【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法

【高中数学】三角函数中根据图象求解析式的几种方法
已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．
一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．
二、 ω值的确定方法：
方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝
T
π
2求得ω的值． 方法２：“特殊点坐标法”。

特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。

在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．
三、 φ值的确定方法：
方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝
sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π、
2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ＝2
π
、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝23π、ωx 5+φ＝
2π,由此可求出φ的值。

方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值．
方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．
四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．
另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2
π
)的图象，那么正确的是（ ）
Ａ.ω＝
1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6
π Ｃ．ω＝２，φ＝6π Ｄ．ω＝２，φ＝－6
π
, 解：可用“筛选选项法”．
题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0
排除B 和D ，由A,C 知φ＝6
π
；
ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1
因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点，
∴ω·1211π+6
π＝2π 解得ω＝２， 故选C ．
例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,
（A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2
π
））,求该函数的解析式．
解法一：观察图象易得A ＝2,
∴T ＝2×（87π-8
3π
）＝π，
∴ω＝
π
π
2＝2. ∴y ＝2sin(2x+φ).
下面用“关键点对等法”来求出 图2
φ的值,由2×8
3π
+φ＝π（用“第三点”） 得
φ＝4
π
∴所求函数解析式为y ＝2sin(2x+4
π
)．
说明：若用“第二点”，可由2×8π +φ＝2
π
求得φ的值；若用“第五点”，
可由2×8
7π
+φ＝2π求得φ的值．
解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（
8
3π
，0）在图象上， ∴ Asin φ＝2 (1)
12
11π1211π
x
y
0 2
-X
Y 2
Asin(2×
8
3π
+φ)＝0 (2) 由(2)得 φ＝k π-43π(k ∈Z)， 又φ∈（0，2
π
)， ∴只有K ＝1，得φ＝4
π
， 代人（1）得A ＝2.
∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4
π
)．
例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2
π
)图象上的一部分如图3所示，则必定有（ ）
(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3
π
（D ）K ＝-2
解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2 下面用“解方程组法”求φ与ω的值.
∵ 图象过点（0，2+3）、（－6π
，2） ∴ 2+3=2sin φ+2 图3
2=2sin(-6
π
ω+φ)+2
解得ω＝2，φ＝3
π
故选C.
例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2
π
)图象的一段，求这个函数的解析式．
解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,
∴ω＝6
2π＝3π
，∴y ＝2sin （3πx +φ)
下面用“特殊点坐标法”求φ，
∵ 图象过点（1，2）
∴2＝2sin(3π×1+φ)， 又 φ ＜2
π
图４
ｘ
２＋3
ｙ
０ ４ 6
π-
２
0 1 4 2
x
y
∴只有φ＝6
π
∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6
π
).
说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令3
π
×1+φ＝2π 或
3
π×4+φ＝23π
等均可求得φ的值．。