新课标人教A版选修圆锥曲线知识点整理
高中数学新课标人教A版高中数学知识点总结专题7解析几何之圆锥曲线
高中数学新课标人教A版高中数学知识点总结专题7解析几何之圆锥曲线本文介绍了圆锥曲线的概念、标准方程和几何性质。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆是指到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹，其中2a>2c；双曲线是指到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a的点的轨迹，其中2a<2c；抛物线是指到一个定点F和一条定直线l的距离相等（F不在l上）的点的轨迹。
椭圆和双曲线的标准方程分别为：①焦点在x轴上，开口向右：y^2=2px；②焦点在x轴上，开口向左：y^2=-2px；③焦点在y轴上，开口向上：x^2=2py；④焦点在y轴上，开口向下：x^2=-2py。
抛物线的标准方程有两种：①焦点在x轴上：y^2=2px；②焦点在y轴上：x^2=2py。
椭圆的焦点在x轴上时，准线为x=±a；焦点在y轴上时，准线为y=±b。
双曲线的焦点在x轴上时，准线为y=±a；焦点在y轴上时，准线为x=±b。
抛物线的焦点在x轴上时，准线为y=0；焦点在y轴上时，准线为x=0.椭圆和双曲线都有两条渐近线，分别为y=±(c/a)x和y=±(a/c)x。
抛物线有一条对称轴，与x轴平行或与y轴平行，且过焦点和顶点。
椭圆和双曲线的离心率分别为e=c/a和e=c/a，其中c为焦点到准线的距离。
抛物线的离心率为e=1.是其两个焦点，且x2y2XXX1PF2则 F1PF2的面积S bXXXθ21．椭圆和双曲线是二次曲线的两种基本类型，它们的图形特点可以通过其标准方程进行描述。
对于椭圆，当焦点与准线配对使用时，其标准方程为x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
当离心率e满足0.1时，轨迹变为双曲线。
对于双曲线，其标准方程为x/a)² - (y/b)² = 1，当离心率e满足e。
人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结
精心整理数学选修2-1圆锥曲线知识归纳一、复习总结：名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆即aMFMF221=+当2a﹥2c时，轨迹是椭圆当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线即aMFMF221=-当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222=+byax焦点在y轴上时：12222=+bxay注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222=-byax焦点在y轴上时：12222=-bxay常数cba,,的关系222bac+=，渐近线焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：抛物线：图形方程 焦点 准线二、知识点：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距． （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2.b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点．(4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1abe -=10<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．（识记方法）以下4-7点要求不高，或者不要求.4.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率5．椭圆的准线方程对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=6.椭圆的焦半径公式：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式:21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a exc =-=-其中e 是离心率其中21,F F 分别是椭圆左右焦点．焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：其中e 是离心率其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点．焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加7椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x以下为椭圆重要结论：（要求记忆1、2、3条，了解4、5）1.准线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)c b c c a c c a p 2222=-=-= 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22b a.2.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>两焦半径与焦距构成三角形的面积:1221||tan2F PF P F PFS c y b ∆∠==． 3椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，当静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线l 击出，经椭圆壁反弹后再回到A ，若l 与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是(???D) A.4b?????????????B.2(a-c)?????????????C.2(a+c)????????????D.4a4.椭圆的的内外部:（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.5.椭圆的切线方程:(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221x y a b +=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.8．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,10．焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上11．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心. （2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为a 2,a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±bya x ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔12．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e13．共渐近线的双曲线系如果双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x以下14-17点要求不高，或者不要求. 14．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率．15．双曲线的准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:=16.双曲线的焦半径（了解）定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF （21,F F 分别是左、右焦点）焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF （21,F F 分别是下、上焦点）17．双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221x x e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-=当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=18．双曲线的重要结论：(识记（1）-（4）点，了解（5）点)（1）双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c=．（2）过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22b a.（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot 2F PF F PFS b ∆∠=.（4）焦点到渐近线的距离总是b . （5）双曲线的切线方程:(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221x y a b -=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=.（3）双曲线22221x y a b-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.19抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线20．抛物线的准线方程：(1))0(22>=p px y ,焦点:)0,2(p ，准线l ：2px -= (2))0(22>=p py x ,焦点:)2,0(p ，准线l ：2p y -=(3))0(22>-=p px y ,焦点:)0,2(p -，准线l ：2p x =(4))0(22>-=p py x ,焦点:)2,0(p -，准线l ：2p y =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242pp = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号21．抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．22抛物线的焦半径公式：（画图即可）抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y pp y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y pp y PF -=-= 23．直线与抛物线： （1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到 关于x 的二次方程02=++c bx ax （*）若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得： 联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点（相离）（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=， （3）焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ，)(21x x p AB ++=（识记）抛物线)0(22>-=p px y ，)(21x x p AB +-=抛物线)0(22>=p py x ，)(21y y p AB ++=抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：p d 2=通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦． （5）若已知过焦点的直线倾斜角θ（识记这条结论）则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y （6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221.3p y y -=⇒结论和421px x =（7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p （8）过抛物线px y 22=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，则pFQ PF 211=+． 24．抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧==222pt y pt x （t 为参数）25.提示.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法：设为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：?????推导：。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
高中数学圆锥曲线知识点整理课件新课标人教A版选修1
高二数学圆锥曲线知识整理知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。
1、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的 距离，F ∉ ，如图。
因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。
当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。
（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。
①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
②定量：（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 讲义(知识点考点汇总及配套习题)
第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆 ................................................................................................................................ - 1 -3.1.1 椭圆及其标准方程 .............................................................................................. - 1 - 3.1.2 椭圆的简单几何性质 ........................................................................................ - 12 -第1课时 椭圆的简单几何性质 ........................................................................ - 12 - 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 ........................................................ - 23 -3.2 双曲线 .......................................................................................................................... - 35 -3.2.1 双曲线及其标准方程 ........................................................................................ - 35 - 3.2.2 双曲线的简单几何性质 .................................................................................... - 46 - 3.3 抛物线 .......................................................................................................................... - 60 -3.3.1 抛物线及其标准方程 ........................................................................................ - 60 - 3.3.2 抛物线的简单几何性质 .................................................................................... - 70 - 章末复习 ............................................................................................................................... - 82 -3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程2008年9月25日211．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．()(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆．()(3)方程x2a2＋y2b2＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．()[提示](1)×(2)√(3)×2．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [由椭圆方程知a 2＝25，则a ＝5，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A ．x 2100＋y 236＝1B ．y 2400＋x 2336＝1C ．y 2100＋x 236＝1D ．y 220＋x 212＝1C [由条件知，焦点在y 轴上，且a ＝10，c ＝8， 所以b 2＝a 2－c 2＝36，所以椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1.]4．方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．(－6，－2)∪(3，＋∞) [由a 2＞a ＋6＞0得a ＞3或－6＜a ＜－2.]【例1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142.[解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4,2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,32)，所以18a 2＋16b 2＝1. 又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(3)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2＜b 2，与a ＞b ＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)或整式形式mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c (或m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．[跟进训练]1．求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．[解] 法一：因为所求椭圆与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝25－9＝16.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16 ①. 又点(3，15)在所求椭圆上，所以32a 2＋(15)2b 2＝1，即9a 2＋15b2＝1 ②.由①②得a 2＝36，b 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1.又椭圆过点(3，15)，将x ＝3，y ＝15代入方程得925＋λ＋159＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.【例2】 (1)已知椭圆x 216＋y 212＝1的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝( )A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．[思路探究] (1)借助PF 1的中点在y 轴上，且O 为F 1F 2的中点，所以PF 2⊥x 轴，再用定义和勾股定理解决．(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程，通过解方程求解．(1)C (2)335 [(1)依题意知，线段PF 1的中点在y 轴上，又原点为F 1F 2的中点，易得y 轴∥PF 2，所以PF 2⊥x 轴，则有|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2＝16，又根据椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8，所以|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，即|PF 1|∶|PF 2|＝5∶3.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4. ②由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF 1|，|PF 2|看作一个整体，运用|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．1．本例(2)[探究问题]1．用定义法求椭圆的方程应注意什么？[提示]用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.2．利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？[提示] (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎨⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【例3】 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP中点Q 的轨迹方程为______________．(2)如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．[思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．(1)x 2＋y 22＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1， 所以(2x )24＋(2y )28＝1，即x 2＋y 22＝1.](2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ |＝|MA |， ∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |， ∴|CM |＋|MA |＝5.∴点M 的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1 ，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1.1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．[跟进训练]2．已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 02，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)． (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2，b 2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2＝b 2＋c 2求出c ，即可写出焦点坐标．(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当m＞n ＞0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程不是标准方程，需先进行转化．3．椭圆上的点P 与两焦点F 1，F 2构成的三角形叫做焦点三角形，在焦点三角形中，令∠F 1PF 2＝θ，如图．(1)当点P 与B 1或B 2重合时，∠F 1PF 2最大． (2)焦点△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )． (3)|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，且当P 与B 1或B 2重合时，面积最大．4．求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有：定义法、直接法和代入法(相关点法)．1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [根据椭圆的定义知，P 到另一个焦点的距离为2a －2＝2×5－2＝8.] 2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [椭圆方程可化为x 2＋y 24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则实数m 满足的条件是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＞12且m ≠1[由方程x 2m ＋y22m －1＝1表示椭圆，得⎩⎨⎧m ＞0，2m －1＞0，m ≠2m －1，解得m ＞12且m ≠1.]4．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．x 225＋y 29＝1 [如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.]5．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴(3)24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质使用多媒体手段展示大小、扁圆程度等不同的椭圆，体现椭圆形状的美，然1．椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？[提示]不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. ()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. ()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()[提示](1)×(2)√(3)√2．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A．x29＋y24＝1B．y29＋x24＝1C．x29－y24＝1 D．y29－x24＝1A[由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为x29＋y24＝1.]3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，3)，则椭圆的标准方程是________．x2＋y24＝1[依题意得2a＝4b，c＝3，又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为x2＋y24＝1.]4．设椭圆x225＋y2b2＝1(0＜b＜5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心率的值为________．35[由条件知2×5＋2c＝4b，即2b＝c＋5，又a2－b2＝c2，a＝5解得b＝4，c＝3.∴离心率e＝ca＝35.]【例1】(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与椭圆xa2＋yb2＝λ(λ＞0且λ≠1)有()A．相同的焦点B．相同的顶点C．相同的离心率D．相同的长、短轴(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．(1)C[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.](2)[解]把已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，所以a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝ca＝74；两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝6 3；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同的离心率．[思路探究](1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解．法二：设与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆方程为x212＋y26＝k1(k1>0)或y212＋x26＝k2(k2>0)．[解](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1F A2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)， 且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32， 故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.(3)法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2，设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1. 将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆的方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.法二：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等．(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．提醒：与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有相同离心率的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝k 1(k 1>0，焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b2＝k 2(k 2>0，焦点在y 轴上)．[跟进训练]1．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．[解] 法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，则设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.法二：设椭圆方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m＝1，2m ＝3·2n 或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3·2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝9n ＝1或⎩⎨⎧m ＝9，n ＝81.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结第一篇：圆锥曲线基础知识圆锥曲线是一类重要的几何图形，它由一固定点（焦点）和一条直线（直母线）确定。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
1. 椭圆椭圆是所有圆锥曲线中最简单的一种。
当一个圆锥截面与其直母线平行时，得到的图形就是一个椭圆。
椭圆具有如下性质：(1) 椭圆中心：椭圆的中心是其两个焦点的中垂线的交点。
(2) 焦点：椭圆上有两个焦点，它们在椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离相等。
(3) 长轴和短轴：椭圆上的两个焦点和中心共线，中心到焦点的距离称为焦距，长轴是椭圆上离焦点最远的两个点之间的距离，短轴是椭圆上离焦点最近的两个点之间的距离，长轴和短轴的长度之间的比值称为离心率。
(4) 方程：椭圆的标准方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1, 其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
(5) 旋转：如果椭圆不是以坐标轴为轴旋转的，则称其为斜椭圆，斜椭圆可以通过平移和旋转把它转变为标准方程的椭圆。
2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中另一个重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线的夹角小于圆锥的母线夹角时，得到的图形就是双曲线。
双曲线具有如下性质：(1) 中心：双曲线的中心是对称轴与渐近线的交点。
(2) 焦点：双曲线有两个焦点，它们位于对称轴上，且到中心的距离相等。
(3) 渐近线：一条直线是双曲线的渐近线，当直线与双曲线的距离接近于零时，该直线就称为双曲线的渐近线。
(4) 方程：双曲线的标准方程为(x/a)^2-(y/b)^2=1，其中a和b分别为双曲线上的两个焦点之间的距离的一半和中心到直线y=0的距离。
(5) 分类：双曲线可以分为右开口和左开口的两种，短轴在x轴的正半轴上的为右开口，反之为左开口。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中另一种重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线垂直时，得到的图形就是抛物线。
抛物线具有如下性质：(1) 焦点和直线：抛物线有一个焦点F和一条直线L，直线L称为准线。
对于抛物线上的任意一点P，它到焦点F的距离等于它到准线L的距离。
新课标人教A版高中数学知识点总结专题7解析几何之圆锥曲线
专题七解析几何之圆锥曲线【知识概要】●1．圆锥曲线的概念、标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义与两个定点1F，2F的距离(2)c之和等于常数(2)a的点的轨迹(22)a c>。
与两个定点1F，2F的距离(2)c之差的绝对值等于常数(2)a的点的轨迹(22)a c<。
与一个定点F和一条定直线l的距离相等()F l∉的点的轨迹。
标准方程①焦点在x轴上：22221x ya b+=②焦点在y轴上：22221x yb a+=①焦点在x轴上：22221x ya b-=②焦点在y轴上：22221y xa b-=①焦点在x轴上，开口向右：22y px=②焦点在x轴上，开口向左：22y px=-③焦点在y轴上，开口向上：22x py=④焦点在y轴上，开口向下：22x py=-图形①焦点在x轴上②焦点在y轴上①焦点在x轴上②焦点在y轴上①焦点在x轴上，开口向右:22y px=②焦点在x轴上，开口向左：22y px=-①②③焦点在y轴上，开口向上：22x py=④焦点在y轴上，开口向下：22x py=-③④O xyF1 F2PF1O xyF2PO xyF1F2PF1O xyF2PO xylFPO xylFPO xyP FOxyPF壹贰椭圆 双曲线 抛物线焦 点①(,0)c ± ②(0,)c ±①(,0)c ± ②(0,)c ±① (,0)2p ；②(,0)2p - ③ (0,)2p ；④(0,)2p - 顶 点 焦点在x 轴上：(,0)a ±，(0,)b ± 焦点在y 轴上： (0,)a ±， (,0)b ±焦点在x 轴上：(,0)a ± 焦点在y 轴上：(0,)a ±(0,0)关 系 222c a b =- (0a b >>) 222c a b =+ (0,0a b >>)p 为焦点到准线的距离离 心 率1ce a=< 1c e a=> 1e =准 线①焦点在x 轴上：2a x c =± ②焦点在y 轴上：2a y c =± ①焦点在x 轴上：2a x c=± ②焦点在y 轴上：2a y c =±①焦点在x 轴上，开口向右准线：2p x =-②焦点在x 轴上，开口向左准线：2p x =③焦点在y 轴上，开口向上准线：2p y =-④焦点在y 轴上，开口向下准线：2p y =渐 近 线①焦点在x 轴上：b y x a =±②焦点在y 轴上：ay x b =±统一定义 到定点F 的距离与到定直线l ()F l ∉的距离之比等于定值e 的点的集合．01e <<时，轨迹是椭圆；1>e 时，轨迹是双曲线，1=e 时，轨迹是抛物线。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
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高二数学圆锥曲线知识整理知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。
1、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的 距离，F ∉ ，如图。
因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。
当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。
（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。
①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
②定量：椭 圆双 曲 线 抛 物 线焦 距 2c长轴长 2a —— 实轴长 ——2a短轴长 2b 焦点到对应 准线距离 P=2c b 2p通径长2·ab 22p（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
2、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。
直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。
（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。
当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。
4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
例题研究例1、 根据下列条件，求双曲线方程。
（1）与双曲线116y 9x 22=-有共同渐近线，且过点（-3，32）； （2）与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点（23，2）。
分析：法一：（1）双曲线116y 9x 22=-的渐近线为x 34y ±=令x=-3，y=±4，因432<，故点（-3，32）在射线x 34y -=（x ≤0）及x 轴负半轴之间，∴ 双曲线焦点在x 轴上 设双曲线方程为1by ax 2222=-，（a>0，b>0）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=1b )32(a )3(34a b 2222 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==4b 49a 22 ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（2）设双曲线方程为1by ax 2222=-（a>0，b>0）则 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1b 2a)23(20b a 222222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==8b 12a 22∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-法二：（1）设双曲线方程为λ=-16y 9x 22（λ≠0）∴ λ=--16)32(9)3(22∴ 41=λ ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（3）设双曲线方程为1k 4y k 16x 22=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>+>-0k 40k 16 ∴ 1k42k 16)23(22=+--解之得：k=4∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-评注：与双曲线1b y a x 2222=-共渐近线的双曲线方程为λ=-2222b y a x （λ≠0），当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。
与双曲线1b y a x 2222=-共焦点的双曲线为1kb y ka x 2222=--+（a 2+k>0，b 2-k>0）。
比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。
例2、设F 1、F 2为椭圆14y 9x 22=+的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF ||PF |21的值。
解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。
法一：当∠PF 2F 1=900时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+5c )c 2(|PF ||PF |6|PF ||PF |22222121得：314|PF |1=，34|PF |2= ∴27|PF ||PF |21= 当∠F 1PF 2=900时，同理求得|PF 1|=4，|PF 2|=2 ∴2|PF ||PF |21= 法二：当∠PF 2F 1=900，5x P =∴ 34y P ±= ∴ P （34,5±） 又F 2（5，0） ∴ |PF 2|=34 ∴ |PF 1|=2a-|PF 2|=314 当∠F 1PF 2=900，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+14y 9x )5(y x 22222得：P （554,553±±）。
下略。
评注：由|PF 1|>|PF 2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。
例3、设点P 到M （-1，0），N （1，0）的距离之差为2m ，到x 轴、y 轴的距离之比为2，求m 取值范围。
分析：根据题意，从点P 的轨迹着手 ∵ ||PM|-|PN||=2m∴ 点P 轨迹为双曲线，方程为1m 1y m x 2222=--（|m|<1） ①又y=±2x （x ≠0） ② ①②联立得：2222m 51)m 1(m x --=将此式看成是222m51)m 1(m --关于x 的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m 的取值范围。
根据双曲线有界性：|x|>m ，x 2>m 2∴2222m m51)m 1(m >--又0<m 2<1 ∴ 1-5m 2>0 ∴ 55|m |<且m ≠0 ∴ )55,0()0,55(m Y -∈ 评注：利用双曲线的定义找到点P 轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。
例4、已知x 2+y 2=1，双曲线(x-1)2-y 2=1，直线 同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。
求直线 方程。
分析：选择适当的直线方程形式，把条件“ 是圆的切线”“切点M 是弦AB 中点”翻译为关于参数的方程组。
法一：当 斜率不存在时，x=-1满足； 当 斜率存在时，设 ：y=kx+b 与⊙O 相切，设切点为M ，则|OM|=1 ∴11k |b |2=+∴ b 2=k 2+1 ①由⎩⎨⎧=--+=1y )1x (b kx y 22得：(1-k 2)x 2-2(1+kb)x-b 2=0 当k ≠±1且△>0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则中点M （x 0，y 0），20221k 1kb 1x ,k 1)kb 1(2x x -+=-+=+∴ y 0=kx 0+b=2k 1b k -+∵ M 在⊙O 上 ∴ x 02+y 02=1∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k 2)2② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==332b 33k 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=332b 33k ∴ ：332x 33y -=或33233y +-= 法二：设M （x 0，y 0），则切线AB 方程x 0x+y 0y=1 当y 0=0时，x 0=±1，显然只有x=-1满足； 当y 0≠0时，000y 1x y x y +-= 代入(x-1)2-y 2=1得：(y 02-x 02)x 2+2(x 0-y 0)2x-1=0 ∵ y 02+x 02=1∴ 可进一步化简方程为：(1-2x 02)x 2+2(x 02+x 0-1)x-1=0由中点坐标公式及韦达定理得：20200x 211x x x --+-=∴即2x 03-x 02-2x 0+1=0 解之得：x 0=±1(舍)，x 0=21 ∴ y 0=23±。
下略 评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。
例5、A 、B 是抛物线y 2=2px （p>0）上的两点，且OA ⊥OB ， （1）求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积； （2）求证：直线AB 过定点； （3）求弦AB 中点P 的轨迹方程； （4）求△AOB 面积的最小值； （5）O 在AB 上的射影M 轨迹方程。
分析：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），中点P （x 0,y 0） （1）22OB 11OA x y k ,x y k == ∵ OA ⊥OB ∴ k OA k OB =-1 ∴ x 1x 2+y 1y 2=0 ∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2 ∴0y y p2y p 2y 212221=+⋅ ∵ y 1≠0，y 2≠0 ∴ y 1y 2=-4p 2∴ x 1x 2=4p 2（2）∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2∴ （y 1-y 2）(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2) ∴212121y y p 2x x y y +=--∴ 21AB y y p2k +=∴ 直线AB ：)x x (y y p2y y 1211-+=-∴ 211121y y px 2y y y px2y +-++=∴ 212112121y y y y px 2y y y px2y ++-++=∵ 221121p 4y y ,px 2y -==∴ 21221y y p 4y y px 2y +-++=∴ )p 2x (y y p2y 21-+=∴ AB 过定点（2p ，0），设M （2p ，0） （3）设OA ∶y=kx ，代入y 2=2px 得：x=0，x=2kp 2∴ A （k p2,kp 22） 同理，以k1-代k 得B （2pk 2，-2pk ） ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)k k 1(P y )k 1k (p x 0220 ∵ 2)k k k 1(k 1k 222+-=+ ∴2)py(p x 200+= 即y 02=px 0-2p 2∴ 中点M 轨迹方程y 2=px-2p 2（4）|)y ||y (|p |)y ||y (||OM |21S S S 2121BOM AOM AOB +=+=+=∆∆∆ ≥221p 4|y y |p 2=当且仅当|y 1|=|y 2|=2p 时，等号成立 评注：充分利用（1）的结论。