广东省2019中考数学复习检测 专题训练九 几何综合题
专题训练九解答题突破——几何综合题
1．如图1、AB是⊙O的直径、AB＝6、过点O作OH⊥AB交圆于点H、点C是弧AH上异于A、B的动点、过点C作CD⊥OA、CE⊥OH、垂足分别为D、E、过点C的直线交OA的延长线于点G、且∠GCD＝∠CED．
图1
(1)求证：GC是⊙O的切线；
(2)求DE的长；
(3)过点C作CF⊥DE于点F、若∠CED＝30°、求CF的长．
2．如图2、已知△ABC内接于⊙O、且AB＝AC、直径AD交BC于点E、F是OE上的一点、使CF∥BD．
图2
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状、并说明理由；
(3)若BC＝8、AD＝10、求CD的长．
3．(2016·丹东模拟)如图3、AB是⊙O的直径、点C在⊙O上、∠ABC的平分线与AC 相交于点D、与⊙O过点A的切线相交于点E.
图3
(1)∠ACB＝__________°、理由是：________________________；
(2)猜想△EAD的形状、并证明你的猜想；
(3)若AB＝8、AD＝6、求BD．
4．(2016·临沂模拟)如图4、正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上、连接AD、CF、此时AD＝CF、AD⊥CF成立．
(1)正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度、如图5、试判断AD与CF还相等吗？若
成立、请证明；若不成立、请说明理由．
(2)正方形ODEF绕O点逆时针旋转、使点E旋转至直线l上、AD与OC的交点为G、如图6、求证：AD⊥CF.
(3)在(2)小题的条件下、当AO＝3、OD＝2时、求线段CG的长．
图4 图5 图6 5．如图7、现有一张边长为4的正方形纸片ABCD、点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合)、将正方形纸片折叠、使点B落在P处、点C落在G处、PG交DC于H、折痕为EF、连接BP、BH.
图7
(1)求证：∠APB＝∠BPH；
(2)求证：AP＋HC＝PH；
(3)当AP＝1时、求PH的长．
参考答案：
1．(1)证明：连接OC、交DE于M、如图3所示：
图3
∵OH⊥AB、CD⊥OA、CE⊥OH、
∴∠DOE＝∠OEC＝∠ODC＝90°.
∴四边形ODCE是矩形．
∴∠DCE＝90°、DE＝OC、MC＝MD.
∴∠CED＋∠MDC＝90°、
∠MDC＝∠MCD.
∵∠GCD＝∠CED、∴∠GCD＋∠MCD＝90°、即∠OCG＝90°.∴GC⊥OC、点C是⊙O上一点、∴GC是⊙O的切线；
(2)解：由(1)得：DE＝OC＝1
2
AB＝3；
(3)解：∵∠DCE＝90°、∠CED＝30°、
∴CE＝DE·cos∠CED＝3×
3
2
＝
3 3
2
.∴CF＝
1
2
CE＝
3 3
4
.
1．(1)证明：连接OD、BD、
图1
∵AB是⊙O的直径、
∴AB⊥BC、即∠ABO＝90°、
∵AB＝AD、
∴∠ABD＝∠ADB、
∵OB＝OD、
∴∠DBO＝∠BDO、
∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO、
∴∠ADO＝∠ABO＝90°、
∴AD是半圆O的切线；
(2)证明：由(1)知、∠ADO＝∠ABO＝90°、
∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD、∵AD是半圆O的切线、
∴∠ODE＝90°、
∴∠ODC＋∠CDE＝90°、
∵BC是⊙O的直径、
∴∠ODC＋∠BDO＝90°、
∴∠BDO＝∠CDE、
∵∠BDO＝∠OBD、
∴∠DOC＝2∠BDO、
∴∠DOC＝2∠CDE、
∴∠A＝∠CDE；
(3)解：∵∠CDE＝27°、
∴∠DOC ＝2∠CDE ＝54°、 ∴∠BOD ＝180°－54°＝126°、 ∵OB ＝2、
∴BD 的长＝126·π×2180＝7
5
π.
2．(1)证明：∵AD 是直径、∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°.
在Rt △ABD 和Rt △ACD 中、⎩
⎪⎨
⎪⎧
AB ＝AC ，
AD ＝AD ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD .
∴∠BAD ＝∠CAD . ∵AB ＝AC 、∴BE ＝CE . (2)解：四边形BFCD 是菱形．
证明：∵AD 是直径、AB ＝AC 、∴AD ⊥BC 、BE ＝CE . ∵CF ∥BD 、∴∠FCE ＝∠DBE .
在△BED 和△CEF 中、⎩⎪⎨⎪
⎧
∠FCE ＝∠DBE ，BE ＝CE ，
∠BED ＝∠CEF ＝90°，
∴△BED ≌△CEF 、∴CF ＝BD . ∴四边形BFCD 是平行四边形． ∵∠BAD ＝∠CAD 、∴BD ＝CD . ∴四边形BFCD 是菱形．
(3)解：∵AD 是直径、AD ⊥BC 、BD ＝CD 、 ∴∠AEC ＝∠CED ＝90°、∠CAE ＝∠DCE . ∴△AEC ∽△CED .∴EC ED ＝AE CE
.∴CE 2
＝DE ·AE 、 设DE ＝x 、∵BC ＝8、AD ＝10、∴42
＝x (10－x )、 解得：x ＝2或x ＝8(舍去)
在Rt △CED 中、CD ＝CE 2
＋DE 2
＝42
＋22
＝2 5. 3．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径、点C 在⊙O 上、 ∴∠ACB ＝90°(直径所对的圆周角是直角)． (2)△EAD 是等腰三角形．
证明：∵∠ABC 的平分线与AC 相交于点D 、∴∠CBD ＝∠ABE . ∵AE 是⊙O 的切线、∴∠EAB ＝90°. ∴∠AEB ＋∠EBA ＝90°.
∵∠EDA ＝∠CDB 、∠CDB ＋∠CBD ＝90°、
∵∠CBE ＝∠ABE 、∴∠AED ＝∠EDA .∴AE ＝AD . ∴△EAD 是等腰三角形．
(3)解：∵AE ＝AD 、AD ＝6、∴AE ＝AD ＝6. ∵AB ＝8、∴在直角三角形AEB 中、EB ＝10. ∵∠CDB ＝∠E 、∠CBD ＝∠ABE 、∴△CDB ∽△AEB .
∴AE AB ＝DC BC ＝68＝34
. ∴设CB ＝4x 、CD ＝3x 、则BD ＝5x 、∴CA ＝CD ＋DA ＝3x ＋6、 在直角三角形ACB 中、AC 2
＋BC 2
＝AB 2
.
即：(3x ＋6)2＋(4x )2＝82
、解得：x ＝－2(舍去)或x ＝1425.
∴BD ＝5x ＝14
5
.
4．(1)解：AD ＝CF .理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中、
AO ＝CO 、OD ＝OF 、∠AOC ＝∠DOF ＝90°、
∴∠AOC ＋∠COD ＝∠DOF ＋∠COD . 即∠AOD ＝∠COF 、
在△AOD 和△COF 中、⎩⎪⎨⎪
⎧
AO ＝CO ，∠AOD ＝∠COF ，
OD ＝OF ，
∴△AOD ≌△COF (SAS)．∴AD ＝CF .
(2)证明：如图2、设AD 与CF 交于点H 、CO 与AD 交于点G .
图2
∵△AOD ≌△COF 、 ∴∠OCF ＝∠GAO . ∵∠CGH ＝∠AGO 、 ∴∠CHG ＝∠GOA ＝90°. ∴AD ⊥CF .
(3)解：如图3、连接DF 交OE 于M 、
图3
则DF ⊥OE 、DM ＝OM ＝1
2OE 、
∵正方形ODEF 的边长为2、 由勾股定理得 ∴OE ＝
2
2
＋2
2
＝2.
∴DM ＝OM ＝OE ×1
2＝1.
∴AM ＝AO ＋OM ＝3＋1＝4. 在Rt △ADM 中、tan ∠DAM ＝
DM AM ＝14
. ∴tan ∠GAO ＝tan ∠DAM ＝14＝OG
OA .
∴OG ＝14OA ＝34.∴CG ＝OC －OG ＝3－34＝94.
5．(1)证明：∵PE ＝BE 、∴∠EPB ＝∠EBP .
又∵∠EPH ＝∠EBC ＝90°、∴∠EPH －∠EPB ＝∠EBC －∠EBP . 即∠BPH ＝∠PBC .
又∵四边形ABCD 为正方形、∴AD ∥BC .∴∠APB ＝∠PBC . ∴∠APB ＝∠BPH .
图4
(2)证明：过B 作BQ ⊥PH 、垂足为Q 、 由(1)知、∠APB ＝∠BPH 、 在△ABP 与△QBP 中、 ⎩⎪⎨⎪
⎧
∠A ＝∠BQP ＝90°，∠APB ＝∠QPB ，BP ＝BP ，
∴△ABP ≌△QBP (AAS)． ∴AP ＝QP 、BA ＝BQ . 又∵AB ＝BC 、∴BC ＝BQ .
又∵∠C ＝∠BQH ＝90°、∴△BCH 和△BQH 是直角三角形． 在Rt △BCH 与Rt △BQH 中、⎩⎪⎨
⎪⎧
BC ＝BQ ，BH ＝BH ，
∴Rt △BCH ≌Rt △BQH (HL)．∴CH ＝QH .∴AP ＋HC ＝PH . (3)解：由(2)知、AP ＝PQ ＝1、AD ＝4、∴PD ＝3.
设QH ＝HC ＝x 、则DH ＝4－x .在Rt △PDH 中、PD 2
＋DH 2
＝PH 2
、 即32
＋(4－x )2
＝(x ＋1)2
、解得x ＝2.4、∴PH ＝3.4.。
【复习专题】中考数学复习：几何综合题
几何综合题（旋转为主的题型）一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1 已知：如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边向线段AB 的同侧作正△APC和正△BPD ，AD 和BC 交于点M.（1）当△APC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数； （2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.例2 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD ”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..例3 已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．DCB AEMMEABCD图1 图2例4 在ABCD 中，A DBC ∠=∠，过点D 作DE DF =，且EDF ABD =∠，连接EF ，EC ，N 、P 分别为EC ，BC 的中点，连接NP . （1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及ABD ∠与MNP ∠满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.五、演练方阵A 档（巩固专练）1．（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE相交于点P ，求证： BE = AD .（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可）①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CPA =60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .2. 已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.3. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD 、BN,CD 的延长线交BN 于点F ． （1）当∠ADN 等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由；（2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，并说明理由．4. 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．图2AFAB 图1C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A5. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.6. 如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动．（1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为 __； （2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出11CD DD = _________； （3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．B 档（提升精练）1. 如图，△ABC 中，∠90ACB =︒, 2=AC ，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ． （1）如图24-1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转︒60，得到线段1AB ，联结1DB ，则与1DB 长度相等的线段为 （直接写出结论）；（2）如图24-2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,求ADQ ∠的度数； （3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,是否存在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．2. 如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD=CF ，BD ⊥CF 成立．（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD ⊥CF ； ②当AB=4，AD=时，求线段BG 的长．3. 已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，︒=∠=∠90COD AOB ．（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α (︒<<︒900α)．连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的 △COD 绕点 O 逆时针旋转到使 △COD 的一边OD 恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点．请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．4. 在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转． （1）当点O 为AC 中点时，①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC ，求OE OF的值．5. 如图1，四边形ABCD ，将顶点为A 的角绕着顶点A 顺时针旋转，若角的一条边与DC 的延长线交于点F ，角的另一条边与CB 的延长线交于点E ，连接EF ． （1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF －BE ．请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）； （3）如图3，如果四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明．（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果即可）．C 档（跨越导练）1. 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ． （1）如图1，当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当M A N ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．2. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线ACBD 相交于O .（1） 如图1，设 E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且∠EOF =90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设 E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且∠EOF =45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系，并证明.3. 问题：如图1， 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．4. 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
广东省各市2019年中考数学分类解析 专题9：三角形
广东2019年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形一、选择题1. （2019广东广州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【】A．B．C．D．2. （2019广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【】A.(6米B.12米C.(4+米 D．10米【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。
【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，在Rt△CED中，CE=2，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。
∵△DCE∽△DAB，且CE ：DE=1：2，∴在Rt△ABD 中，AB=12BD=(12=A 。
3. （2019广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30o，点A 1、A 2、A 3 在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…．．在射线OM 上，△A 1B 1A 2. △A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4……均为等边三角形，若OA 1=l ，则△A 6B 6A 7 的边长为【 】A ．6B ．12C ．32D ．64【答案】C 。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】如图，∵△A1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°。
∴∠2=120°。
∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。
2019中考数学专题复习 几何变换几何综合题 解析版
几何变换几何综合题1．（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DC所夹锐角的度数为．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC 的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．2．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连接AD、BE交于点P．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系：．（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请写出∠APE的度数，不必说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形∠ABF，连接AD、BE和CF交于点P．求证：PA+PB+PC＝BE．若∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝4试求PA+PB+PC的值，只需直接写出结果．3．（1）如图1，在△ABC和△ECD是等边△，则BE、AD之间的数量关系为；∠DFE度数为；请用旋转的性质说明上述关系成立的理由．（2）如图2，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，M是CD的中点，连AM、BE交于F点，则BE、AM之间的数量关系为；∠MFE度数是；（3）如图3，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，N是BD的中点，连AN、NB，则AN、NE有何关系并证明你的结论．4．△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形．直线BE与直线AD交于点M，点D、E不在△ABC的边上．（1）当点E在△ABC外部时（如图1），写出AD与BE的数量关系．（2）若CD＜BC，将△CDE绕着点C逆时针旋转，使得点E由△ABC的外部运动到△ABC的内部（如图2）．在这个运动过程中，∠AMB的大小是否发生变化？若不变，在图2的情况下求出∠AMB的度数，若变化，说明理由．（3）如图3，当B、C、D三点在同一条直线上，且BC＝CD时，写出BM，ME与BC之间的数量关系．5．阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE．解决问题：（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，连接BD，若AC＝2cm，CE＝1cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到三角形CD′E′（使∠ACD′＜180°），连接BE′，AD′，设AD′分别交BC、BE′于O、F，若△ABC满足∠ACB＝60°，BC＝，AC＝，①求的值及∠BFA的度数；②若D为AC的中点，求△AOC面积的最大值．6．（1）问题发现如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE．填空：①∠AEC的度数为；②线段AE、BD之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE．试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，点P在以AC为直径的半圆上，AP＝1，①∠DPC＝°；②请直接写出点D到PC的距离为．7．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD＝90°，AC＝AD，连接BD，则BD的长为．8．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．9．（1）问题发现如图1，△ABC和△BDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CD．填空；①∠CDB的度数为；②线段AE，CD之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点A，D，E在同一直线上，BF为△DBE中DE边上的高，连接CD．①求∠CDB的大小；②请判断线段BF，AD，CD之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，AC＝2，AE＝1，CE⊥AE于E，请补全图形，求点B到CE的距离．10．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．11．（1）问题发现：如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展探究：如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE．①请判断∠AEB的度数并说明理由；②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，试求△ABF的面积．12．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．13．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？14．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），点D，点E分别是AC，BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，及旋转角为α，连接AD′，BE′．（1）如图①，若0°＜α＜90°，当AD′∥CE′时，求α的大小；（2）如图②，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∠CBE′的值；（3）若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围（直接写出结果即可）．15．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）①如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并直接写出此时DE＝；②如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，则DQ＝；16．已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）求线段BC的长；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M是线段OC的中点，点N是线段OB上的动点（不与点O重合），求△CMN 周长的最小值．17．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，求证：∠ABD＝∠ACE；（2）如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，请直接写出PB的长度．18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF（2）在∠EDF绕点D旋转过程中：①如图2，探究三条线段AB、CE、CF之间的数量关系，并说明理由；②如图3，过点D作DG⊥BC于点G．若CE＝4，CF＝2，求DN的长．19．感知：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．（1）求证：△ACB≌△BED；（2）△BCD的面积为（用含m的式子表示）．拓展：如图②，在一般的Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含m的式子表示△BCD的面积，并说明理由．应用：如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则△BCD的面积为；若BC＝m，则△BCD的面积为（用含m的式子表示）．解析一．解答题（共14小题）1．（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；②直线CF与DC所夹锐角的度数为45°．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC 的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．【解答】解：（1）【问题发现】如图①中，①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；②直线CF与DC所夹锐角的度数为45°．理由：如图①中，连接AF．易证A，F，C三点共线．∵AF＝AG．AC＝AD，∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．故答案为CF＝DG，45°．（2）【拓展探究】结论不变．理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAG，∵AC＝AD，AF＝AG，∴＝＝，∴△CAF∽△DAG，∴＝＝，∠AFC＝∠AGD，∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，∵∠AOF＝∠GOK，∴∠K＝∠FAO＝45°．（3）【解决问题】如图3中，连接EC．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴点E的运动轨迹是在射线OE时，当OE⊥CE时，OE的长最短，易知OE的最小值为，故答案为，2．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连接AD、BE交于点P．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系：AD＝BE．（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请写出∠APE的度数，不必说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形∠ABF，连接AD、BE和CF交于点P．求证：PA+PB+PC＝BE．若∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝4试求PA+PB+PC的值，只需直接写出结果．【解答】解：（1）如图1，∵△ACE、△CBD均为等边三角形，∴AC＝EC，CD＝CB，∠ACE＝∠BCD，∴∠ACD＝∠ECB；在△ACD与△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE．（2）AD＝BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形∴EC＝AC，BC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCD+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD；在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴∠CEB＝∠CAD；如图2，设BE与AC交于Q，又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ＝∠EQC+∠CEQ+∠ECQ＝180°∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，即∠APE＝60°．（3）由（2）同理可得∠CPE＝∠EAC＝60°；如图3，在PE上截取PH＝PC，连接HC，则△PCH为等边三角形，∴HC＝PC，∠CHP＝60°，∴∠CHE＝120°；又∵∠APE＝∠CPE＝60°，∴∠CPA＝120°，∴∠CPA＝∠CHE；在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），∴AP＝EH，∴PB+PC+PA＝PB+PH+EH＝BE．若∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝4，则PA+PB+PC＝2．理由：如图，过D作DG⊥AB，交AB的延长线于G，当∠ABC＝60°＝∠CBD时，将DBG＝60°，∴∠BDG＝30°，∴BG＝BD＝2，AG＝6+2＝8，DG＝2，∴Rt△ADG中，AD＝＝2，∴BE＝2，即PA+PB+PC的值为2．3．（1）如图1，在△ABC和△ECD是等边△，则BE、AD之间的数量关系为BE＝AD；∠DFE 度数为60°；请用旋转的性质说明上述关系成立的理由．（2）如图2，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，M是CD的中点，连AM、BE交于F点，则BE、AM之间的数量关系为；∠MFE度数是45°；（3）如图3，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CED＝90°，N是BD的中点，连AN、NB，则AN、NE有何关系并证明你的结论．【解答】解：（1）∵△ABC和△ECD是等边△，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，∴△ACD是△BCE顺时针旋转60°来的，∴△ACD≌△BCE，∴BE＝AD，∴∠CAD＝∠CBE，∴∠DFE＝∠CAD+∠CEB＝∠CBE+∠CEF＝∠ACB＝60°；故答案为BE＝AD，∠DFE＝60°；（2）连接EM，则△CEM是等腰直角三角形，∴CE＝CM，∵∠ACB＝45°＝∠ECM，∴∠BCE＝∠ACM，∵BC＝AC，∴＝＝，∴△BCE∽△ACM，∴＝＝，∠CBE＝∠CAM，∵∠BFM＝∠BAF+∠ABF＝∠BAC+∠CAM+∠ABF＝90°+∠CBE+∠ABF＝90°+∠ABC＝135°，∴∠MFE＝45°；故答案为，45°；（3）取BC中点F，取CD中点M，连接MN，AF，NF，EM，∴NF，NM是△BCD的中位线，∴NF＝CD＝EM，NM＝BC＝AF，∵NF∥CD，NM∥BC，∴四边形NFCM是平行四边形，∴∠NFC＝∠NMC，∵∠AFC＝90°＝∠EMC，∴∠AFN＝∠EMN，∵在△AFN和△NME中，，∴△AFN≌△NME，（SAS）∴AN＝EN，∠NAF＝∠ENM，∵MN∥BC，AF⊥BC，∴MN⊥AF，∴∠NAF+∠ANM＝90°，∴∠ENM+∠ANM＝90°，即∠ANE＝90°，∴AN⊥EN．4．△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形．直线BE与直线AD交于点M，点D、E不在△ABC的边上．（1）当点E在△ABC外部时（如图1），写出AD与BE的数量关系．（2）若CD＜BC，将△CDE绕着点C逆时针旋转，使得点E由△ABC的外部运动到△ABC的内部（如图2）．在这个运动过程中，∠AMB的大小是否发生变化？若不变，在图2的情况下求出∠AMB的度数，若变化，说明理由．（3）如图3，当B、C、D三点在同一条直线上，且BC＝CD时，写出BM，ME与BC之间的数量关系．【解答】解：（1）AD＝BE，理由：∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD；（2）不变，∠AMB＝60°，理由：∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，∴△BEC≌△ADC，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠EBC+∠ABM＝60°∴∠MAC+∠ABM＝60°，∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝60°．（3）如图3，∵当B、C、D三点在同一条直线上，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠BCE＝120°，∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，且BC＝CD，∴BC＝CE，∴∠CBE＝∠BEC＝30°，∵∠BCF＝60°，∴∠BFC＝90°，∵BC＝EC，∴BE＝2BF，在Rt△BFC中，∠BCF＝30°，∴BF＝BC，∴BE＝2BF＝BC，∵BE＝BM+ME，∴BM+ME＝BC．5．阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE．解决问题：（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，连接BD，若AC＝2cm，CE＝1cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到三角形CD′E′（使∠ACD′＜180°），连接BE′，AD′，设AD′分别交BC、BE′于O、F，若△ABC满足∠ACB＝60°，BC＝，AC＝，①求的值及∠BFA的度数；②若D为AC的中点，求△AOC面积的最大值．【解答】解：（1）猜想：AD＝BE，证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD∠BCD，即∠ACD＝BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如下图1所示，当△CDE旋转到BC与C到DE到高在同一条直线上时，△BDE面积最大，此时，DE边上的高为∴△BDE面积最大值为．（3）①如图3，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴∵△CD'E'由△CDE绕C点旋转得到∴CE'＝CE，CD'＝CD，∠DCE＝∠D'CE'＝60°∴，则又∵∠DCE+∠BCD'＝∠D'CE'+∠BCD'，即∠ACD'＝∠BCE'∴△ACD'∽△BCE'∴由△ACD'∽△BCE'得∠CBE'＝∠CAF∴∠BFA＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠ABC+∠FAC）＝180°﹣120°＝60°②如图4所示，当D'与点O重合时，△AOC的面积最大过点O作OG⊥AC于G，∴∴△AOC的面积的最大值为．6．（1）问题发现如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE．填空：①∠AEC的度数为120°；②线段AE、BD之间的数量关系为AE＝BD．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE．试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，点P在以AC为直径的半圆上，AP＝1，①∠DPC＝45°；②请直接写出点D到PC的距离为或．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴CE＝CD，CA＝CB，∠ECA＝60°﹣∠ACD，∠DCB＝60°﹣∠ACD，在△ECA与△DCB中，，∴△ECA≌△DCB，∴∠AEC＝∠BDC＝∠CED+∠CDE＝60°+60°＝120°，故答案为：120°；②∵△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，故答案为：AE＝BD；（2）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴∠ECA＝90°﹣∠ACD，∠DCB＝90°﹣∠ACD，∴∠ECA＝∠DCB，在△ECA与△DCB中，，∴△ECA≌△DCB，∴∠AEC＝∠BDC＝135°，BD＝AE，∴∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝135°﹣45°＝90°，∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM＝MD，∵BM＝BD+DM，∴BM＝AE+CM；（3）①四边形ABCD为正方形，点P在以AC为直径的半圆上，∴∠APC+∠ADC＝90°+90°＝180°，∴A，P，C，D四点共圆，∴∠DPC＝∠DAC＝45°，故答案为：45；②过点D作DM⊥PC，垂足为M，∵在正方形ABCD中，CD＝2，点P在以AC为直径的半圆上，AP＝1，∴AC＝2，PC＝＝＝，∵∠DPC＝45°，∴DM＝PM，设DM＝PM＝x，则MC＝﹣x，在Rt△DMC中，DM2+MC2＝DC2，则x2+（﹣x）2＝22，整理得：2x2﹣2x+3＝0，解得；x1＝，x2＝，即点D到PC的距离为：或．故答案为：或．7．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，则线段AE、BD的数量关系为AE＝BD，AE、BD所在直线的位置关系为AE⊥BD；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD＝90°，AC＝AD，连接BD，则BD的长为或7﹣3．【解答】解：（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠CBD＝90°∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BD．故答案为AE＝BD，AE⊥BD．（2）结论：AD＝2CM+BD，理由：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM．∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．（3）情形1：如图3﹣1中，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE．∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，∴EC＝＝＝，∴BD＝CE＝．情形2：如图3﹣2中，作AE⊥AB交BC的延长线于E，则△ABE是等腰直角三角形，同法可证：△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE，∵AB＝AE＝7，∴BE＝7，∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，综上所述，BD的长为或7﹣3．故答案为或7﹣3．8．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝120°；②线段AD、BE之间的数量关系是AD＝BE．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．故答案为：120．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；故答案为：AD＝BE．（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∴AB＝＝＝17；（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：则△BEC≌△APC，∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，即D、P、E在同一条直线上，∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，在Rt△BDE中，，即BD的长为13．9．（1）问题发现如图1，△ABC和△BDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CD．填空；①∠CDB的度数为60°；②线段AE，CD之间的数量关系为AE＝CD．（2）拓展探究如图2，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点A，D，E在同一直线上，BF为△DBE中DE边上的高，连接CD．①求∠CDB的大小；②请判断线段BF，AD，CD之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，AC＝2，AE＝1，CE⊥AE于E，请补全图形，求点B到CE的距离．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DBE均为等边三角形，∴BA＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°．∴∠ABE＝∠CBD．在△BCD和△BAE中，∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BD＝BE，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠CDB＝∠BEA．∵△DBE为等边三角形，∴∠CDB＝∠BED＝60°．故答案为：60°．②∵△BCD≌△BAE，∴CD＝AE，故答案为：CD＝AE，（2））∠CDB＝45°，CD＝AD+2BF理由：∵△ACB和△DBE均为等腰直角三角形，∴BA＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°．∴∠ABE＝∠CBD．在△BCD和△BAE中，∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BD＝BE，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠CDB＝∠AEB，CD＝AE∵BF是△DBE均为等腰直角三角形，∴∠CDB＝∠AEB＝45，DE＝2BF，∴CD＝AE＝AD+DE＝AD+2BF．∴∠CDB＝45°，CD＝AD+2BF；（3）①如图，连接EB，ED，作BH⊥CE，BP⊥BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，AB＝AD＝CD＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴CD＝2，∴AC＝2，∵AE＝1，∴CE＝，∵A，E，B，C四点共圆，∴∠BCE＝∠CAB＝45°，∴△PBE是等腰直角三角形，∵△ABC是等腰直角三角形，且C，E，P共线，BH⊥CE，∴由（2）的结论可得，CE＝AE+2BH，∴＝2BH+1，∴BH＝．②同①的方法可得，CE＝2BH﹣AE，∴＝2BH﹣1，∴BH＝，∴点B到CE的距离为或．10．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC＝CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC＝CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵AC＝BC＝BD+CD，∴AC＝CD+CE；故答案为：AC＝CD+CE；（2）∠ACE＝45°，AC＝CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∵BC＝CD+BD，∴BC＝CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC＝AC，∴AC＝CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，∴BD＝2，BC＝，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC＝BC+CD，∴AC＝＝＝．11．（1）问题发现：如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD、BE之间的数量关系是AD＝BE．（2）拓展探究：如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE．①请判断∠AEB的度数并说明理由；②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，试求△ABF的面积．【解答】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE；（2）①∠AEB＝90°证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°；②延长BE交AC的延长线于点G，由①可知∠CAD＝∠CBE，∠AEB＝90°，在△ACF和△BCG中，，∴△ACF≌△BCG，∴AF＝BG，∵∠CAF＝∠BAF，∠AEB＝90°，∴E是BG的中点，∵BE＝2，∴BG＝4，∴AF＝4，∴S＝＝4．△ABF12．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD、BE之间的数量关系为AD＝BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【解答】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE．（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．（3）点A到BP的距离为或．理由如下：∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上．∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°．∴BD＝2．∵DP＝1，∴BP＝．∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°．∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH+PD．∴＝2AH+1．∴AH＝．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP＝2AH﹣PD．∴＝2AH﹣1．∴AH＝．综上所述：点A到BP的距离为或．13．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD＝BE；（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，，∴△CDA≌△CEB，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，又∠CED＝60°，∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；②由①知，△CDA≌△CEB，∴AD＝BE；故答案为：60°，AD＝BE（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；结论：AE＝2CM+BE，在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM．∴AE＝DE+AD＝2CM+BE∴AE＝2CM+BE．（3）如图3，∵点P到点B的距离是3，∴点P是以点B为圆心，3为半径的圆，当B、D、A三点在同一条直线上时，BD有最小值，∵∠ACB＝90°，∠DCP＝90°，∴∠ACD＝∠BCP在△ACD与△BCP中，，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴∠PBC＝∠A＝45°，AD＝BP＝3，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，∴AB＝5∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3此时∠PBC＝45°时，BD的最小值为5﹣3，同理可得：如图4，当B、D、A三点在同一条直线上时，BD的最大值为：AB+AD＝AB+BP＝5+3，14．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），点D，点E分别是AC，BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，及旋转角为α，连接AD′，BE′．（1）如图①，若0°＜α＜90°，当AD′∥CE′时，求α的大小；（2）如图②，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∠CBE′的值；（3）若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图1中，∵AD′∥CE′，∴∠AD′C＝∠E′CD′＝90°，∵AC＝2CD′，∴∠CAD′＝30°，∴∠ACD′＝90°﹣∠CAD′＝60°，∴α＝60°．（2）如图2中，作CK⊥BE′于K．∵AC＝BC＝＝2，∴CD′＝CE′＝，∵△CD′E′是等腰直角三角形，CD′＝CE′＝，∴D′E′＝2，∵CK⊥D′E′，∴KD′＝E′K，∴CK＝D′E′＝1，∴sin∠CBE′＝＝＝．（3）如图3中，以C为圆心为半径作⊙C，当BE′与⊙C相切时AP最长，则四边形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．∵AP＝AD′+PD′＝+，∵cos∠PAB＝＝，∴AH＝2+，∴点P横坐标的最大值为．如图4中，当BE′与⊙C相切时AP最短，则四边形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．根据对称性可知OH＝，∴点P横坐标的最小值为﹣，∴点P横坐标的取值范围为﹣≤m≤．15．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）①如图1，当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并直接写出此时DE＝6；②如图2，若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，则DQ＝4或16；【分析】（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P，点P即为所求．理由勾股定理可得DE．②如图2中，结论：EC∥PA．只要证明PA⊥BE，EC⊥BE即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P，点P即为所求．在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AE＝AB＝10，AD＝8，∴DE＝＝＝6，故答案为6．②如图2中，结论：EC∥PA．理由：由翻折不变性可知：AE＝AB，PE＝PB，∴PA垂直平分线段BE，即PA⊥BE，∵PB＝PC＝PE，∴∠BEC＝90°，∴EC⊥BE，∴EC∥PA．（2）①如图3﹣1中，当点Q在线段CD上时，设DQ＝QD′＝x．在Rt△AD′B中，∵AD′＝AD＝8，AB＝10，∠AD′B＝90°，∴BD′＝＝6，在Rt△BQC中，∵CQ2+BC2＝BQ2，∴（10﹣x）2+82＝（x+6）2，∴x＝4，∴DQ＝4．②如图3﹣2中，当点Q在线段DC的延长线上时，∵DQ∥AB，∴∠DQA＝∠QAB，∵∠DQA＝∠AQB，∴∠QAB＝∠AQB，∴AB＝BQ＝10，在Rt△BCQ中，∵CQ＝＝6，∴DQ＝DC+CQ＝16，综上所述，满足条件的DQ的值为4或16．故答案为4和16．16．已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．（1）求线段BC的长；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M是线段OC的中点，点N是线段OB上的动点（不与点O重合），求△CMN周长。
中考数学复习专题：几何综合题（含答案解析）
中考数学复习专题：⼏何综合题（含答案解析）⼏何综合题1.已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ，过点C 作AD 的垂线，交 AD 的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=?①直接写出B ∠和ACB ∠的度数；②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，⽤等式表⽰线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．答案：（1）①75B ∠=?，45ACB ∠=?；②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=?，AD=2可得DE =1，AE 3=. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=?，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=?，可得AH 33+=；（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明：延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==.2.正⽅形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图1，当045α?<②⽤等式表⽰NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α?<CDBA图1备⽤图C DBAM答案：（1）①补全的图形如图7所⽰．（2）当45°<α<90°时，=1802NCE BAM ∠?-∠．证明：如图8，连接CM ，设射线AM 与CD 的交点为H ．∵四边形ABCD 为正⽅形，∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正⽅形ABCD的对称轴，点A与点C关于直线BD对称．∵射线AM与线段BD交于点M，∴∠BAM=∠BCM=α．-．∴∠1=∠2=90α∵CE⊥AM，∴∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．⼜∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5，∴∠1=∠3．-．∴∠3=∠2=90α∵点N与点M关于直线CE对称，-∠．∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM（313. 如图，已知60AOB ∠=?，点P 为射线OA 上的⼀个动点，过点P 作PE OB ⊥，交OB 于点E ，点D 在AOB ∠内，且满⾜DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=. （1）当DP PE =时，求DE 的长；（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在⼀个定点M ，证明你的判断.答案：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=o，∴30OPE ∠=o.∴30DPA OPE ∠=∠=o.∴120EPD ∠=o∴cos30DF PD =??=∴2DE DF ==（2）当M 点在射线OA 上且满⾜OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下：当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =.∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠,∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =.作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N . ∵3,60MO MOL =∠=o，∴sin 603ML MO =?=o.∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ，∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MKME =.∴ME MKMD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成⽴.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上⼀动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中⼼，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G. （1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的⼤⼩（⽤含α的式⼦表⽰）；（3）⽤等式表⽰线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明．答案：（1）补全的图形如图所⽰.（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，∴△ACE ≌△GCF. ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠?= ∴AG =3CG .即AF+AE =3CG .5.如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，⽤等式表⽰线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．答案：（1）如图；ABCE（2）45°；（3）结论：AM CN．证明：作AG⊥EC的延长线于点G．∵点B与点D关于CE对称，∴CE是BD的垂直平分线．∴CB=CD．∴∠1=∠2=α．∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．∵∠4=90°，∴∠3=12（180°-∠ACD）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．∴∠6=∠7．∵AG⊥EC，∴∠G=90°=∠8．∴在△BCN和△CAG中，∠8=∠G，∠7=∠6，BC=CA，∴△BCN≌△CAG．∴CN=AG．∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°，∴AM AG．∴AM CN．6.在正⽅形ABCD中，M是BC边上⼀点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；答案：（1）补全图形略（2）①证明：连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，∴AQ AP =，90QAP ∠=°．∵四边形ABCD 是正⽅形，∴AD AB =，90DAB ∠=°．∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ．∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ?中，90Q QPA ∠+∠=°，∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°．∵在Rt BPD ?中，222DP BP BD +=，⼜∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=．②BP AB =．7.如图，在等腰直⾓△ABC 中，∠CAB=90°，F 是AB 边上⼀点，作射线CF ，过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ．（1）求证：∠ABG =∠ACF ；（2）⽤等式表⽰线段C G ，AG ，BG 之间∵∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ，∴∠BGF =∠CAB =90°. ∵∠GFB =∠CFA . ∴∠ABG =∠ACF .（2）CG =2AG +BG .证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ，∵△ABC 是等腰直⾓三⾓形，∴∠CAB =90°，AB =AC . ∵∠ABG =∠ACH . ∴△ABG ≌△ACH . ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴∠GAH =90°. ∴ 222AG AH GH +=. ∴ GH =2AG . ∴ CG =CH +GH =2AG +BG .8.如图，在正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上⼀点，连接AE ，延长CB ⾄点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对⾓线AC 于点P ，连接AF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC =∠APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．答案：（1）补全图如图所⽰．（2）证明∵正⽅形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°，∴∠PAH =45°-∠BAE ．∵FH ⊥AE ．EDCBAM H PDAC∴∠APF=45°+∠BAE．∵BF=BE，∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．∴∠FAC=45°+∠BAF．∴∠FAC=∠APF．（3）判断：FM=PN．证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，∴MN=BQ，BQ⊥AE．∵正⽅形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠BAE=∠CBQ．∴△ABE≌△BCQ．∴AE=BQ．∴AE=MN．∵∠FAC=∠APF，∴FP=MN．∴FM=PN．9.如图所⽰，点P位于等边ABC△的内部，且∠ACP=∠CBP．(1) ∠BPC的度数为________°；(2) 延长BP⾄点D，使得PD=PC，连接AD，CD．①依题意，补全图形；②证明：AD+CD=BD；(3)在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的⾯积．M HPD AC解：(1)120°. ----------------------------2分(2)①∵如图1所⽰.②在等边ABC △中，60ACB ∠=?，∴60.ACP BCP ∠+∠=? ∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=?∴()180120.BPC CBP BCP ∠=?-∠+∠=?∴18060.CPD BPC ∠=?-∠=? ∵=PD PC ，∴CDP △为等边三⾓形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=?，∴.ACD BCP ∠=∠在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =??∠=∠??=?，，，∴()SAS ACD BCP △≌△. ∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------4分（3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N .∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=?，∴=60.ADB CDB ∠∠=?∴=60.ADB CDB ∠∠=?D∴=BM BN BD == ⼜由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =22==-----------------------------------7分10.如图1，在等边三⾓形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α（0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （⽤含α的式⼦表⽰）；②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.解：（1）①3-． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤QL．……………………………………………………………… 2分（2）设直线+33y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ，(0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=?．由0≤Q①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆⼼1D 满⾜题意，其横坐标取到最⼤值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=．∵⊙D 的半径为1，∴ 111D E =．∴1AE =11OE OA AE =-=．∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y =相切时，相应的圆⼼2D 满⾜题意，其横坐标取到最⼩值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的交点为F ．可得60AOF ∠=?，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =?∠==．图13∵⊙D 的半径为1，∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．=?∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x≤D x≤． ………………………………………… 5分（3）画图见图15．．……………………………… 7分11.如图，在等边ABC △中， ,D E 分别是边,AC BC 上的点，且CD CE = ,30DBC ∠对称，连接,AF FE ，FE 交BD 于G .（1）连接,DE DF ，则,DE DF 之间的数量关系是；（2）若DBC α∠=，求FEC ∠的⼤⼩; （⽤α的式⼦表⽰）（3）⽤等式表⽰线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明.GFEDCBA图15（1）DE DF =；（2）解：连接DE ，DF ，∵△ABC 是等边三⾓形，∴60C ∠=?. ∵DBC α∠=，∴120BDC α∠=?-.∴120BDF BDC α∠=∠=?-，DF DC =. ∴1202FDC α∠=?+. 由（1）知DE DF =.∴F ，E ，C 在以D 为圆⼼，DC 为半径的圆上.∴1602FEC FDC ∠=∠=?+α.（3）BG GF FA =+.理由如下：连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ，∵△ABC 是等边三⾓形，∴60ABC BAC ∠=∠=?，AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称，∴BF BC =，FBD CBD ∠=∠.GFEDCBA∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=，则602ABF α∠=?-. ∴60BAF α∠=?+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠.由（2）知60FEC α∠=?+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=?. ∴120FGB ∠=?，60FGD ∠=?.四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=?-∠-∠-∠=?. ∴60HFG ∠=?.∴△FGH 是等边三⾓形. ∴FH FG =，60H ∠=?. ∵CD CE =，∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中，,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠??∠=∠??=?∴△△AHD BGE ?. ∴BG AH =.∵AH HF FA GF FA =+=+，∴BG GF FA =+．HGFEDCBA12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE= AD，∠EAD=90°，CE交AB于点F，CD=DF.（1）∠CAD= 度；（2）求∠CDF的度数；（3）⽤等式表⽰线段CD和CE之间的数量关系，并证明.解：（1）45 ……………………………………………………………1分（2）解：如图，连接DB.∵90，°，M是BC的中点，AB AC BAC=∠=∴∠BAD=∠CAD=45°.∴△BAD≌△CAD. ………………………………2分∴∠DBA=∠DCA，BD = CD.∵CD=DF,∴B D=DF. ………………………………………3分∴∠DBA=∠DFB=∠DCA.∵∠DFB+∠DFA =180°,∴∠DCA+∠DFA =180°.∴∠BAC+∠CDF =180°.∴∠CDF =90°. ………………………………………4分21CD. ……………………………………5分（3）CE=)证明：∵90∠=°，EAD∴∠EAF =∠DAF =45°. ∵AD =AE ，∴△EAF ≌△DAF . …………………………………6分∴DF =EF .由②可知，CF. …………………………7分∴CE=)1C D .13.如图，正⽅形ABCD 中，点E 是BC 边上的⼀个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对⾓线BD 于点G ，连接AG ．（1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG 的长．解：（1）图形补全后如图…………………1分（2）结论：AG ⊥EF ． …………………2分证明：连接FD ，过F 点FM ∥BC ，交BD 的延长线于点M ．∵四边形ABCD 是正⽅形，∴AB=DA=DC=BC ，∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°，∠ADB =∠5=45°．∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，A BC ED∴AE=AF ，∠FAE =90°．∴∠1=∠2．∴△FDA ≌△EBA ． …………………3分∴∠FDA =∠EBA =90°，FD=BE ．∵∠ADC =90°，∴∠FDA +∠ADC =180°。
2019年中考数学复习专题《代数综合、代数几何综合》(有答案)
代数综合题一：对于实数a，b，我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，如min{3，5}=3，因此，min{－1，－2}=________；若{}22min(1),4+=，则x=___________．x x题二：对于实数c，d，我们用符号max{c，d}表示c，d两数中较大的数，如max{3，5}=5，因此，题四：在平面直角坐标系中，点P(0，m2)(m>0)在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y A、B，交抛物线C2：y于点C、D．(1)如图①，原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC 和QD，求△AOB与△CQD面积比为_______．(2)如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F，在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为_______．题七： 设函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ， ，，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足y 1=y 2=y 3， 求x 1+x 2+x 3的取值范围．题八： 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =243x x ++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ． (1)求直线AC 的表达式；(2)在x 轴下方且垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线AC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1>x 2>x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．参考答案题一：－2，－3或2．详解：∵－2<－1，∴min{－1，－2}=－2，∵{}22+=，x xmin(1),4当(x+1)2=x2时，解得：x=－0.5，(x+1)2=x2=0.25，这时不可能得出最小值为4，当x>－0.5，(x+1)2>x2，则x2=4，解得x1=2或x2=－2(舍去)，当x<－0.5，(x+1)2<x2，则(x+1)2=4，解得x1=－3或x2=1(舍去)，∴x=－3或x=2．题二：∵{}22++=，max22,2x x x当x2+2x+2=x2时，解得：x=－1，x2+2x+2=x2=1，这时不可能得出最大值为2，当x>－1，x2+2x+2>x2，则x2+2x+2=2，解得x1=0或x2=－2(舍去)，∴x=0．题三：∴C (－3m ，m 2)，D (3m ，m 2)，∴CD =6m ，∵O 、Q 关于直线CD 对称， ∴PQ =OP ，∵CD ∥x 轴，∴∠DPQ =∠DPO =90°，∴△AOB 与△CQD 的高相等， PQ CD PO AB ⋅⋅2121=mm 64=32．AEM DFMS S=∵S △OEF +S △OFD =S △OEC +S 梯形ECDF ，而S △OFD =S △OEC =2， 2详解：先作出函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ， ，的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，∵y =242x x -+(x ≥0)的对称轴为x =2，y 1=y 2，∴x 2+x 3=4， ∵y =242x x -+(x ≥0)的顶点坐标为(2，－2)，令y =－2，代入y =3x +1，解得：x =－1，∴－1<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的取值范围是：－1+4<x 1+x 2+x 3<0+4，∴3<x 1+x 2+x 3<4．题八： (1)y =x +3；(2)－8<x 1+x 2+x 3<－7．详解：(1)由y =243x x ++得到：y =(x +3)(x +1)，C，∴A (－3，0)，B (－1，0)，设直线AC 的表达式为：y =kx +b (k ≠0)， ∴⎩⎨⎧==+303-b b k ，解得:⎩⎨⎧==31b k ，所以直线AC 的表达式为y =x +3，(2)由y =243x x ++得到：y =(x +2)2－1，∴抛物线y =243x x ++的对称轴是x =－2， 顶点坐标是(－2，－1)，∵y 1=y 2，∴x 1+x 2=－4，令y =－1，代入y =x +3，解得：x =－4，∵x 1>x 2>x 3，∴－4<x 3<－3，∴－4－4<x 1+x 2+x 3<－3－4，∴－8<x 1+x 2+x 3<－7．代数几何综合题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P 的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由.题三：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=，d（B，⊙O）=.是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．参考答案题一： （1）y =214x --+（），M （1，4）；（2）P （1，2）. 详解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过A （-1，0）、B （3，0），C （0，3）三点，∴93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得12c=3a b =-⎧⎪=⎨⎪⎩.故抛物线的解析式为222314y x x x =-++=--+（），故顶点M 为（1，4）； （2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ，题二： （1）y =-x 2-3x +4，C （-2，6）；（2）△ACE 为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A 、B 、D 三点，∴代入抛物线解析式可得164004a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得134a b c -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为 y =-x 2-3x +4， ∵点C （-2，n ）也在此抛物线上，∴n =-4+6+4=6，∴C 点坐标为（-2，6）；∴AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.。
2019年广东省中考数学试卷-答案
广东省2019年初中毕业生学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点2-到原点的距离是2，所以2-的绝对值是2，【考点】绝对值的概念。
2.【答案】B【解析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1＞时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数．221 000的小数点向左移动5位得到2.21，所以221 000用科学记数法表示为52.2110⨯，【考点】科学记数法的表示方法。
3.【答案】A【解析】根据左视图是从左面看得到的图形，结合所给图形以及选项进行求解即可.观察图形，从左边看得到两个叠在一起的正方形，如下图所示：，【考点】简单几何体的三视图。
4.【答案】C【解析】根据同底数幂除法法则、同底数幂乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则逐一进行计算即可得.A.633b b b ÷=，故A 选项错误；B.336b b b ⋅=，故B 选项错误；C.2222a a a +=，正确；D.()339a a =，故D 选项错误，【考点】同底数幂的乘除法，幂的乘方等运算。
5.【答案】C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得.A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，【考点】轴对称图形和中心对称图形。
6.【答案】C【解析】根据中位数的定义进行求解即可。
从小到大排序：3、3、5、8、11，位于最中间的数是5，所以这组数据的中位数是5，【考点】中位数。
7.【答案】D【解析】先由数轴上a ，b 两点的位置确定A ，b 的取值范围，再逐一验证即可求解．由数轴上a ，b 两点的位置可知21a --＜＜，01b ＜＜， 所以a b ＜，故A 选项错误；a b ＞，故B 选项错误；0a b +＜，故C 选项错误；0a b＜，故D 选项正确， 【考点】实数与数轴，实数的大小比较、实数的运算等。
2019年广东中考数学试题及答案(共4卷)
广东中考数学试卷一(时间：100分钟，满分120分)一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)1．27的立方根是（ ） A ．3 B ．3- C ．9 D ．9-2．5月31日，参观上海世博会的游客约为505 000人.505 000用科学记数法表示为( )A ．505×103B ．5.05×103C ．5.05×104D ．5.05×105 3．下列计算正确的是( )A ．a 4＋a 2＝a 6B ．2a ·4a ＝8aC ．a 5÷a 2＝a 3D ．(a 2)3＝a 54．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－2C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1 5．一个几何体的三视图如图所示．那么这个几何体是( )二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)6．若x 、y 为实数，且x ＋3＋|y －2|＝0，则x ＋y ＝ .7．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 .8．一组数据1,6，x,5,9的平均数是5，那么这组数据的中位数是 .9．双曲线y ＝2k －1x的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是 .10．如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有 个．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 11．计算：(－2 011)0＋⎝⎛⎭⎫22－1＋||2－2－2cos60°.12．解方程：x ＋4x x －1＝3x －1.13．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2－4a ＋4－a ＋2a 2－2a ÷⎝⎛⎭⎫4a －1，其中a ＝2－ 3.14．如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2,0)，B (0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．15．某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB ＝6 m ， ∠ABC ＝45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使∠ADC ＝30°(如图所示)．(1)求调整后楼梯AD 的长； (2)求BD 的长(结果保留根号)．四、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分)16．日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A 处，观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B 处，这时观察到城市P 位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B 处与城市P 的距离？⎝⎛参考数据：sin 36.90≈35，tan 36.90≈34，⎭⎫sin 67.50≈1213，tan 67.50≈12517．2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．18．绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．(1)王灿有几种方案安排甲、乙两种货车可一次性地将水果运到销售地？(2)若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？19．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D .(1)以AB 边上一点O 为圆心，过A 、D 两点作⊙O (不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若(1)中的⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，AB ＝6，BD ＝2 3，求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的图形面积(结果保留根号和π)．五、解答题(本大题共3小题，每小题9分，共27分)20．对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪ a c ⎪⎪⎪b d 的意义是⎪⎪⎪ a c⎪⎪⎪b d ＝ad －bc . (1)按照这个规定请你计算⎪⎪⎪ 57⎪⎪⎪68的值；(2)按照这个规定请你计算：当x 2－3x ＋1＝0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －23xx －1的值．21．已知：如图，在△ABC 中，BC ＝AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E .(1)求证：点D 是AB 的中点；(2)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(3)若⊙O 的直径为18，cos B ＝13，求DE 的长．22．如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过A (－2，－1)，B (0,7)两点．(1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)当x 为何值时，y ＞0?(3)在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C 、D 两点(点C 在对称轴的左侧)，过点C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为F 、E .当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．广东中考数学试卷一参考答案一、选择题1. A2. D3. C4. A5. C 二、填空题6. －17. 38. 59. k <12 10. 100三、解答题11.解：原式＝1＋2＋2－2－1＝212.解：方程两边同乘最简公分母x (x －1)，得x ＋4＝3x ，解得x ＝2. 经检验：x ＝2是原方程的根． ∴原方程的解为x ＝2. 13.解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1a －22－a ＋2a a －2÷4－aa＝aa －1－a －2a ＋2a a －22·a4－a＝1a －22.当a ＝2－3时，原式＝13.14.解：(1)把A (2,0)，B (0，－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2b ＋c ＝0c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝－6. ∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线对称轴为直线x ＝－42×⎝⎛⎭⎫－12＝4，∴点C 的坐标为(4,0)，∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2， ∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6.15.解：(1)已知AB ＝6 m ，∠ABC ＝45°， ∴AC ＝BC ＝AB ·sin45°＝6×22＝3 2，∵∠ADC ＝30°，∴AD ＝2AC ＝6 2. 答：调整后楼梯AD 的长为6 2m. (2)CD ＝AD ·cos30°＝6 2×32＝3 6，∴BD ＝CD －BC ＝3 6－3 2. 答：BD 的长为(3 6－3 2)m.16.解：如图，过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC ＝x 海里， 在Rt △APC 中，∵tan ∠A ＝PC AC， ∴AC ＝PC tan67.5°＝5x12.在Rt △PCB 中，∵tan ∠B ＝PC BC， ∴BC ＝x tan36.9°＝4x3.∵AC ＋BC ＝AB ＝21×5， ∴5x 12＋4x3＝21×5，解得 x ＝60. ∵sin ∠B ＝PCPB，∴PB ＝PC sin ∠B ＝60sin36.9°＝60×53＝100(海里)．∴海检船所在B 处与城市P 的距离为100海里．17.解：(1)∵红球有2x 个，白球有3x 个，∴P (红球)＝2x 2x ＋3x ＝25，P (白球)＝3x 2x ＋3x ＝35，∴P (红球)< P (白球)， ∴这个办法不公平．(2)取出3个白球后，红球有2x 个，白球有(3x －3)个， ∴P (红球)＝2x5x －3，P (白球)＝3x －35x －3，x 为正整数，∴P (红球)－ P (白球) ＝3－x5x －3.①当x <3时，则P (红球)> P (白球)， ∴对小妹有利．②当x ＝3时，则P (红球)＝ P (白球)， ∴对小妹、小明是公平的．③当x >3时，则P (红球)< P (白球)，∴对小明有利．18.解：(1)设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车(8－x )辆，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋28－x ≥20x ＋28－x ≥12， 解此不等式组得2≤x ≤4. ∵x 是正整数，∴x 可取的值为2,3,4.甲种货车 乙种货车 方案一 2辆 6辆 方案二 3辆 5辆 方案三4辆4辆(2)方案一所需运费为300×2＋240×6＝2 040元； 方案二所需运费为300×3＋240×5＝2 100元； 方案三所需运费为300×4＋240×4＝2 160元．∴王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2 040元． 19.解：(1)如图 (需保留线段AD 中垂线的痕迹)．直线BC 与⊙O 相切．理由如下：连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝∠DAC . ∴∠ODA ＝∠DAC . ∴OD ∥AC . ∵∠C ＝90°，∴∠ODB ＝90°，即OD ⊥BC . 又∵直线BC 过半径OD 的外端， ∴BC 为⊙O 的切线．(2)设OA ＝OD ＝r ，在Rt △BDO 中，OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴r 2＋(2 3)2＝(6－r )2，解得r ＝2. ∵tan ∠BOD ＝BDOD ＝3，∴∠BOD ＝60°.∴S 扇形ODE ＝60π·22360＝23π.∴所求图形面积为S △BOD －S 扇形ODE ＝2 3－23π.20.解：(1)⎪⎪⎪ 57⎪⎪⎪68＝5×8－6×7＝－2. (2)⎪⎪⎪ x ＋1x －2⎪⎪⎪3x x －1＝()x ＋1()x －1－3x ()x －2 ＝x 2－1－3x 2＋6x ＝－2x 2＋6x －1. 又∵x 2－3x ＋1＝0， ∴x 2－3x ＝－1，原式＝－2(x 2－3x )－1＝－2×(－1)－1＝1. 21.(1)证明：如图，连接CD ，则CD ⊥AB ，又∵AC ＝BC ，∴AD ＝BD , 即点D 是AB 的中点． (2)解：DE 是⊙O 的切线．理由是：连接OD ，则DO 是△ABC 的中位线， ∴DO ∥AC . 又∵DE ⊥AC ， ∴DE ⊥DO ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线．(3)∵AC ＝BC ，∴∠B ＝∠A ，∴cos ∠B ＝cos ∠A ＝13.∵cos ∠B ＝BD BC ＝13，BC ＝18，∴BD ＝6，∴AD ＝6. ∵cos ∠A ＝AE AD ＝13，∴AE ＝2.在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝4 2.22.解：(1)把A (－2，－1)，B (0,7)两点的坐标代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －4－2b ＋c ＝－1c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝7. 所以，该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋7，又因为y ＝－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8，所以对称轴为直线x ＝1. (2)当函数值y ＝0时，－x 2＋2x ＋7＝0的解为x ＝1±2 2，结合图象，容易知道1－2 2<x <1＋2 2时，y >0.(3)当矩形CDEF 为正方形时，设C 点的坐标为(m ，n )， 则n ＝－m 2＋2m ＋7，即CF ＝－m 2＋2m ＋7. 因为C 、D 两点的纵坐标相等，所以C 、D 两点关于对称轴x ＝1对称， 设点D 的横坐标为p ，则1－m ＝p －1，所以p ＝2－m ，所以CD ＝(2－m )－m ＝2－2m . 因为CD ＝CF ，所以2－2m ＝－m 2＋2m ＋7， 整理，得m 2－4m －5＝0，解得m ＝－1或5. 因为点C 在对称轴的左侧，所以m 只能取－1. 当m ＝－1时，n ＝－m 2＋2m ＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4. 于是，点C 的坐标为(－1,4)．广东中考数学试卷二考试用时100分钟，满分为120分一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．－2的倒数是（ ）A ．2B ．－2C ．21D ．21-2．据中新社北京2010年12月8日电，2010年中国粮食总产量达到546 400 000吨，用科学记数法表示为（ ）A ．5.464×107吨B ．5.464×108吨C ．5.464×109吨D ．5.464×1010吨3．将左下图中的箭头缩小到原来的21，得到的图形是（ ）4．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A ．51 B ．31 C ．85 D ．835．正八边形的每个内角为（ ）A ．120ºB ．135ºC ．140ºD ．144º二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 6．已知反比例函数xky =的图象经过(1，－2)，则=k ____________． 7．使2-x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______ _____． 8．按下面程序计算：输入3=x ，则输出的答案是_______________．9．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ．若∠A =40º，则∠C =_____．10．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3)中阴影部分；A ．B ．D ．题3图题9图 B C O A如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为_________________．三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分） 11．计算：20245sin 18)12011(-︒+-．12．解不等式组：⎩⎨⎧-≤-->+128,312x x x ，并把解集在数轴上表示出来．13．已知：如图，E ，F 在AC 上，AD //CB 且AD =求证：AE =CF ．题13图 B C D A F E题14图题10图（1） E题10图（2） 题10图（3）14．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1．（1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．15．已知抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点． （1）求c 的取值范围；（2）试确定直线1+=cx y 经过的象限，并说明理由．四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）16．某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？ 17．如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30º，∠ABD =45º，BC =50m . 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）.18．李老师为了解班里学生的作息时间表，调查了班上50名学生上学路上花费的时间，他发现学生所花时间都少于50分钟，然后将调查数据整理，作出如下频数分布直方图的一部分（每组数据含最小值不含最大值）．请根据该频数分布直方图，回答下列问题： （1）此次调查的总体是什么？ （2）补全频数分布直方图；（3）该班学生上学路上花费时间在30分钟以上（含30分钟）的人数占全班人数的百分比是多少？19．如图，直角梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，∠A =90º，∠C =30º．折叠纸片使BC 经过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕，且BF =CF =8． （1）求∠BDF 的度数； （2）求AB 的长．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）20．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36…………………………题19图 B C E D A F（1）表中第8行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方，第8行共有____________个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是___________________，最后一个数是________________，第n 行共有_______________个数；（3）求第n 行各数之和．21．如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB =AC =EF =9，∠BAC =∠DEF =90º，固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF (或它们的延长线)分别交BC (或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2)（1）问：始终与△AGC（2）设CG =x ，BH =y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形.22．如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O 何值时，四边形BCMN 请说明理由.题21图(1) BH F A （D ） G C EC （E ） B F A （D ） 题21图(2)广东中考数学试卷二参考答案一、1-5、DBACB 二、6、-27、___ x ≥2__8、___12__9、__25º__ 10、2561 三、11、原式=-6 12、x ≥3 13、由△ADF ≌△CB E ，得AF =C E ，故得：AE=CF 14、（1）⊙P 与⊙P 1外切。
广东省2019中考数学复习检测 专题训练九 几何综合题
百度文库，精选试题专题训练九解答题突破——几何综合题ABOABOOHABHCAH上异交圆于点＝6、过点是弧1．如图1、作是⊙、点的直径、⊥ABCCDOACEOHDECOA 的延长、、于⊥、的直线交的动点、过点、垂足分别为作⊥、过点GGCDCED．、且∠＝∠线于点图1GCO的切线；求证：是⊙(1)DE的长； (2)求CCFDEFCEDCF的长．⊥＝30°、求于点(3)过点、若∠作ABCOABACADBCEFOE上的一点、交内接于⊙且、、＝于点、直径如图2．2、已知△是CFBD．使∥图2BECE；＝(1)求证：BFCD的形状、并说明理由；试判断四边形 (2)BCADCD的长．、求＝(3)若10＝8、ABOCOABCAC的平分线与是⊙在⊙的直径、点上、∠、3．(2016·丹东模拟)如图3DOAE.相交于点过点、与⊙的切线相交于点图3ACB＝__________°、理由是：________________________；(1)∠EAD的形状、并证明你的猜想；猜想△ (2)ABADBD．＝6(3)若＝8、、求OABCODEFlAD、、正方形与正方形上、连接放置在直线)4．(2016·临沂模拟如图4CFADCFADCF成立．、此时⊥＝、ODEFOADCF 还相等吗？若、试判断正方形(1)绕点逆时针旋转一定的角度、如图5与试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题成立、请证明；若不成立、请说明理由．GADOCOElODEF、如点逆时针旋转、使点与旋转至直线的交点为(2)正方形上、绕CFAD.、求证：⊥图6CGODAO的长．＝＝3、2时、求线段(3)在(2)小题的条件下、当图4 图5 图6ABCDPADA、不与点、点边上的一点为5．如图7、现有一张边长为4的正方形纸片(DBPCGPGDCH、折痕为)、将正方形纸片折叠、使点处、落在于处、点交点落在重合EFBPBH.、、连接图7APBBPH；求证：∠＝∠(1)APHCPH；＋ (2)求证：＝APPH的长． 1(3)当时、求＝参考答案：OCDEM、如图3、交所示：于证明：1．(1)连接图3OHABCDOACEOH、⊥、、⊥⊥∵DOEOECODC＝90°.＝∠∴∠＝∠ODCE是矩形．∴四边形DCEDEOCMCMD. ∴∠、＝90°、＝＝CEDMDC＝90°、∴∠＋∠MDCMCD.∠＝∠试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题OCGGCDCEDGCDMCD＝∠＝90°.、∴∠∵∠＝90°、即∠＋∠OOCCOGCGC、点是⊙⊥是⊙的切线；∴上一点、∴1ABDEOC(1)得：＝＝3＝；(2)解：由2CEDDCE＝90°、∠(3)解：∵∠＝30°、3313 33 CECEDCFDECE. ＝＝3×＝.∴＝∴·cos∠＝2242ODBD、连接、1．(1)证明：图1ABO的直径、是⊙∵ABBCABO＝90°、∴、即∠⊥ABAD、＝∵ABDADB、＝∠∴∠OBOD、＝∵DBOBDO、＝∠∴∠ABDDBOADBBDO、＋∠＝∠∴∠＋∠ADOABO＝90°、＝∠∴∠ADO的切线；∴是半圆ADOABO＝90°、知、∠＝∠(2)证明：由(1)AADOABOBODBOD、＝360°－∠－∠＝180°－∠－∠∴∠ADO的切线、是半圆∵ODE＝90°、∴∠ODCCDE＝90°、＋∠∴∠BCO的直径、是⊙∵ODCBDO＝90°、∴∠＋∠BDOCDE、∴∠＝∠BDOOBD、＝∠∵∠DOCBDO、∠∴∠＝2DOCCDE、 2∠∴∠＝ACDE；∴∠＝∠CDE＝27°、解：(3)∵∠试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题CDEDOC∴∠＝54°、＝2∠BOD＝180°－54°＝126°、∴∠OB 2∵、＝7×2π126·BD. π∴的长＝＝5180ACDABDAD＝∠是直径、∴∠＝90°.2．(1)证明：∵ACAB，＝??ACDABDACDABD.≌和Rt△Rt中、△∴Rt在Rt△△?ADAD，＝??CADBAD. ＝∠∴∠CEABACBE. 、∴∵＝＝BFCD是菱形．解：四边形(2)CEACADBCBEADAB. 、∴、＝⊥＝证明：∵是直径、DBECFBDFCE.∵∥＝∠、∴∠DBEFCE，∠＝∠??CEBE?，＝CEFBED和△中、在△??CEFBED＝90°，∠＝∠BDBEDCEFCF. ≌△＝、∴∴△BFCD∴四边形是平行四边形．CDBADCADBD. ＝∠、∴∵∠＝BFCD 是菱形．∴四边形CDADADBDBC(3)解：∵＝是直径、、⊥、DCECAEAECCED. ∴∠＝90°、∠＝∠＝∠ECAE2AEAECCEDCEDE、＝.∴∴△·∽△＝.∴CEED2xxADDExBC)、4＝(10、∵、＝8－＝10设、∴＝xx)8(或舍去＝解得：＝22222DECEDCDCE5. 2 ＋在Rt△中、2＝＝＋4＝OOCAB3的直径、点在⊙上、．解：(1)∵是⊙ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角)．∴∠EAD△(2)是等腰三角形．ABECBDDACABC. 、∴∠∵∠＝∠的平分线与相交于点证明：EABOAE＝90°.∵是⊙的切线、∴∠EBAAEB＝90°.＋∠∴∠CBDEDACDBCDB＋∠、∠∵∠＝∠＝90°、试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题CBEABEAEDEDAAEAD. ∴＝∠＝∵∠＝∠.、∴∠EAD是等腰三角形．∴△AEADADAEAD＝6. ＝＝(3)解：∵6＝、∴、ABAEBEB＝中、＝8、∴在直角三角形∵10.CDBECBDABECDBAEB.＝∠∵∠∽△＝∠、∴△、∠AEDC63∴＝＝＝. ABBC84CBxCDxBDxCACDDAx＋6、、∴＝＝4＝、3＝3、则＋＝5 ∴设222ABACBCACB.＋在直角三角形＝中、14222xxxx.2(＝－舍去)＋6)＋(4或)＝8、解得：＝即：(32514xBD.＝∴5＝5ODEFABCOADCF和正方形4．(1)解：理由如下：在正方形＝中、.AOCOODOFAOCDOF＝90°、＝＝∠＝、∠、AOCCODDOFCOD. ＋∠＋∠∴∠＝∠AODCOF、＝∠即∠COAO，＝??COFAOD?，∠＝∠COFAOD和△中、在△??OFOD，＝CFCOFADAOD. (SAS)．∴＝∴△≌△ADCFHCOADG.、证明：如图2、设与交于点交于点与(2)图2AODCOF、∵△≌△OCFGAO. ∴∠＝∠CGHAGO、＝∠∵∠CHGGOA＝90°.∴∠＝∠ADCF.∴⊥DFOEM、 3解：(3)如图、连接交于试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题3图1OEOEDMOMDF、＝则⊥＝、2ODEF、的边长为∵正方形2 由勾股定理得22OE2.2＋＝∴＝21OEOMDM1.＝∴＝＝×2OMAOAM4. ＝3＝＋＋1∴＝DM1DAMADM. 中、tan∠＝＝在Rt△AM4OG1DAMGAO.＝＝＝tan∠∴tan∠OA49313OGCGOCOGOA.－－＝＝＝.∴＝＝∴34444EBPEPBPEBE.、∴∠．(1)证明：∵＝＝∠5EBPEBCEBCEPHEPBEPH. ＝90°、∴∠－∠－∠又∵∠＝∠＝∠PBCBPH. ＝∠即∠PBCAPBADBCABCD. ∥.又∵四边形∴∠为正方形、∴＝∠BPHAPB.∴∠＝∠4图QPHBBQ证明：(2)过、垂足为作、⊥BPHAPB＝∠由(1)知、∠、QBPABP在△中、与△BQPA ＝90°，＝∠∠??QPBAPB?，＝∠∠??BPBP，＝试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题ABPQBP(AAS)．≌△∴△APQPBABQ. ∴、＝＝ABBCBCBQ.又∵、∴＝＝CBQHBCHBQH是直角三角形．＝∠和△＝90°、∴△又∵∠BQBC，＝??BQHBCH中、△与Rt△在Rt?BHBH，＝??BCHBQHCHQHAPHCPH. ＋＝.∴∴Rt△≌Rt △＝(HL)．∴APPQADPD＝、∴、3.＝(3)解：由(2)知、4＝＝1222PHDHPDHxQHHCDHxPD、＝＋＝、则4＝－在.Rt△中、＝设222PHxxx3.4. (－＋即3(4)＝＋1)＝、∴＝、解得2.4试题习题，尽在百度．。
中考数学专题复习：几何综合题
【考点总结】四、全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
三角形专题
1，掌握三角形相关基础知识（2课时）
目标
2，掌握三角形有关模型的全等或相似证明（3课时） 3，完成三角形有关模型的全等或相似证明（3课时）
三角形
模型
手拉手模型
三垂直模型
相似模型
三角形有关的知识
【考点总结】一、三角形中的重要线段 1．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高线，简称高． 特性：三角形的三条高线相交于一点． 2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角 形的三条中线交于一点． 3．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半 4．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线 段叫做三角形的角平分线． 特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
小组合作
1.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段
2019届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案
2019届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BDG和△ADC中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC，∴△ADE ≌△FCE(ASA)．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EG AG.∴AG 2＝GE·GF. 4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形， 理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ， 由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21. ∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形．∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠MAB＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝ADBD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝ABcos45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC ＝BD.又CE ＝AC ，∴BD ＝CE.∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠EFC ，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EA F.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．过（﹣3，0），（0，﹣5）的直线与以下直线的交点在第三象限的是（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．y＝4 D．y＝﹣42．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（﹣a3）2＝﹣a6C．a3•a2＝a6D．a5÷a2＝a33．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为( )A.3B.4C.5D.64．如图，在直角坐标系中，直线AB：y＝﹣2x+b，直线y＝x与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝kx的图象过点C．当S△CDE＝32时，k的值是（）A.18B.12C.9D.35．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1；2，△OAC与△CBD的面积之和为，则k的值为（）A.2B.3C.4D.6．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则AD的长为（）A ．3B ．4C ．D ．87．某天的同一时刻，甲同学测得1m 的测竿在地面上的影长为0.6m ，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m 。