相似三角形经典题型
相似三角形判定经典题型
相似三角形判定经典题型题型一、相似三角形判定的灵活运用例、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD·AB。
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为[ ] A.1 B.2 C.3 D.4题型二、相似三角形判定的开放性问题例、如图，已知△ABC和△DEF，∠A=∠D=90°，且△ABC与△DEF不相似，问是否存在某种直线分割，使△ABC所分割成的两个三角形与△DEF所分割成的两个三角形分别对应相似？（1）如果存在，请你设计出分割方案，并给出证明；如果不存在，请简要说明理由；（2）这样的分割是唯一的吗？若还有，请再设计出一种．321点拨：本题主要考察对全等三角形和相似三角形的理解与应用，根据条件注意到的一个条件式，进而得到y与x的一）小题中，则要从果溯源，要使△BEH∽△BAE题型四、相似三角形的判定与性质综合运用例、如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE 。
（1）试说明BE·AD=CD·AE（2）根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想（只须写出有线段的一组即可）。
题型五、相似在实际中的应用例、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3 米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．（1）求路灯A的高度；（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？例2、已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去量(如图)，若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm．求此零件的厚度x．题型六、相似方案的设计如图，已知Rt△ABC与△DEF不相似，其中∠C、∠F为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似？如果能，请设计出一种分割方案，并说明理由。
完整版)相似三角形题型归纳
完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。
证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。
点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。
证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。
证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。
4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。
5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。
证明DE=BE·CE。
6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
证明AE∶ED=2AF∶FB。
7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。
证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。
8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。
证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。
9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。
过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。
证明：AG∶GB=CP∶PD。
1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。
专题03相似三角形的应用综合(五大类型)(题型专练)(原卷版)
专题03 相似三角形的应用综合（五大类型）【题型1 利用相似三角形测量高度平面镜测量法】【题型2 利用相似三角形测量高度影子测量法】【题型3 利用相似三角形测量高度手臂测量法】【题型4 利用相似三角形测量高度标杆测量法】【题型5 利用相似三角形测量距离】【题型1 利用相似三角形测量高度平面镜测量法】1．（2022秋•郑州期末）如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为1.5m，小明的站的位置到镜子上标记的距离是3.2m，旗杆的底部到小明的位置是19.2m，则旗杆的高度为（）A．19.2B．16C．9D．7.5 2．（2023•龙华区一模）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米B．28米C．24米D．16米3．（2023•深圳模拟）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m 4．（2023•青原区校级一模）为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践．根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）9m的水平地面点E处，然后一同学沿着直线BE后退到点D，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3m，该同学身高CD＝1.6m．请你计算树（AB）的高度．5．（2023•新城区校级一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E 到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，本板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．6．（2023•灞桥区校级模拟）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明同学对该塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15米放在D处（即AD＝15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN﹒（平面镜的大小忽略不计）7．（2022秋•大名县校级期末）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF ＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【题型2 利用相似三角形测量高度影子测量法】8．（2021秋•蓝山县期末）如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为米．9．（2022•兴化市模拟）如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM为m．【题型3 利用相似三角形测量高度手臂测量法】10．（2022秋•房山区期中）在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离AB、同学到树干的距离AC，以及露出笔的长度DE，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比等于相似比．（填写定理内容）11．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B 和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为m．12．（2023•长安区校级二模）如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度AB，有以下两种方案：方案一：如图1，在距离塔底B点45m远的D处竖立一根高1.5m的标杆CD，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离EF＝0.8m，DF＝1m，AB⊥BM，CD ⊥BM，EF⊥BM，点B、D、F、M在同一直线上．方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在离善导塔45m的地方（即点E到AB的距离为45m）．他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm．请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度AB．我选择方案．【题型4 利用相似三角形测量高度标杆测量法】13．（2023•费县二模）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝10.8m，则建筑物CD 的高是m．14．（2021秋•吉林期末）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为．15．（2022秋•花都区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是多少？16．（2023•雁塔区一模）为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离DN＝14m，人的眼睛与地面的高度AB＝1.6m，人与标杆CD的水平距离BD＝2m，B、D、N三点共线，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，求大树MN的高度．17．（2023•碑林区校级一模）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为26m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG ＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C 在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑AB的高度．18．（2022秋•高新区期末）某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．19.（2023•碑林区一模）杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝5米，GC＝60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB．20．（2022秋•益阳期末）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．21．（2022秋•雁塔区校级期中）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋，一天，小明和小刚去青龙守游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小明在地面上放一个镜子，恰好在G处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端B．已知EF＝3.2米，CF ＝3米，CG＝2米，点小C、F、G在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB ⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．【题型5 利用相似三角形测量距离】22．（2022秋•开封期末）如图，某“综合实践”小组为估算开封护城河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点A和点C，使AC＝30m，且AC ⊥AP，再过点C作CD⊥BC，且CD＝20m，PD与AC交于点B，若测得AB ＝20m，则河宽AP的宽度为（）A．40m B．30m C．20m D．10m 23．（2022秋•上海月考）如图，A，B是河边上的两根水泥电线杆，C，D是河对岸不远处的两根木质线杆，且电线、线及河两边都是平行的．O是A、B对岸河边上一点，且O与A、C在同一直线上，与B、D也在同一直线上，已知AB＝35m，CD＝20m，OD＝20m，根据所给的已知条件是否一定能求出河的大约宽度能（填能或不能或不一定）．24．（2023•山西模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和点C，观察者在点E．适当调整，使得AB与EC 都与河岸BC垂直．此时AE与BC相交于点D，若测得BD＝100m，DC＝50m，EC＝45m，请利用这些数据计算河的宽度．25．（2022秋•济南期末）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．26．（2023•西吉县一模）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38m，求AB的长．27．（2023•莲湖区模拟）如图，为了测量平静的河面的宽度（EP），在离河岸D点3m远的B点，立一根长为1.5m的标杆AB，已知河岸高出水面0.6m，即DE＝0.6m．在河对岸的水里有一棵高出水面4.6m的大树MP，大树的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN．经测量此时A，D，N三点在同一直线上，并且点M，P，N共线，若AB，DE，MP均垂直于河面EP，则河宽EP 是多少米？。
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
相似三角形常考题型
2 .如图，在ABCD 中，NABC,NBCD 的平分线BE, CF 分别与AD 相交于点E 、F, BE 与CF 相交于点G,若AB=3, BC=5, CF=2,则BE 的长为（ ）3 .如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，△PEF、^PDC 、^PAB 的面积分别为 S ]、S 2、S 3，若 AD=2, AB=2 "3，/A=60°,则 S ]+S 2+S 34 .如图，已知矩形ABCD, AB=6, BC=8, E, F 分别是AB, BC 的中点，AF 与DE 相交于I,与 BD 相交于H,则四边形BEIH 的面积为（ ）1.如图，D, E 分别是^ABC 边AB, BC 上的点，AD = 2BD, BE=CE,若S ^ABC =30，则四边形BEFD 的面积为（ ）5.如图，DE是AABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N,则S^^： S四边形从顺等于( )6.如图，在4ABC中，AB=AC=1, BC=上，在AC边上截取AD=BC,连接BD.2(1)通过计算，判断AD 2与AC-CD的大小关系;(2)求NABD的度数.7.如图4, 4ABC与ADEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则UAD： BE的值为()8.如图，已知4ABC是面积为,：M的等边三角形，4ABC S A ADE, AB=2AD,Z BAD=45°, ACAFAC 交于点F,则CF 的值为（）10.如图，矩形ABCD 中，AB=3, BC=4,动点P 从A 点出发，按A-B-C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA=x ，点D 到直线PA 的距离为y,则y 关于x 的函数图象大致是（）11 .如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动， 然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x,两个 三角形重叠面积为y,则y 关于x 的函数图象是（ ）与DE 相交于点F ,则dEF 的面积等于 （结果保留根9.如图，4ABC 中，AB=AC, D 为BC 中点，在BA 的延长线上取一点E,使得ED=EC, ED 与A12.如图，菱形ABCD中，AB=AC,点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF,连接CE、AF 交于点H，连接DH交AG于点O.则下列结论①△ABF04CAE,②NAHC=120°,③AH+CH=DH,④AD2=OD-DH中，正确的是______ .13.如图，在矩形ABCD中，AD=6, AELBD,垂足为E, ED=3BE,点P、Q分别在BD, AD上，则AP+PQ的最小值为()B C14.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于O,NCOD=6O°,点E是BC边上的动点，连结DE,OE．(1)求证：ACOD是等边三角形；(2)如图1,当DE平分NADC时，试证明OC二EC,并求出NDOE的度数;（3）如图2,当DE平分NBDC时，试证明0E2 + OD2 = DE2.15.问题背景已知在4ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A、B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点.小王同学发现可以由以下两种思路解决问题： 思路一：过点D 作DG 〃BC,交AC 于点G,先证GH 二AH,再证GF 二CF,从而证得结论成立； 思路二：过点E 作EMLAC,交AC 的延长线于点M,先证CM 二AH,再证HF 二MF,从而证得结论 成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评 分)；(2)类比探究 _ 如图2,若在4ABC 中，ZABC=90°, ZADH=ZBAC=30°,且点D, E 的运动速度之比是■；工 1,求磐的值；Hi 1(3)延伸拓展 如图3,若在4ABC 中，AB=AC,NADH=NBAC=36°,记H_=m,且点D, E 的运动速度相等，AC试用含m 的代数式表示器(直接写出结果，不必写解答过程).Hi 1且点D, E 的运动速度相等.求证：HF=AH+CF. 如图1,若4ABC 是等边三角形，DHXAC,。
相似三角形题型
相似三角形题型
相似三角形是初中数学中非常重要的一部分，以下是一些常见的相似三角形题型：
1. **利用相似三角形求长度**。
在这种题型中，通常会给出一个或多个相似三角形，并询问某个特定边的长度。
解决此类问题通常需要找出相似三角形的对应边，并利用其比例关系来求解。
2. **利用相似三角形求角度**。
这类问题通常会涉及一个或多个相似三角形的角度。
通过相似三角形的对应角相等这一性质，可以很容易地求解出未知角度。
3. **利用相似三角形求面积**。
根据相似三角形的面积比等于对应边的平方比这一性质，我们可以通过已知的相似三角形面积来求出未知的相似三角形面积。
4. **利用相似三角形设计问题**。
这类问题通常会设计一个实际问题场景，例如建筑设计、机械设计等，然后通过引入相似三角形来解决这个问题。
5. **利用相似三角形解决实际问题**。
例如，在物理学中，可以利用相似三角形来解决一些力学问题；在地理学中，可以利用相似三角形来计算一些地理数据等。
以上只是相似三角形题型的部分例子，实际上，相似三角形的应用非常广泛，可以用来解决很多实际问题。
在解决相似三角形问题时，一定要灵活运用相似三角形的性质和定理，以及相关的数学知识和方法。
三角形相似题型大全
三角形相似题型大全
三角形相似是数学几何中的一个重要概念，涉及到的题型非常多样。
以下是几种常见的三角形相似题型：
1. 平行线型：当两条平行线被第三条线段所截，所形成的三角形是相似的。
这是三角形相似的一个基本题型。
2. 角相等型：当两个三角形中有两个对应的角相等时，这两个三角形是相似的。
这也是一个比较常见的题型。
3. 边长比例型：当两个三角形的对应边长之间存在一定的比例关系时，这两个三角形是相似的。
这种题型在解决实际问题时经常出现。
4. 综合型：结合以上几种情况，可能需要在多个条件下判断三角形是否相似。
这种题型较为复杂，需要综合考虑各种因素。
在解决三角形相似问题时，需要灵活运用三角形相似的判定定理和性质定理，同时结合题目给出的条件进行推理和计算。
此外，对于一些比较复杂的题型，可能需要采用一些特殊的解题方法，如代数法、几何法等。
希望这些题型能够帮助你更好地理解和掌握三角形相似的知识，提高解决实际问题的能力。
相似三角形性质完整的题型+答案
相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。
4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。
变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。
A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。
(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。
变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。
(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。
(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。
例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。
变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。
A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2答案：D 。
例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。
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(1）以上各种判定均适用.(２)如果一个直角三角形得斜边与一条直角边与另一个直角三角形得斜边与一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(３)直角三角形被斜边上得高分成得两个直角三角形与原三角形相似.注:射影定理:在直角三角形中，斜边上得高就是两直角边在斜边上射影得比例中项。
每一条直角边就是这条直角边在斜边上得射影与斜边得比例中项。
如图,Rt △A ＢＣ中，∠ＢAC ＝９0°,AD 就是斜边B Ｃ上得高，则ＡD 2＝BD ·DC,AB 2＝ＢD ·BC ,AC 2＝ＣD ·BC 。
知识点8 相似三角形常见得图形1、下面我们来瞧一瞧相似三角形得几种基本图形:（1）如图:称为“平行线型”得相似三角形(有“Ａ型”与“Ｘ型”图)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△A ＤE ∽△ABC 称为“斜交型”得相似三角形。
（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”) （3） 如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”) （4）如图：∠1=∠2,∠B ＝∠D ，则△A ＤＥ∽△A ＢC ，称为“旋转型”得相似三角形。
2、几种基本图形得具体应用：(1)若DE ∥BC(A 型与Ｘ型)则△ADE ∽△ABC(２)射影定理 若CD 为R ｔ△AB Ｃ斜边上得高(双直角图形)则Ｒt △ＡＢC ∽Rt △ACD ∽Ｒt △ＣBD 且ＡC 2＝ＡD ·AB ，ＣD 2=AD ·ＢD ，B Ｃ2=BD ·ＡB;(３)满足1、ＡC 2=A Ｄ·A Ｂ,２、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠AD Ｃ,都可判定△A ＤC ∽△ACB ．（4)当或ＡD ·ＡＢ=A Ｃ·AE 时，△A ＤＥ∽△ＡCB.知识点9:全等与相似得比较:三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)相似判定得预备定理 两角对应相等 两边对应成比例,且夹角相等 三边对应成比例AB C D E 12A A BB CC D DE E 12412E C A BDE A B C (D )E A D C B (1)E A B C D (3)DB C A E (2)C D EAB(3）位似图形得对应边互相平行或共线、位似图形得性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心得距离之比等于相似比、注：位似图形具有相似图形得所有性质、画位似图形得一般步骤：(1) 确定位似中心(位似中心可以就是平面中任意一点)(2) 分别连接原图形中得关键点与位似中心,并延长(或截取)、（3）根据已知得位似比,确定所画位似图形中关键点得位置、（4) 顺次连结上述得到得关键点,即可得到一个放大或缩小得图形、①②③④⑤注:①位似中心可以就是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外,或在图形上（图形边上或顶点上)。
②外位似:位似中心在连接两个对应点得线段之外,称为“外位似”（即同向位似图形)③内位似:位似中心在连接两个对应点得线段上,称为“内位似”(即反向位似图形）(5) 在平面直角坐标系中，如果位似变换就是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0),原图形上点得坐标为(x,ｙ）,那么同向位似图形对应点得坐标为(ｋx,ky）, 反向位似图形对应点得坐标为(-kｘ，-ky),经典例题透析类型一、相似三角形得概念ﻫ１.判断对错: ﻫ（１）两个直角三角形一定相似吗?为什么?(2)两个等腰三角形一定相似吗?为什么？ﻫ(3）两个等腰直角三角形一定相似吗?为什么？ﻫ(4)两个等边三角形一定相似吗?为什么?(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么?ﻫ思路点拨:要说明两个三角形相似,要同时满足对应角相等,对应边成比例、要说明不相似，则只要否定其中得一个条件、解:（1）不一定相似、反例ﻫ直角三角形只确定一个直角,其她得两对角可能相等，也可能不相等、所以直角三角形不一定相似、ﻫ（２）不一定相似、反例等腰三角形中只有两边相等,而底边不固定、因此两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边得比不一定等于对应腰得比,所以等腰三角形不一定相似、ﻫ(３)一定相似、在直角三角形ABＣ与直角三角形A′B′C′中ﻫ设ＡB=a，A′B′=b,则BC=a,B′Ｃ′=b,AC＝ａ，A′C′=ｂﻫ∴ﻫ∴AＢC∽A′B′Ｃ′ﻫ(4）一定相似、因为等边三角形各边都相等，各角都等于６0度,所以两个等边三角形对应角相等,对应边成比例,因此两个等边三角形一定相似、ﻫﻫ(5）一定相似、ﻫ全等三角形对应角相等,对应边相等，所以对应边比为１，所以全等三角形一定相似,且相似比为1、举一反三(１)图中△ABC 与△ADE 就是否相似？为什么?(2)求古塔得高度.解:(１)△ABC ∽△ADE.∵BC ⊥ＡE,ＤＥ⊥AE∴∠ＡＣB=∠AED ＝90°∵∠A=∠A∴△A ＢC ∽△ＡD Ｅﻫ (２)由(1)得△ＡＢＣ∽△ADE∴ﻫ ∵ＡC=2ｍ，ＡE=2+18=20m,BC ＝1、6m ﻫ ∴∴DE=16m答:古塔得高度为16ｍ、ﻫﻫ 【变式２】已知：如图,阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1、5m 宽得亮区ＤE 、亮区一边到窗下得墙脚距离C Ｅ=1、2ｍ,窗口高AB ＝1、8m,求窗口底边离地面得高ＢC ？ﻫ 思路点拨:光线ＡD ／／B Ｅ,作E Ｆ⊥DC 交A Ｄ于Ｆ、则,利用边得比例关系求出BC 、ﻫ 解:作ＥF ⊥D Ｃ交AD 于F 、因为AD ∥B Ｅ,所以又因为,所以,所以、ﻫ 因为ＡB ∥ＥF, AD ∥B Ｅ,所以四边形ABEF 就是平行四边形,所以EF=AB ＝1、8ｍ、ﻫ 所以m 、类型五、相似三角形得周长与面积８.已知：如图,在△A ＢＣ与△ＣＡＤ中,DA ∥BC,ＣD 与AB 相交于E 点,且ＡE ︰EB=1︰2,EF ∥BC 交ＡC 于F 点,△ADE 得面积为1，求△BCE 与△AEF 得面积. ﻫ思路点拨:利用△ADE ∽△ＢCE ，以及其她有关得已知条件，可以求出△BCE 得面积.△AB Ｃ得边AB 上得高也就是△BCE 得高，根据AB ︰BE=3︰2，可求出△ABC 得面积.最后利用△AEF ∽△ＡBC,可求出△AE Ｆ得面积.ﻫ 解：∵ DA ∥BC,ﻫ ∴ △ADE ∽△BC Ｅ.ﻫ ∴ S △A ＤE ︰Ｓ△BCE ＝ＡE 2︰B Ｅ2．ﻫ ∵ AE ︰ＢＥ=1︰２,ﻫ ∴ Ｓ△AD Ｅ︰S △ＢCE ＝１︰4．∵ S △ＡＤE ＝1,ﻫ ∴ Ｓ△BCE =4．ﻫ ∵ S △ABC ︰Ｓ△BCE =AB ︰B Ｅ＝3︰2,∴ S △ABC ＝6.ﻫ ∵ E Ｆ∥BC,∴ △ＡEF ∽△A ＢC.ﻫ ∵ A Ｅ︰ＡB=1︰3，∴ S △AEF ︰S △ＡBC =AE ２︰AB 2=1︰9．ﻫ ∴ S △ＡEF ＝＝．ﻫ 总结升华：注意,同底(或等底)三角形得面积比等于这底上得高得比；同高(或等高)三角形得面积比等于对应底边得比.当两个三角形相似时,它们得面积比等于对应线段比得平方，即相似比得平方.ﻫﻫ 举一反三ﻫ 【变式1】有同一三角形地块得甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200与１∶500，求:甲地图与乙地图得相似比与面积比、解:设原地块为△ＡBC,地块在甲图上为△A 1B １Ｃ1，在乙图上为△A 2B ２C 2、ﻫ ∴ △ABC ∽△Ａ1B 1C 1∽△Ａ2B ２C ２ﻫ 且，，∴,ﻫ∴、ﻫ【变式2】如图,已知：△ＡBC中,AB=５,ＢC＝3,AC＝4，ＰＱ//ＡB,P点在ＡＣ上(与点A、Ｃ不重合),Q点在BC上．ﻫ（1)当△PＱC得面积与四边形ＰABQ得面积相等时，求CP 得长；(2）当△PQC得周长与四边形PAＢQ得周长相等时，求CP得长;解:(1)∵Ｓ△PQＣ=S四边形ＰABQﻫ∴S△PQC:S△ＡＢC=1:2ﻫ∵PQ∥AＢ，∴△PＱC∽△AＢＣﻫ∴Ｓ△PQC :S△ABC=(CP：CA）2＝1：２∴CP2=42×，∴CP=、ﻫ(2)∵S△PQＣ得周长与四边形PABQ得周长相等，ﻫ∴PC+CQ=PA+AB＋QＢ=（△ABC得周长)＝6ﻫ∵PQ∥AB, ∴△PＱＣ∽△ABC ∴,即: ﻫ解得,ＣP=类型六、综合探究ﻫ9.如图,AB∥CD,∠A=9０°,AＢ=2,AＤ=5,P就是AＤ上一动点(不与A、D重合),PE⊥BＰ,P为垂足,PE交DC于点Ｅ,（1)设AP=ｘ,DE=ｙ,求ｙ与x之间得函数关系式，并指出ｘ得取值范围;(2)请您探索在点P运动得过程中,四边形AＢED能否构成矩形？如果能,求出ＡP得长;如果不能，请说明理由、ﻫ解：(1）∵ＡＢ∥ＣD ,∴∠A+∠D=1８0°∵∠Ａ=90°, ∴∠D=90°,∴∠A＝∠D又∵PＥ⊥BＰ,∴∠AＰB+∠DPE＝9０°,又∠AＰB+∠ＡBP=９0°,∴∠ＡBP=∠ＤPE,∴△ＡBP∽△DPE∴,即∴ﻫ(２)欲使四边形ＡBＥＤ为矩形,只需DＥ=AB=２,即，解得ﻫ∵,∵均符合题意,故AＰ=1或4、ﻫ总结升华:(1）求以线段长为变量得两个函数间得关系时,常常将未知线段与已知线段作为三角形得边,利用相似三角形得知识解决、(２)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点得特殊位置,再转化为具体得数值,通过建立方程解决，体现了数形结合得思想、１0.如图，在△ＡBC中,ＢC＝2,BC边上得高ＡD＝1,P就是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF ∥AC交AB于Ｆ、ﻫ(１)设BP=，△PEF得面积为,求与得函数解析式与得取值范围;(2)当P在BＣ边上什么位置时,值最大、解:（1)∵ＢC=2,ＢC边上得高AＤ=1∴△ＡBＣ得面积为１ﻫ∵ＰF∥AC,∴△ＢFＰ∽△BACﻫ∴,∴同理△CEP∽△CABﻫ∴,ﻫ∴∵ＰE∥AB, PＦ∥AC,∴四边形PFＡE为平行四边形ﻫ∴∴、ﻫ（2)ﻫ∴当时,即P点在BＣ边得中点时，值最大、ﻫ总结升华:建立三角形得面积与线段长之间得函数关系，可考虑从以下几方面考虑:。