）二、新授：我们知道，向量在平面上可用有序实数对(x ，y)表示，在空间则可用有序实数组表示。
类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示。
空间向量的直角坐标运算：1．设＝，＝，则⑴＋＝；⑵－＝；⑶λ＝；⑷·＝.上述运算法则怎样证明呢？（将＝＋＋和＝＋＋代入即可）2．两个向量共线或垂直的判定：设＝，＝，则⑴//＝λ，；⑵⊥·=0练习1：已知，求：⑴＋. ⑵3－； ⑶6. ； ⑷·.练习2：已知，且，则x ＝ .练习3： 已知 ， 且，则（ ）A. B.C. D.3．向量的模：设a ＝，则｜a ｜＝利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：4．空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，则A ，B 两点间的距离(AB d AB a ==5、两个向量夹角公式cos ,||||⋅<>=⋅a b a b a b ++= 这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个公式，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜、＞＝1时，与同向；当cos ＜、＞＝－1时，与反向；当cos ＜、＞＝0时，⊥．练习： 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.三、典型例题例5. 如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ 解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系O-xyz ，则13(1,1,0),1,,1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B E11(0,0,0),0, 1.4⎛⎫ ⎪⎝⎭，D F 1311,,1(1,1,0)0,,1,44⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BE1110, 1(0,0,0)0, 1.44⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，DF 1111150011,4416⎛⎫=⨯+-⨯+⨯= ⎪⎝⎭BE DF111717||,||.==BE DF 1111111515cos ,.17||||17<>===⋅BE DF BE DF BE DF 因此与所成的角的余弦值是。
人教版【高中数学】选修2-1第三章空间向量的线性运算讲义
案例（二）---精细精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 空间向量的概念在学习空间向量的概念时,要对比平面向量的有关概念进行理解记忆.(1)向量:具有大小和方向的量叫做向量.(2)相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫做零向量,记为0.(4)向量的长度:表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作|a|.(5)基线:有向线段所在的直线叫做向量的基线.(6)共线向量:如果空间一些向量的基线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,如a 平行于b,记作a ∥b.注意:①共线向量(或平行向量)是指向量的基线相互平行或重合,平行向量的基线可能重合,共线向量的基线可能不重合.②共线向量(或平行向量)的方向可能同向,也可能反向.如下右图a ∥b ∥c ∥d.知识点二空间向量的加法、减法和数乘向量运算我们可把平面向量的线性运算法则,推广到空间,用来定义空间向量的加法、减法和数乘向量运算.(1)平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则,对空间向量也同样成立.(2)平面向量求和的多边形法则,对空间向量也同样成立.如上右图1AD =1AA +11B A +B B 1+BC +1CC +11D C .这也就是说,表示相加向量的有向线段依次首尾相接,构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和为了便于记忆,常把这个和向量叫做“封口向量”(3)空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样,满足如下运算律:①加法交换律:a+b=b+a ；②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)；③分配律:(λ+u)a=λa+ua ；λ(a+b)=λa+λb.(4)两个结论:①有限个向量求和,交换相加向量的顺序其和不变;②三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.说明 1.对于空间任意两个非零向量a、b,当它们的基线不在任何同一个平面内(两基线异面),那么总可以通过平移,把它们移到同一平面内,这说明任意两个向量都可以通过平移,转化为平面向量.2.向量数乘的运算除了满足分配律及结合律外,还有以下些性质:(1)若a≠0,λ1a=λ2a,则λ1=λ2；(2)若λ≠0,λa1=λa2,则a1=a2;(3)λ1a+λ2a+…+λn a=(λ1+λ2+…λn)a；(4)λa1+λa2+…+λa n=λ(a1+a2+…+a n).典型例题分析题型1 空间向量的有关概念【例1】回答下列问题:(1)单位向量一定相等?(2)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量?(3)相等的非零向量,若起点不同,则终点一定不同,这一判断正确吗?(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内?解析利用向量的有关概念进行判断.答案(1)不一定.单位向量是指模为1,方向却是不确定的,所以单位向量不定相等.两个非零向量相等必须具备两个条件:一是模相等,二是方向相同.两个条件缺一不可.(2)是.对照向量相等必须具备的两个条件,这两个条件中,并没有对相应的有向线段的起点加任何限制因此看来,表示相等向量的有向线段的起点是很自由的,相等向量的起点位置具有任意性.(3)正确.因为在起点不同的情形下,如果终点相同,那么这些向量就不平行,即这些向量的方向就不相同,这与向量相等的定义相矛盾.(4)正确.在空间任取一点,过此点引两个与已知非零向量相等的向量,而这两个向量所在的直线相交于此点,两条相交直线确定一个平面,所以两个非零向量可以平移到同一平面内.规律总结 本题共4个小题,解答每一小题都需对所学的知识有一个准确、全面的理解.掌握好概念及相美的基础知识,是学好数学的重要基础.【变式训练1】 回答下列问题:（1）模为0的向量是零向量?（2）方向相反的两个单位向量互为反向量?（3）起点相同且模相等的向量终点在同一圆周上?（4）a-a=0?答案 (1)正确;(2)正确;(3)不正确;(应该是在同一球面上)(4)不正确.(应该为a-【例2】 如下图,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA 1=1长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,(1)写出所有的单位向量；(2)写出与相等的所有向量；(3)写出与AD 相反的所有向量；(4)写出模为5的所有向量.解析 应用单位向量、相等的向量、相反向量、向量的模的概念及长方体的性质 解.即在空间我们将向量对应线段的长度称为该向量的模;将模为1的向量称为单位向量;将模相等且方向相同的向量称为相等的向量;将模相等而方向相反的向量称为相反向量. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,因为长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA 1=1,AB 1=52122=+.答案 (1)单位向量共有:1,A 1,1BB ,B 1,1CC ,C 1,1DD ,D 1这八个；(2)与AB 相等的向量共有,DC ,11C D ,11B A 式这三个；(3)与相反的所有向量共有:,,11B C ,11A D 这四个；(4)模为5的向量共有:A 1,1,1AB ,B 1,AC ,CA ,,,1CD ,D 1,1DC ,D C 1,11C A ,11A C ,11D B ,11B D 这十六个.错因分析 对向量的相关概念理解不透,考虑问题不仔细、不全面,导致答案中出现漏解情况如(1)中易漏掉A A 1,B B 1,C C 1,D D 1这四个解:(3)中易漏掉这个解等.【变式训练2】 如右图,在棱长为1的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点的两点为始点和终点的向量中,(1)单位向量共有多少个?(2)写出与相等的所有向量；(3)写出与AC 相反的所有向量；(4)写出模为2的所有向量.答案 (1)18个；(2)11B A ；(3)CA ,11C ；(4)因为AB 1=2212=+BB AB ,所以满足要求的向量共有:1AB ,A B 1,B A 1,1BA ,1AC ,C 1,A 1,1CA ,1BC ,C 1,B 1,1CB 这十二个题型2 空间向量的线性运算【例3】 如右图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算结果为1BD 的是( ) (1)(1111A A D A -)-；(2)(1+)-11C D ； (3)(-)-1DD ； (4)(A A D B 111-)+1DD . A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)解析 在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解.答案 (1)(A A D A 111-)-=11D A +1AA +=+1AA +11D A =1BD ；(2) (+1BB )-11C D =+1BB +11C D =1BC +11D C =1BC +11D C =1BD ；(3) (-)-1DD =+D 1=+1DD -21=1BD -21DD ≠1；(4) (11D B -A 1)+1DD =11D B +1+1DD =11D B +1BB +1=1BD +1DD ≠1BD . 因此(1)(2)两式的运算结果为向量1BD ,而(3)(4)运算的结果不为1BD ,故应选择A.规律总结 在对向量进行加、减法运算时,一定要运用其运算法则及运算定律来简化,特别要注意的是将某些向量进行平移,将其转化到同一平面中去求解,另外,本题是一个选择题,因此,在计算出(1)(2)两式结果后,就已得到选项,故(3)(4)两式不必计算,这样可提高解题速度,体现“小题”小解或巧解的特点【变式训练3】 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简1BB +AB -DA 等于 ( ) A.1AC B.1CA C.1BD D.1DB答案 1BB +-=1BB ++=1CC +=1AC ,故选择A.【例4】如右图,已知平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′,点M 是棱AA ′的中点,点G 在对角线A ′C 上且CG:GA ′=2:1,设=a,=b,=c,试用向量a,b,c 表示,A C ',,解析 要想用a,b,c 表示出所给向量,只需结合图形,充分运用空间向量加、减法的运算律及平行四边形法则或多边形法则即可.(1)由平行四边形法则,得=+=a+b ；(2)由平行四边形或三角形法则,得A C '=+C C '=(a+b)+c=a+b+c ；(3）同上,得=+AM =++21C C '=a+b+21c ； (4)由(2),得=32=32(a+b+c). 答案 (1)CA =a+b ； (2)A C '=a+b+c ； (3)CM =a+b+21c ； (4)=32(a+b+c). 规律总结 在用已知向量表示未知向量的时候,要注意寻求两者之间的关系,通常可将未知向量进行一系列的转化,将其转化到与已知向量在同一四边形(更多的是平行四边形)或三角形中,从而可以建立已知与未知之间的关系式。
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】 如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
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课题：空间向量与运算复习小结 课时：10 课型： 一、复习目标 1．了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量； 2．理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离. 二．知识梳理 1．求角： （1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角； （2）直线和平面所成的角： ①找出射影，求线线角；
②求出平面的法向量nr，直线的方向向量ar，设线面角为θ,则
|cos,|||||||nasinnana
rrrr
rr.
（3）二面角： ①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）； ②求两个法向量的夹角（或补角）. 2．求距离
（1）点M到面的距离||cosdMNuuuur （如图）就是斜线段MN在法向量nr方向上的正投影. 由||||cos||nNMnNMndruuuurruuuurr
得距离公式：||||nNMdnruuuurr （2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离； （3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量nr和连接两异面直线上两点的向量NMuuuur
，再代上面距离公式.
三、双基练习
1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是 （ ） ①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z） ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z） ③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z） ④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z） A.3 B.2 C.1 D.0
_ a _ n N
M
H θ
a n θ 2． 直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ ） A．1030 B. 21 C．1530 D．1015
3．已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k= ___ 4． 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点坐标和长度分别是 ， .
◆答案提示： 1. C； 2. A； 3. 57； 4.（2，1，25），dAB=17 四、典例题解析 【例1】 【2015全国二卷19．（本题满分12分）】
如图，长方体1111ABCDABCD中,=16AB，=10BC，18AA，点E，F分别在11AB，
11CD上，114AEDF．过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方
形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值．
19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4515． 解析：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图： （Ⅱ）作EMAB，垂足为M，则14AMAE，18EMAA，因为EHGF为正
方形，所以10EHEFBC．于是226MHEHEM，所以10AH．以D为坐标原点，DAuuur的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(10,0,0)A，(10,10,0)H，(10,4,8)E，(0,4,8)F，(10,0,0)FEuuur，(0,6,8)HEuuur．设
D D1 C1 A1 E F A B C B1 (,,)nxyzr是平面EHGF的法向量，则0,0,nFEnHEruuurruuur即100,680,xyz所以可取
(0,4,3)nr．又(10,4,8)AFuuur，故45cos,15nAFnAFnAFruuurruuurruuur．所以直线AF与
平面所成角的正弦值为4515． 考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．
A1
AB
1
B
D1DC1CFE
HGM 【例2】（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCDABCD-中，侧棱1AAABCD底面,ABAC,1AB=,12,5ACAAADCD====,且点M和N分别
为11CDBD和的中点. （Ⅰ）求证：//MN平面ABCD； （Ⅱ）求二面角11DACB--的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱11AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1
AE
的长. 17．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ） 31010； （Ⅲ） 72. 解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)ABCD，
又因为,MN分别为1BC和1DD的中点，得11,,1,(1,2,1)2MN.
（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)nr为平面ABCD的一个法向量，50,,02MNuuuur， 由此可得，0MNnuuuurr，又因为直线MN平面ABCD，所以//MN平面ABCD （Ⅱ）1(1,2,2),(2,0,0)ADACuuuuruuur，设1(,,)nxyzur为平面1ACD的法向量，则 111
00nADnAC
uruuuururuuur，即22020xyzx，不妨设1z，可得1(0,1,1)nur，
设2(,,)nxyzuur为平面1ACB的一个法向量，则21200nABnACuuruuuruuruuur，又1(0,1,2)ABuuur，得 2020yzx
，不妨设1z，可得2(0,2,1)nuur 因此有12121210cos,10nnnnnnuruururuururuur，于是12310sin,10nnuruur， 所以二面角11DACB的正弦值为31010. （Ⅲ）依题意，可设111AEABuuuruuuur，其中[0,1]，则(0,,2)E，从而(1,2,1)NEuuur，又(0,0,1)nr为平面ABCD的一个法向量，由已知得
22211cos,3(1)(2)1NEnNEnNEn
uuurruuurr
uuurr，整理得2430，
又因为[0,1]，解得72， 所以线段1AE的长为72. 考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用. 五、提炼总结以为师 1.求线线角、线面角、二面角的方法： 2．求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：
六、同步练习 1.【2015高考】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.
CBADGE
HFM
E
AB
CD
（1）请将字母,,FGH标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线//MN平面BDH （3）求二面角AEGM的余弦值. 18．（1）点F、G、H的位置如图所示. MDC
AB
EF
HG
（2）详见解析.（3）223 解析：（1）点F、G、H的位置如图所示.
MDC
AB
EF
HG
（2）连结BD，设O为BD的中点. OMDC
AB
EF
HGN
因为M、N分别是BC、GH的中点，所以//OMCD，且12OMCD， //NHCD，且12NHCD，所以//,OMNHOMNH，所以MNHO是平行四边形，
从而//MNOH，又MN平面BDH，OH平面BDH，所以//MN平面BDH. （3）连结AC，过M作MPAC于P. OMDC
AB
EF
HG
PKN
在正方形ABCDEFGH中，//ACEG，所以MPEG. 过P作PKEG于K，连结KM，所以EG平面PKM， 从而KMEG.所以PKM是二面角AEGM的平面角.
设2AD，则1,2CMPK，在RtCMPV中，2sin452PMCMo.
在RtKMPV中，22322KMPKPM.所以cosPKPKMKM223. 即二面角AEGM的余弦值为223. 2.【2015山东】如图，在三棱台DEFABC中，2,,ABDEGH分别为,ACBC的中点.
（Ⅰ）求证：//BD平面FGH； （Ⅱ）若CF平面ABC，,ABBCCFDE ，45BACo ,求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小. 17．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）60o
分析：（Ⅰ）思路一：连接,DGCD，设CDGFOI，连接OH，先证明//OHBD，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD平面HDF；思路二：先证明平面 //FGH平