18谓词演算的推理规则.
合集下载
离散数学课件1.8
∀ xA( x) ∴ A( y )
应用US规则的条件是: A(x)对于y必须是自由的。 设 A( x) = ∃y( x > y) 则 ∀xA( x) = ∀x∃y( x > y) , x,y的 的 个体域为R， 是一真命题. 个体域为 ， 是一真命题 若应用US得 则是错误的。 若应用 得 ∃y( y > y) ，则是错误的。 正确的做法是换成 ∃y( z > y) ( z ∈ R)
用变元x取代 ， 则要求在 原公式中y不 用变元 取代y， 则要求 在 原公式中 不 取代 能出现在量词(∀ 或 ∃ 的辖域之内 的辖域之内。 能出现在量词 ∀x)或(∃x)的辖域之内。
16
第一章 数理逻辑
推理规则的正确使用（4）
推导4： （1）G(x, c) （2）(∃x)G(x, x) P EG,(2)
17
第一章 数理逻辑 1.8.3 推理举例 例1 根据前提集合：同事之间总是有工作矛盾的，张平和李 明没有工作矛盾, 能得出什么结论? ; 解 设P(x, y): x和y是同事关系, Q(x, y): a: 张平, x和y有工作矛盾, b: 李明,
则前提是:∀x∀y(P(x,y) → Q(x,y)) ， ┐Q(a,b) ∀ ∀
6
第一章 数理逻辑 这一规则也可写为:
∀ xA( x)推得A( x) 或
它的意义是, 全称量词可以删除。
∀ xA( x) ⇒ A( x).
7
第一章 数理逻辑 (2) 存在指定规则 存在特定规则 存在量词消去规则 ) 存在指定规则(存在特定规则 存在特定规则/存在量词消去规则 (Existential Specification)简记为ES。
15
第一章 数理逻辑
离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明：令 P(e)表示“e为人”； W(e)表示“e喜欢步行”； D(e)表示“e喜欢乘汽车”； R(e)表示“e喜欢骑自行车”
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
2-5 谓词演算的四个推理规则
§2.5.1 存在指定规则
例如：
西安电子科技大学 软件学院
如果“盒子里面全是黑球”这个命题成 立，那么在盒子里面任找一个球，它 的肯定是黑色的。
§2.5.2
×
√
» 指定规则的使用
存在指定规则ES
如果(∃x)A(x)的为真，且x的个 体域中的个体c满足A(c)为真， 应用ES规则可得： (∃x)A(x)
西安电子科技大学 软件学院
命题演算中的推理规则和证明方法在谓词 演算中依然适用。但在谓词演算中的某些前 提和结论可能是带量词约束的。为了使用命 题逻辑中的一些推理规则，并最后还原带量 词的结论形式，在推理过程中经常要消去和 添加量词，以下四个规则就是用于消去和添 加量词的规则。
§2.5.1 存在指定规则
西安电子科技大学 软件学院
全称指定规则US
如果(∀x)A(x)的为真，那么x 的个体域中的任意确定个体c 也必然使得A(c)为真，因此 US规则通常也可以这样用：
(∀x)A(x) ∴ A(c)
∴ A(c)
对变元指定同一个个体时，应先作存 在指定，再作全称指定。
» 指定规则的使用
西安电子科技大学 软件学院
§2.5.1 存在指定规则
例如：
西安电子科技大学 软件学院
如果“盒子里面存在黑球”这个命题成 立，那么在盒子里面至少可以找到一 个黑色的球。
§2.5.1 存在指定规则
西安电子科技大学 软件学院
【例题】设谓词P(x): x是草食动物，x的个体域为全体动物的 集合。应用存在指定规则消去公式(∃x)P(x)中的存在量词。
§2.5.4 全称推广规则
例如：
西安电子科技大学 软件学院
如果从盒子中任取一个球，能证明它是 黑球，那么“盒子里面全是黑球”成立。
离散数学谓词复习和习题例题讲解详解
2)、G2＝P(a)→(x)P(x)；
3)、G3＝(x)(P(x)∧┐P(x))。
XDC
温故而知新!
38-8
C
谓词演算的基本永真公式
S | S W U S T
XDC
温故而知新!
38-9
C
S
几个规则
| ▪ 规则1(约束变元的改名规则)：1.6
S
1)、将量词中出现的变元以及该量词辖域中此
变量之所有约束出现都用新的个体变元替换。
词的辖域。
XDC
温故而知新!
38-3
C
S
全总个体域
|
基于上述情况，必须对个体域进行统一，全部使用
全总个体域，此时，对每一个句子中个体变量的变化范
S
围用一定之特性谓词刻划之。而统一成全总个体域后，
W
此全总个体域在谓词公式中就不必特别说明，常常省略
U
不记。同时，这种特性谓词在加入到命题函数中时必定 遵循如下原则：
T
为约束变元只改名为另一个个体变元，约束关系不改变， 约束变元不能改名为个体常量；代入后，不仅可用另一
个个体变元进行代入，并且也可用个体常量去代入，从
而使公式由具有普遍意义变为仅对该个体常量有意义，
即公式的含义改变了。
XDC
温故而知新!
38-11
C
S
规则3：替换规则 1.7.3
|
设A(x1,x2,…,xn) = B(x1,x2,…,xn), 而A
S
等表示。
T
谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随
意变更。
XDC
温故而知新!
38-2
C
S
量词的定义
|
引进如下两个符号：
离散数学-谓词演算的推理规则
解： P(x) ：x 是液体， G(x)：x是金属， R(x, y)：x 溶解 y ，
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
谓词逻辑的等值和推理演算
• 例2:人皆有死,孔子是人,所以孔子有死.
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
• 例3:若有一种又高又胖旳人,则有一种高个子而 且有一种胖子.
(x)(Tall(x)Fat(x)) → (x)Tall(x) (x)Fat(x)
(x)P(x, f(x)) = P(1, f(1)) P(2, f(2)) • 两者明显不等值.但在(不)可满足旳意义下两者
是一致旳.
Lu Chaojun, SJTU
20
谓词逻辑旳推理
• 命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以 及基本旳推理公式旳讨论和所用旳术语 都可引入到谓词逻辑中,并可把命题逻辑 旳推理作为谓词逻辑旳推理旳一种部分 来看待.
• 前束范式定理:任一公式都有与之等值旳 PNF.
Lu Chaojun, SJTU
11
怎样转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(假如必要旳话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
• 例3:若有一种又高又胖旳人,则有一种高个子而 且有一种胖子.
(x)(Tall(x)Fat(x)) → (x)Tall(x) (x)Fat(x)
(x)P(x, f(x)) = P(1, f(1)) P(2, f(2)) • 两者明显不等值.但在(不)可满足旳意义下两者
是一致旳.
Lu Chaojun, SJTU
20
谓词逻辑旳推理
• 命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以 及基本旳推理公式旳讨论和所用旳术语 都可引入到谓词逻辑中,并可把命题逻辑 旳推理作为谓词逻辑旳推理旳一种部分 来看待.
• 前束范式定理:任一公式都有与之等值旳 PNF.
Lu Chaojun, SJTU
11
怎样转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(假如必要旳话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
第四章 谓词演算的推理理论-永真推理系统
例 (续 )
证明:
x(P(x))(x P(x))
再证明 (x P(x)) x(P(x))
(3) P(x) xP(x)
公理21 公理3
(4) (P(x)xP(x)) ((xP(x))(P(x))) (5) (xP(x))(P(x)) 分(3)(4)
(4) △ (x (x) (1 ))
两次运用调头公理2
分离Байду номын сангаас1)(2)
存0规则
公理2
(5) △ ((x (x) (1 )) (1(x (x) ))) (6) △(1 (x(x) )) 分离(5)(6)
例(练习4.1(1))
证明:
x(P(x))(xP(x))
回顾: 量词作用域的收缩与扩张
设公式中不含有自由的x，则下面的公式成立:
x((x) → )= ( x(x) → )
x( →(x)) = (→x(x)) x((x)→ )= (x(x) →) x(→(x))= (→x(x)) 全称量 词引入 存在量 词引入
例 (练习4.2)已知公理 (A) △(P(QP)) (B) △(PP) 及分离规则和全称规则，全称规则为： △(1(2(x)))├△(1(2x (x))) 试证：全0规则 △(x)├△x(x)
证: (1) △(x) (2) △ (P(QP)) (3) △ ((x) ((PP) (x) (4) △(PP) (x) (5) △(((PP) (x)) ((PP) ((PP) (x)))) (6) △((PP) ((PP) (x))) (7) △((PP) ((PP) x(x))) (8) △(PP) (9) △((PP) x(x)) (10) △(x(x))
基本符号（续）
概率论-第七讲 谓词演算的推理规则
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
11
二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12
量词消去与引入规则 UG
全称量词引入规则(UG)
A(x) xA(x)
该式成立的条件是 (1)Γ是公理和前提的合取，其中没有x的自由出现。其意
义：若从Γ可推出A(x)，那么从Γ中也可推出xA(x).
(2)在推出A(x)前提中，x必须不是自由的；且A(x)中x不
是由使用ES而引入的。
3
谓词逻辑中推理的形式结构
推理的形式结构 形式1 A1A2…AkB (*) 形式2 前提：A1, A2, … , Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为谓词逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 记作A1A2…Ak B
推理定律
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
8
注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
取A(5)= xF(x,5)—真命题 使用EG规则，若用x取代5,得xA(x)= xxF (x,x)
= xx (x>x) 假 若用y取代5,得yA(y)= yxF (x,y)
= yx (x>y) 真
9
量词消去与引入规则 EI
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构
重要推理定律
1.8.2 量词消去与引入规则
UI规则、UG规则、EG规则、EI规则
A(x)对y是自由的
• 如果在公式A(x)中，x不出现在量词y或 y的辖域之内，则称A(x)对y是自由的。
• 例如：B(x)= y P(y)Ｑ(x) R(z), B(x) 对y是自由的
量词消去与引入规则 UI
全称量词消去规则(UI)
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
A(c)
成立的条件是:
•(1)A(x)对y必须是自由的。 •(2) 在第二式中, c为任意个体常元. •(3) 用y或c去取代A(x)中的自由出现的x时, 一定要在x自
由出现的一切地方进行取代.
注意
解 令 F(x): x是人, G(x): x是要死的, a: 苏格拉底
前提：x(F(x)G(x))，F(a)
结论：G(a)
证明：① F(a)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(a)G(a)
②UI
④ G(a)
①③假言推理
例2
例2 构造下述推理证明
前提：x(F(x)G(x))，xF(x)
若用5取代x,得A(5)= (5>5) 假 若用6取代x,得A(6)= (6>5) 真
11
注意
(1)个体域为自然数集合N F(x):x为奇数. G(x):x为偶数. xF(x)—真命题 xG(x)—真命题 对xF(x)使用EI规则时，取代x的只能是1，3，5等特定的 个体常元，而不能取4，6等. 对xG(x)使用EI规则时，取代x的只能是0，2，16等特定的 个体常元，而不能取3，7等.
P,前提 T,(1),US T,(2),ES
T,(3),UG T,(4),EG
14
自然推理系统F
自然推理系统F包括下述组成部分:
1. 字母表, 同谓词语言ℱ 的字母表 2. 合式公式, 同ℱ 的合式公式
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则
重要推理定律 第一组 命题逻辑推理定律的代换实例 例如 xF(x)yG(y) xF(x) 化简律的代换实例 第二组 每个谓词逻辑基本等值式生成2个推理定律
例如 xF(x) x(F(x)), x(F(x)) xF(x)
第三组 xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)) x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)
违反第一条： F(x,y):x>y，个体域为实数域 xA(x)= x yF(x,y) —真命题 使用UI规则，若用y取代x,得yF(y,y)—假命题
若用z取代x,得yF(z,y)
量词消去与引入规则 EG
存在量词引入规则(EG)
A( c )
xA( x)
该式成立的条件是：
• (1) c是使A为真的特定个体常元. • (2) 取代c的x不能在A(c)中出现过.
结论：xG(x)
证明：① xF(x)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(c)
①EI
④ F(c)G(c)
②UI
⑤ G(c)
③④假言推理
⑥ xG(x)
⑤EG
注意：1.必须先消存在量词
2. ⑥ xG(x) ⑤UG 行吗？为什么？
例4
例4 构造下述推理证明 前提：xF(x)xG(x) 结论：x(F(x)G(x)) 证明：① xF(x)xG(x)
15
自然推理系统F(续)
(6) 化简规则 (7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10) 构造性二难推理规则 (11) 合取引入规则 (12) UI规则 (13) UG规则 (14) EG规则 (15) EI规则
例1
例1 证明苏格拉底三段论: “人都是要死的, 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的.”
存在量词消去规则(EI)
xA( x) A(c)
该式成立的条件是：
• (1) c是使A为真的特定的个体常元. • (2) c不在A(x)中出现. • (3) x在A(x)中自由出现, 除x之外没有其他自由
出现的个体变元
10
注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
x A(x)= x F(x,5) 对x A(x)使用EI规则，
前提引入
② yF(t,y)
①UI规则
③ F(t,c)
②EI规则
④ xF(x,c)
③UG规则
注意：③, 在F(t,y)中, 除y外, t也是自由出现, 不能使用EI 规则
附加前提引入 ①UI 前提引入 ③UI ②④假言推理 ⑤UG
4月26日 作业
P53 4 (2) 8(1)(3) 9(1)
21
例
例3 设个体域:R, F(x,y):x>y. 指出下述推理证明中的错误
前提: xyF(x,y) 真命题
结论: xF(x,c)
假命题
证明: ① xyF(x,y)
(3)在居先的步骤中，如果使用US而求得之x是自由的， 那么在后继步骤中，使用ES而引入的任何新变元都没 有在A(x)中自由出现。
• 观察下面的推理
• (1) x yP(x,y)
• (2) yP(t,y) • (3) P(t,d)
• (4) x P(x,d)
• (5) y x P(x,y)
• C(x)= yP(x,y) Q(x,y), C(x)对y不是自由 的
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注：在将A(x)中的x代以y时，需要先观察 A(x)对y是否自由，如果不自由，不能代 入。
如： yP(x,y) Q(x,y)， 将x代以y得 yP(y,y) Q(y,y)，此时原来自由的x
变成约束的，故需要先将y改名。
② xy(F(x)G(y)) ③ x(F(x)G(z)) ④ F(z)G(z) ⑤ x(F(x)G(x))
前提引入 ①置换 ②UI ③UI ④UG
例5
例5 构造下述推理证明 前提：x(F(x)G(x)) 结论：xF(x)xG(x) 证明：① xF(x)
② F(y) ③ x(F(x)G(x)) ④ F(y)G(y) ⑤ G(y) ⑥ xG(x)
量词消去与引入规则 UG
全称量词引入规则(UG)
A(x) xA(x)
该式成立的条件是 (1)Γ是公理和前提的合取，其中没有x的自由出现。其意
义：若从Γ可推出A(x)，那么从Γ中也可推出xA(x).
(2)在推出A(x)前提中，x必须不是自由的；且A(x)中x不
是由使用ES而引入的。
3
谓词逻辑中推理的形式结构
推理的形式结构 形式1 A1A2…AkB (*) 形式2 前提：A1, A2, … , Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为谓词逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 记作A1A2…Ak B
推理定律
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
8
注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
取A(5)= xF(x,5)—真命题 使用EG规则，若用x取代5,得xA(x)= xxF (x,x)
= xx (x>x) 假 若用y取代5,得yA(y)= yxF (x,y)
= yx (x>y) 真
9
量词消去与引入规则 EI
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构
重要推理定律
1.8.2 量词消去与引入规则
UI规则、UG规则、EG规则、EI规则
A(x)对y是自由的
• 如果在公式A(x)中，x不出现在量词y或 y的辖域之内，则称A(x)对y是自由的。
• 例如：B(x)= y P(y)Ｑ(x) R(z), B(x) 对y是自由的
量词消去与引入规则 UI
全称量词消去规则(UI)
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
A(c)
成立的条件是:
•(1)A(x)对y必须是自由的。 •(2) 在第二式中, c为任意个体常元. •(3) 用y或c去取代A(x)中的自由出现的x时, 一定要在x自
由出现的一切地方进行取代.
注意
解 令 F(x): x是人, G(x): x是要死的, a: 苏格拉底
前提：x(F(x)G(x))，F(a)
结论：G(a)
证明：① F(a)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(a)G(a)
②UI
④ G(a)
①③假言推理
例2
例2 构造下述推理证明
前提：x(F(x)G(x))，xF(x)
若用5取代x,得A(5)= (5>5) 假 若用6取代x,得A(6)= (6>5) 真
11
注意
(1)个体域为自然数集合N F(x):x为奇数. G(x):x为偶数. xF(x)—真命题 xG(x)—真命题 对xF(x)使用EI规则时，取代x的只能是1，3，5等特定的 个体常元，而不能取4，6等. 对xG(x)使用EI规则时，取代x的只能是0，2，16等特定的 个体常元，而不能取3，7等.
P,前提 T,(1),US T,(2),ES
T,(3),UG T,(4),EG
14
自然推理系统F
自然推理系统F包括下述组成部分:
1. 字母表, 同谓词语言ℱ 的字母表 2. 合式公式, 同ℱ 的合式公式
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则
重要推理定律 第一组 命题逻辑推理定律的代换实例 例如 xF(x)yG(y) xF(x) 化简律的代换实例 第二组 每个谓词逻辑基本等值式生成2个推理定律
例如 xF(x) x(F(x)), x(F(x)) xF(x)
第三组 xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)) x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)
违反第一条： F(x,y):x>y，个体域为实数域 xA(x)= x yF(x,y) —真命题 使用UI规则，若用y取代x,得yF(y,y)—假命题
若用z取代x,得yF(z,y)
量词消去与引入规则 EG
存在量词引入规则(EG)
A( c )
xA( x)
该式成立的条件是：
• (1) c是使A为真的特定个体常元. • (2) 取代c的x不能在A(c)中出现过.
结论：xG(x)
证明：① xF(x)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(c)
①EI
④ F(c)G(c)
②UI
⑤ G(c)
③④假言推理
⑥ xG(x)
⑤EG
注意：1.必须先消存在量词
2. ⑥ xG(x) ⑤UG 行吗？为什么？
例4
例4 构造下述推理证明 前提：xF(x)xG(x) 结论：x(F(x)G(x)) 证明：① xF(x)xG(x)
15
自然推理系统F(续)
(6) 化简规则 (7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10) 构造性二难推理规则 (11) 合取引入规则 (12) UI规则 (13) UG规则 (14) EG规则 (15) EI规则
例1
例1 证明苏格拉底三段论: “人都是要死的, 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的.”
存在量词消去规则(EI)
xA( x) A(c)
该式成立的条件是：
• (1) c是使A为真的特定的个体常元. • (2) c不在A(x)中出现. • (3) x在A(x)中自由出现, 除x之外没有其他自由
出现的个体变元
10
注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
x A(x)= x F(x,5) 对x A(x)使用EI规则，
前提引入
② yF(t,y)
①UI规则
③ F(t,c)
②EI规则
④ xF(x,c)
③UG规则
注意：③, 在F(t,y)中, 除y外, t也是自由出现, 不能使用EI 规则
附加前提引入 ①UI 前提引入 ③UI ②④假言推理 ⑤UG
4月26日 作业
P53 4 (2) 8(1)(3) 9(1)
21
例
例3 设个体域:R, F(x,y):x>y. 指出下述推理证明中的错误
前提: xyF(x,y) 真命题
结论: xF(x,c)
假命题
证明: ① xyF(x,y)
(3)在居先的步骤中，如果使用US而求得之x是自由的， 那么在后继步骤中，使用ES而引入的任何新变元都没 有在A(x)中自由出现。
• 观察下面的推理
• (1) x yP(x,y)
• (2) yP(t,y) • (3) P(t,d)
• (4) x P(x,d)
• (5) y x P(x,y)
• C(x)= yP(x,y) Q(x,y), C(x)对y不是自由 的
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注：在将A(x)中的x代以y时，需要先观察 A(x)对y是否自由，如果不自由，不能代 入。
如： yP(x,y) Q(x,y)， 将x代以y得 yP(y,y) Q(y,y)，此时原来自由的x
变成约束的，故需要先将y改名。
② xy(F(x)G(y)) ③ x(F(x)G(z)) ④ F(z)G(z) ⑤ x(F(x)G(x))
前提引入 ①置换 ②UI ③UI ④UG
例5
例5 构造下述推理证明 前提：x(F(x)G(x)) 结论：xF(x)xG(x) 证明：① xF(x)
② F(y) ③ x(F(x)G(x)) ④ F(y)G(y) ⑤ G(y) ⑥ xG(x)