圆锥曲线内切圆专题
圆锥曲线与圆有关的专题（打印版）
圆锥曲线与圆有关的专题（打印版）专题六圆锥曲线与圆有关的专题【知识回顾】一. 园的性质圆的性质在平面解析几何中有广泛而灵活的应用，运用好圆的性质，不仅能免去解几中冗长的运算，还能充分地感受到平面几何的魅力。
1、圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理； 2、垂径分弦定理、射影定理； 3、三角形内切圆和外接圆的性质； 4、圆的内接四边形的性质；5、圆幂定理（相交弦定理，割线定理，切割线定理，切线长定理）.6、圆的切线性质. 二、常见题型1、利用圆的性质求解（或证明）角的大小、弦长、最值等。
2、判定或证明四点共圆：方法1：用定义；方法2：若四边形的对角互补，则四边形的四顶点共圆；方法3：若四边形的外角等于它的内对角，则四边形的四个顶点共圆. 方法4：证明四点的坐标都满足同一个圆的方程。
【例题】一、关于四点共圆说明理由。
四点在同一个圆上？并，使得的）试判断是否存在这样（的方程；的取值范围，并求直线）确定（两点。
交于的垂直平分线与椭圆相的中点，线段是线段上的两点，点是椭圆、设例D ,C ,B ,A 2AB 1D ,C AB AB )3,1(N y 3x B ,A 122λλλ=+.03.A ACD ,,,A 2D 12,2CD 2321,22324CD AB 12.)12(2AB ,)3(2CD ),23,21(,044402y -x :CD ,CD ,AB CD ),,M(x CD 1)2(.04y x AB .120,1k ,3)1x (k y AB 122222200200=?=>∴=-=?=+==∴=-+=<>-=-=-=-++=+=-+>>?-=+-=AD AC DN CN AN D C B C B A AB d MB MA y x d AB M M x x y ：利用解法为直角为直角三角形，共圆：解法四点共圆。
、、、时，当）（的距离为到点。
时，因为当同理得求得与椭圆方程联立得由圆直径为所以若四点共圆，则此的垂直平分因为的中点为：（用定义）设解法方程为直线得由程，由中点公式得代入椭圆方程得二次方方程为）设解：（λλλλλλλ.D ,C ,B ,A 12,t t t t ,ND NC NB NA D ,C ,B ,A ,ND t ,NC t ,NB t ,NA t tsin453y tcos451x CD ,tsin1353y tcos1351x AB 443214321四点共圆时易证此式成立，即即四点共圆，则若组根，分别与椭圆联立得到两方程为方程为设圆幂定理则非常简单。
圆锥曲线的内切圆专题
实用标准文案
5、如图， 在平面直角坐标系中， 直线 y=x+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B， 点 C 和点 B关于 y 轴对称． （ 1）求△ ABC内切圆的半径； （ 2）过 O、A 两点作⊙ M，分别交直线 AB、AC于点 D、E，求证： AD+AE是定值， 并求其值．
6、已知椭圆
（ 2）证明：△ PAB的内切圆的圆心在一条直线上．
点 P（ 3 2 ， 2 ）在直线 l 的上方
（ 1）证明：△ PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； （ 2）若∠ APB=60°，求△ PAB的面积．
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实用标准文案
3、已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b＞0）的离心率 e
6
，过点 A（ 0，-b ）和 B
e
15 ，左顶点 A（-4,0 ），圆 O ： ( x
2) 2
y2
r 2 是椭圆 G的内接
ABC
4
的内切圆 .
( Ⅰ) 求椭圆 G的方程；
②圆 C 是否恒过异于点 F1 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请
( Ⅱ) 求圆 O 的半径 r ；
说明理由．
（Ⅲ）过 M (0,1) 作圆 G的两条切线交椭圆于 E,F 两点，判断直线 EF与圆 O 的
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4、已知圆 C 过点 P（ 1， 1）且与圆 M： (x 2)2 ( y 2)2 r 2 （ r ＞ 0）关于
直线 x+y+2=0 对称，作斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，且点 P（ 1， 1）在直线 l 的左上方． （ 1）求圆 C 的方程． （ 2）证明：△ PAB的内切圆的圆心在定直线 x=1 上． （ 3）若∠ APB=60°，求△ PAB的面积．
圆锥曲线内切圆专题
.圆锥曲线切圆专题1、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方，（1）求直线l 与x 轴交点的横坐标0x 的取值围； （2）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条直线上．2、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方（1）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条定直线上； （2）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．.3、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B（a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求△PQF1的切圆半径r 的最大值4、已知圆C 过点P （1，1）且与圆M ：222)2()2(r y x =+++（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P （1，1）在直线l 的左上方． （1）求圆C 的方程．（2）证明：△PAB 的切圆的圆心在定直线x=1上． （3）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C和点B关于y轴对称．（1）求△ABC切圆的半径；（2）过O、A两点作⊙M，分别交直线AB、AC于点D、E，求证：AD+AE是定值，并求其值．6、已知椭圆122222=+tytx，圆C：222)2(ttyx=-+（t＞0），过椭圆右焦点F2作圆C切线，切点为A，B（1）当t=1时，求切线方程（2）无论t怎样变化，求证切点A，B分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．..7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (2)过点Q 作直线1QR AF P 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C . ①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．8、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X 轴上的椭圆G 的离心率为e =A （-4,0），圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的接ABC ∆的切圆.(Ⅰ) 求椭圆G 的方程； (Ⅱ) 求圆O '的半径r ；（Ⅲ）过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆O '的位置关系，并证明.o '.1、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方，（1）求直线l 与x 轴交点的横坐标0x 的取值围； （2）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条直线上．2、已知椭圆c ：143622=+y x ，斜率为 31的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P （23，2）在直线l 的上方（1）证明：△PAB 的切圆的圆心在一条定直线上； （2）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．.3、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B（a ，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求△PQF1的切圆半径r 的最大值4、已知圆C 过点P （1，1）且与圆M ：222)2()2(r y x =+++（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P （1，1）在直线l 的左上方． （1）求圆C 的方程．（2）证明：△PAB 的切圆的圆心在定直线x=1上． （3）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．.5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，点C 和点B 关于y 轴对称． （1）求△ABC 切圆的半径；（2）过O 、A 两点作⊙M ，分别交直线AB 、AC 于点D 、E ，求证：AD+AE 是定值，并求其值．6、已知椭圆122222=+ty t x ，圆C ：222)2(t t y x =-+（t ＞0），过椭圆右焦点F2作圆C 切线，切点为A ，B （1）当t=1时，求切线方程（2）无论t 怎样变化，求证切点A ，B 分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1，2，，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(1)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程；..(2)过点Q 作直线1QR AF P 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C . ①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上； ②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．解:(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>, 当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 ---3分而2216a b -=,所以225a =，故椭圆的标准方程为221204x y +=---5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+, 所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --,再由1QR AF P ,得(4,0)R t - ---8分 则线段1F R 的中垂线方程为2tx =-, 线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+,由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t -- 经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --, 再由1QR AF P ,得(4,0)R t - 设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D t E t F t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩所以圆心坐标为7(,2)28t t--,经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上 ②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-=第20题P AR OF 1Qx y F 2.该方程可整理为227(216)(4)04x y y t x y ++-+-+=,则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或40x y =-⎧⎨=⎩, 所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432(,)1313(Ⅱ)设B02,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ,BC 交长轴于H由O D HBAD AH '=06y r =+,即 0y =而点B 02,r y +（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-==- (2)- 由(1)、 (2)式得2158120r r +-=,解得23r =或65r =-（舍去）(2) 直线EF 与圆O '的相切设过点M(0,1)与圆224(2)9x y -+=相切的直线方程为:1y kx -=(3)则23=即2323650k k ++= (4) 解得12991616k k --== 将(3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161kx k =-+----------------------13分设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则121222123232,161161k k x x k k =-=-++ 则直线FE 的斜率为：221112211231164EF k x k x k k k x x k k -+===--于是直线FE 的方程为:2112211323231()1614161kk y x k k +-=+++ 即3743y x =- 则圆心(2,0)到直线FE 的距离23d ==故结论成立..。
专题9-1 圆锥曲线(选填)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型
【答案】1 【详解】 抛物线 y2 8x ，
抛物线的准线为 x 2 ，焦点 F 2，0 ，
过点 P 作直线 l 的垂线交于点 C ，如图所示：
由抛物线的定义可知，| PF || PB || PA | p ， 2
则| PA || PF | p | PF | 2 ， 2
d | x0 || PC | | PF | 2, 当 F ， P ， C 三点共线时， | PC | | PF |取得最小值，即 d | x0 | 取得最小值， F (2, 0),
专题 9-1 圆锥曲线（选填）
目录 专题 9-1 圆锥曲线（选填） ................................................................................................................... 1
B． x2 y2 1
32 36
C． x2 y2 1 95
【答案】C 【详解】根据题意，作图如下：
D． x2 y2 1 59
易知 NM NQ ，则 NP NM 6 ，即 NP NQ 6 PQ 4 ，
故点 N 的轨迹是以 P,Q 为焦点且长轴长为 6 的椭圆，
设其方程为 x2 a2
③抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （其中定点 F 不在定直线 l 上）的距 离相等的点({M || MF | d} )的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做
抛物线的准线．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线
x2 9
y2 16
整理得 x2 2ax 2b2 0 ，
由于点 M 在第一象限， x a a2 2b2 ，
圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)
1．过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =，点P ，Q 在直线l ：1y =-上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD()1当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由()2当AB CD ⊥时，点P ，Q 在什么位置时，PQ 取得最小值？详解：()1设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x -，则2114x y =，2224x y =，抛物线的方程可变形为214y x =，则'2x y =， ∴直线PA 的斜率为01'|2PA x x xk y ===，∴直线PA 的方程()1112xy y x x -=-，化简()112x x y y =+，同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+，由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪=-⎨⎪⎩，∴直线AB 的方程为()021x x y =-，则{1x y ==是方程的解， ∴直线AB 经过定点()0,1．()2设(),1P P x -，(),1Q Q x -，由()1可知2PAB x k =，2Q CD x k =， AB CD ⊥，14P Q AB CD x x k k ∴⋅==-，即4P Q x x =-，P x ∴，Q x 异号，不妨设0P x >，则0Q x <，且4Q Px x =-， 44P Q P Q P PPQ x x x x x x ∴=-=-=+≥，当且仅当2P x =，2Q x =-时取等号， 即当()2,1P --，()2,1Q --时，PQ 取得最小值42．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=，又由e =2a b =， 解得：=1b ，或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k +==-+++22212412489363k k k =-++，是定值．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 详解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，得12c a =①将x c =代入22221x y a b+=，结合222a b c =+②，得2b y a =±，所以223b a =③，由①②③得2,a b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设点,P Q 的坐标分别为11,x y （），22,x y （）. ①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得331122P Q -（，），（，）或331122P Q -（，），（，），直线PQ 的方程为1x =②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立得22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2224384120k x kmx m +++-=（）， 由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，得2243k m +>21212228412,.(1)4343km m x x x x k k -+=-=++） 由1212121,(2)(2)4y y k k x x ==-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=，得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=，整理得221212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++= 由（1）和（2）得2220m km k --=，解得2m k =或m k =-当2m k =时，直线PQ 的方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，不合题意； 当m k =-时，直线PQ 的方程为y kx k =-，过定点(1,0)， 综上直线PQ 过定点，定点坐标为(1,0).4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设()()0000,0Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E，取点(0,A ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 详解：（1）因为焦距为4，所以224a b -=，又因为椭圆C过点(P ，所以22421a b +=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y +=已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（2）由题意，E 点坐标为()0,0x ，设(),0D D x ，则(0,AE x =-，(,D AD x =-，再由AD AE ⊥知，0AE AD ⋅=，即080D x x +=. 由于000x y ≠，故08D x x =-，因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故直线QG 的斜率00020088QG y x y k x x x =--=.又因()00,Q x y 在椭圆C 上，所以220028x y +=.①从而002QG x k y =-，故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭② 将②代入椭圆C 方程，得()222200021664160nxy x x x y +-+-=③再将①代入③，化简得：220020x x x x -+=解得0x x =，0y y =，即直线OG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其中120y y ≠.（1）若10x =，求OAB 的面积；（2）在x 轴上是否存在定点T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形. 【详解】（1）当10x =时，代入椭圆方程可得A 点坐标为()0,1或()0,1- 若A 点坐标为()0,1，此时直线l ：440x y +-=联立2244044x y x y +-=⎧⎨+=⎩，消x 整理可得25830y y -+= 解得11y =或235y =，故B 83,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以OAB 的面积为1841255⨯⨯= ()0,1A -若点坐标为，由对称性知OAB 的面积也是45，综上可知，当10x =时，OAB 的面积为45. （2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：4x my =+联立22444x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2248120m y my +++= 由()226441240m m =-⨯+>，得212m >则12284m y y m +=-+，122124y y m =+ , 因为直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以0TA TB k k += 设(),0T t ，则()()()()()()()()122112121212111224TA TB y x t y x t my y t y y y y k k x t x t x t x t x t x t -+-+-++=+==------,即()()()()1212222848124240444m t m t m my y t y y m m m --+-+=+==+++,解得1t =.故x 轴上存在定点()1,0T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形．6．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】 (1)ca =，22131a4b +=，又222a b c -=，解得2a 4=，2b 1=.所以，椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 设直线l的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，整理得，()224m y 10+--=.设()22B x ,y ，11x xy y 12+=，定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得，12y y +=，1221y y 4m -=+.直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数.所以，1212y y0x t x t+=--，即得()()1221y x t y x t 0-+-=.又11x my 0+=，22x my 0+=，所以，))1221y my t y my t 0-+-=，)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得，)21t 2m 04m-⋅=+，即()2m 40=，所以，当t =，即Q ⎫⎪⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x轴时，Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述，存在x轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.7．设椭圆22:182x y C +=，过点()2,1A 的直线AP ，AQ 分别交C 于不同的两点P 、Q ，直线PQ 恒过点()4,0B（1）证明：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值；（2）直线AP ，AQ 分别与x 轴相交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在定点G ，使得GM GN ⋅为定值?若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由.【详解】（1）设()()()()112234,,,,,0,,0P x y Q x y M x N x ，直线PQ AP AQ 、、的斜率分别为12,,k k k ，由()22448y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()222214326480k x k x k +-+-= >0∆，可得：222121222132648,,41414k k k x x x x k k -<+==++，()()()()12121212121212121241412(61)16411222224k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++2222222222648322(61)16416414814164832164241414k k k k k k k k k k k k k-⋅-+⋅++-++-+===----⋅+++（2）由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理4212x k =-，即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设x 轴上存在定点()0,0G x 则 ()()20000121212111112222GM GN x x x x k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=-+-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()212001212122k k x x k k k k ⎛⎫+=-+-⋅+ ⎪⎝⎭()()20012121122x x k k k k ⎛⎫-=-+-⋅+⎪⎝⎭，要使GM GN ⋅为定值，即0021,3x x -==故x 轴上存在定点()3,0G 使GM GN ⋅为定值，该定值为18．如图,已知抛物线E :y 2=4x 与圆M :(x -3)2+y 2=r 2(r>0)相交于A ,B ,C ,D 四个点.(1)求r 的取值范围;(2)设四边形ABCD 的面积为S ,当S 最大时,求直线AD 与直线BC 的交点P 的坐标. 【详解】(1)联立抛物线与圆的方程22224,(3),y x x y r ⎧=⎨-+=⎩消去y ,得x 2-2x+9-r 2=0.由题意可知x 2-2x+9-r 2=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根,所以2244(9)0,90,r r ⎧∆=-->⎨->⎩解得3,即r. (2)根据(1)可设方程x 2-2x+9-r 2=0的两个根分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2),则A (x 1),B (x 1, -C (x 2, -D (x 2且x 1+x 2=2,x 1x 2=9-r 2, 所以S=12(AB +CD )·(x 2-x 1)=12x 2-x 1) ==令∴(0,1),f (t )=S 2=4(2+2t )(4-4t 2)= -32(t 3+t 2-t -1), f'(t )= -32(3t 2+2t -1)= -32(t+1)(3t -1),可得f (t )在(0,13)上单调递增,在(13,1)上单调递减,即当t=13时,四边形ABCD 的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性,可设P 点坐标为(m ,0),由P ,A ,D 三点共线,21=1整理得m=--t=-13, 所以点P 的坐标为(-13,0).9．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>，离心率e =，短轴2b =点，以坐标轴为对称轴，焦点为()0,1， （1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为O ,A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有OA OB ⊥，当线段AB 的中点在轴上时，求直线AB 的方程． 【详解】 (1)由2e =得a =，又有b =222a b c =+，解得a = 所以椭圆方程为2212010y x +=由抛物线的焦点为()0,1得，抛物线焦点在y 轴，且12p=， 抛物线的方程为：24x y =(2)由题意点A 位于第一象限，可知直线OA 的斜率一定存在且大于0 设直线OA 方程为：y kx =，0k >联立方程24y kx x y=⎧⎨=⎩得：24x kx =，可知点A 的横坐标4A x k =，即()24,4A k k因为OA OB ⊥，可设直线OB 方程为：1y x k=-连立方程22112010y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222012k x k =+，从而得x =若线段AB 的中点在y轴上，可知B x =B ⎛ ⎝有4k =0k >，解得k =从而得12A ⎫⎪⎭，()B 直线AB的方程：8180y +-=10．已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1，0)，椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；②若直线AB 交椭圆C 1于C ，D 两点，S ∴PAB ，S ∴PCD 分别是∴PAB ，∴PCD 的面积，试问：PAB PCDSS是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由. 【详解】(1)因为抛物线C 2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以12p=,所以2p =, 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =,设椭圆方程为22221x ya b +=,则1c =且222211914a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得224,3a b ==, 所以椭圆1C 的方程为:22143x y +=.(2)①证明:设(1,)P t -,过点P 与抛物线24y x =相切的直线为(1)y t k x -=+,由2(1)4y t k x y x -=+⎧⎨=⎩,消去x 得24440t y y k k -++=, 由∴=244()4(4)0tkk--+=,得210k tk +-=, 则121k k =-.②设1122(,),(,)A x y B x y 由①得112,y k =222y k =,则12221211,x x k k ==,所以直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--,所以211222122(1)11k k y y x k k --=--,即122(1)y x k k =--+,即直线AB 恒过定点(1,0),设点P 到直线AB 的距离为d ,所以PAB PCDS S1||||21||||2d AB AB CD d CD ⋅==⋅,当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为(1)y k x =-, 设3344(,),(,)C x y D x y ,由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩,消去y 得2222(24)0k x k x k -++=, 0k ≠时,∴0>恒成立,||AB == 224(1)k k+=, 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=,∴0>恒成立,则||CD == 2212(1)34k k+=+. 所以22224(1)12(1)34PAB PCD k S k k S k+=++22234144333k k k +==+>, 当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为1x =,此时||4AB =,||3CD =,PAB PCDS S43=, 所以PAB PCDS S的最小值为43.11.已知过圆1C ：221x y +=上一点12E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥. 【详解】（1）直线OE l的方程为y ，则直线AB l的斜率AB k =. 所以AB l：y x =A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ，椭圆方程为：221443x y +=； （2）①当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --，因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=，所以PM PN ⊥.②当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=.所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+，又已知左顶点P 为()2,0-， ()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++2222234124123013k k k k k --++-==+，所以PM PN ⊥.综上PM PN ⊥得证.12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4. （1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值. 【详解】（1）设点()()000,P x y x a ≠，则2200221x y a b+=，①∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--，②∴联立①②得()()222230b a x a --=，∴()2203a a b x =≠，∴22222212133a b e a a c -===-=，∴e =. （2）由题意知，24c =，即2c =，由（1）知，223a b ，∴22224a b c b =+=+，∴22b =，26a =，∴椭圆C 的方程为：22162x y +=，由已知得l：)2y x =-.联立)2223162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2210x x --=.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据韦达定理，得122x x +=，于是)12121212S S y x x -=⨯+=+13．（本小题满分12分）记抛物线2::2C y x =-的焦点为F ，点M 在抛物线上，(3,1)N -，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于P Q ，两点．（1）求||||MN MF +的最小值；（2）若(2,2)M -，直线MP MQ ，的斜率都存在，且20MP MQ k k ++=；探究：直线l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）设抛物线C 的准线为l '，过点M 作1MM l '⊥，垂足为1M ，过点N 作1NN l '⊥，垂足为1N ，如图：则117||||||2MN MF MN MM NN +=+=，即||||MN MF +的最小值为72． （2）设直线l 的方程为()11,,y kx b P x y =+，()22,Q x y ，将直线l 与抛物线C 的方程联立得22y kx b y x=+⎧⎨=-⎩，222(22)0k x kb x b +++=，212122222,kb b x x x x k k --+== ① 又121222222MP MQ y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x bx x x x ++++-++-=--+-，将①代入得，222(1)0b b k b ---+=，即(1)(22)0b b k +--=，得1b =-或22b k =+， 当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-；当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)M -（舍去）． 综上所述，直线l 过定点(0,1)-．14．（本小题满分12分）已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =． （I ）求抛物线Γ的方程；（II ）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC 面积的最小值． 【解析】（I ）抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫⎪⎝⎭，则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-， 联立抛物线方程2y ax =，消去y 得：2230216a ax x -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，则1232a x x +=， 由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==，解得2a =，∴抛物线的方程为2:2y x Γ=．（II ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，不妨设b c >，00:PB y bl y b x x --=，化简得：()0000y b x x y x b --+=，圆心()1,0到直线PB 的距离为11=，即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+，不难发现02x >，上式又可化为()2000220x b y b x -+-=，同理有()2000220x c y c x -+-=，∴,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根，0022y b c x -∴+=-，()()220002020042,()22x y x x bc b c x x +--=∴-=--， 由条件：2002y x =()2220042()22x x b c b c x x ∴-=∴-=--，， ()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--，当且仅当04x =时取等号， ∴PBC S △面积的最小值为8．15．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足3.4OA OB ⋅=- （1）求抛物线C 的方程；（2）若P 是抛物线C 上的动点，点,M N 在x 轴上，圆2211x y +-=（）内切于PMN ∆，求PMN ∆面积的最小值． 【解析】（1）由题意，设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，则焦点F 的坐标为02p（，）．设直线l 的方程为()()11222py kx A x y B x y =+，，，，， 联立方程得222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得2222220,440x pkx p p k p --=∆=+>，∴221212122.4p x x pk x x p y y +==-=，，∵121234OA OB x x y y ⋅=+=-，∴ 1.p =故抛物线的方程为22x y =．(2)设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠,,,,,，易知点M N ,的横坐标与P 的横坐标均不相同，不妨设m n >，易得直线PM 的方程为()00y y x m x m=--化简得()0000y x x m y my ---=，又圆心（0，1）到直线PM 的距离为11=，∴()()()222220000002x m y x m my x m m y -+=-+-+，不难发现02y >，故上式可化为()2000220y m x m y -+-=，同理可得()2000220y n x n y -+-=，,m n ∴可以看作是()2000220y t x t y -+-=的两个实数根，则0000222x y m n mn y y --+==--,,∴()()()2222000204484.2x y y m n m n mn y +--=+-=- ∵()00P x y ，是抛物线C 上的点，∴2002x y =，则()()222042y m n y -=-，又02y >，∴02,2y mn y =- 从而()02000000014242222PMNy y S m n y y y y y y ∆=-=⋅==-++---48≥=，当且仅当()2024y-=时取得等号，此时004,y x ==±故△PMN 面积的最小值为8．16．（12分）已知直线与抛物线：交于，两点，且2x p =C ()220y px p =>P Q POQ∆的面积为16（为坐标原点）. （1）求的方程；（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.【解析】（1）将代入，得，所以的面积为. 因为，所以，故的方程为.（2）证明：由题意设直线的方程为，由，得.设，，则，所以.因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以的横坐标为，所以，故为定值.17．（12分）已知椭圆2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线与椭圆C交于点E ，F ，过点E 作轴于点M ，直线FM 交椭圆C 于另一点N ，证明：． 【解析】（1）由题，，∴，， 故椭圆方程为； O C l C F l x C A B AB x D AB DF2x p =22y px =2y p =±POQ ∆21244162p p p ⨯⨯==0p >2p =C 24y x =l ()()10y k x k =-≠()214y k x y x⎧=-⎨=⎩()2222240k x k x k -++=()11,A x y ()22,B x y 212224k x x k ++=212244k x x p AB k +=++=AB 212222x x k k ++=2kAB 22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭0y =223x k =+D 223k +2222312k D kF =+-=+2AB DF =2222:1(0)x y C a b a b +=>>y kx =EM x ⊥EF EN ⊥2c a =22c =a =1e =1b =2212x y +=（2）设，，，则，与椭圆方程联立得，由得，， ∴，即.18．（12分）如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（∴）求p 的值（用t 表示）； （∴）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围.注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切. 【解析】00(,)E x y ()00,F x y --00(),M x 000:()2FM y l y x x x =-()22222220002240x y x x y x x y x +-+-=2000220022N F N x y x x x x x y +=-=+230002200322N x y x x x y +=+()0000000000022N N ENN N N y x x y y y y y x k x x x x x x x ---===----00230000022003222y y x y x x x x y =-+-+2200000222220000000222224y y y x y x x x x y x y +=-=⋅+-+2220000000000022222y x y x x x x y x y y +-=-==-00001EN EF x y k k y x ⋅=-⋅=-EF EN⊥（∴）因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t tt >，又点M 在抛物线2C ：()220y px p =>上,故()222tpt =,则32t p =（∴）设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+，联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=，则()()222420k kt tk t ∆=--=-=，因此2k t ，即直线MA的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k t y x t y t t t --====-+-，从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此2t MB t =-=2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB ：2022t t x y -+=的距离29t d ==MBA ∆的面积23911272232t t S MB d ===，即32732t S =，因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即31272432t ≤≤，解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x ＞．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值． 【解析】 （1）依题意，1b =，因为离心率c e a ===，=a = 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒，且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 右下方，所以NP x ∥轴．过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -， 所以()12232450x x y -+-=， 即()()12232450x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=．①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+＞，解得22m -＜＜， 所以1232x x m +=-，②()212314x x m =-，③ 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-．综上，m 的值为1-．20．（12分）已知直线2x p =与抛物线C ：()220y px p =>交于P ，Q 两点，且POQ∆的面积为16（O 为坐标原点）． （1）求C 的方程．（2）直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，试问在x 轴上是否存在点E ，使AB DE为定值？若存在，求该定值及E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）将2x p =代入22y px =，得2y p =±，所以POQ ∆的面积为21244162p p p ⨯⨯==． 因为0p >，所以2p =，故C 的方程为24y x =． （2）由题意设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k ++=，所以212244||k AB x x p k+=++=． 因为线段AB 的中点的横坐标为212222x x k k++=，纵坐标为2k ， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭， 令0y =，得223x k =+，所以D 的横坐标为223k +，设(),0E t ，则()2223223t k DE t k k-+=+-=，()224432AB k DE t k +∴=-+， 所以当且仅当32t -=，即1t =时，AB DE为定值，且定值为2，故存在点E ，且E 的坐标为()1,0．21.已知直线l 与抛物线()2:20C x py p =>相交于,A B 两个不同点，点M 是抛物线C 在点,A B 处的切线的交点。
专题50 圆锥曲线(多选题部分)(解析版)
专题50 圆锥曲线（多选题部分）一、题型选讲题型一 、圆锥曲线定义与性质的考查例1、（202年山东卷）已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.例2、已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点 D．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为3y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确； 对于B ：由23a =，21b =，得2c =，∴双曲线C=，故B 错误； 对于C ：取20x +=，得2x =-，0y =，曲线21x y e +=-过定点(2,0)-，故C 正确；对于D ：双曲线的渐近线0x ±=，直线10x --=与双曲线的渐近线平行，直线10x -=与C 有1个公共点，故D 不正确．故选：AC ．例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】ABCD【解析】由双曲线的定义知：， 由，在中，由余弦定理可得：，22221(0,0)x y a b a b-=>>12,,F F P122PF PF =12sin 4F PF ∠=,,,a b c e e =2e =b =b =12212,4PF PF PF a PF a -==∴=12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±12PF F △222416412244a a c a a +-=±⨯⨯解得或，， 或，又， 可得或故选：ABCD例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ）A．BC ．双曲线的一个焦点坐标为D【答案】AB【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲，故A ，B 正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C 错误；焦点，故D 错误.故选：AB ．题型二圆锥曲线的综合性问题例5、的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，12,A A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）224c a =226c a=2ce a∴==2c a ∴=c =222c a b =+b =b =()222:104x y C m m m m -=>-+C 2m =0y ±=)0m >C x 2a m =224b m m =-+224c m =+c e a =222244c m e m a m m+===+0m >244e m m =+≥=4m m=2m =C 22a =26b =28c =0y ±=±()0y +=2==A ．2112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A BD ．四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ，2F【答案】BD【详解】∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---对于A ，若2112212A F F A F F ⋅=，则22()(2)a c c -=，∴2a c c -=，∴13e =，不满足条件，故A 不符合条件；对于B ，11290F B A ︒∠=，∴222211112A F B F B A =+ ∴2222()a c a a b +=++，∴220c ac a +-= ∴210e e +-=，解得e =e =，故B 符合条件； 对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，∴2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵21PO A B k k =∴2b c ab a =--，解得 ∵，∴b c =222a b c =+a =∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为c，∴∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．例6、已知椭圆()22:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F且122F F=，点()1,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP+的最小值为1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为⎛⎝⎭D．若11PF FQ=，则椭圆C【答案】ACD【详解】A.因为12||2F F，所以22(1,0),||1F PF=，所以122||||||||||1QF QP QF QP PF+=+≥=，当2,,Q F P，三点共线时，取等号，故正确；B．若椭圆C的短轴长为2，则1,2b a==，所以椭圆方程为22121x y+=，11121+>，则点P在椭圆外，故错误；C．因为点(1,1)P在椭圆内部，所以111a b+<，又1a b-=，所以1b a=-，所以1111+<-a a，即2310a a-+>，解得236(1244a+++>==，12+>，所以12=<e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；2cea===1221A B A B12,F F1221A B A B ab=422430c a c a-+=42310e e-+=235e+=235e-=51e-=D ．若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以(3,1)Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得a ====，所以椭圆C，故正确．例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（ ）A ．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B ．若在双曲线的右支，则最短长度为C ．的最短长度为D ．满足的直线有4条 【答案】BD【解析】易知双曲线的右焦点为，设点、，设直线的方程为， 当时，直线的斜率为， 联立，消去并整理得. 则，解得. 对于A 选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，，B 选项正确； 对于C 选项，当直线与轴重合时，，C 选项错误； 对于D 选项，当直线与轴重合时，； 当直线与轴不重合时，由韦达定理得，， 22:1916x y C -=F l A B A B l 43A FA 2AB 32311AB =C ()5,0F ()11,A x y ()22,B x y l 5x my =+0m ≠l 1k m=225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩x ()221691602560m y my -++=()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩34m ≠0m =l x ⊥A B l min 532F c a A =-=-=l x 32263AB a ==<l x 2611AB a ==≠l x 122160169m y y m +=--122256169y y m =-由弦长公式可得，解得或.故满足的直线有条，D 选项正确. 故选：BD.例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．的最小值为B ．椭圆的短轴长可能为2C ．椭圆的离心率的取值范围为D ．若，则椭圆【答案】ACD【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；()2122961169m AB y y m +=-==-()226161611169m m +==-4m =±m =11AB =4()22:10x y C a b a b+=>>1F 2F 122F F =()1,1P Q 1QF QP +21a -C C ⎛ ⎝⎭11PF FQ =C 122F F =()221,0,1=F PF 1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a 2,,Q F P C 1,2b a ==22121x y +=11121+>P ()1,1P 111a b+<1a b -=1b a =-1111+<-a a 2310a a -+>(2136244++>==a >12=<e C 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以椭圆的，故正确.故选：ACD例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，11PF FQ =1F PQ ()3,1Q --911+=a b1a b -=21190-+=a a 21122244++===a =C这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．二、达标训练1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等【答案】CD【解析】双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．双曲线，即：，它的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10． 所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等． 故选：．2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；221:1916x y C -=222:1916y x C -=-221:1916x y C -=(3,0)430x y ±=53222:1916y x C -=-221169x y -=(4,0)±340±=x y 54CDB 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =C ．2BD BF =D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC【解析】2216x y += a ∴=，1b =c ∴===C 的焦距为c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ =. 故选：BC .6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC7、（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ） A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线仅有1条【答案】AC【解析】设点，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A 正确；又离心率，故B 不正确； 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C 正确；直线与曲线的方程联立整理得，设， ，且，xOy P ()1F)2F 13P E l ()2y k x =-E A B E 221(3x y x -=≠E E ()2221x y -+=AB =l (),P xy 13=2213x y -=P E 221(3x y x -=≠e ==()2221x y -+=()20，E y x =1d ==()2221x y -+=l E ()2221(3y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩()222213+121230k x x k k ---=()()1122,,A B x y x y ，()()()224214441312312+1>0kk kk ∆=----=2130k -≠有，所以， 要满足，则需或或，当,此时，而曲线E 上，所以满足条件的直线有两条，故D 不正确，故选：AC .2122221212123+,1313x xx k x kk k ---==--)221+13k AB k===-AB =)221+13k k=-0k =1k =1k =-0k =)()AB ，x ≠。
专题14 圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
高中数学第二章圆柱、圆锥与圆锥曲线用内切球探索圆锥曲线的性质课件新人教B版
(2)圆柱面的内切球： 在圆柱面的轴上任取一点 C，过 C 作垂直于轴的平面 δ，则平面 δ 在圆柱面上的截线⊙(C，r)称为切点圆 ，以 C 为圆心，r 为半径作球，该球叫做圆柱面的内切球 ． (3)圆柱面的平面截线： ①如果平面 δ 与圆柱面的轴线垂直，则平面 δ 截圆柱 所得的截线是一个 圆 ，此时 δ 平面为圆柱面的 直 截面；
＝60°是平面 α 与圆柱母线(也是与轴线)所成的
角．设圆柱面半径为 r，则 a＝sinr60°＝2
3r 3.
椭圆的短轴长 2b＝2r，即 b＝r，由已知焦距 2c＝2 3，∴c
＝ 3.
又在椭圆中，a2＝b2＋c2，∴2 3 3r2＝r2＋( 3)2. 解得 r＝3，即圆柱面的半径为 3.
圆锥面的平面截线
性质 2：如果一个平面垂直于圆锥面的轴线，则其截圆锥面 所得的截线是 圆 ．
(2)圆锥面的内切球及其性质： 圆锥面与内切球的交线是一个 圆 ，并且该圆所在平面 垂直 于该圆锥面的轴线． (3)圆锥面的平面截线： 定理：在空间给定一个圆锥面 S，轴线与母线的夹角为 α， 任取一个不通过 S 的顶点的平面 δ，设其与轴线的夹角为 β(δ 与 面的截线．解答本题需
要根据题目条件确定椭圆的长轴和短轴． [精解详析] 过 G1 作 G1H⊥BC 于 H. ∵圆柱底面半径为 3，∴AB＝2 3. ∵四边形 ABHG1 是矩形， ∴AB＝G1H＝2 3. 在 Rt△G1G2H 中， G1G2＝sin∠GG1H1G2H＝2 33＝4. 2 又椭圆短轴长等于底面圆的直径 2 3， ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
2.2
用 内 切 球 第探 二索 章圆 锥 曲 线 的 性 质
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
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4、已知圆C 过点P （1，1）且与圆M ：2
22)2()2(r y x =+++（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且点P （1，1）在直线l 的左上方． （1）求圆C 的方程．
（2）证明：△PAB 的内切圆的圆心在定直线x=1上． （3）若∠APB=60°，求△PAB 的面积．
点C和点B关于y轴对称．
（1）求△ABC内切圆的半径；
（2）过O、A两点作⊙M，分别交直线AB、AC于点D、E，求证：AD+AE是定值，
并求其值．
(1)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程； (2)过点作直线交于点，记的外接圆为圆. ①求证:圆心在定直线上；
②圆是否恒过异于点的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
8、如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X 轴上的椭圆G 的离心率为，左顶点A （-4,0），圆：是椭圆G 的内接的内切圆. (Ⅰ) 求椭圆G 的方程；
(Ⅱ) 求圆的半径r ；
（Ⅲ）过作圆G 的两条切线交椭圆于E,F 两点，判断直线EF 与圆的位置关系，并证明.
o
（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值
4、已知圆C过点P（1，1）且与圆M：2
2
2)2
(
)2
(r
y
x=
+
+
+（r＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l与圆C交于A，B两点，且点P（1，1）在直线l的左上方．
（1）求圆C的方程．
（2）证明：△PAB的内切圆的圆心在定直线x=1上．
（3）若∠APB=60°，求△PAB的面积．
5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C和点B关于y轴对称．
（1）求△ABC内切圆的半径；
（2）过O、A两点作⊙M，分别交直线AB、AC于点D、E，求证：AD+AE是定值，并求其值．
(1)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交于点，记的外接圆为圆.
①求证:圆心在定直线上；
②圆是否恒过异于点的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为
,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3 ---3分而,所以，故椭圆的标准方程为---5分
(Ⅱ)①解法一:易得直线,
所以可得,再由,得---8分
则线段的中垂线方程为, 线段的中垂线方程为,由,解得的外接圆的圆心坐标为
经验证,该圆心在定直线上
解法二: 易得直线,所以可得, 再由,得
设的外接圆的方程为,
则,解得
所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上
②由①可得圆C的方程为
该方程可整理为,
则由,解得或,
所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为
8.解： (Ⅰ) ，得，椭圆G方程为
(Ⅱ)设，过圆心作于,交长轴于
第20题
由得,即 (1)
而点在椭圆
上, (2)-
由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）
(2) 直线与圆的相切设过点与圆相切的直线方程为: (3)则,即 (4)
解得
将(3)代入得,则异于零的解为----------------------13分
设,，则
则直线的斜率为：
于是直线的方程为: 即
则圆心到直线的距离故结论成立.。