鸽笼原理论文经典
抽屉原理
问题7一个书架有五层，从下至上依次称第1 问题7一个书架有五层，从下至上依次称第1，第2，…，第5
层。今把15册图书分别放在书架的各层上，有些层可以不放， 今把15册图书分别放在书架的各层上，有些层可以不放， 15册图书分别放在书架的各层上 证明：无论怎样放法， 证明：无论怎样放法，书架每层上的图书册数以及相邻两层 内图书册数之和，所有这些数中至少有两个是相等的。 内图书册数之和，所有这些数中至少有两个是相等的。 我们先把这个实际问题抽象成数学问题。 xi表示第 表示第i 解：我们先把这个实际问题抽象成数学问题。用xi表示第i层 放书的册数(i=1， 放书的册数(i=1，2，…，5)． (i=1 5)． 若有某个x =0，则相邻的一层放书册数等于它与第i 若有某个xi=0，则相邻的一层放书册数等于它与第i层放 书册数之和，结论成立。 书册数之和，结论成立。 下面考虑x ≥1(i=1， 5)的情况 的情况： 下面考虑xi≥1(i=1，2，3，4，5)的情况： (1)若 中已有两数相等，结论成立。 (1)若x1，x2，…，x5中已有两数相等，结论成立。 (2)若 两两不等，再由它们和为15 15， (2)若x1，x2，…，x5两两不等，再由它们和为15，所 以它们分别取1 我们容易验证， 以它们分别取1，2，3，4，5．我们容易验证，在x1 ＋ x2 ， x2 + x3 ， x3 ＋ x4 ， x4 + x5这四个数中不可能同时包含6， 这四个数中不可能同时包含6 这四个数(请大家自己验证) 7，8，9这四个数(请大家自己验证)。这四个数与x1， x2，…，x5总共九个数，但只能有8种取值，因此其中必有 总共九个数，但只能有8种取值， 两数相等。 两数相等。
1978～1980年间出生的有：1560×90％=1404人 1978～1980年间出生的有：1560×90％=1404人。 年间出生的有 而这三年有：365× 1=1096天 而这三年有：365×3＋1=1096天。 由鸽笼原理知道，至少有两个同学是同年同月同日出生的。 由鸽笼原理知道，至少有两个同学是同年同月同日出生的。
鸽巢原理及其应用
毕业论文（设计）鸽巢原理及其应用院（系）：专业：学生：导师：年月日鸽巢原理及其应用摘要鸽巢原理又称抽屉原理或重叠原理，是组合数学中两大基本原理之一。
鸽巢原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合数学问题中，要计算某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性。
本文主要介绍鸽巢原理的各种表现形式，并更具这些形式解决实际问题。
文中主要讲了鸽巢原理应用于整除关系问题，几何问题，人的相识问题，连续时间问题等比较常见的问题。
用鸽巢原理解决问题，关键在于如何构造适当的鸽巢。
对于同一个问题有不同的构造方式，而对于同一个问题也有不同的方法。
所以，故在鸽巢时没有固定的模式，应该因题而论，灵活运用鸽巢解题。
另外，本文还简单介绍了鸽巢原理的广义模式，即Ramsey定理。
文中指简单叙述了Ramsey定理在染色问题方面的应用。
关键词：组合数学，鸽巢原理，构建鸽巢，瑞姆赛定理，Pigeonhole principle andapplicationAbstractPigeonhole principle, also known as the principle or drawer superposition principle, is a combination of two basic principles of mathematics. Pigeonhole principle to solve the existence problem is, that the specific combination of mathematical problems, to calculate the specific number of problem-solving program, its premise is to know the existence of these programs.This paper describes the pigeonhole principle in all its manifestations, and more of these forms to solve practical problems. Major topics of the text used in the pigeonhole principle divisible by relationship problems, geometric problems, who met the problem, continuous-time problems of the more common problems.With the pigeonhole principle to solve the problem, the key is how to construct an appropriate pigeonholes. For the same problem with different construction methods, and for the same problem with different methods. Therefore, it is in the pigeonhole without a fixed pattern, it should be because of problems in terms of the flexible use of pigeonhole problem-solving.In addition, the paper also briefly describes the pigeonhole principle generalized model, that Ramsey theorem. They pointed out brief description of the Ramsey theorem in coloring of the application.Key Words: Combinatorial mathematics，pigeonhole principle，to build pigeon nest，Ramsey principle,目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................. I I 第1章绪论 (4)第2章鸽巢原理及其应用 (5)2.1鸽巢原理 (5)2.1.1鸽巢原理的基本形式 (5)2.1.2鸽巢原理的推广形式(一)[3] (5)2.1.3鸽巢原理的推广形式(二) (6)2.2鸽巢原理的应用 (6)2.2.1鸽巢原理应用于“整除关系”问题[2] (7)2.2.2鸽巢原理应用于“几何图形”问题[3] (11)2.2.3鸽巢原理应用于“人的相识”问题[2] (13)2.2.4鸽巢原理应用于“连续时间”问题[4] (14)2.2.5鸽巢原理的其他应用[1] (16)第3章Ramsey问题[2] (20)3.1Ramsey问题 (20)3.2Ramsey问题的一般化 (21)结论 (23)参考文献 (24)致谢......................................................................................... 错误!未定义书签。
鸽笼原理与排列组合
再例
任给一个正整数n,总存在一个它的倍数，其十 进制表示中只有0和1两个数字符
任给n，构造含有n+1个数的数列
1，11，111，1111，…,，11**11
上述n+1个数必有两个数模n同余 两数差：n的倍数，只有0和1
鸽笼原理（一般）
若将 n 只鸽子置于 m 个笼子中, 则至少有一个笼 子需容纳 (n-1)/m+1个 或更多鸽子。
鸽笼原理与排列组合
离散数学
提要
鸽笼原的例子
基本的排列组合 组合与二项式系数 有重复的排列组合
排列与组合
鸽笼原理
若要将 n 只鸽子放到 m 个笼子中, 且 m<n, 则至 少有一个笼子要装2个或更多的鸽子。
证明：
反证法。
例子
从 1 到 8 中任选 5 个数，其中必有两个数其和 为9。
Scheduling the Practice Games: Solution
Let ai denote the total number of games she plays up through the ith day. Then, a1, a2, a3,..., a76, a77 is a monotonically increasing sequence, with a11, and a77132. Note: if ai+21= aj then the player plays 21 games during the days i+1, i+2, up through j . Considering the sequence: a1, a2, a3,..., a76, a77, a1+21, a2+21, a3+21, ..., a76+21 a77+21 The least element in the sequence is 1, and the largest is 153. However, there are 154 elements in the sequence, so, there must be at least two elements having the same value. Note that both the first and second half sequences are monotonically increasing, so, it is impossible for the two elements having the same value to be within one half sequence, that is, we have ai+21= aj
鸽笼原理
鴿籠原理鴿籠原理循環小數的背後，藏著一個有趣的數學概念，稱為「鴿籠原理」。
想要知道那是什麼嗎？這個有著可愛名字「鴿籠原理」的數學定理，也有個可愛的闡述：把1n +隻鴿子關進n 個籠子，至少有一個籠子關了不只一隻鴿子。
以上敘述當然假設n 是正整數，而且要把鴿子全部關進籠子裡去。
這個大家看起來「理所當然」的敘述，卻有許多不尋常的應用，讓我們先看幾個有趣的例子。
如果你跟另外12個人圍在一桌聚餐，可以跟大家打賭，這一桌上必定有兩個人（或更多）的生日在同一個月份。
原因很簡單，同桌13人（包括你自己）有13個生日的月份，但是一年只有12個月，就好像13隻鴿子要關進12個籠子，至少有一個籠子關了不只一隻鴿子，也就是至少有一個月包含了不只一位當月的壽星。
以上情境或許很容易被人看破手腳，但是再複雜一點的情境就更有趣了。
如果你的班上有37位同學（可能包含導師），你可以打賭必定有四個人（或更多）的生日在同一個月份。
這是推廣的鴿籠原理：把1kn +隻鴿子關進n 個籠子，至少有一個籠子關了不只k 隻鴿子。
（k 當然是個正整數。
）如果每個月都沒有超過三個人過生日，則每個月至多只能有三位同學誕生，那麼全班至多只能有36人。
但是班上有37人，所以可以論斷，至少有一個月超過三個人過生日。
換成數學命題，鴿籠原理就比較不明顯了。
我們舉兩個讀者此時（第一冊第一章）就能理解的例子。
以下命題是正確的：令n 是正整數，從1, 2, 3, …, 2n 中任選 1n + 個不同的數出來，則至少有兩數互質。
理由是，把1, 2, 3, …, 2n 兩兩綁成一組，則有 {1,2}, {3,4}, …, {21n −,2n } 共n 組。
選出的1n +個不同的數，根據鴿籠原理，必定有兩個屬於同一組。
所以這1n +個數至少有兩數相鄰，而相鄰的兩個正整數必定互質。
據說，以上理由曾由一位11歲的天才說出來。
前面的命題其實是從以下命題簡化而來的。
以下命題也是正確的，它是一個更不明顯的鴿籠原理應用：令n 是正整數，從1, 2, 3, …, 2n 中任選 1n + 個不同的數出來，則至少有兩數互為因數與倍數。
小数报论文抽屉原理
抽屉原理我最讨厌睡午觉了，当夏季来临时，爸爸总压着我午休，这不又到了午休时间。
可是今天我怎么都睡不着，爸爸见我毫无睡意的样子，对我说：“闺女，我讲个数学趣味题给你听听吧！”“好呀，好呀”，我开心极了。
爸爸说：“桌上有10个香蕉，要把着十个香蕉放到9个盘子里，至少有几个盘子里有多余2个香蕉的？”我绞尽脑汁，心想：无论怎样放，有的盘子里可以放1个香蕉，有的可以放2个，有的可以放5个，如果每个盘子放1个，剩1个香蕉，随便放哪个盘子，这时只有1个盘子里有2个香蕉……但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放2个香蕉。
我在心里举了好多好多例子，过了十来分钟才得出答案，我小心翼翼地说：“是2个吧？”爸爸开心地竖起大拇指：“对了，我告诉你这就是抽屉原理，也叫鸽巢原理，有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。
抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。
许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快使问题得到解决。
”听了爸爸的讲解，我恍然大悟，原来这是个很厉害的原理呀。
爸爸又给我出了好几道题目，我和大家分享下：1、往杯子中插入吸管，吸管数比杯子数多1时，总有一个杯子里至少有2根吸管。
2、把苹果放入盒子中，苹果数比盒子数多1时，总有一个盒子里至少有2个苹果。
类似这样的问题太多了，综合以上例子可以总结出来，当把n+1个物体放入n 个抽屉中，必有一个抽屉中有2个该物体。
（n+1）÷n=1 (1)1+1＝2也就是商+1。
三年级经历了这样的数学推理过程，我还是有点懵懂。
但是抽屉原理只是众多数学原理中的一个，它告诉我要多观察生活，留意生活，积极引发深入思维，培养讨论和说理活动、推理能力、逻辑能力，学会数学证明。
浩瀚的宇宙，我需要学习的知识太多了，勤动脑，勤思考，才能获得更多的知识。
鸽笼原理及其应用
鸽笼原理及其应用鸽笼原理是组合数学中最基本的计数原理之一，它是解决许多涉及存在性问题的有用工具.十九世纪德国数学家Dirichlet 曾用该原理证明过数学命题，因此也称为Dirichlet 原理.许多关于组合数学方面的教材给出了鸽笼原理的简单形式，一般形式以及加强形式.下面我们就这三个不同层次分别展开来看其等价形式，并对解决同一问题加以比较以取得最优方法.(为对比方便，以下不论是定理还是推论均以形式命名)1鸽笼原理的种种形式1.1 鸽笼原理的简单形式形式1[]()1711P (通俗表述) 如果n ＋1只鸽子飞进n 个鸽笼，则必有一个鸽笼，该鸽笼里至少有2只鸽子.形式2[]()1711P 设A 是有限集，A ≥1+n ，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1nii A =U ＝A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥2.证明 用反证法.设i A ≤1(i ＝1，2，… ，n )，有A ＝Y n i i A1=≤∑=n i i A 1≤n ，这与A ≥1+n 的假设矛盾，所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥2.证毕.[]()1711P 形式3[]()P715 若R 是从A 到B 的关系，则有(1)存在a ∈A ，使)(a R ≥R /A ；(2)存在a ∈A ，使)(a R ≤R /A ；(3)存在b ∈B ，使)(1b R -≥R /B ；(4)存在b ∈B ，使)(1b R -≤R /B .说明 一组数不可能都大于(或小于)其平均数.形式4[]()P715 若f :A →B 是一函数且A ＝B ＋1，则存在b ∈B ，使|1-f (b )|≥2.形式5 设n 个元素按任一确定的方式分成m 个集合，如果m ＜n ，那么必有一个集合至少含有两个元素.形式6[]()P2123 设A 、B 为两个有限集合，若A ＞B ，则从A 到B 的任意函数f :A →B ，必有1a ，2a ∈A ，且1a ≠2a ，使得f (1a ) ＝f (2a ).结合以上几种形式，我们通过例题来看一下具体应用.例1 任给n （n ＞1）个自然数，其中必有两个数的差是 n －1的倍数. []()P96证明一（通俗证明） 任意一个自然数被 n －1除的余数只能是0，1，2，… ，n －2共 n －1种，根据所得余数，可以把所有自然数分为 n －1类:{余数为0的自然数}，{余数为1的自然数}，… ，{余数为n －2的自然数}，把它们看作 n －1个鸽笼，余数相同的自然数在同一笼里.任取n 个数则必有两个数出自同一鸽笼中，也就是这两个数除以n －1所得余数相同，所以用大数减去小数，它们的差就是 n －1的倍数.证毕. []()P96证明二（用形式2） 设A ＝{1a ，2a ，… ，n a }，(i a 为任给的n 个自然数)，i A ＝{被 n －1除余数为i 的自然数j a ，i ＝0，1，… ，n －2}，因为 A ＝n ，∑-20n i ＝i A ＝ n －1，所以由形式2，则必有正整数k (1≤k ≤ n －1)，使得|k A |≥2.即至少存在2个自然数，不妨设为k a ，l a ，被 n －1除余数为k ，则 n －1整除k a －l a .证毕.证明三（用形式4） 设A ＝{1a ，2a ，… ，n a }，(i a 为任给的n 个自然数)，B ＝{0b ，1b ，… ，2-n b }，（j b 为i a 被 n －1除余数为j 的自然数），f :A →B 是一函数且A ＝B ＋1， 则由形式4，则存在b ∈B ，使|1-f (b )|≥2.不妨设f (1a )＝f (2a )＝b （见形式6），则 n －1整除1a －2a .证毕.从这道例题的证明中可看出证明一有些烦琐，没有证明二，三那么简洁明了，另外我们可以看到证明三综合了两种形式，这就使得该题的解决更加简单且容易理解和掌握.1.2鸽笼原理的一般形式形式7[]()P1741 如果m （m ≥2）只鸽子飞进n 个笼子，则必有一个笼子，该笼子里至少有11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m 只鸽子. 形式8[]()P1741 设A 是m （m ≥2）元集，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1nii A =U = A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m .证明 用反证法.设i A ≤⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m 1 (i ＝1，2，… ，n )，则i A ≤nm 1-(i ＝1，2，… ，n )，从而A ＝Y n i i A 1=≤∑=n i i A 1≤n ·n m 1-＝1-m ，这与A ＝m 的假设矛盾.所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m .证毕. []()P1741例2 一写着 “马（H ）”，“兵（S ）”，“炮（C ）”的牌，一套牌是指三马，三兵，三炮，或马兵炮，试证:任意5张牌中必存在一套牌. []()P715证明 ①若5张牌不缺花式，则存在一套马兵炮牌，结论得证.②证明一（用形式8）:若缺一种花式，比如H ，设A ＝{1a ，2a ，3a ，4a ，5a }代表5张牌之集，B ＝{S ，C}代表两种花式之集.由于A ＝5，i A ⊆A (i ＝1，2)且Y 21=i iA ＝A ，所以由形式8 ，必有正整数k (1≤k ≤5)，使得|k A |≥1215+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-＝3.证毕. 若用形式1证明②，可看作5只鸽子飞进2个鸽笼，则必有一个鸽笼里至少有两只鸽子，很明显，这样得不出要证的结论，所以用形式1证明该题不可行.同理，用形式2，形式5和形式6均得不出结论，可见选择形式对解问题还是很重要的.那么②的证明方法就此一种吗？不是的，下面介绍它的其他证明形式.形式9 把多于m ×n 只鸽子，按任意确定的方式分放在n 个鸽笼里，那么至少有一个鸽笼有m ＋1或多于m ＋1只鸽子.我们用形式9来证明例2②证明二（用形式9） 把两种花式作为两个鸽笼，n ＝2，而5＞2×2，所以由形式9，m ＝2，则至少有一个鸽笼有3或多于3只鸽子，即5张牌中必存在一套牌.证毕.在第三部分将介绍它的加强证明形式.形式10 设有无穷多只鸽子按任一确定方式分成有限个鸽笼，那么至少有一个鸽笼含有无穷多只鸽子.形式11[]()P725 设f :A →B 是可列无穷集A 到有限非空集B 的函数，则必存在b ∈B ，使|1-f (b )|为可列无穷集.形式12 n 只鸽子飞回m 个互不相干的笼里（n ＞m ），则总存在一个最大鸽笼至少有⎥⎥⎤⎢⎢⎡m n 只鸽子，一个最小笼里至多有⎥⎦⎥⎢⎣⎢m n .其中当n ＝q m ＋r (0≤r ＜m )时，⎥⎥⎤⎢⎢⎡m n =⎩⎨⎧≠+=时当时当0,10,r q r q ；⎥⎦⎥⎢⎣⎢m n ＝q .（⎡⎤x 是上整数，指不小于x 的最小整数；⎣⎦x 是下整数，指不大于x 的最大整数）. 例3 11个人进入4个房间，人数最多的房间里至少有几个人，人数最少的房间里至多有几个人？ 解（由形式12） 人数最多房间至少有⎥⎥⎤⎢⎢⎡411＝3个人，人数最少的房间里至多有⎥⎦⎥⎢⎣⎢411＝2个人.像这种类型的题目只能用形式12，其他形式无法解决.1.3鸽笼原理的加强形式形式13[]()P1761 设A 是有限集，1q ，2q ，… ，n q 都是正整数，如果A ≥1q ＋2q ＋…＋n q －n ＋1，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1n i i A =U =A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥k q .证明 若不然，i A ≤i q －1(i ＝1，2，… ，n )，此时A ＝Y n i i A1=≤∑=n i i A 1≤∑=-n i i q 1)1(＝1q ＋2q ＋…＋n q －n ，这与A ≥1q ＋2q ＋…＋n q －1+n 矛盾.所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥k q .证毕.[]()P1761 形式14[]()P715 若f :A →B 是一函数，且B ＝{1b ，2b ，…，k b }，则有(1)若A ＝1a ＋2a ＋…＋k a －k ＋1，则存在i b ∈B ，使|1-f(i b )|≥i a ； (2)若A ＝1a ＋2a ＋…＋k a ＋k －1，则存在i b ∈B ，使|1-f(i b )|≤i a . 现在我们用形式14来证明例2②. 证明三（用形式14） 若缺一种花式，比如H ，定义函数f :A →B ，其中A ＝{1a ，2a ，3a ，4a ，5a }代表5张牌之集，B ＝{S ，C}代表两种花式之集. 由于A ＝5＝3＋3－2＋1，利用形式14（1），k ＝2，1a ＝2a ＝3，必存在|1-f (S)|≥3或|1-f (C)|≥3，即存在一套三兵或三炮的牌.证毕.综合例2②的三个证明方法可见证明二最通俗且容易让人理解.形式15[]()P1761 设A 是有限集，A ≥（m －1）n ＋1，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1nii A =U =A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥m .形式16[]()P1771 设1q ，2q ，… ，n q 都是正整数，如果1q ＋2q ＋…＋n q ≥（m －1）n ＋1，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得k q ≥m .例4 随意地给正十二边形的12个顶点，编上号码1，2，… ，12，求证:必有一个顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于20.证明一 (用形式16 ) 以1A ，2A ，… ，12A 表示正十二边形的12个顶点，以i q （i=1， 2，… ，12）表示顶点i A 及与i A 相邻的两个顶点的号码之和，则1q ＋2q ＋…＋12q ＝（1＋2＋…＋12）×3＝234＞(20－1) ×12＋1，由形式16，必有正整数k (1≤k ≤12)，使得k q ≥20. 这表示必有一顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于20.证毕.证明二 (用形式15) 因为i A ＝i 且Y 121=i iA ＝A ， A ＝234＞(20－1) ×12＋1所以存在正整数k (1≤k ≤12)，使得k A ≥20.证毕.通过以上几个例子利用不同形式的证明，我们可以看到形式对题，思路清晰，题目迎刃而解，如果知识片面，只知一种形式，而不知其他形式，对解题不仅无益，而且可能以为用鸽笼原理解决不了此问题.另外，在具体解决问题时并不是死板地用一种形式，几种形式混用可以使解题更容易，步骤更简捷，这就需要我们牢固的掌握知识，达到灵活运用的程度.故将鸽笼原理各种形式整理，归纳，以供学习者参考和学习.以下让我们看几个鸽笼原理在现实生活中的实际应用.2鸽笼原理在现实生活中的应用2.1电脑算命现在不少人（包括一些大学生在内）在各种心理驱使下在电脑前算自己的命运，他们相信电脑算“命”准确率更高，并且乐此不疲，深信不疑.殊不知电脑算命充其量不过是一种电脑游戏而已，只要应用鸽笼原理就能揭穿它.分析 我们都知道“电脑算命”就是要你报出自己出生的年月日和性别，一按按键，屏幕上就会出现有关你自己性格，前途，命运，家庭，爱情，疾病等所谓的“命”.若以70年计算，按出生年月日和性别不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为鸽笼数，再以我国现有人口数12.6亿，我们把它作为鸽子.由于1.26×910＝24657×51100＋27300根据鸽笼原理的形式15，存在24657个以上的人，尽管他们的出身，经历，天资，机遇各不相同，但他们的“命”是完全相同的，这显然是站不住脚的.比如，这里面有一个人被推断将来会做联合国秘书长或国家主席，那么应该还同时有24657个联合国秘书长或国家主席，这可能吗？2.2三个陌生人和三个朋友(Ramsey 原理)任意六个人当中必存在三个人互相认识或三个人互相不认识.分析 若将6人编号1p ，2p ，3p ，4p ，5p ，6p ，除1p 以外5人可分为两个集合，A 和B ，A ＝{与1p 认识的人}，B ＝{与1p 不认识的人}.由形式7得:11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m ＝1215+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-＝3，即A 和B 中有一集合至少有3个人，不妨设此3人为2p ，3p ，4p ，若2p ，3p ，4p 在A 中，则2p ，3p ，4p 或者彼此不认识，此时命题为真；或者至少有2人互相认识，不妨设2p ，3p ，则1p ，2p ，3p 三人彼此相识.同理，若2p ，3p ，4p 在B 中命题亦成立.2.3得分相同若301人的150分制总分为22651分，则至少有3人得分相同.分析 把此题翻译成鸽笼原理的语言，则为:301只鸽子飞回所设计的151只笼子（视0分，1分，… ，150分为笼子）利用反证法，若无3人以上得分相同（即不能有3鸽以上共笼）由形式12至少有⎥⎦⎥⎢⎣⎢151301＝2人得分相同，不难得知，必存在一个满射，使得150只笼内为双鸽共笼，余下一只单鸽进入单笼，这样，最大总分为2∑=1501i i ＋0＝22650＜22651，此为不可能，从而命题必真. 2.4小魔术 一袋多于四只的大小相同的球，只有红，蓝，黄三种颜色，只要任意取出四只球，其中至少有两只是同色的，乍一看很出奇，其实原理很简单.分析 若将红，蓝，黄三种颜色作为三个鸽笼，把任意取出的四只球作为鸽子，则根据形式7，必有⎥⎦⎥⎢⎣⎢-314＋1＝2只球是同色的. 2.5姓名的幸运指数前不久看见校门外围好多同学，说是只要花一元在那个机器里输入自己的姓名、出生年月日和时辰就会输出一张纸，写着姓名的幸运指数及评语，有的同学姓名的幸运指数高，欢呼雀跃，喜溢于面；有的同学则相反，很懊恼，抱怨父母起的名字不好.如果他们早知道这是一种游戏，也许就不会有那么大的情绪波动.分析中华五千年，炎黄子孙无数，人名亦无数，这些姓名与出生年月日，时辰的不同组合数可视为无数，我们将这个数字看成鸽子数，把1分到100分这100个数字看成鸽笼数，则由形式10或11可得肯定存在一些不同姓名，出生年月日和时辰都不相同的人姓名幸运指数相同，但他们一生的运气却不一定完全相同.所以我们同学要端正态度，破除迷信，崇尚科学.最后，请读者根据鸽笼原理的合适形式自己来证明其荒谬性，从而树立科学的价值观，人生观，爱情观和世界观.2.6食指显露你的爱情观一个人的爱情观，可以从其右手食指指纹看得出来.日本富士通电公司在互联网利用指纹辨认装置作出一项性格调查，并且利用指纹将人们的爱情观分为了八类.准确率很高哦!大家去看看，自己属于哪一类吧.提示:【男女一样看右手】A.【弓状纹】——表示你对恋人极为忠诚，温柔体贴，唯一的缺点是有欠热情.B.【突起弓状纹】——则显示就算你已有固定的恋人，但只要看见出色的异性出现便会双眼发光，理由是你不断需要新鲜感.C.【左流蹄状纹】——爱情方面十分被动，只会静待对方表态，将对方想得太理想化.D.【右流蹄状纹】——会长时间观察对方，如发现性格不合便分手，可是又不能忘记过去，甚至难开始新的一页.E.【袋形蹄状纹】——天生是个浪漫主义者，一旦有了对象，便会在脑里想得天花乱坠，完全欠冷静.【注:请注意与涡状纹的区分】F.【二重蹄状纹】——代表你头脑清醒，不爱被人穷追不舍，却向往天长地久的爱情.G.【涡状纹】——证明你经常憧憬着罗曼蒂克的爱情，可是却不懂表达自己的感觉，往往让机会溜走.【注:圆一点也算涡状纹，请注意与袋状纹的区分】H.【不规则纹】——恋爱际遇较为波折，这可能与你意气用事有关，要谅解对方的心情才行.2.7发短信测你在他人心中位置我在你心中如用物来形容:天空、海洋、森林、小溪、跑车、小屋子、田园、水果、白云、微风答案:天空:难忘的人；海洋:讨厌的人；森林:托付终身的人；小溪:普通朋友；跑车:憎恨的人；小屋子:容易忘却的人；田园:初恋；水果:最爱的人；白云:知己；微风:师长.。
鸽笼原理及译文
抽屉原理又叫鸽笼原理、狄里克雷（P.G.Dirchlet,1805~1895,德国）原理、重叠原理、鞋盒原理。
这一最简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用。
抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现，从小学奥数、中学奥数、IMO到Putnam都可以见到它的身影。
因此，希望大家深刻理解和熟练掌握它。
在国外一般称抽屉原理为鸽笼原理(The Pigeon-Hole Principle),简称PHP。
用通俗的话来说就是，把6个苹果放到5个抽屉里，必定有一个抽屉里至少有2个苹果。
通常有下列几种表达形式：1。
把n+1个元素分为n个集合，那么必定有一集合含有两个或两个以上的元素；2。
把nm+1个元素分为n个集合，那么必定有一集合含有m+1或m+1个以上元素；3。
把n个元素分为k个集合，那么必定有一个集合中元素的个数大于等于[n/k],也必然有一个集合中元素的个数小于等于[n/k]；4。
把无穷多个元素分为有限个集合，那么必有一个集合含有无穷多个元素。
应用抽屉原理解题的基本思想是，利用抽屉原理把范围缩小，使之能在一个特定的小范围内考虑问题，使问题变得简单而明确。
根据不同问题的自身特点，洞察问题本质，先要弄清楚对那些元素分类，在找出分类的规律，即进行所谓的构造抽屉。
构造抽屉是用抽屉原理解题的关键，也是难点。
一般情况是，把图形分成小区域；把集合化成子集组。
在使用抽屉原理时，一般是先确定‘苹果’的数目，再构造出小于‘苹果’数目的抽屉；当构造出来的抽屉不能满足题设要求时，就要挖掘题目的的隐藏条件，使之能顺利运用抽屉原理来解题。
余数问题运用抽屉原理的特点是，任意一个整除n被p除时余数有p种情况，从而确定出‘抽屉’。
下面我给出不同难度级别的题目，从很简单到非常困难的，不同背景的人选择不同的题目来做，希望能帖出你的答案。
【例1】任意给定12个整数。
证明：从中一定可以找出两个数来，它们的差可被11整除。
鸽巢问题原理一分析
7÷2=3……1
3、把9本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有 一个抽屉至少放进多少本书？为什么？
9÷2=4……1
在有些问题中,“抽屉”和“苹果” 抽屉原理 不是很明显, 需要我们制造出“抽屉”
和“苹果”. 制造出“抽屉”和“苹
果”是比较困难的,这一方面需要同 学们去分析题目中的条件和问题,另
一方面需要多做一些题来积累经验.
5可以分成（5、0、0、 0）、（4、1、0、 0）、（3、2、0、0）、（ 3、1、1、0） （2、2、1、0）、（2、1、1、1）
5÷4=1（个）……1（个）
1、如果把6个苹果放入5个抽屉中，至 少有几个放到同一个抽屉里？ （2个） 2、如果把7个苹果放入6个抽屉中，至 少有几个放到同一个抽屉里呢？ （2个）
游戏：你藏我猜
规则： 把3个小球藏到两个抽 屉里，必须把小球放进抽屉，让 我来猜猜，大家判断我猜的是否 对？
鸽巢原理(一)
小组合作
把四根小棒放 进三个纸杯中 有几种放法？
不管怎么放，至少 有2根小棒要放进同 一个纸杯里.
看看有几种放法？ 通过摆放，你发 现 了 什 么 ？
把4枝笔放 进3个盒子中。
把5枝笔放 进4个盒子中。
把5枝铅笔放在4个文具盒里，还是 不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进 了2枝铅笔吗？
为什么会有这样 的结果？
这样分实际上是怎样在分？ 怎样列式？
平均分
讨论：
把6枝铅笔放在4个文具 盒里，会有什么结果呢？
把5个苹果放进4个抽屉里，不管怎么放 总有一个抽屉里至少有（ ）苹果。
(1)三个小朋友同行，其中必有 两个小朋友性别相同。
性别
三个
小朋友
(6) 从电影院中任意找来13个观众， 至少有两个人属相相同。
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材料清单一、毕业论文二、毕业设计任务书三、毕业设计开题申请表四、毕业设计开题报告正文声明本人丰海娟，学号10505039,系数学与应用数学学院数学与应用数学专业1001班学生。
所做论文内容主体均为原创，无任何抄袭、剽窃他人劳动成果的行为。
如有发现此类行为，本人愿意为此承担一切道义及法律责任，特此声明。
学生签名：年月日抽屉原理及其应用: 专业：数学与应用数学学号：指导老师：摘要：抽屉原理是数学中的重要原理，在解决数学问题时有非常重要的作用.各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用.本文着重从抽屉的构造方法：等分区间、分割图形、利用“对称性”、用整数性质、利用染色和根据问题的需要阐述抽届原理在高等数学和初等数学(竞赛题)中的应用，同时指出了它在应用领域中的不足之处：抽届的构造有一定的难度，这就要求我们必须要求有一定的数学功底,甚至复杂的需要大量的演算，因此抽届原理不能充分的运用到我们日常生活中去.关键词：抽屉原理；高等数学；初等数学The principle of drawer and its applicationAbstract : Drawer principle is the important principle of mathematics in solving mathematical problems, has a very important role. All forms of drawer principle in Higher Mathematics and elementary mathematics is often used. This article emphatically from the drawer construction methods: equal interval, segmentation graph, using the" symmetry", with properties of the integers, using staining and according to problems on the drawer principle in Higher Mathematics and Elementary Mathematics ( contest ) application, and points out that it is in the field of application of the deficiencies: drawer structure has certain difficulty, this asks wemust have some math skills, even complex requires a large amount of calculation, therefore the drawer principle can not full use of our daily life.Key Words : the principle of drawer; advanced mathematics; primary mathematics目录1 .抽屉原理............................................... .. (1)1.1抽屉原理的简单形式 (1)1.2抽屉原理的加强形式 (2)2 .抽屉原理的应用 (4)2.1抽屉的构造 (4)2.2抽屉原理在数学解题中的应用 .......................................... .103.抽屉原理在生活中的应用 (14)3.1月黑穿袜子 (14)3.2手指纹和头发 (14)3.3电脑算命 (15)4 •总结 (15)参考文献 (16)致 (17)前言抽屉原理又叫做鸽巢原理，指的是一件简单明了的事实：为数众多的鸽子飞进为数不多的巢穴里，则至少有一个巢穴飞进了两只或者更多的鸽子。
其实有关于抽屉原理（鸽巢原理）的阐释，粗略的说就是如果有许多物体放进不足够多的盒子内，那么至少有一个盒子被两个或多个盒子占据。
抽屉原理在我们日常生活中已经运用的比较广泛了 ,它往往和我们数学结合在一起为我们日常生活带来了不小的便利。
我将主要叙述一下抽屉原理的具体的形式、构造方法以及他在我们生活中的一些具体的应用。
希望大家能对抽屉原理有一个更加清晰的了解并能运用到我们的日常生活中去。
1.1. 抽屉原理的简单形式抽屉原理的最简单的形式如下.定理1 .鸽巢原理（组合数学,）如果n 1个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体.证明：（用反证法）如果n个盒子中每个盒子至多放一个物体，则放入n个盒子中的物体总数至多为n个.这与假设有n 1个物体矛盾.从而定理得证.注意，无论是抽屉原理还是它的证明，对丁找出含有两个或更多物体的盒子都没有任何帮助.我们只是简单断言，如果人们检查每一个盒子，那么他们会发现有的盒子，里面放有多丁一个的物体. 抽屉原理只是保证这样的盒子存在. 因此，无论何时抽屉原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性，除了考察所有的可能性外，它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示.还要注意，抽屉原理的结论不能被推广到只存在n个（或更少）物体的情形.这是因为我们可以把不同的物体放到n个盒子的每一个中去.当然，在这些盒子中可以这样分发物体：一个盒子放入两个物体，但对任意分发这是没有保证的.抽屉原理只是断言，在n 个盒子中去论如何分发n 1个物体，总不能避免把两个物体放进同一个盒子中去.还存在一些与抽屉原理相关的其它原理，有必要正式叙述如下.(1) 如果将n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子是空的，那么每个盒子恰好包含一个物体.(2) 如果将n个物体放入n个盒子并且没有盒子被放入多丁一个的物体，那么每个盒子里有一个物体.现在把所阐明的这三个原理更抽象的表述为：令X和Y是两个有限集，并令f :X Y是一个从X到Y得函数.(1) 如果X的元素多丁Y的元素，那么f就不是一对一的.(2) 如果X和Y含有相同个数的元素，并且f是映上的，那么f就是一对一的.(3) 如果X和Y含有相同个数的元素，并且f是一对一的，那么f就是映上的.1.2. 抽屉原理的加强形式下列定理包含定理2.作为它的特殊情形.定理2.鸽巢原理(组合数学)设qi,q2, ,q n为正整数.如果将% q2 q n n 1个物体放入n个盒子内，那么，或者第一个盒子至少含有5个物体，或者第二个盒子至少含有q2个物体，…，或者第n个盒子至少含有％个物体.证明：设将q q2 q n n 1个物体分放到n个盒子中.如果对于每个i 1,2, ,n，第i个盒子含有少于q个物体，那么所有盒子中的物体总数不超过(q 1) (q2 1) (q n 1) q〔q2 q n n该数比所分发的物体总数少1，因此我们断言，对于某一个i 1,2, ,n, 第i个盒子至少包含q i个物体.注意，能够将q i q2 q n n个物体用下面的方法分到n个盒子中，对所有的i 1,2, ,n第i个盒子都不能含有q个或更多的物体，我们可以通过将q 1个物体放入第一个盒子，将q 2 1个物体放入第二 个盒子等来实现，抽屉原理的简单形式是由其强化形式的通过使 q i q 2 ...q n 2得到的，由此有 q 〔 q ? q n n 1 2n n 1 n 1 .在初等数学中抽屉原理的加强形式最常用丁 q 1,q 2, ,q n 都等丁同一个整数 r 的特殊情况.在这种情况下，该定理叙述如下：推论1 . 如果n r 1 1个物体放入n 个盒子中，那么至少有一 个盒子含有r 个或更多的物体.等价的，推论2 .如果n 个非负整数m 1,m 2,...,m n 的平均数大于r 1 :m m 2 ... m n ,r 1 n 那么至少有一个整数大于或等于r .这两种表述之间的联系可以通过取 n r 11个物体并放入n 个 盒子中得到.对于i 1,2, ,n ，令m i 是第i 个盒子中的物体个数.于是这m 个数m,m 2,..., m n 的平均数为m 1 m 2 ... m n n(r 1) 1 1 --------------------- ----------------- (r 1)— n n n由于这个平均数大于r 1,故而有一个整数m i 至少是r .换句话说,这些盒子中有一个盒子至少含有r 个物体.推论3.如果n 个非负整数m 1,m 2,..., m^的平均数小于r 1:m m 2 ... m n------------------- r 1 n 那么至少有一个整数小于r 1 .推论4 .如果n 个非负整数m 1,m 2,...,m n 的平均数至少等于「，那 么这n 个整数m,m 2,...,m n 至少有一个满足m i r .推论5. m 个物体放入n 个盒子中，则至少有一个盒子中有不少 于£ 1个物体. n注：符号x 表示不超过实数x 的最大整数.证明：(反证法)若不然，则每一个集合中最多有 四^个物体, n这时，n个盒子中就最多有n 匚^个物体.nm 1 m 1 m 1 m 1因为------- ----- ，所以n ------------ n ------------ m 1 m,这与已知条件m个物体放入n个盒子中矛盾，故上述推论成立.抽屉原理的形式比较多变，在具体的应用中也会有不同的变化，但本质上都是一样的.上述定理及推论的证明均采用反证法，这种证明方法对于证明元素个数多于抽屉个数的问题时有其普遍意义，平均重叠原则⑶：把一个量S任意分成n份，则其中至少有一份不大于S，也至少有一份不少于-.n n不等式重叠原则：若a,b,c,d R,且a c b d，贝Ua b , c d至少有一个成立.面积重叠原则⑶：在平面上有n个面积分别是A1, A2, ---A n的图形，把这n个图形按任何方式一一搬到某一个面积为A的固定图形上去，(1)如果A1 A2 ... A n A,则至少有两个有公共点；(2)如果A A ... A n A，则固定图形中至少有一个点未被盖住. 2.抽屉原理的应用应用抽屉原理的基本思想是根据不同问题自身特点，洞察问题本质，先弄活对哪些元素进行分类，再找出分类的规律，即所谓的构造抽屉，构造抽屉是应用抽屉原理的关键.在介绍抽屉原理的应用之前，本文先用几个具体的例子来介绍几种常用的构造抽屉的方法.2.1抽屉的构造.2.1.1等分区间制造抽屉当问题的结论与区间有关时，可等分某个区间，设计出若干个抽屉.例1⑵求证：对丁任给的正无理数及任意大的自然数n,仔在一个有理数七，使得 A 上.m m mn证明：把区间(0, 1)进行n等分，得n个小区问1 12 23 n 10，—，—，—，—，— ,..., ,1 -n n n n n n由抽屉原理知，这些区间内的n 1个数中，必有两个数落在某一个区间，从而这两个数的差的绝对值小丁-.n设p i N(i 1,2,..., n 1),则由是正无理数得0 P i P 1所以这n 1个数p P i (i 1,2,..., n 1)中，必有2个数，不妨设为P1 P1和P2 P2 ，它们的差的绝对值小丁 -,即n、，、1(P1 P2) ( P1 P2 )-n设P1 P2 m, a P2 k,贝Um k 1 ,即土*上述例子涉及区间问题，把区间(0, 1)进行n等分，得n个小区问，自然就得到了n 个抽屉，而n 1个数可以作为n 1个物体，此处可以利用抽屉原理解决问题.2.1.2分割图形构造抽屉在一个几何图形内有若干已知点，我们可以根据问题的要求把图形进行适当的分割，用这些分割成的图形作为抽屉，再对已知点进行分类，集中对某一个或几个抽屉进行进行讨论，使问题得到解决.例2⑷在边长为2米的正方形内，任意放入13个点.求证：心无4个点, 以它们为顶点的四边形的面积不超过1平■方米.证明：把边长为2米的正方形分割成面积为1平方米的4个小正方形，如图1 .因为13=3 X4+1，所以由抽屉原理知，至少有4个点落在同一个面积为1平' 方米的小正方形内（或边上），以这4个点为顶点的四边形的面积总小丁或等丁小正方形的面积，即以这4个点为顶点的四边形的面积不超过1平■方米.注：此例是通过分割图形构造抽屉. 将正方形等分成4个矩形来制造抽屉也可以解决本题，如图2.2.1.3利用“对称性”构造抽屉“对称性”是数学中常用的处理问题的一种方法.同样，在构造抽屉的过程中也可以利用“对称性”来解决问题，这种方法不易观察，需要不断的训练.例3m九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2: 3的两个四边形.证明：这九条直线中至.少.有.三条经过同一点.证明：如图，设 CD 是一条这样的这样的直 线.我们再画出这两个梯形的中位线 AB ,因这两 个梯形有相等的高，所以他们的面积比应等丁对应 的中位线长的比，即等丁 AP ：PB (或者B P ： PA )H为点P 有确定的位置，它在正方形一对对边中点的 连线上，并且 AP:PB 2:3,由几何上的对称性， 这种点共有4个，即图中的P,Q, R,S.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须过P,Q,R,S 这4点中的一点.把P,Q, R,S 当 成4个抽屉，9条直线当成9个物体，即可看出必有3条分割直线经过同一个点.正方形是个比较规则的图形，在正方形中有很多对称关系，对解题减小了- 点难度。