【高中数学】综合法与分析法 、反证法

题型 用反证法证明“至多”，“至少”等存在性问题
π
π
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ 2 ，b＝y2－2z＋ 3 ，c＝z2
π －2x＋ 6 ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c
≤0.
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2 ＋y2－2z＋π3 ＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3.
a（a－1） ，
所以 a＋1－ a＜ a－1－ aC 成等差数列，且角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：方法一 (分析综合法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，
反证法证明时反设不全面致误.
【典例】 已知a，b，c是互不相等的非零实 数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋ 2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有 两个相异实根．
解析：假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*) 由题意 a，b，c 互不相等，所以(*)式不能成立． 所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实 根．
即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简得a＋c b＋b＋a c＝1， 又需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝21. 所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．
►变式训练 1．已知 f(x)＝ax＋xx－＋21(a>1)，证明方程 f(x)＝0 没有负数根． 证明：假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－xx00＋－12. 由 0<ax0<1⇒0<－xx00＋－12<1， 解得21<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0 没有负数根．
综合法与分析法
规律方法： 综合法是中学数学证明中最常用的方法．综合法是从已知到未 知、从题设条件到结论的逻辑推理方法． 综合法是一种由因导果的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要 证明的结论，则综合法用框图表示为：
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
规律方法：分析综合法的特点及证明思路 (1)根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据 结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推 出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明 方法，称之为分析综合法，或称“两头凑法”． (2)分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、 互相转化的的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综 合的终点又成为进一步分析的起点
证明：要证 a＋1－ a＜ a－1－ a－2 ，
只需证 a＋1＋ a－2＜ a＋ a－1 ，
只需证( a＋1＋ a－2)2<( a＋ a－1)2，
只 需 证 a ＋ 1 ＋ a － 2 ＋ 2 （a＋1）（a－2） ＜ a ＋ a － 1 ＋
2 a（a－1），只需证 （a＋1）（a－2）< 只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)， 只需证 a2－a－2＜a2－a， 只需证－2＜0，显然成立，
(3)综合法和分析法常常交叉使用．其证明模式可用框图表示如 下：
Pn⇒P′
P⇒P1 ―→ P1⇒P2 ―→…―→ ⇓
… Q2⇒Q1 Q1⇒Q
Q′⇒Qm
其中 P 表示已知条件、定义、定理、公理等，Q 表示要证明的
结论．
►变式训练
3．若 tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．
规律方法： 分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理方法． 分析法是一种执果索因的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要 证明的结论，则分析法用框图表示为：
得到一个 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 明显成立
的结论
►变式训练
2．当 a≥2 时，求证： a＋1－ a＜ a－1－ a－2. 分析：条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明．
代入①并整理得： 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbnqp＋qp，即 2＝pq＋qp.② 当 p，q 异号时，pq＋qp＜0，与②相矛盾； 当 p，q 同号时，由于 p≠q，所以pq＋pq＞2，与②相矛盾． 故数列{cn}不是等比数列．
规律方法：(1)反证法的一般步骤． ①反设：假设命题结论不成立(即假设结论的反面成立)； ②归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③ 下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立． (2)当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不 存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较 具体，适于应用反证法．
∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c>0， 这与 a＋b＋c≤0 矛盾． 因此，a，b，c 中至少有一个大于 0.
规律方法：应用反证法的情形． ①直接证明困难； ②需分成很多类进行讨论； ③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类 命题； ④结论为 “唯一”的一类命题． 反证法的思维方法：正难则反． 特别提示：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观 察、分析，洞察矛盾．
方法二 (综合法) 因为△ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即 c2＋a2＝ac＋b2， 两边同时加(ab＋bc)，得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边同时除以(a＋b)(b＋c)，a＋c b＋b＋a c＝1， 所以a＋c b＋1＋b＋a c＋1＝3， 即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：由 tan(α＋β)＝2tan
α，得csoins（（αα＋＋ββ））＝2csoisn
α α，
即 sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
反证法
题型 用反证法证明否定命题
设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数 列{cn}不是等比数列．
证明：假设数列{cn}是等比数列，则 (an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)，① ∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为 p，q， ∴an2＝an－1an＋1，b2n＝bn－1bn＋1.