北京交通大学2020年大学生数学竞赛试题及解答
第12_19届北京市大学生数学竞赛全部试题解答
.
n=0
n=0
1
1 ( 1 )2
5． ∫ tdt∫ e x dx =
.
0t
6．设 y = 1, y = ex , y = 2ex , y = ex + 1 都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方 π
程为
.
∑ 7．设数列{xn} 满足： n sin
1 n +1
<
xn
<
(n
+ 2) sin
.
3．设
f
(
x)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨
x
2
0≤ x≤ 1 2 ，而
⎪⎪⎩1− x
1 < x ≤1 2
∑ s(x)
=
a0 2
+
∞ n=1
an
cos nπ
x
， −∞ < x < +∞
，其中
1
an = 2∫ f (x) cos nπ xdx, n = 0,1, 2, ，
0
则 s(− 9) =
.
2
4．设
y
=
f
(x)
x→0
x
∫ 3．设不定积分
(
x2 x+
+ ax + 2 1)(x2 +1)
dx
的结果中不含反正切函数，则
a
=
.
k
∑ 4．
lim
n→∞
n k =1
n
en
2k
+ ne n
=
.
5．函数 u = x2 + y2 + z2 在点 M (1,1,1) 处沿曲面 2z = x2 + y2 在点 M 处的外法线方向 n 的方向导数
第12~18届北京市大学生数学竞赛全部试题解答.
.
0
10 ． 设 C 是 从 球 面 x2 + y2 + z2 = a2 上 任 一 点 到 球 面 x2 + y2 + z2 = b2 上 任 一 点 的 任 一 条 光 滑 曲 线
∫ (a > 0,b > 0) ，则 r3(xdx + ydy + zdz) = C
，其中 r = x2 + y2 + z2 .
1 ，则 lim
n +1
n→∞
1 n +1
n k =1
xk
=
.
8．设
f
(x)
在点
x
=
0
可导，且 lim x→0
cos x −1 e f (x) −1
= 1 ，则
f
′(0)
=
.
1
∫ 9．设 f (x) 满足 f (tx)dt = f (x) + x sin x, f (0) = 0 且有一阶导数，则当 x ≠ 0 时，f ′(x) =
=
2
，则
a
=
.
2．若 ∂2z = 0 ，且当 x = 0 时， z = sin y ；当 y = 0 ， z = sin x ，则 z =
.
∂x∂y
∑ 3． ∞ n +1 =
n=0 n!
.
∞
∞
∑ ∑ 4．设幂级数 an (x +1)n 的收敛域为 (−4, 2) ，则幂级数 nan (x − 3)n 的收敛区间为
ai ≠ 0 ，证明：若 f (x) 有 n 个相异的实根，则 ak−1ak+1 < 0 .
第十三届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛
第十七届北京市大学生数学竞赛试题
第十七届北京市大学生数学竞赛试题一、填空题（每小题2分，共20分）1、设严格单调函数)(x f y =二阶连续可导，其反函数为)(y x ϕ=，且2)1(,1)1(='=f f ，3)1(=''f ，则_________)1(=''ϕ。
2、设单位向量βα,的夹角为θ（20πθ<<），b a ,为正常数，则__________|]||||[|1lim2=+-+→βαβαθθb a b a 。
3、设24211)(xx x f ++=，则______)0()100(=f 。
4、________|sin |20060=⎰πdx x x 。
5、已知有整数)4(>n n 使极限])27[(lim 4x x x an x -+++∞→存在且不为零，则______=a 。
6、设1,0>>p a n 且1)1(lim 1=-∞→n npn a e n ，若∑∞=1n na收敛，则p 的范围为______。
7、圆柱222a y x =+夹在y z =与xoy 平面之间的面积为________。
（24a ）8、设当0>u 时)(u f 一阶连续可导，且0)1(=f ，又二元函数)(y x e e f z -=满足1=∂∂+∂∂yz x z ，则________)(=u f 。
9、x y x y =''-'''1的通解为________。
10、设函数)0(1tan 1),(≠+=xy xyxyxy y x f ，则___),(lim lim ),(lim lim 00=-→∞→∞→→y x f y x f x y y x 。
二、（10分）设22,tan cos )(sin ππ<<-++='x x x x x f ，且1)0(=f ，求)(x f 。
三、（10分）设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任意实数b a ,，都有等式)()()(a f e b f e b a f b a +=+成立，又1)0(='f ，求)(x f 。
北京交通大学数学建模习题参考解答
习题(以下三题中任选一题，一周内交)请严格按照“合理假设，数学模型的建立和求解，解释验证”的步骤来回答下列问题.1. 花旗银行的一则低息现金贷款广告：2.借50,000元, 分36期(月) 还清, 每月还1,637元.问：该银行的贷款月利率为多少？为了求出月利率需要解什么样的数学问题，能够手算吗?参考解答：1. 假设：月等额还款，36期(月) 还清。
2. 模型建立：同讲课 ⎩⎨⎧==-+=-0,...,2,1,0,)1(1N n n A N n x r A A 3. 模型求解：过程同讲课[]rr x r A N N 1)1()1(00-+-+= [][]1)1()1)(11(0,1)1()1(000-+-+-+=-+-+=N N N N r x r r A r x r r A 016371)1(637,51)1(000,5001)1)(()1(3637010=+-+-+=+-++-++r r x r A x r A N N 为了求r 可以先画函数 []1)1()1(0-+-+N N r x r r A 或 x r A x r A N N +-++-++1)1)(()1(010 的图形，看其零点的大概位置，例如可用命令Plot[}01.0,0,{],1)1[()1(0r r x r r A N N -+-+]得到 0大约在0.08或0.09附近，再用求根命令FindRoot[}]08.0,{,0]1)1[()1(0r r x r r A N N ==-+-+]得到 r = 0.00916892.4. 解释验证：把 36,50000,0.009168920==≈N A r 代入1)1()1(0-++=r rr r r A x即得 23735748`1636.99988=x . 如果你会算，那么见到另一个银行的广告为36,500000.009,0==≈N A r ，你就知道月还款一定少于1637。
如果你又见到另一个银行的广告36,500000.009,0==≈N A r 你就知道月还款一定多于 1637. 你就会明白银行的广告，为什么总要隐藏一些信息.2. 甲从一个借贷公司贷款60000美元, 年利率为12%, 25年还清. 假设是月等额还款(即一月 为一期), 问他每月要还多少美元? (答案: 约632美元. 总还款额为189600美元.)这时有另一家借贷公司出来跟甲说：“我可以帮你提前2年还清贷款，并且每个月不需要 多交还款”. 该借贷公司提出的条件是: 1. 每半个月交一次还款 ，每次还款额是原来的一 半(这似乎并没有增加甲的负担); 2. 因为每半个月就要给甲开一张收据, 文书工作多了, 所 以要求甲预付3个月的还款，即先付 632⨯3 = 1896美元, (这似乎也有一定的道理).甲想了想：提前两年还清贷款就可以少还632⨯24= 15168美元, 而先付的1896美元只 是15168美元的八分之一. 于是甲认为这是一笔合算的买卖.试问这另一家借贷公司是会赔钱(它是一家慈善机构！)还是仍然可以赚钱?把原来的一期(一个月)拆分为相等的两期, 从而将每期的还款额x 替换成 x/2, 每期的利率 r 替换成 r/2 确实能够提前还清吗? 如果是, 能提前多少时间还清?参考解答：1. 假设：月等额还款。
第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及详细解答
第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及答案（非数学类，2011）一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分。
）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭；解：方法一（用两个重要极限）：()()20003221sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12limlimlim sin 11331cos 3222sin sin lim lim 1lim x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ee eee→→→-∙---→→------→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====方法二（取对数）：0202000322sin 1sin 1ln lim11cos lim1cos 201sin cos 12limlimlim 11333222sin lim x x x x x xx x x xx xx x x xx x x x x eex ee e e→→→→→-⎛⎫ ⎪⎝⎭--→----⎛⎫== ⎪⎝⎭====（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 解：方法一（用欧拉公式）令111...12n x n n n n=++++++ 111ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n nn n n n+++-++++++-+由欧拉公式得（），则（），其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量，-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞∴=方法二（用定积分的定义）111lim lim lim()12n n n n x n n n→∞→∞→∞=++++111lim ()111n n n nn→∞=++++101ln 21dx x==+⎰（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx 。
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）本试卷共2页，共6题。
全卷满分100分。
考试用时150分钟。
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1) xx xx x x 222220sin cos sin lim -→解：x x x x x x 222220sin cos sin lim -→4222220cos sin lim x xx x x x x -+-=→2040)c o s 1)(cos 1(lim ))(sin (sin lim x x x x x x x x x x +-++-=→→221261?+?-=32=(2) [()]61311tan 21lim x e xx x x x +--++∞→解： [()]61311tan 21lim x e xx x xx +--++∞→ （令x t 1=）362201)t a n 21(l i m t t e t t t t t +--+=+→3620111)21(lim t t e t t t +-+-+=+→ 3201)21(l i m t e t tt -+=+→2206)22(lim te t t t t ++=+→+∞=(3) 设函数),(y x f 有二阶连续偏导数, 满足0222=+-yy y xy y x yy x f f f f f f f 且0≠y f ,),(z x y y =是由方程),(y x f z =所确定的函数. 求22xy解：依题意有，y 是函数，x 、z 是自变量。
将方程),(y x f z =两边同时对x 求导， x y ffyx+=0，则 yx f f x y-=??，于是 ()yx f f x x y -=??222)()(yyy yx x yxxx y f x yf f f x y f f f ??+-??+-=2)()(yyx yy yx x yx yxxx y f f f f f f f f f f f ----=3222yyyy xy y x yy x f f f f f f f f +--=0=(4) 求不定积分()dx e xx I x x 111+-+=?解：()dx e x x dx eI xx xx 12111++-+=?xx x x xdedx e 11+++=?()xx xe d 1+?=C xexx +=+1(5) 求曲面az y x =+22和222y x a z +-=)0(>a 所围立体的表面积解：联立az y x =+22，222y x a z +-=，解得两曲面的交线所在的平面为a z =，它将表面分为1S 与2S 两部分，它们在xoy 平面上的投影为222:a y x D ≤+，在1S 上 dxdy a y a x dS 2222441++=dxdy a y x a 2222)(4++=在2S 上 dxdy yx y y x x dS 2222221++++=dxdy 2= 则 d x d y ay x a S D )2)(4(2222+++=??22202024a r d r a r a d a πθπ+=?? )26155(2+-=a π 二、（本题13分）讨论dx xx x x220sin cos α+?∞+的敛散性，其中α是一个实常数. 解：记 xx x xx f 22sin cos )(α+=① 若0≤α，)1(2)(>?≥x xx f ；则dx x x x x 220sin cos α+?∞+发散② 若20≤<α，则11≤-α，而)1(2)(1≥?≥-x x x f α；所以dx xx x x220sin cos α+?∞+发散。
第二十二届北京市大学生数学竞赛(经管类)答案
( ) ∫∫ y = 4 − x 2 与y = −3x 、x = 1所围成, 求I = 1+ f (x ) ln(y + 1+ y2 ) dx dy . D
解令
F (x ,y) = f (x ) ln(y + 1+ y 2 ) ，
如图所示，因为 D = D1 + D2 ．显然，在 D1 上 F (−x ,y) = −F (x ,y) ；在 D2 上
(1
+
a
)(1
a +
a
2
2 )"(1
+
an
)
的敛散性.
解 （1）设级数一般项bn ，考察
4
(n +1)(n +2)
a2
⎧ 0, a < 1
lim bn+1 b n →∞
n
= lim n →∞
(1 + a)(1+ a 2 )"(1+ an )(1 + an+1)
n (n +1)
a2 (1+ a)(1+ a 2 )"(1+ an )
数的介值定理可知: 至少存在一点ξ ∈[0,1], 使得F (ξ ) = 0, 即 f (ξ ) = 2ξ.
-----------------------------5 分
倘若还有一点η ∈[0,1], η ≠ ξ , 使得 F (η) = 0 , 由罗尔定理可知: 在ξ 与η
之间存在一点ζ , 使得F ′(ζ ) = 0 , 即 f ′(ζ ) = 2 , 这与已知矛盾. 故原命题成立.
1 (1 + a1)(1+ a12 )"(1 + a1n )
数学建模国赛2020b题
数学建模国赛2020b题摘要：一、数学建模国赛2020b 题概述二、题目分析三、解题思路与方法四、结论正文：【一、数学建模国赛2020b 题概述】数学建模国赛是我国高校数学教育领域的一项重要赛事，旨在培养学生的创新意识、团队协作精神和实际问题解决能力。
2020 年的B 题题目具有一定的难度和挑战性，吸引了众多高校参赛选手的关注。
本文将对2020b 题进行详细的分析和解答。
【二、题目分析】2020b 题的题目为：“某城市为了解决交通拥堵问题，计划对城市交通进行优化。
现需建立一个数学模型，分析城市道路交通状况，并提出合理的改进措施。
”题目要求参赛选手运用所学的数学知识，对城市交通问题进行建模分析，并给出具体的解决方案。
【三、解题思路与方法】1.确定问题：题目要求解决城市交通拥堵问题，首先要明确交通拥堵的原因，例如：道路容量不足、交通需求过大、路网结构不合理等。
2.建立模型：根据问题，建立相应的数学模型。
常用的模型有：排队论模型、流量模型、网络流模型等。
3.求解模型：根据所建立的模型，运用相应的数学方法求解问题。
例如：利用排队论模型求解交通拥堵状况；利用流量模型分析交通流量的分布；利用网络流模型求解交通流的最优路径等。
4.分析结果：根据模型求解的结果，分析城市交通状况，并找出问题所在。
5.提出改进措施：根据分析结果，提出合理的改进措施，例如：拓宽道路、增加道路容量、优化路网结构等。
【四、结论】数学建模国赛2020b 题通过对城市交通问题的建模分析，要求参赛选手运用所学的数学知识解决实际问题。
通过以上解题思路与方法，可以有效地解决城市交通拥堵问题，提高城市道路交通状况。
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北京交通大学2020年大学生数学竞赛试题（2020年6月28日晚7：00—9：30）学院与班级 学号 姓名 联系方式一、填空题（每小题6分，满分30分） 1．极限 1limnn i →∞== 。
2．定积分4sinarctan x x e dx ππ-⎰= 。
3．设:1x y z ∑++=，则曲面积分()2245I x y z dS ∑=+++=⎰⎰ 。
4．设()f x 在[0,1]上连续且单调增加，2112(0)1,(1)2,()3f f f x dx -===⎰，其中1()f x -是()f x 的反函数，求积分11()()xdx f x f y dy ⎰⎰= 。
5．函数()2sin 0x y e x x -=≥与x 轴所围图形的面积= 。
二、（本题满分10分）设函数()f x 具有连续的二阶导数，且(0)=0,(0)0,()0f f f x '''=>，在曲线()y f x =上任意点()(),()0x f x x ≠处作切线，此切线在x 轴上的截距记为u ，求极限0()lim()x xf u uf x →。
三、（本题满分10分）设函数()f x 在(),+-∞∞内三阶可导， (1)1f =-，(1)3f -=，且1x =±是其驻点，证明：存在()1,1ξ∈-，使得()6f ξ'''=。
四、（本题满分10分）计算()()()222222Lyz dx z x dy x y dz +++++⎰，其中L 是球面()22220x y z Rx z ++=>与()22=20,0x y rx r R z +<<>的交线，此曲线的方向从Oz轴正向看为逆时针方向。
五、（本题满分10分）在包含圆222x y y +=的所有椭圆22221x y a b+=中，当,a b 为何值时，椭圆的面积最小？六、（本题满分10分）设函数(,)z z x t =具有连续的二阶偏导数，满足波动方程2222z zx t∂∂=∂∂，证明：（1）存在具有二阶导数的函数(),()F x G x ，使得(,)()()z x t F x t G x t =++-；（2）若()(,0)=(),,0()z z x f x x g x t ∂=∂，则[]11(,)()()()22x tx tz x t f x t f x t g y dy +-=++-+⎰。
七、（本题满分10分）设函数()f x 在[0,1]上具有连续导数，且(0)(1)0f f ==，证明：[]11221()()4f x dx f x dx '≤⎰⎰。
八、（本题满分10分）求幂级数()()212!!21!!n n n x n ∞=+∑的收敛域与和函数，其中()()()2!!222642n n n =⋅-⋅⋅，()()()21!!2121531n n n +=+⋅-⋅⋅，并求数项级数()()()12!!2121!!nn n n n ∞=++∑的值。
参考答案：一、1．解：由不等式11111nn n n ni i i i i ======≤=得1lim nn i →∞==()1101lim ln 12nn i →∞===。
2．解：注意到arctan +arctan ,2x x e e x R π-=∀∈。
原式=440sin arctan sin arctan xx x e dx x e dx ππ-+⎰⎰，对第一个积分令x t =-，则()04440sinarctan =sin arctan sin arctan xtt x e dx t edt t e dt πππ----=⎰⎰⎰，于是原式=224444000313sin arctan sin arctan sin sin 242216x xx e x e dx xdx xdx ππππππππ-+====⎰⎰⎰。
3．解： 注意到0xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS ∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，()2245I x y z dS ∑=+++=⎰⎰()222416254168102040xy z xy yz xz x y z dS∑⎡⎤+++++++++⎣⎦⎰⎰ =()22241625xy z dS ∑+++⎰⎰其中(121,0,0,325=2582004x y z x y z dS dS ∑∑++=≥≥≥⨯=⨯=⎰⎰⎰⎰：()()111222222:100,0,0416=21=2181681xx yz x y z xyz dS z dS z dS dxx y -∑∑∑++=≥≥≥++⨯=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=30111(1)334x dx -=⨯=， 于是原式=()22241625xy z dS ∑+++⎰⎰=4、解：由互为反函数关于y x =对称，故1210124()12()233f x dx f x dx -=⨯-=-=⎰⎰。
严格证明：1111100()()()2[()]()f x dx xf x xdf x f f x df x -=-=-⎰⎰⎰=211242()233f t dt --=-=⎰， 容易证明22111001148()()=()2239x dx f x f y dxdy f x dx ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰。
5. 解:()(1)(1)002sin 2sin 21sin n n nx x x n n nnS e xdx e x dx e xdx ππππ+++∞∞∞--=====-∑∑⎰⎰⎰=()()(1)1(1)021sin 1cos(1)cos n nn xn n n n ne xdx e n e n ππππππ+∞∞+--+-==⎡⎤-=-+-⎣⎦∑∑⎰=()()()11111cos 1cos 121cos 1nn nn n n n n n en en e n ππππππ∞∞∞+---===---+=-+∑∑∑=112+1=2111n n e e ee e πππππ-∞--=++=--∑。
二、解：过(),()x f x 的切线方程为，()()()Y f x f x X x '-=-，令=0Y =，则()()f x u X x f x ==-'，于是 ()()221111()(0)(0)22f x f f x f x f x ξξ'''''=++=，故()221()2f u f u ξ''=，()2100021()2lim lim lim 0()()x x x f x f x u x x f x f x ξξ→→→⎛⎫'' ⎪⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪'''⎝⎭ ⎪⎝⎭， 因此21000022()1()()()2lim lim lim lim1()()2x x x x f x x x f u xf u u f x uf x x x u f x ξξ→→→→-'''==='' =()()232011121lim 2x f x f x ξξ→''-=''=。
三、证明：构造一个三次多项式()p x ，使得(1)1,(1)3,(1)(1)0p p p p ''=--==-=。
故设()(1)(1)p x a x x '=-+，于是31()3p x ax ax c =-+，代入(1)1,(1)3p p =--=，得 113133a a c a a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得3,1a c ==，故3()=31p x x x -+。
令()()()x f x p x ϕ=-，则(1)(1)0ϕϕ-==，由罗尔定理，()1,1η∃∈-，使得()0ϕη'=。
又()=(1)=(1)=0ϕηϕϕ'''-，存在1211ξηξ-<<<<，使得12()0=()ϕξϕξ''''=。
再由罗尔定理，知存在()()12,1,1ξξξ∈⊂-，使得()()()0f p ϕξξξ'''''''''=-=，即()()6,1,1f ξξ'''=∈-。
四、 由斯托克斯公式得[]2()cos ()cos ()cos I y z z x x y dSαβγ∑=-+-+-⎰⎰，其中∑是球面()22220x y z Rx z ++=>上由L 围成的区域的上侧，cos ,cos ,cos αβγ是球面外法向量的方向余弦，故cos =,cos ,cos x R y zR R Rαβγ-==，从而 2()()()x R y z I y z z x x y dS R R R ∑-⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰因为∑关于0y =对称，因此0ydS ∑=⎰⎰又R dS dxdy z ===，22:2xy D x y rx +≤，则 2222xyD RI z dxdy R dxdy Rr z π∑=⋅==⎰⎰⎰⎰。
五、解：依题意，面积最小的椭圆必与圆相切，设切点为(),x y ，则由圆的方程222x y y +=，得1x y y '=- ，又由22221x y a b +=知，22b x y a y'=-，于是221x b xy a y=-- ，当0x ≠时，222b y b a =-，代入椭圆方程22221x y a b +=，得 ()2222221b x a b a ⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎝⎭，再代入圆的方程222x y y +=，得22240b a b a -+=。
再求椭圆面积(),0S ab a b π=>在约束条件22240b a b a -+=下的最小值。
设拉格朗日函数()()2224,,F a b ab b a b aλπλ=+-+令()()2322224240 (1)220 (2)0 (3)a b F b ab a F a a b b F b a b a λπλπλ⎧'=+-+=⎪⎪'=+-+=⎨⎪'=-+=⎪⎩，由（1）（2）得2a =3）式，解得2a b S ===。
当0x =时，切点为()0,2，由y =在切点处220,y y a'''==-，于是椭圆在该点处的曲率为22K a==，而该点的曲率圆为222x y y +=，半径为1，所以有212a =，于是2a b ==，2S =>，因此椭圆的最小面积为2S =，此时a b ==，椭圆的方程为22629x y +=。