2011年黄浦区二模卷(理科)

【1】黄浦区2011年高考模拟考理科一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接 1．函数1()x f x x+=的定义域是 ．2．已知全集{}2U =-，-1，0，1，2，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3．已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4．双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5．若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2l i m 1n n Sn →∞-= ． 7．直线1310l x y -+=：，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ． 8．已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ．9．2151()x x-的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10．已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =- ，123b m e e =+ ．若a b，则实数m = ．11．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．13．一个不透明的袋中装有白球、红球共9个(9个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出2球，且摸出的2球中至少有一个是白球的概率为56，现用ξ表示摸出的2个【2】球中红球的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ．14．已知点1212(2)(2)x x A x B x ，、，是函数2xy =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论121222222x x x x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图像上的不同两点，则类似地有 成立．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题15．已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 [答]( ) A ．0a ≥． B ．0a ≤． C ．2a ≥． D ．2a ≤．16．在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是()a π，(a 是正数)，则圆C 的极坐标方程是 [答]( )A ．32cos ()22a ππρ=-θ≤θ<．B ．cos (0)a ρ=θ≤θ<π．C ．32sin ()22a ππρ=-θ≤θ<． D ．sin (0)a ρ=θ≤θ<π．17．已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ． [答]( )A 相交B 相切C 相离D 不能确定 18．现给出如下命题：(1)若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面； (2)空间三点确定一个平面；(3) 先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=；(4)若样本数据为：11011--，，，，，则总体标准差的点估计值是1． 其中正确命题的序号是 [答]( ) A ．(1)、(4)． B ．(1)、(3)． C ．(2)、(3)、(4)． D ．(3)、(4)．三．解答题(本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．【3】A BCD C 1D 1 A 1B 1在A B C ∆中，记B A C x ∠=(角的单位是弧度制)，A B C ∆的面积为S ，且83AB AC ⋅=≤≤，4S 4．(1)求x 的取值范围；(2)就(1)中x 的取值范围，求函数22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-的最大值、最小值． 20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知正方体1111ABC D A B C D -的棱长为a ．(1)求点1C 到平面11A B D 的距离；(2)求平面11C D D C 与平面11A B D 所成的二面角(结果用反三角函数值表示)．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知函数42()(1)1x f x x x R x -=≠-∈+，，数列{}n a 满足 1(1)a a a a R =≠-∈，，*1()()n n a f a n N +=∈．(1)若数列{}n a 是常数列，求a 的值； (2)当14a =时，记*2()1n n n a b n N a -=∈-，证明数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式n a ．22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．已知函数21()log (01)1a m m xf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．(1)求实数m 的值，并写出区间D ；(2)若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；(3)当[)x A a b ∈=，(A D ≠⊂，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b 、的值．【4】23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且2122d d =．(1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段M N 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记1FAM S S ∆=，2FM N S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:al x c=-、点(0)F c -，、曲线C ：2222221(0)x y a b c a b ab+=>>=-，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．【5】黄浦区2011年高考模拟考 数学试卷(理科)(2011年4月14日)参考答案和评分标准 说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。

2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

一、填空题1、[10)(0)，，-?8、1 2、{}09、30033、21log (1)y x x =+ 10、6-4、63y x =11、345、2a = 12、38215+6、113、897、6p14、1212sin sin sin22x x x x ++<二、选择题： 15、B 16、A 17、A 18、D三、解答题19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解 (1)∵8BAC x AC AB ∠=⋅=，，443S ≤≤，【6】A BCD C 1D 1 A 1B 1(O ) xy z又1sin 2S bc x =，∴cos 84tan bc x S x ==，，即 1tan 3x ≤≤ ． ……………………………4分∴所求的x 的取值范围是43x ππ≤≤. ………………………7分(2)∵43x ππ≤≤，22()23sin ()2cos 34f x x x π=++-3s i n 2c o s 212s i n (2)16x x x π=++=++， 9分∴252366x πππ≤+≤，13sin(2)262x π≤+≤. 11分∴m in m ax ()()2()()3134f x f f x f ππ====+，. 14分20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．解 (1)按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为(000)A ，，、1(0)D a a ，，、 1()B a a ，0，、1()C a a a ，，，向量1()C A a a a =--- ，，，1(0)AD a a =，，，1()AB a a = ，0，．2分设()n x y z =，，是平面11A B D 的法向量，于是，有110n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00ay az ax az +=⎧⎨+=⎩． 令1z =-，得11x y ==，．于是平面11A B D 的一个法向量是(1)n =，1，-1． 5分因此，1C 到平面11A B D 的距离1||33||C A n d a n ⋅== ．(也可用等积法求得) 8分【7】(2) 由(1)知，平面11A B D 的一个法向量是(111)n =-，，．又因11AD C D D C ⊥平面，故平面11C D D C 的一个法向量是1(010)n =，，． 10分设所求二面角的平面角为θ(结合图形可知二面角是锐角，即θ为锐角)，则11||3cos 3||||n n n n θ⋅==． 13分 所以，平面11C D D C 与平面11A B D 所成的二面角为3arccos3． 14分21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分． 解 (1)∵*1142()()1n n x f x a a a f a n N x +-===∈+，，（），数列{}n a 是常数列，∴1n n a a a +==，即421a a a -=+，解得2a =，或1a =． …………………………6分∴所求实数a 的值是1或2．(2)∵*124()1n n n a a b n N a -==∈-，，∴11114222122242313111n n n n n n n n n a a a a b b a a a a +++---+-====----+，，即*12()3n n b b n N +=∈．……10分∴数列{}n b 是以123b =为首项，公比为23q =的等比数列，于是1*222()()()333n n n b n N -==∈． 12分由21n n n a b a -=-，即22()13n n n a a -=-，解得*2()23()2()13nn n a n N -=∈-． 16分∴所求的通项公式*2()23()2()13nn na n N -=∈-．22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．【8】解 (1) ∵()y f x =是奇函数，∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121log log 011aam m xm m xxx---++=+-．2分化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间)， 必有2210(21)10m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1m =． ………4分 ∴1()log (11)1ax f x D x-==-+，，． 5分(2) 当1a >时，函数1()log (11)1ax f x D x-==-+在，上是单调减函数．理由：令12111x t xx-==-+++．易知1x +在(11)D =-，上是随x 增大而增大，21x+在(11)D =-，上是随x 增大而减小，6分 故12111x t xx-==-+++在(11)D =-，上是随x 增大而减小． 8分 于是，当1a >时，函数1()log (11)1a x f x D x-==-+在，上是单调减函数． 10分(3) ∵[)A a b D ≠=⊂，，∴011a a b <<<≤，． 11分∴依据(2)的道理，当01a <<时，函数1()log 1ax f x A x-=+在上是增函数， 12分即1()1log 11a a f a a-==+，，解得21(21)a a =-=--舍去． 14分【9】若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为1[1log )1ab b-+，，不满足函数值组成的集合是[1)+∞，的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)∴必有1b =． 16分因此，所求实数a b 、的值是211a b =-=、．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解 (1) 设动点为()P x y ，， 1分依据题意，有22(1)2|2|2x y x ++=+，化简得2212xy +=． 3分因此，动点P 所在曲线C 的方程是：2212xy +=． (4)分(2) 点F 在以MN 为直径的圆的外部．理由：由题意可知，当过点F 的直线l 的斜率为0时，不合题意，故可设直线l ：1x my =-，如图所示． 5分联立方程组22121x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可化为22(2)210m y m y +--=， 则点1122()()A x y B x y ，、，的坐标满足1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩． 7分又1AM l ⊥、1BN l ⊥，可得点1(2)M y -，、2(2)N y -，．【10】点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．因1(1)FM y =- ，，2(1)FN y =- ，，则1212(1)(1)1F M F N y y yy ⋅=-⋅-=+ ，，=22102m m+>+．9分于是，M F N ∠为锐角，即点F 在以MN 为直径的圆的外部． 10分(3)依据(2)可算出121224()22x x m y y m+=+-=-+，21212222(1)(1)2m x x my my m-=--=+，则 13112211(2)||(2)||22S S x y x y =+⋅+ 1212211[2()4]42x x x x m=⋅++++222112(2)mm +=+，222121(||1)2S y y =-⋅212121[()4]4y y y y =+-22212(2)mm +=+． 14分所以，22134S S S =，即存在实数4λ=使得结论成立． 15分对进一步思考问题的判断：正确． 18分。