标准数独(1)讲解

标准数独目录第一篇一、什么是数独二、元素构成第六篇直观法解题一、宫摒除数对二、列摒除数对三、宫摒除对隐藏行列摒余解四、行列摒除对隐藏宫摒余解五、数对的聚焦六、一些例子另一、多重数对解题第一篇一、什么是数独？数独（Sudoku）又叫做九宫格数独，是一种源自于18世纪末的瑞士，后在美国发展，并在日本得以发扬光大的数字谜题。

数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。

在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其他的空格中填入1-9的数字，且使数字1-9在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。

这种游戏全面考验做题者的观察能力和推理能力，虽然玩法简单，但是数字的排列方式却千变万化，所以不少教育者认为数独是训练头脑的绝佳方式。

二、元素构成宫格（Cell）：又称单元格、格位，是数独中最小的单元，标准数独中共有81格；行（Row）：横向9个单元格的集合，标准数独共有9行，可用R1、R2、R3......R8、R9来表示，也可用A、B、C......H、I来表示；列（Column）：纵向9个单元格的集合，标准数独共有9列，可用C1、C2、C3......C8、C9来表示，也可用1、2、3......8、9来表示；宫（Box）：三行与三列相交之处共有九单元，每个单元称为宫，可用第一宫、第二宫、第三宫......第八宫、第九宫来表示。

单元（Unit）：行、列、宫都称为单元。

三、数独规则标准数独的规则为：数独每行、每列及每宫填入的数字必须为1-9，且不能重复。

数独谜题按规则填写数字，最终必须只能有一个结果，也就是唯一解（Unique Solution），如果存在无解或两个及以上的解，则不被承认是数独谜题。

先举个例子看看：上图中给定了一些已知数字（黑色），你能把空格中的数字填写完整么？答案：蓝色数字为自己填写的数字。

是不是很简单呢！四、解题方法数独解题方法分为两种：直观法和候选数法。

直观法又称纸笔模式，就是不做任何记号，直接从数独的盘势观察线索，推论答案的方法。

直观法一般只能解一些相对容易的谜题，一般在报刊杂志或是手机等出现的数独谜题用直观法就能解出谜题。

上面例题用直观法就能解出答案了。

候选数法就是删减等位群格位已出现的数字，将剩余可填入数字填入空格，作为解题线索的参考。

可填数字成为候选数（Candidates）。

一般直观法不能解出的谜题，用候选数法就能解出。

但候选数法往往要用计算机软件作为辅助工具，因为人工填写候选数一是工作量大，二是容易填错或是漏填候选数，导致谜题不能被正确解出。

候选数法举例：黑色大些的数字是题目给定的数字，宫格中小些的数字群就是候选数。

如果把候选数去掉，谜题形状为：你能用直观法把它解出来么？估计很困难，除非你有十分出众的记忆力和推理能力。

谜题答案：五、解题手法解题手法本质上有两种：1、摒除法：用数字去找单元内唯一可填空格，称为摒除法。

数字可填唯一空格称为摒余解（Hidden Single）。

数字可填唯一空格在“宫”单元称为宫摒余解（Hidden Single in Box），这种解法称为宫摒除法；数字可填唯一空格在“行”单元称为行摒余解（Hidden Single in Row），这种解法称为行摒除法；数字可填唯一空格在“列”单元称为列摒余解（Hidden Single in Column），这种解法称为列摒除法。

行摒余解和列摒余解合称为行列摒余解（Hidden Single in Line）.得到行列摒余解的方法称为行列摒除法。

2、余数法：用格位去找唯一可填数字，称为余数法。

格位唯一可填数字称为唯余解（Naked Single）。

余数法是删减等位群格位已出现的数字的方法，每一格位的等位群格位有20个，如图所示：上述两种方法（摒除法、余数法）称为基础解法（Basic Techniques），其他所有的解法称为进阶解法（Advanced Techniques）。

解数独谜题必须以逻辑依归，猜测的方法被称为暴力型解法（Brute Force），尽管有人认为暴力解法也算是一种逻辑解法，但这不是数独的本意，一般只用在比赛中，平时练习尽量不用或少用。

六、谜题的难易度谜题当然有难有易，目前已知的有唯一解的最少给定数字是17个。

一般往往是给定的数字越多越容易，但不绝对，还要看给定数字的排列情况。

有些情况下给定28个数很可能会比给定25个数字更难。

不同的软件会用不同的方法衡量谜题的难易度，有的是用分值的方法，有的是用难度等级方法等等，在此不做进一步讨论。

对个人解题而言也就是难者不会，会者不难。

下面出几题难易不同的谜题供大家练习（直观法）。

1、Easy（初级）2、Medium（中级）3、Hard（高级）第二篇上篇的一些题目你都能通过直观法做出来了么？如果完成了，那么你肯定对数独已经有了一个初步的概念。

为什么是初步呢？因为那些题目还是相对简单的。

本章开始我们重点讨论一下相对比较难解的谜题，主要采用的解题方法是候选数法，并介绍一些概念和使用技巧。

一、数字的强链接和弱链接链接是数独中最重要也是最根本的概念。

链接有两种形式存在：强链接和弱链接。

先看以下图形：观察数字3的情况，我们得到了数字3的所有强链接（蓝线表示）；可以看到，每条蓝线的两个顶点数字3只在一行、一列或一宫中出现。

我们用以下方法表示强链接：强链接的基本属性：若A为真，则B为假；反之若A为假，则B 为真。

简单地说，就是在一个单元（行、列、宫）中某候选数字只出现两次，那么这两数就形成强链接。

另一种情况就是当某个宫格（也称单元格）中只有两个候选数时，这两个候选数之间也是强链接。

如宫格A4中的候选数3和9，宫格C3中的2和7，均组成它们之间的强链接。

同一单元中还存在着未划线的多于两个候选数3的情况，它们形成了弱链接。

如A行中宫格A4、A7、A9中的候选数3组成了3的弱链接。

弱链接的基本属性：若A为真，则B为假；若A为假，则B不确定（可能为真也可能为假）。

简单地说，在一个单元中某候选数字出现大于两次，那么该数字间存在着弱链接；在某个宫格中存在三个及以上候选数时，它们也形成了弱链接。

如A9中的候选数2、3、9，G3中的3、6、8均组成了它们之间的弱链接。

一个重要的说明：在解题时有时候我们可以把强链接当做弱链接看待，因为强链接的属性包含于弱链接的属性。

但是弱链接是不能当做强链接看待的。

候选数法解题的原则就是去找出数字之间强弱链接的关系，从而排除或确定某个候选数为假（删除）或为真（填入）。

二、候选数的排除为了书写方便，我们用一些符号来表示：等于（=）；不等于（<>）；强链接（==>）；弱链接（-->），推导过程（->）上图中红色圈中的候选数3可以排除。

蓝色粗线为强链接，绿色细线为弱链接。

其中也要理解有时强链接也能看做是弱链接的情况（第8宫为强链接，这里可以看成是弱链接）。

R1C9(3) --> R1C4(3) ==> R8C4(3) --> R9C6(3) ==> R9C9(3) -->R1C9(3)从上面表达式可以看出这些候选数3形成了一个封闭的环（Loop），且在该封闭环中除了一个节点（R1C9）的相邻链接为弱链接外，其他均为强弱交替链接，则相邻链接为弱链接的候选数必须被删除。

可以验证一下：若R1C4=3 -> R1C9<>3;若R1C4<>3 -> R8C4=3 -> R9C6<>3 -> R9C9=3 -> R1C9<>3也就是说不管R1C4是否等于3，都能推导出R1C9不等于3，所以R1C9宫格中候选数3在逻辑上是不存在的，应该被删除。

逐个删除逻辑不存在的候选数是候选数法解题的最主要技术方法。

三、候选数的确定看下图：若R6C7<>7 ==> R4C7=7 --> R4C6<>7 ==> R4C6=4 --> R4C3<>4 ==> R6C3=4 --> R6C3<>2 ==> R6C1=2 --> R6C1<>7 ==> R6C7=7上面的表达式假定R6C7<>7，但是通过推导得出结论R6C7=7，从而证明假设R6C7<>7是错误的，结果应该是R6C7=7从这条链接（环）中我们可以看出也是一条强弱交替出现的链接，其中只有一个节点（F7）的相邻链接为强链接，那么这个节点的数值就是该宫格值。

第三篇本篇着重介绍一些解题时的常用技巧一、Single（唯一数）唯一数分为唯一显式候选数（Naked Single）和唯一隐式候选数（Hidden Single）1、唯一显式候选数（Naked Single）当某个宫格中候选数只存在唯一一个候选数时，该宫格值就是该候选数。

如下图黄色标记所示的D1（R4C1）中候选数9、E3（R5C3）中候选数6、H2（R8C2）中候选数1书写时可用D1=9（或R4C1=9）、E3=6（或R5C3=6）、H2=1（或R8C2=1）来表示。

2、唯一隐式候选数数（Hidden Single）当某单元（行、列、宫）中某候选数只出现一次时，该候选数所在宫格值就是该候选数。

I7的候选数9是第I行唯一出现的候选数，I7=9；E9的候选数2是第9列唯一出现的候选数，E9=2；G5的候选数5是第8宫（也称下中宫）唯一出现的候选数，G5=5。

二、完全约束候选数（Locked Candidates）1、当某宫中某候选数只存在于某行（列）时，可删除在其他宫中此行（列）的候选数。

第8宫中候选数1（绿色）只存在于G行，可删除G行其他宫（第7宫、第9宫）中候选数1（黄色）。

第2宫中候选数7（绿色）只存在于第3列，可删除第3列其他宫（第7宫）中候选数7（黄色）。

2、当某行（列）中某候选数只存在于某宫中，可删除此宫中其他行（列）的该候选数第B行中候选数7（绿色）只在第1宫中，删除C2候选数7（黄色）。

第6列候选数4（绿色）只存在于第2宫，删除A4、A5、B4、B5、C4、C5候选数4（黄色）。

三、显式子集（Naked SubSets）1、显式数对（Naked Pair）在一个单元中，如果有两个宫格都包含且只包含相同的两个候选数，则这两个候选数不能再出现在该单元其他的宫格中。

显示数对的形式为{XY，XY}。

看上图I行中I1和I8的候选数只有4和5（绿色），它们就组成了显式数对{4 5}，意味着在I行中4和5只能存在于I1和I8中，故能删除第I行中其他宫格的候选数4和5，如I2、I5、I6、I7中黄色候选数4和5。

上图第9宫中G9和I8组成了显式数对{2 5}，可删除第9宫其他宫格中的候选数2和5。