算法分析和设计基本知识点复习共30页文档
算法设计与分析基础知识概述
算法设计与分析基础知识概述算法设计与分析是计算机科学中的重要内容，它旨在解决各种实际问题，并通过分析算法的性能来评估算法的有效性和效率。
本文将对算法设计与分析的基础知识进行概述，包括算法的定义、算法的特性、算法的分类、常见算法设计技巧以及算法分析的方法等。
一、算法的定义算法是一组有限指令的序列，用于解决特定问题或达成特定目标。
它具有以下特点：1. 输入：算法接受零个或多个输入。
2. 输出：算法产生一个或多个输出。
3. 明确性：算法的每一条指令必须明确而无歧义，确保执行结果是确定的。
4. 有限性：算法在有限的步骤内必须终止。
5. 可行性：算法的每一条指令必须能够实际执行。
二、算法的特性算法可以根据其特性进行分类和比较，常见的算法特性有以下几个方面：1. 正确性：算法的执行结果要与问题的要求一致，满足预期的输出。
2. 可读性：算法应该易于理解和阅读，使得其他人能够轻松地理解算法的过程和步骤。
3. 高效性：算法应该能够在合理的时间内产生结果，避免不必要的时间和空间开销。
4. 简洁性：算法应该尽可能简洁，去除不必要的冗余和复杂性。
5. 健壮性：算法应该能够处理各种异常情况，并给出合理的响应和处理方式。
三、算法的分类根据算法的特点和应用范围，可以将算法分为以下几类：1. 穷举法：通过遍历所有可能的解来寻找最优解，适用于问题规模较小的情况。
2. 贪心算法：在每个步骤选择当前最优解，通过局部最优解的选择来达到全局最优解。
3. 分治算法：将问题划分为多个独立的子问题，逐个解决子问题并将结果合并，适用于问题规模较大的情况。
4. 动态规划算法：通过将问题划分为重叠子问题，并利用子问题的解来求解当前问题。
5. 回溯算法：通过逐步尝试所有可能的解，并在搜索过程中剪枝，适用于求解组合优化问题。
6. 随机算法：利用随机性来搜索解空间，通过概率统计的方式获得更好的解。
四、常见算法设计技巧为了提高算法的效率和性能，常见的算法设计技巧有以下几个方面：1. 分解：将复杂的问题分解为多个简单的子问题，通过解决子问题来解决整个问题。
算法设计与分析重点总结
算法设计与分析重点总结考试题型：选择 2* 10个填空2* 10个简答 3* 4个程序分析填空 4* 4个综合（代码）8* 4个第⼀章基础知识1.算法的定义算法就是解决问题的⽅法，是解决某⼀特定问题的⼀组有穷指令的序列，是完成⼀个任务所需要的具体步骤和⽅法2.算法的特征有限性 ⼀个算法总是在执⾏了有穷步的运算之后终⽌确定性：算法的每种运算必须要有确切的定义，不能有⼆义性。
输⼊：每个算法有0个或多个输⼊。
所谓0个输⼊是指算法本⾝定出了初始条件。
输出：⼀个算法产⽣⼀个或多个输出，这些输出是同输⼊有某种特定关系的量可⾏性：算法中有待实现的运算都是基本的运算，原理上每种运算都能由⼈⽤纸和笔在有限的时间内完成。
（实数的算术运算是“不能⾏”的）3.计算过程只满⾜确定性、能⾏性、输⼊、输出四个特性但不⼀定能终⽌的⼀组规则4.算法的有穷性意味着不是所有的计算机程序都是算法5.算法正确性证明数学归纳法，反例：能够使算法运⾏失败的输⼊实例6.算法的好坏：通过数学⽅法进⾏分析，时间复杂度，空间复杂度，循环次数（归并，快排，贪⼼的复杂度）7.算法运⾏中主要影响运⾏时间的语句是基本操作，即占有最多⽐例的语句8.时间复杂度分析：1）确定⽤来表⽰问题规模的变量；2）确定算法的基本操作；3）写出基本操作执⾏次数的函数（运⾏时间函数）；4）如果函数依赖输⼊实例，则分情况考虑：最坏情况、最好情况、平均情况；5）只考虑问题的规模充分⼤时函数的增长率，⽤渐近符号O 、Θ、Ω 、o 来表⽰。
6）常⽤O和Θ9.基本操作算法中的某个初等操作，基本操作的选择，必须反映出该操作随着输⼊规模的增加⽽变化的情况第⼆章递归算法1.递归若⼀个对象部分地包含它⾃⼰, 或⽤它⾃⼰给⾃⼰定义, 则称这个对象是递归的；若⼀个过程直接地或间接地调⽤⾃⼰, 则称这个过程是递归的过程。
分为直接递归和间接递归2.特点（1）将问题分解成为形式上更加简单的⼦问题来进⾏求解，递归过程⼀般通过函数或⼦过程来实现（2）问题求解规模缩⼩,把问题转化为规模缩⼩了的同类问题的⼦问题（3）相邻两次重复之间有紧密的联系（4）是否收敛，即终⽌条件3.使⽤递归的三种情况问题的定义数据结构问题求解的过程4.递归模型递归边界（递归的终⽌条件）和递归体5.过程先将整个问题划分为若⼲个⼦问题,通过分别求解⼦问题,最后获得整个问题的解。
算设计与分析复习要点总结
1. 算法定义：算法是解决问题的方法或过程。
算法的性质：输入：一个算法有零个或多个输入。
输出：一个算法有一个或多个输出。
确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义，不存在二义性。
可行性：算法中的每条指令执行次数有限，执行时间时间也有限。
2.程序是算法用某种程序设计语言的具体实现，程序可以满足算法的有限性。
最基本的运算有：赋值运算，算数运算，逻辑运算，关系运算。
3. 数据分为，对象数据，结果数据，他们可以是所有类型中的任何一种类型。
表示方式有集合(枚举)，结构体，指针。
数据类型分为：boolean,byte,char,double,float,int,long,short.4. 描述算法的几种方式：自然语言方式，表格方式，图标（流程图），伪码语言(类程序设计语言)。
5. 算法的复杂性：是该算法所需要的计算机资源的多少，时间资源的量称为时间复杂性和空间资源的量称为空间复杂性。
用n，i，a表示算法要解的问题的规模，算法的输入，算法本身，而且c表示复杂性，应该有c=f（n，i，a）。
5.递归：直接或间接的调用本身的算法成为递归算法。
用函数自身给出定义的函数成为递归函数。
阶乘函数；n！={1 n=0；n（n-1）！n>0；}Public static int factorial(int n){If (n==0)return 1;Return n* factorial (n-1);}斐波那契（Fibonacci）数列F(n)= 1 n==0,1; F(n-1)+F(n-2) n>1;Public static int fib(int n){ if (n<=1) return 0;if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);}排列问题：Public static void perm (obejt[]list,int k,int m){If (k==m){For (int i=0;i<=m;i++)System.out.print(list[i])System.out.println() }ElseFor (int i=k;i<=m;i++){mymath.swap(list ,k,i);Perm(list,k+1,m);Mymath.swap(list ,k,i); }}整数划分问题Public static int q(int n ,int m ){if ((n<1)||(m<1))return 0;If((n==1)||(m==1))return 1;If(n<m)return q(n,m-1)+1;Return q(n,m-1)+q(n-m,m);}6.系统需要在运行调用算法前先完成3件事情：1.为所有实参指针，返回地址等信息给被调用算法。
算法设计与分析复习要点
·算法是指解决问题的方法和过程。
算法是由若干条指令组成的有穷序列。
·算法特性：输入、输出、确定性、有限性（执行时间和执行次数）（有五个空再加上可行性）。
·程序是算法用某种程序设计语言的具体实现，程序可不满足有限性的特性。
·程序调试只能证明程序有错，不能证明程序无错误!·算法复杂性= 算法所需要的计算机资源。
·算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模N；(2)具体的输入数据I；(3)算法本身的设计A。
·可操作性最好且最有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性。
第二章递归与分治策略二分搜索技术：O（logn）大整数乘法：O（n log3）=O（n1.59）Strassen矩阵乘法：O（n log7）=O(n2.81) 棋盘覆盖：O（4k）合并排序和快排：O（nlogn）线性时间选择：O(n)最接近点对问题：O(nlogn) 循环赛日程表：O(n2)·分治法思想：将一个难以解决的问题分割成一些规模较小的相同问题，以便逐个击破，分而治之。
边界条件与递归方程是递归函数的两大要素。
递归优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
·分治法时间复杂度分析：T(n)<= O(1) n=n0aT(n/b)+f(n) n>n0若递归方式为减法：T(n) = O(a n)若递归方式为除法：f(n)为合并为原问题的开销：f(n)为常数c时：T(n)=O(n p)f(n)为线性函数：O(n) a<ba是子问题个数，b是递减的步长T(n)= O(nlog b n) a=bO(n p) a>b,p=log b af(n)为幂函数n x时：O(n x) a<f(b)T(n)= O(n p log b n) a=f(b)O(n p) a>f(b),p=log b a·证明算法的正确性：部分正确性、终止性。
算法分析与设计基本知识点复习
2．重叠子问题 动态规划应用于组合优化问题的第二个特征是问 题自身具有重叠子问题。 动态规划算法的运行时间取决于两个因素的乘积: 备忘录方法(64) 自顶向下的动态规划方法具有如下特点： · 它是一种对自然问题求解的机械转换。 · 方法自身可以确定计算子问题的顺序。 · 可能不需要计算出所有子问题的解。
找最大值与最小值分治算法
算法思想 如果我们将分治策略用于此问题，每次将 问题分成大致相等的两部分，分别在这两部分 中找出最大值与最小值，再将这两个子问题的 解组合成原问题的解，就可得到该问题的分治 算法。
归并排序算法(P28) 归并排序的关键操作是归并两个已排序的子序 列的过程。
归并排序最坏情况下的时间复杂度Θ(n lb n)要优 于冒泡排序最坏情况下的时间复杂度Θ(n2)。
渐近表示(P8)
渐进表示：是方便地表示算法的最坏情况下，计算的复杂度。 三个定义，三例题。 定义1．1如果存在三个正常数
第2章 分 治 法
递归(P13) 递归程序可被简单地定义为对自己的调用。 递归程序要求必须有终止条件。 斐波那契(Fibonacci)序列。 • 替换方法(P16) • 用替换方法解某个递归方程时，分为两步。首 先猜测问题解的某个界限，然后用数学归纳法证明 所猜测解的正确性。 • 主方法(P18) 主定理（三种情况，三个例题）
分治法的基本思想 (p20) 分治法在每一层递归上由三个步骤组成： (1)划分(divide)：将原问题分解为若干规模较小、 相互独立、与原问题形式相同的子问题。 (2)解决(conquer)：若子问题规模较小，则直接求 解；否则递归求解各子问题。 (3)合并(combine)：将各子问题的解合并为原问题 的解。
循环不变式具有以下三个性质： 初始：在循环的第一次迭代之前，循环不变式为 真。 维持：如果在循环的某次迭代之前循环不变式为 真，那么在下一次迭代之前，循环不变式仍然为真。 终止：当循环终止时，循环不变式给出有用性质， 这个性质可以用于证明算法的正确性
算法设计与分析考试重点归纳
算法设计考试重点整理题型：一选择题（10*2=20 分）二简答题（4*5=20 分）三应用题（3*10=30 分）四算法题（3*10=30 分）第一、二章算法的定义：解某一特定问题的一组有穷规则的集合（对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列）算法的特征：1）有限性 2）确定性 3）输入 4）输出 5）能行性算法分析的目的：基本数据结构：线性结构(元素之间是一对一的关系)用顺序存储结构存储的线性表称为顺序表用链式存储结构存储的线性表称为链表。
树形结构(元素之间是一对多的关系)图(网)状结构(元素之间是多对多的关系)栈：是一种只允许在表的一端进行插入或删除操作的线性表。
允许进行插入、删除操作的一端称为栈顶，另一端称为栈底。
当栈中没有数据元素时，称之为空栈。
栈的插入操作称为进压栈，删除操作称为出栈。
队列：只允许在一端进行插入操作，在另一端进行删除操作的线性表。
允许进行插入操作的一端称为队尾。
允许进行删除操作的一端称为队头。
当队列中没有数据元素时，称之为空队列。
队列的插入操作称为进队或入队。
队列的删除操作称为退队或出队。
树：树型结构是一种非线性结构，它用于描述数据元素之间的层次关系图图：G＝(V，E)是一个二元组其中：V是图G中数据元素（顶点）的非空有限集集合E是图G中关系的有限集合由表达式求渐进表达式：例：(n2+n)/4 n2/4（增长速率最快的那一项）时间复杂度的计算：（P23）性能的比较：O(1) < O(log2n) < O(n) < O(nlog2n) =O(nlogn)< O(n2) < O(n3) < O(n k) < O(2n)第三章算法思想、稳定性、时间复杂度、应用、排序的移动次数：希尔排序（数据结构P265）：先将待排序列分割为若干个子序列分别进行直接插入排序；待整个序列基本有序时，再对全体记录进行一次直接插入排序。
也称缩小增量的直接插入排序。
算法设计与分析基础
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1.2.6 详细表述该算法的方法
• 可以用到的工具有自然语言（nature
language）、伪代码（pseudocode）以及程序 流程图（flow chart）等。
• 当对一个问题有了概要的理解后，下面的工作
就是把这个问题的想法进行细化。所谓的细化 就是把它们表示成算法的步骤。
令执行顺序以及同步等问题。并行算法的设计 有相应的理论，这里仅考虑串行算法。
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1.2.3 选择精确或者近似的算法
• 解决问题下一步要考虑的是使用精确的还是近
似的算法。并不是每一个可解的问题都有精确 的算法，例如求一个数的平方根，求非线性方 程的解等。有时候一个问题有精确的解法但是 算法的执行效率很差，例如旅行家问题。因此 如果待处理的问题涉及到上述那些方面，则要 考虑是选择精确的还是近似的算法。
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第一步：找出m的所有质因数。 第二步：找出n的所有质因数。 第三步：从第一步求得的m的质因数分解式和第二步求得的n
的质因数分解式中，找出所有公因数。 第四步：将第三步找到的公因数相乘，结果为所求的
算法设计与分析复习要点
算法设计与分析的复习要点第一章：算法问题求解基础算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。
一．算法的五个特征：1．输入：算法有零个或多个输入量；2．输出：算法至少产生一个输出量；3．确定性：算法的每一条指令都有确切的定义，没有二义性；4．可行性：算法的每一条指令必须足够基本，它们可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现；5．有穷性：算法必须总能在执行有限步之后终止。
二．什么是算法？程序与算法的区别1．笼统地说，算法是求解一类问题的任意一种特殊的方法；较严格地说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。
2．程序是算法用某种程序设计语言的具体实现；算法必须可终止，程序却没有这一限制；即：程序可以不满足算法的第5个性质“有穷性”。
三．一个问题求解过程包括：理解问题、设计方案、实现方案、回顾复查。
四．系统生命周期或软件生命周期分为：开发期：分析、设计、编码、测试；运行期：维护。
五．算法描述方法：自然语言、流程图、伪代码、程序设计语言等。
六．算法分析：是指对算法的执行时间和所需空间的估算。
算法的效率通过算法分析来确定。
七．递归定义：是一种直接或间接引用自身的定义方法。
一个合法的递归定义包括两部分：基础情况和递归部分；基础情况：以直接形式明确列举新事物的若干简单对象；递归部分：有简单或较简单对象定义新对象的条件和方法八．常见的程序正确性证明方法：1.归纳法：由基础情况和归纳步骤组成。
归纳法是证明递归算法正确性和进行算法分析的强有力工具；2.反证法。
第二章：算法分析基础一．会计算程序步的执行次数（如书中例题程序2-1,2-2,2-3的总程序步数的计算）。
二．会证明5个渐近记法。
（如书中P22-25例2-1至例2-9）三．会计算递推式的显式。
（迭代法、代换法，主方法）四．会用主定理求T(n)=aT(n/b)+f(n)。
（主定理见P29，如例2-15至例2-18）五．一个好的算法应具备的4个重要特征：1.正确性：算法的执行结果应当满足预先规定的功能和性能要求；2.简明性：算法应思路清晰、层次分明、容易理解、利于编码和调试；3.效率：算法应有效使用存储空间，并具有高的时间效率；4.最优性：算法的执行时间已达到求解该类问题所需时间的下界。