1.5 推理规则与证明方法
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
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第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
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第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
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第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
数学平面几何的推理和证明
数学平面几何的推理和证明数学平面几何是数学中的一个重要分支，研究平面上的图形和它们之间的关系。
推理和证明是数学平面几何中最基本的思维方式和方法，它们帮助我们发现几何图形之间的内在规律，解决各种几何问题。
本文将探讨数学平面几何中推理和证明的方法和技巧。
一、推理和证明的基本原理在数学平面几何中，推理和证明是建立在严格的逻辑基础之上的。
它们遵循一定的规则和原理，确保从已知事实推导出正确的结论。
以下是推理和证明中常用的基本原理：1. 公理和定义：数学平面几何的推理和证明是建立在一系列公理和定义之上的。
公理是不需要证明的基本事实，而定义是给出图形和概念的精确定义。
我们可以根据公理和定义来进行推理和证明。
2. 推理规则：在推理和证明过程中，我们需要运用一些基本的推理规则。
比如，反证法、数学归纳法、等价替代法等。
这些推理规则帮助我们从已知的条件中得出新的结论。
3. 推理链：推理和证明的过程是一个逐步推进的过程。
我们需要构建一个推理链，从已知条件开始，通过一系列推理步骤得出最终的结论。
二、推理和证明的方法和技巧推理和证明在数学平面几何中有许多不同的方法和技巧。
下面介绍几种常用的方法：1. 直接证明法：这是最常见的证明方法之一，也是最直接的方法。
它通过给出已知条件、构造推理链，最终得出所要证明的结论。
这个方法要求推理过程中每一步都是正确的，每一步都要给出充分的理由。
2. 反证法：反证法是推理和证明中常用的方法之一。
它假设所要证明的结论不成立，通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原假设是错误的。
这个方法常用于证明某些定理的唯一性。
3. 数学归纳法：数学归纳法常用于证明一些关于自然数的结论。
它分为两个步骤：首先证明当n=1时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，再证明当n=k+1时结论也成立。
通过这个过程可以推导出结论对于所有自然数成立。
4. 等价替代法：等价替代法是用于证明一个命题中的各个等价条件之间的关系。
通过证明这些等价条件的任意一个，就可以推导出其他等价条件的成立。
第一章 逻辑与证明(2)
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NEC-DM
p
T T T F T F F F
q
T T F T F T F F
r
T F T T F F T F
q∨r
p → (q∨r)
¬q
¬r
¬p
p → (q∨r) ¬q ¬r _________ ¬p
注意到：当p → (q∨r) ，¬q ， ¬r 三 个命题都为T的时候，¬p也为T，因此本 论证有效。
NEC-DM
例
假设d、d1、d2 和x 是任意实数 if d=min(d1,d2) and x ≤d then x ≤d1 and x ≤d2 证明：根据min 的定义可以推出d ≤ d1 并且d ≤ d2。 依x ≤ d 并且d ≤ d1，可以根据前面的定理（例 1.5.5 的第二个定理）推出x ≤ d1。由于x ≤ d 并且d ≤ d2，可以根据前面的同一个定理推出 x ≤ d2。因此，x ≤ d1 并且x ≤ d2。
2
NEC-DM
1.5.2 命题逻辑的有效论证
从一系列前提得出结论的方法称为演绎推理。 前提：已知的命题系列 结论：由假设得出的结论
结论从前提导出 结论为真 任何论证过程都有形式： 如果p1并且p2并且…并且pn, 则q。 论证有效在于形式不在于内容
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NEC-DM
定义
一个论证过程是一系列的命题， p1,p2,…,pn/∴q p1,p2,…,pn称为前提，命题q是结论 如p1,p2,…,pn全为真，则q也必为真， 那么论证有效；否则论证过程是无 效的
假设３段论
p q pq
析取３段论
化简
附加
pq p
p pq
pq qr pr
pq p q
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谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
数学中的逻辑推理与证明方法
数学中的逻辑推理与证明方法数学作为一门严谨而抽象的学科，离不开逻辑推理和证明方法的应用。
通过逻辑推理，数学家们能够根据已知条件得出结论，通过证明方法，他们能够确保这些结论的正确性和可靠性。
本文将介绍数学中常用的逻辑推理和证明方法，帮助读者更好地理解数学的思维方式和推理过程。
一、命题逻辑与谓词逻辑在逻辑学中，命题逻辑和谓词逻辑是两种重要的逻辑系统。
命题逻辑讨论的是关于命题的逻辑关系和推理规则，将复杂的推理问题简化为对命题的推理。
而谓词逻辑则进一步引入了谓词和量词，讨论的是关于谓词的逻辑关系和推理规则，可以描述更丰富和复杂的问题。
在数学中，常常用到命题逻辑和谓词逻辑来进行推理和证明。
通过命题逻辑的推理规则，可以判断命题之间的合取、析取、蕴含等关系，进而得出新的结论。
而在谓词逻辑中，通过引入谓词和量词，可以表达更为复杂的数学概念和关系，进一步推理和证明数学命题。
二、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，也是最直观和直接的证明方法。
它通过假设前提条件为真，逐步推演得出结论的真实性。
具体步骤包括：假设前提条件为真，运用逻辑推理规则将其逐步推演为已知的真实命题，然后得出结论。
例如，证明一个数的平方是非负数。
假设有一个数x，要证明x²≥0。
根据实数乘积的性质可知，x²的值只可能大于等于零，因此可以推断出结论x²≥0。
三、反证法反证法是一种重要的证明方法，常常用于证明数学中的命题。
它通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而得出结论的正确性。
例如，证明根号2是一个无理数。
首先假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
然后通过对这个假设进行逻辑推理，得到根号2是一个无理数的结论。
由此可见，反证法是一种强有力的证明方法，能够解决很多数学问题。
四、归纳法归纳法是一种在数学中广泛应用的证明方法。
它通过从个别案例到普遍规律的推理方式，逐步证明整体的真实性。
离散数学知识点整理
离散数学一.逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A. V. -、f -o记住“p仅当q”意思是“如果p,则q” ,即系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1. 3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过推导出证永真式是通过推导岀。
1・4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如Vx>OP(x)o当论域中的元素可以一一列举，那么VxP(x)就等价于P(xl)AP(x2)... A P (xn) o 同理，3 xP (x)就等价于P(xl) \/P(x2)・•. VP(xn) o两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x (P(x) AQ(x))和(V xP(x)) A (W xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP (x) o 3 x「P(x), T xP (x) o V X^P (x) O 1.5量词嵌套我们釆用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用徳摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1・6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代表结二.集合、函数、序列、与矩阵2 ］集合W说的是元素与集合的关系，匚说的是集合与集合的关系。
常见数集有N=｛0,l,2, 3...｝, Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集, C复数集。
A和B相等当仅当V X(X WA F EB)； A是B的子集当仅当V x(xGA-xGB)； A 是B 的真子集当仅当V x(xWAf xWB) AB X(X^AA X^B)。
数学推理与证明方法详细解析与总结
数学推理与证明方法详细解析与总结数学是一门严谨而又充满美感的学科，其中的推理与证明方法是数学思维的核心。
通过推理与证明，数学家们得出了众多定理与结论，推动了数学学科的发展。
本文将对数学推理与证明的几种常见方法进行详细解析与总结，并对其应用场景与注意事项进行讨论。
一、直接证明法直接证明法是数学中常用的证明方法之一。
它通过一系列推理步骤，以逻辑严密的方式得出结论。
方法的基本过程如下：1. 提出假设。
首先，我们提出一个假设，即要证明的命题。
2. 推理步骤。
通过逻辑推理，依次展开一连串步骤，将假设转化为结论。
3. 得出结论。
最后，根据推理步骤，得出所要证明的结论。
在应用直接证明法时，需要注意以下几个问题：1. 对假设进行限制。
应该明确规定所假设的条件，避免出现不必要或无效的推理。
2. 中间步骤的严谨性。
每一步的逻辑关系必须清晰，符合逻辑规律。
3. 结论的恰当性。
结论必须与所给的假设一致，并且是可行的。
二、间接证明法与直接证明法相对的是间接证明法。
间接证明法通过“反证法”来证明一个命题。
方法的基本过程如下：1. 假设带有否定形式的命题。
我们假设所要证明的命题为假，即取其否定形式。
2. 进行推理。
通过一系列推理步骤，得出一个与假设矛盾的结论。
3. 得出矛盾结论。
由于得出的结论与已知的事实矛盾，因此我们推翻了最初的假设，证明了原命题。
在应用间接证明法时，需要注意以下几个问题：1. 反证假设的合理性。
必须确保所假设的命题与所要证明的命题存在逻辑矛盾。
2. 推理的合理性。
推理过程必须是严密而准确的，不能出现任何漏洞。
3. 结论的有效性。
所得出的矛盾结论必须与已知事实严密对应。
三、归纳法归纳法是一种从特殊到一般的证明方法，通过对一系列特例的研究，总结出普遍规律，从而推导出结论。
方法的基本过程如下：1. 观察特例。
首先，我们观察一些特别情况，找出其中的共同规律。
2. 提出猜想。
基于观察到的共同规律，我们提出一个猜想，即所要证明的命题成立。
小学数学知识点数学推理与证明的基本步骤
小学数学知识点数学推理与证明的基本步骤基本步骤是数学推理和证明的核心，它们是数学学习中非常重要的一部分。
通过学习和应用基本步骤，学生能够培养逻辑思维和分析问题的能力，并且能够理解和掌握更高级的数学知识。
本文将介绍小学数学知识点中数学推理与证明的基本步骤。
首先，数学推理与证明的基本步骤之一是观察和发现。
在解决数学问题时，学生需要仔细观察并发现问题中的特点、规律或者其他相关信息。
观察和发现阶段是解决数学问题的关键，它需要学生具备敏锐的直觉和分析能力。
其次，数学推理与证明的基本步骤之二是归纳和总结。
在观察和发现的基础上，学生需要对所观察到的规律或者特点进行归纳和总结。
通过归纳和总结，学生能够将复杂的问题进行简化和概括，从而更好地理解和解决问题。
接下来，数学推理与证明的基本步骤之三是假设与猜想。
基于观察、发现、归纳和总结的基础上，学生需要根据自己的理解和推测做出假设和猜想。
这些假设和猜想是解决问题的关键，它们可以引导学生继续进行推理和证明。
然后，数学推理与证明的基本步骤之四是推理和证明。
在做出假设和猜想后，学生需要进行推理和证明，以验证自己的猜想是否正确。
推理和证明的过程中，学生需要运用已学过的数学知识和方法，运用逻辑和推理，通过论证和演绎得出结论。
最后，数学推理与证明的基本步骤之五是总结和归纳。
在完成推理和证明后，学生需要对整个过程进行总结和归纳。
这个过程能够帮助学生进一步理解和巩固所学的数学知识，并且能够应用到以后的学习和解决问题中。
综上所述，小学数学知识点数学推理与证明的基本步骤包括观察和发现、归纳和总结、假设与猜想、推理和证明以及总结和归纳。
通过学习和应用这些基本步骤，学生能够培养逻辑思维和分析问题的能力，并且能够理解和掌握更高级的数学知识。
数学推理和证明是数学学习中的重要内容，对学生的数学素养和思维能力的培养具有重要意义。
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NUIST
3 主析取范式法
((P→¬ ((P→¬Q)∧P)→ ¬Q ((¬P∨¬ ⇔((¬P∨¬Q)∧P)→ ¬Q ⇔(P∧Q)∨ ¬P∨ ¬Q (P∧Q)∨(¬P∧(Q∨ (Q∨¬ (P∨¬P)∧ ⇔(P∧Q)∨(¬P∧(Q∨¬Q) )∨( (P∨¬P)∧¬Q) (P∧Q)∨(¬P∧Q)∨(¬P∧¬Q)∨(P∧¬Q)∨(¬P∧¬ ⇔ (P∧Q)∨(¬P∧Q)∨(¬P∧¬Q)∨(P∧¬Q)∨(¬P∧¬Q) ⇔ (¬P∧¬Q)∨(¬P∧Q)∨(P∧¬Q)∨(P∧Q) P∧¬Q)∨(¬P∧Q)∨(P∧¬ ⇔ ∑(0,1,2,3 ) 因而 (*) 是永真式，推理正确。 ，
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1. 直接证明法
例1-5-3 检验下列推理的有效性。 如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟； 如果母鸡是飞鸟，那么煮熟的鸭子还会跑； 煮熟的鸭子不会跑，所以羊不吃草。 解：设P：马会飞。 Q：羊吃草。 R：母鸡是飞鸟。S：煮熟的鸭子会跑 则前提为：(P∨Q)→R ， R→S ，¬S 结论为：¬Q 推理的形式结构为： ((P∨Q)→R)∧(R→S)∧(¬S)→ ¬Q
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NUIST
课内练习 1-5-1 证明推理：P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→S) P→(Q→R)， P→(Q→R) Q→(R→S)⇒ 分析：由CP规则 P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→S) 等价于 P→(Q→R)，Q→(R→S)， P→(Q→R)，Q→(R→S)，P ⇒ Q→S 再由CP规则，等价于 P→(Q→R)，Q→(R→S)，P，Q ⇒ S P→(Q→R)，Q→(R→S)，
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证明： 证明： (1) P (2) P→(Q→R) (3) Q→R (4) Q (5) R (6) Q→(R→S) (7) R→S (8) S (9) P→(Q→S) 规则， 由CP 规则，有： P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒
规则P(附加前提) 规则P(附加前提) P(附加前提 规则P 规则P (1),(2)假言推理 规则T 假言推理， (1),(2)假言推理，规则T 规则P(附加前提) P(附加前提 规则P(附加前提) (3),(4)假言推理 规则T 假言推理， (3),(4)假言推理，规则T 规则P 规则P (4) (6）假言推理，规则T (6）假言推理，规则T (5),(7)假言推理 规则T 假言推理， (5),(7)假言推理，规则T CP规则 CP规则 P→(Q→S)
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常用的推理规则
推理过程中使用的构造公式序列的规则： 规则P（前提引入规则）：在推导的任何步骤上，都可以 引入前提。 规则T（结论引入规则）：在推导过程中，如果前面有一 个或多个命题公式永真蕴含命题公式 S，那么就可以把 公式 S 引进推导过程中。 代入规则：在推导的任何步骤上，永真式中的任一命题 变元都可以用任一命题公式代入，代入后得到的仍是永 真式。 置换规则：在推导的任何步骤上，命题公式中的任何子 公式都可以用与之等值的命题公式置换。 常用的推理公式： 在表1.2-2中列出的永真蕴含式。 在表1.2-1中列出的逻辑等价式。
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4 指派分析法 (永真蕴含式) 即要判断(P→¬Q)∧P ⇒ ¬Q 证明：假设前件(P→¬Q)∧P 为真， 则P为真，且(P→¬Q)为真，所以¬Q 为真。 故(P→¬Q)∧P ⇒ ¬Q成立， 推理正确。
基于定义进行推理的不足： 1 如果命题公式的变元较多，以上四种方法都不方便 。 (n个变元， 2n种指派) 2 与自然生活和传统数学中的推理形式无相同之处。 3 过于机械，对培养推理能力和推理技巧毫无帮助。
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证明方法 推理：H1∧H2∧ … ∧Hm ⇒C
1．直接证明法 直接证明法 由已知的前提H1,H2,…, Hm出发，利用一些公 认的推理规则，根据已知的逻辑等价式和永真蕴 含式，推导出有效结论C。
2．间接证明法 间接证明法 将已知的前提和结论进行适当的改造， 转化为对新的前提和结论进行推理证明。 常用的技巧有：附加前提证明法和反证法。 。
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(2)反证法(归谬法) 将结论C的否定¬C 做为假设前提推出矛盾 的证明方法称为反证法或归谬法。 即：H1∧H2∧ … ∧Hm ⇒ C 的充要条件是 H1∧H2∧ H1∧H2∧ … ∧Hm∧ ¬C ⇒ F。 证明： 要证 H1∧H2∧ … ∧Hm ⇒ C 即证(H1∧H2∧ … ∧Hm)→C ⇔ T 同样，要证 H1∧H2∧ … ∧Hm∧¬C⇒ F ¬ 即证(H1∧H2∧ … ∧Hm∧¬C)→F ⇔ T ¬ 而(H1∧H2∧ … ∧Hm)→C ⇔ ¬ (H1∧H2∧ … ∧Hm)∨C ⇔ ¬ (H1∧H2∧ … ∧Hm∧¬C) 上式左边是永真式， 21 当且仅当H1∧H2∧ … ∧Hm∧¬C是永假式。
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推理的符号化实例 例1-5-1 1 如果天下雨，小王就不去跑步。 今天天下雨，所以小王没去跑步。 解： 设 P：天下雨。 Q：小王去跑步。 前提：P→¬Q， P 结论： ¬Q 推理的形式结构为：(P→¬Q)∧P→ ¬Q 2 如果我上街，我一定去新华书店。 我没上街，所以我没去新华书店。 解： 设P：我上街。 Q：我去新华书店。 前提：P→Q， ¬P 结论： ¬Q 推理的形式结构为： (P→Q)∧¬P→ ¬Q
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例1-5-5 证明：¬R→¬P是前提P→Q，Q→R的有效结论。 分析：要证明：(P→Q)∧(Q→R) ⇒ ¬R→¬P 采用附加前提证明法，转化为证明： (P→Q)∧(Q→R)∧¬R ⇒ ¬P 证明： (1) ¬ R 规则P(附加前提) (2) Q→R 规则P (3) ¬ Q (1),(2)拒取式，规则T (4) P→Q 规则P (5) ¬ P (3),(4)拒取式，规则T (6) ¬R→¬P CP规则 由CP 规则，得： (P→Q)∧(Q→R) ⇒ ¬R→¬P
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例1-5-4 证明 R∨S是前提C∨D，C→R，D→S的 有效结论，即证明： (C∨D)∧(C→R)∧(D→S)⇒(R∨S)。 证明: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) C∨D ¬C→D ¬ D→S ¬C→S C→R ¬R→¬C ¬R→S R∨S 规则P (1)蕴含等价式，规则T 规则P (2)(3)前提三段论，规则T 规则P (5) 逆反律，规则T (4)(6)前提三段论，规则T (7)蕴含等价式，规则T
第一列是步骤列, 将各次操作按先后排序; 列是步骤列 将各次操作按先后排序; 步骤 列是断言列或命题公式列, 断言列或命题公式列 第二列是断言列或命题公式列, 内容可以是 前提, 中间结论或最终结论; 前提, 中间结论或最终结论; 列是注释列或根据 根据列 第三列是注释列或根据列,表明所引用的推 理规则及与之有关的行的编号. 理规则及与之有关的行的编号.
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一、推理的基本概念
设H1,H2,…,Hm(ｍ≥１)和Ｃ都是命题公式。 若( H1∧H2∧ … ∧Hm ) →Ｃ为永真式， 即 H1∧H2∧ … ∧Hm ⇒Ｃ， 称由前提H1,H2,… ,Hm推出结论C的推理正确(有效)。 Ｃ称为前提H1,H2,… ,Hm的有效结论或逻辑结果。 H1∧H2∧ … ∧Hm →Ｃ称为 由前提H1,H2,… ,Hm推出结论C的推理的形式结构。
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1.5
推理规则与证明方法
推理是由一个或几个判断得出另一个新的判断的思维 形式(思维过程)。其中已知的判断——前提 新的判断——结论 列出前提H1,H2,… ,Hm与结论C——论证 逻辑的主要功能是提供推理的规则或论证的原理。从一 组给定的前提出发，根据推理规则得到的结论称为有效 结论，论证才是有效的。 建立逻辑学的主要目的在于探索出这一套完整的规则， 按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。
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二、基于 基于定义的推理 基于 的推理
根据定义：由前提H1,H2,… ,Hm推结论C的推理正确(有效)即： ( H1∧H2∧ … ∧Hm ) →Ｃ为永真式， 即 H1∧H2∧ … ∧Hm ⇒Ｃ 可知，判断推理是否正确的方法就是判断永真式 或永真蕴含式的方法。 基本方法有： 1 真值表法 2 等值演算法 3 主析取范式法 4 指派分析法(永真蕴含式 永真蕴含式) 永真蕴含式
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CP规则的适用范围： 待证的有效结论是P→Q 或 P∨Q 型的命题。
例1-5-6
采用附加前提法证明例1-5-4 ： (C∨D)∧(C→R)∧(D→S)⇒(R∨S)。 分析：由P→Q ⇔ ¬P∨Q， 得 R∨S ⇔ ¬R→S 由CP规则，等价于要证明 C∨D，C→R，D→S，¬R⇒ S 证明: (1) ¬R 规则P(附加前提) (2) C→R 规则P (3) ¬ C (1),(2)拒取式，规则T (4) C∨D 规则P (5) D (3),(4)析取三段论，规则T (6) D→S 规则P (7) S (5)，(6)前提三段论，规则T (8) ¬R→S CP规则 (9) R∨S (8)蕴含等价式，规则T
先将命题符号化 然后写出前提、结论和推理的形式结构 最后进行判断
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1 真值表法
P Q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬Q 1 0 1 0 Ｐ→¬Q 1 1 1 0 (Ｐ→¬Q)∧P Ｐ ∧ 0 0 1 0 (*) 1 1 1 1
真值表的最后一列全为1，因而(*)是永真式。 所以推理正确。 真值表技术：给定一个前提集合和一个结论，用构成真值表 的方法，在有限步骤内判定给定前提是否能推 导出该结论的这种方法，称为真值表技术 。
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NUIST
证明： 第三列是形式推理的特点与优点. 第三列是形式推理的特点与优点. (1) ¬ S 规则P (2) R→S 规则P (3) ¬R (1)(2) 拒取式，规则T (4) (P∨Q)→R 规则P (5) ¬(P∨Q) (3)(4) 拒取式，规则T (6) ¬P∧¬Q (5) 德摩根律，替换规则，规则T (7) ¬Q (6) 简化式，规则T 所以推理正确 ¬ Q：羊不吃草——有效结论，但不是正确的结论。 ¬ P：马不会飞——有效结论，而且是正确的结论。 有效是指结论的推出是合乎推理规则的，并不在于 结论是否真实。