推理与证明解答题精选(含答案)
2023年中考数学压轴题专题23 二次函数推理计算与证明综合问题【含答案】
专题23二次函数推理计算与证明综合问题【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P （2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x ﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．一．解答题（共20题）1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．（1）抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为；（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．5．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q （x0，y0）是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．（1）求证：y1，y2的图象必有交点；（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1．（1）当抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．①求抛物线解析式；②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；（2）设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．求证：a+b＝1．10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）．（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为y p，当y p取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣）．（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，试判断点（2，﹣9）在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA＝90°，PD＝PA．（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；（ii）点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G 上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．15．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；（3）当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．16．（2022•开福区校级一模）已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；（2）当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．17．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（﹣2，2），该图象与直线x＝2相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；（3）点M（m，0）、N（n，0）是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围．18．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．19．（2022•亭湖区校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣（3a﹣1）x﹣2（a为常数且a≠0）与y 轴交于点A．（1）点A的坐标为；对称轴为（用含a的代数式表示）；（2）无论a取何值，抛物线都过定点B（与点A不重合），则点B的坐标为；（3）若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点A与点B之间的函数图象记作图象M（包含点A、B），若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．20．（2022•义安区模拟）已知抛物线的图象经过坐标原点O．（1）求抛物线解析式．（2）若B，C是抛物线上两动点，直线BC：y＝kx+b恒过点（0，1），设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．①若B、C两点关于y轴对称，求k1k2的值．②求证：无论k为何值，k1k2为定值．【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【分析】（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．【解答】解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，∴，∵m＝n，∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；∴t＝2，∵c＝2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．（2）∵m＜n＜c，∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，解得﹣4a＜b＜﹣3a，∴3a＜﹣b＜4a，∴＜﹣＜，即＜t＜2．当t＝时，x0＝2；当t＝2时，x0＝3．∴x0的取值范围2＜x0＜3．【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y 的最大值即可；（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m＝或m＝（舍去）．综上所述，m＝﹣2或．【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P （2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x ﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．【分析】（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；（2）将点（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac ＝0，两个方程联立即可求a、c的值；②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），∴2x+1＝x，解得x＝﹣1，∴和谐点为（﹣1，﹣1）；（2）①∵点（，）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，∴＝a+15+c，∴c＝﹣a﹣，∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，∴Δ＝25﹣4ac＝0，∴a＝﹣1，c＝﹣；②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．一．解答题（共20题）1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．【分析】（1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴和顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值；（2）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．若抛物线的顶点在x轴上，则a2﹣a﹣2＝0，∴a＝2或﹣1．（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，则Q（4，y2）关于直线x＝1对称点的坐标为（﹣2，y2），∴当a＞0时，若y1＜y2，m的取值范围为：﹣2＜m＜4；当a＜0时，若y1＜y2，m的取值范围为：m＜﹣2或m＞4．2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．【分析】（1）先化抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+1，依此可求抛物线的对称轴；（2）利用二次函数性质即可求得答案；（3）利用二次函数性质存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等即可解答．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为x＝1；（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，∴1﹣x1＞1﹣x2，∴A离对称轴越远，若a＞0，开口向上，则y1＞y2，若a＜0，开口向下，则y1＜y2，（3）∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，存在y1＝y2，则t+1＜1且t+2＞1，∴t＜0且t＞1，∴存在1﹣x1＝x2﹣1，即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等，∴1﹣t＞t+2﹣1且1﹣（t+1）＜t+3﹣1，∴﹣1＜t＜0．3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）；（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．【分析】（1）由对称轴方程，将对应系数代入可得，令抛物线解析式中的x＝0，求得y，答案可得；（2）利用当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，可求得a的值，再利用二次函数图象的特点可确定y的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x＝﹣＝2．令x＝0，则y＝2．∴抛物线y＝ax2﹣4ax+2与y轴的交点为（0，2）．故答案为：x＝2；（0，2）．（2）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x＝2，∴顶点在1≤x≤5范围内，∵当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，∴当a＜0时，抛物线开口向下，x＝5时y有最小值﹣6，∴25a﹣20a+2＝﹣6，解得a＝﹣，∴抛物线为y＝﹣x2+x+2当x＝2时，y＝﹣×22+×2+2＝，∴此时y的最大值为．当a＞0，抛物线开口向上，x＝2时y有最小值﹣6，∴4a﹣8a+2＝﹣6，解得a＝2，∴抛物线为y＝2x2﹣8x+2，当x＝5时，y＝2×25﹣8×5+2＝12，∴此时y的最大值12．综上，y的最大值为12．4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．【分析】（1）直接将点（1，2）代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可；（2）利用题意，﹣＝＝＝﹣1求解a，然后把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）利用顶点公式求得x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，由a＜0且a≠﹣1即可判断x＜0，y＞0，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限．【解答】解：（1）∵函数图象过点（1，2），∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，∴x＝﹣＝﹣，∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，∴﹣＝＝＝﹣1，∴a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，∵a＜0且a≠﹣1，∴x＜0，y＞0，∴该二次函数图象的顶点在第二象限．5．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．【分析】（1）根据对称轴公式x＝﹣，即可求出b的值，由抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3即可求得c的值；（2）①由（1）可得抛物线C1的解析式，从而可得抛物线C1的顶点P的坐标，由抛物线C2经过抛物线C1的顶点可得n＝﹣m﹣3，从而可得抛物线C2为：y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，根据对称轴公式x＝﹣，即可求出顶点Q的坐标，再将点Q的横坐标代入抛物线C1的解析式中，即可证明；②先分别求出点P和点Q的横坐标，由①可得n＝﹣11，设点E横坐标为x，由点E在抛物线C1上可表示出纵坐标，由题可知点F与点E横坐标相同，代入抛物线C2的解析式中可得点F纵坐标，即可求解．【解答】（1）解：∵抛物线C1：y＝x2+bx+c对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3，∴x＝﹣＝1，c＝﹣3，∴b＝﹣2；（2）①证明：∵抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，∴顶点P的坐标为：（1，﹣4），∵抛物线C2经过抛物线C1的顶点，∴﹣4＝﹣12+m+n，∴n＝﹣m﹣3，∴抛物线C2为：y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，∴对称轴为：直线x＝﹣＝，将x＝代入y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，得：y＝﹣m﹣3，∴点Q坐标为：（，﹣m﹣3），将x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，得：y＝﹣m﹣3，∴点Q也在抛物线C1上；②解：由①知n＝﹣m﹣3，∵m＝8，∴n＝﹣11，∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+8x﹣11，对称轴为：直线x＝＝4，设点E横坐标为x，∵点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，∴点E坐标为（x，x2﹣2x﹣3），1＜x＜4，∵过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，∴点F横坐标为x，∴点F坐标为（x，﹣x2+8x﹣11），∴EF＝﹣x2+8x﹣11﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+8x﹣11﹣x2+2x+3＝﹣2x2+10x﹣8＝﹣2（x2﹣5x+4）＝﹣2（x2﹣5x+）+＝﹣2（x﹣）2+，∴当x＝时，EF取得最大值，最大值为，∴EF长度的最大值为．6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q （x0，y0）是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据二次函数的性质判断即可；（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，由MN≤5，则（x1﹣x2）2≤25，所以（x1+x2）2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5），∴，解得，∴抛物线为y＝x2+4x，∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4）；（2）∵抛物线为y＝x2+4x的对称轴为直线x＝﹣2，且开口向上，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，∵点P（2，c）关于对称轴的对称点为（﹣6，c），∵x0＞﹣6，∴当﹣6＜x0＜2时，则c＞y0；当x0≥2时，则c≤y0；（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，∵直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），∴x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，∵MN≤5，∴（x1﹣x2）2≤25，∴（x1+x2）2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得m≤，∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），∴函数的最小值为﹣4，∴﹣4＜m≤．7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．（1）求证：y1，y2的图象必有交点；（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．【分析】（1）证明y1＝y2时，方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可；（2）由y1＝y2，求出x1与x2，进而求得b，由b的值，求得x3的值，进而得x3﹣x1的值；（3）把点A（x1，a）、点D（x1+2，c）代入y2＝x（2x+m）+n，根据a＞c得x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，化简得4x1+4+m＜0，由（2）得x1＝﹣，代入求解即可．【解答】（1）证明：当y1＝y2时，得2x+m+n＝x（2x+m）+n，化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，△＝（m﹣2）2+8m＝（m+2）2≥0，∴方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，∴y1，y2的图象必有交点；（2）解：当y1＝y2时，2x+m+n＝x（2x+m）+n，化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，（2x+m）（x﹣1）＝0，∵m＞0，x1＜x2，∴x1＝﹣，x2＝1，∴b＝2+m+n，当y＝2+m+n时，y2＝x（2x+m）+n＝2+m+n，化简为：2x2+mx﹣m﹣2＝0，2x2﹣2+mx﹣m＝0，2（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）＝0，（2x+m+2）（x﹣1）＝0，解得，x＝1（等于x2），或x＝，∴x3＝，∴x3﹣x1＝﹣（﹣）＝﹣1；（3）解：∵点D（x1+2，c）在y2的图象上，∴c＝（x1+2）[2（x1+2）+m]+n＝2（x1+2）2+m（x1+2）+n．∵点A（x1，a）在y2的图象上，∴a＝x1（2x1+m）+n．∵a＞c，∴a﹣c＞0，∴x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）2﹣m（x1+2）﹣n＞0，化简得4x1+4+m＜0，由（2）得x1＝﹣，∴4×（﹣）+4+m＜0，﹣2m+4+m＜0，﹣m+4＜0，m＞4，∴m的取值范围为m＞4．8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）由二次函数的对称性及AB＝4可得点A，B坐标，进而求解．（3）由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P'坐标，由抛物线开口向下可求解．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2﹣1＝（x﹣2m）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2m，﹣1）．（2）∵点A，B关于抛物线对称轴对称，AB＝4，对称轴为直线x＝2m，∴抛物线经过（2m+2，n），（2m﹣2，n），将（2m+2，n）代入y＝（x﹣2m）2﹣1得n＝22﹣1＝3．（3）点P（2m+1，y1）关于抛物线对称轴的对称点P'坐标为（2m﹣1，y1），∵抛物线开口向上，∴当2m﹣t＞2m+1或2m﹣t＜2m﹣1时，且y1＜y2，解得t＜﹣1或t＞1．9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1．（1）当抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．①求抛物线解析式；②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；（2）设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．求证：a+b＝1．【分析】（1）①由交点横坐标及直线解析式可得交点坐标，然后通过待定系数法求解．②由抛物线开口方向及交点横坐标求解．（2）由y＝y1﹣y2，M＝N可得m，n为方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系进行证明．【解答】解：（1）①将x＝﹣1和x＝2分别代入y2＝x+1得y2＝0，y2＝3，∴抛物线经过（﹣1，0），（2，3），∴，解得，∴y1＝﹣x2+2x+3．②∵抛物线y1＝﹣x2+2x+3开口向下，抛物线与直线交点坐标为（﹣1，0），（2，3），∴﹣1＜x＜2时，y1＞y2．（2）∵y＝y1﹣y2＝ax2+bx+3﹣（x+1）＝ax2+（b﹣1）x+2，∴x＝m时，M＝am2+（b﹣1）m+2，x＝n时，N＝an2+（b﹣1）n+2，∴m，n为方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得m+n＝﹣＝1，∴b﹣1＝﹣a，∴a+b＝1．10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）．（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．【分析】（1）由Δ＝b2﹣4ac＞0证明．（2）将点A坐标代入解析式求解．（3）分类讨论，通过数形结合求解．【解答】解：（1）令x2﹣（m+2）x+m＝0，则Δ＝（m+2）2﹣4m＝m2+4＞0，∴方程x2﹣（m+2）x+m＝0有两个不相等实数根，∴二次函数的图象与x轴总有两个交点．（2）将（2m+1，7）代入y＝x2﹣（m+2）x+m得7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m，解得m＝2或m＝﹣2，当m＝2时，y＝x2﹣4x+2，当m＝﹣2时，y＝x2﹣2．（3）①当m＝2时，y＝x2﹣4x+2，令x2﹣4x+2＝0，解得x1＝2+，x2＝2﹣，∴抛物线与x轴交点坐标为（2+，0），（2﹣，0），如图，当直线y＝x+t经过（2+，0）时，2++t＝0，解得t＝﹣2﹣，当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时，令x2﹣4x+2＝x+t，整理得x2﹣5x+2﹣t＝0，则Δ＝52﹣4（2﹣t）＝17+4t＝0，解得t＝﹣，∴﹣＜t＜﹣2﹣满足题意．②同理，当m＝﹣2时，y＝x2﹣2，将x＝0代入y＝x2﹣2得y＝﹣2，∴抛物线经过（0，﹣2），将（0，﹣2）代入y＝x+t得t＝﹣2，令x2﹣2＝x+t，由Δ＝1﹣4（﹣2﹣t）＝0可得t＝﹣，∴﹣＜t＜﹣2满足题意．综上所述，﹣＜t＜﹣2﹣或﹣＜t＜﹣2．11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为y p，当y p取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将（﹣1，﹣2）代入解析式求解．（2）将x＝﹣2代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得y p取最小值时m的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．（3）分别将点A，B坐标代入解析式求解．【解答】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得﹣2＝1+2m+m2﹣2，解得m＝﹣1，∴y＝x2+2x﹣1．（2）将x＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得y P＝m2+4m+2＝（m+2）2﹣2，∴m＝﹣2时，y p取最小值，∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴x＜﹣2时，y随x增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2．（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2），∴抛物线随m值的变化而左右平移，将（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得m2﹣2＝2，解得m＝2或m＝﹣2，将（2，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得2＝4﹣4m+m2﹣2，解得m＝0或m＝4，∴﹣2≤m≤0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点，2≤m≤4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点．∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4．12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣）．（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，试判断点（2，﹣9）在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．【分析】（1）将（2，1）代入函数解析式求解．（2）由当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，可得抛物线对称轴为y轴，从而可得a的值，然后将x＝2代入解析式判断．（3）由b≤﹣2时，m≤n恒成立，可得抛物线开口向下，求出点E关于对称轴对称的点坐标，列不等式求解．【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝a（x﹣1）（x﹣）得1＝a（2﹣），解得a＝2，∴y＝2（x﹣1）（x﹣）．（2）∵y＝a（x﹣1）（x﹣），∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（，0），∴抛物线对称轴为直线x＝，∵x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴抛物线对称轴为值x＝0，即1+＝0，解得a＝﹣3，∴y＝﹣3（x﹣1）（x+1），将x＝2代入y＝﹣3（x﹣1）（x+1）得y＝﹣9，∴点（2，﹣9）在抛物线上．（3）∵抛物线对称轴为直线x＝，∴点E（0，n）关于对称轴对称的点E'（1+，n），∵当b≤﹣2时，m≤n恒成立，∴抛物线开口向下，即a＜0，且﹣2≤1+，解得a≤﹣1．13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA＝90°，PD＝PA．（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；（ii）点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．【分析】（Ⅰ）将点A（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解；（Ⅱ）（i）设P（t，0），分两种情况讨论：当D点在点P右侧时，过点D作DN⊥x轴交于点N，通过证明△PND≌△AOP（AAS），可得D（t+2，﹣t），再将D点代入二次函数解析式求出t的值，从而求出D的坐标；当点D在点P的左侧时，同理可得D（t﹣2，t），再将D点代入二次函数解析式求出t的值，即可求解；（ii）分两种情况讨论：当D点在x轴下方时，当PE∥y轴时，∠OAP＝45°，P（2，0）；当D点在x轴上方时，过A点作AG⊥PA交PE于点G，过G点作FG⊥x轴，交于点F，可证明△GAF≌△APO（AAS），从而得到GF＝2，则E点与G点重合，OP＝AF＝OA﹣OF＝2﹣＝，求出P（﹣，0）．【解答】解：（Ⅰ）将点A（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），得﹣12a＝﹣2，∴a＝，∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点为（，﹣）；（Ⅱ）（i）令a（x+3）（x﹣4）＝0，解得x＝4或x＝﹣3，∴B（4，0），设P（t，0），如图1，当D点在点P右侧时，过点D作DN⊥x轴交于点N，∵∠APD＝90°，∴∠OPA+∠NPD＝90°，∠OPA+∠OAP＝90°，∴∠NPD＝∠OAP，∴△PND≌△AOP（AAS），∴OP＝ND，AO＝PN，∴D（t+2，﹣t），∴（t+5）（t﹣2）＝﹣t，解得t＝1或t＝﹣10，∴D（3，﹣1）或（﹣8，10）；当点D在点P的左侧时，同理可得D（t﹣2，t），∴t＝（t﹣2+3）（t﹣2﹣4），解得t＝，∴D（，）或（，）；综上所述：D点坐标为（3，﹣1）或（﹣8，10）或（，）或（，）；（ii）如图2，当D点在x轴下方时，∵PE平分∠APD，∴∠APE＝∠EPD，∵∠APD＝90°，∴∠APE＝45°，当PE∥y轴时，∠OAP＝45°，∴P（2，0）；如图3，当D点在x轴上方时，过A点作AG⊥PA交PE于点G，过G点作FG⊥x轴，交于点F，∵∠PAF+∠FAG＝90°，∠FAG+∠FGA＝90°，∴∠PAF＝∠FGA，∵PE平分∠APD，∠APD＝90°，∴∠APE＝∠EPD＝45°＝∠AGP，∵AP＝AG，∴△GAF≌△APO（AAS），∴AF＝OP，FG＝OA，∵OA＝2，∴GF＝2，∵E（2，﹣），∴E点与G点重合，∴OP＝AF＝OA﹣OF＝2﹣＝，∴P（﹣，0）；综上所述：P点坐标为（2，0）或（﹣，0）．14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G 上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式，即可求解；（2）①先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式求解即可；②按第一种情况：当点A是最高点，可得m＞1或m＜﹣，第二种情况：当点B是最高点，得m的取值范围，再计算纵坐标的差h即可解答；（3）分情况讨论：①当m＜﹣1时，②当﹣1≤m≤1时时，③当1＜m＜2时，④当2＜m＜3时，⑤当m＝3，⑥当3≤m＜4时，⑦当m＝4时，⑧当m＞4时，分别画出图形求解即可．【解答】解：（1）把（0，﹣1）和（2，7）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴顶点C的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）①当x＝﹣1﹣2m时，y＝（﹣1﹣2m+1）2﹣2＝4m2﹣2，∴B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，则AC＝BC，又∵点C在抛物线对称轴x＝﹣1上，∴点A、点B关于直线x＝﹣1对称，∴A（2m﹣1，4m2﹣2），∵点A的横坐标为m，∴2m﹣1＝m，解得：m＝1，∴A（1，2），B（﹣3，2），∵由（1）得，C（﹣1，﹣2），＝[1﹣（﹣3）]×[2﹣（﹣2）]＝8；∴S△ABC②∵A（m，（m+1）2﹣2），B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．∴当点A是最高点，即m＞1或m＜﹣时，则h＝（m+1）2﹣2﹣（﹣2）＝（m+1）2；当点B是最高点，即0≤m＜1时，则h＝4m2﹣2﹣（﹣2）＝4m2，综上，h与m之间的函数关系式为：h＝（m+1）2（m＞1或m＜﹣）或h＝4m2（0≤m＜1）；（3）①当m＜﹣1时，则2﹣m＞3，1﹣m＞2，如图：。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.某同学在一次研究性学习中发现以下四个不等式都是正确的：；；；．请你观察这四个不等式：（1）猜想出一个一般性的结论（用字母表示）；（2）证明你的结论．【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（1）观察所给的四个不等式，左边第一、第二个括号均为两个数的平方和，然后乘积，而右边恰是左边两个括号中的第一个数相乘加上第二个数相乘之后再平方，进而得到一般性的结论；（2）应用分析法，将要证明的不等式展开消去相同的项，最后得到一个完全平方，命题即可得以证明.试题解析：（1）一般性的结论：（4分（没写范围扣1分）（2）证明：要证只要证只要证只要证∵，∴显然成立∴原命题得证.【考点】1.归纳推理；2.分析法.2.已知通过观察上述不等式的规律，则关于正数满足的不等式是 .【答案】【解析】观察已知式子可知不等式右边根号下面前面一个数都是2，后面一个是前两个的和。
【考点】推理与证明.3.因为无理数是无限小数，而是无理数，所以是无限小数．属于哪种推理（）A．合情推理B．类比推理C．演绎推理D．归纳推理【答案】C【解析】根据题意，由于无理数是无限小数这是大前提，而是无理数是小前提，则可知结论为是无限小数，可知结论为C.【考点】演绎推理点评：主要是考查了演绎推理的概念的运用，属于基础题。
4.正三角形的中心与三个顶点连线所成的三个张角相等,其余弦值为，类似地正四面体的中心与四个顶点连线所成的四个张角也相等，其余弦值为( )。
A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于正三角形的中心与三个顶点连线所成的三个张角相等,其余弦值为，利用余弦定理，那么可知正四面体的中心与四个顶点连线所成的四个张角也相等，其余弦值为，故可知结论为D.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。
5.用反证法证明命题“如果你,那么”时，假设的内容是A．B．C．且D．或【答案】D【解析】反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
推理试题大全及答案解析
推理试题大全及答案解析1. 逻辑推理题问题：如果所有的猫都怕水，而有些动物不怕水，那么以下哪项陈述是正确的？A. 所有的猫都怕水。
B. 有些猫不怕水。
C. 有些动物是猫。
D. 没有动物是猫。
答案：A解析：根据题目中的条件“所有的猫都怕水”，我们可以确定A 项是正确的。
B项与题目条件相矛盾，C项和D项无法从题目条件中直接推断出来。
2. 数字推理题问题：找出下列数列的规律，并填写下一个数字：2, 4, 8, 16, 32, ?答案：64解析：这是一个简单的等比数列，每个数字都是前一个数字的两倍。
3. 空间推理题问题：一个立方体的六个面上分别贴有红、蓝、绿、黄、黑、白六种颜色的纸。
已知红色对面是蓝色，绿色对面是黄色，那么黑色对面是什么颜色？答案：白色解析：根据题目条件，红色对面是蓝色，绿色对面是黄色，那么剩下的黑色和白色只能是对面。
因此，黑色对面是白色。
4. 语言推理题问题：如果“所有的鸟都会飞”为真，那么以下哪项陈述一定为真？A. 有些鸟不会飞。
B. 有些动物会飞。
C. 企鹅是鸟，但不会飞。
D. 鸵鸟是鸟，但不会飞。
答案：B解析：由于“所有的鸟都会飞”为真，那么至少存在一些动物（即鸟）会飞，所以B项一定为真。
A项与题目条件相矛盾，C 项和D项虽然可能是真的，但不是一定为真的陈述。
5. 逻辑推理题问题：在一次聚会中，A、B、C、D四人分别坐在一张桌子的四个角上。
已知A坐在B的左边，C坐在D的对面。
那么，谁坐在A的对面？答案：D解析：由于A坐在B的左边，那么B坐在A的右边。
又因为C坐在D的对面，所以D坐在C的对面。
因此，D也坐在A的对面。
6. 数字推理题问题：找出下列数列的规律，并填写下一个数字：1, 3, 6, 10, 15, ?答案：21解析：这是一个三角数列，每个数字是前一个数字加上当前位置的自然数。
例如，1+2=3，3+3=6，6+4=10，以此类推。
7. 空间推理题问题：一个正四面体（每个面都是等边三角形）的四个顶点分别涂有红、蓝、绿、黄四种颜色。
推理与证明解答题精选(含答案)
推理与证明1．（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.（2）已知试用分析法证明： .2．2．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为．3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1) 求出，并猜测的表达式；(2) 求证：＋＋＋…＋．4．数列的前项和满足.（1）计算的值；（2）猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.5．(本小题满分13分)已知正项数列{an}的首项a1＝，函数f(x)＝，g(x)＝.(1)若正项数列{an}满足an＋1＝f(an)(n∈N*)，证明：{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)若正项数列{an}满足an＋1≤f(an)(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，证明：b1＋b2＋…＋bn<1；(3)若正项数列{an}满足an＋1＝g(an)，求证：|an＋1－an|≤·()n－16．命题“若，，，则．”可以如下证明：构造函数，则，因为对一切，恒有，所以，故得．试解决下列问题：（1）若，，，，求证；（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．7．已知中至少有一个小于2。
8．已知，且求证：中至少有一个是负数。
9． (本小题满分12分)若数列的通项公式，记．（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想，并证明．10．已知．经计算得，，，，，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．（1）试写出这个一般性的结论；（2）请用数学归纳法证明这个一般性的结论；（3）对任一给定的正整数，试问是否存在正整数，使得？若存在，请给出符合条件的正整数的一个值；若不存在，请说明理由．11．已知定义在R上的函数，定义：.(1)若，当时比较与的大小关系.(2)若对任意的，都有使得，用反证法证明：.12．真命题：若，则.（1）用“综合法”证之（2）用“反证法”证之13．设数列{}的前n项和为，并且满足，（n∈N*）. （Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想{}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；（Ⅲ）设，，且，证明：≤.14．数列{x n}由下列条件确定：．（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x n≥；（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x n≥．15．设函数（Ⅰ）证明其中为k为整数（Ⅱ）设为的一个极值点，证明（Ⅲ）设在（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明：16．已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，并且S n+1=4a n+2（n=1，2，…），a1=1.（1）设b n=a n+1-2a n(n=1,2,…)，求证：数列{b n}是等比数列；（2）设c n=(n=1,2,…),求证：数列{c n}是等差数列；（3）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式.17．（本小题满分15分）已知函数．（1）当时，求在最小值；（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；（3）求证：（）．18．设数列的前项和为，且对任意都有：；（1）求；（2）猜想的表达式并证明．19．数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如：当时，，，；当时，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想，并用数学归纳法证明．20．.数列满足：，且（1）设，证明数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式；（3）设，为数列的前项和，证明.21．已知C为正实数,数列由,确定.(Ⅰ)对于一切的,证明：；(Ⅱ)若是满足的正实数,且,证明：.22．（本题10分）已知（），（1）当时，求的值；（2）设，试用数学归纳法证明：当时，。
推理与证明(含答案)
备考中段试之三《推理与证明》1．下列说法中正确的是（ ） A ．合情推理就是正确的推理 B ．合情推理就是归纳推理C ．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D ．类比推理是从特殊到特殊的推理过程2．推理“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③正方形是平行四边形”中的小前提是( )(A)① (B)②(C)③ (D)以上均错3．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形 4．下列说法正确的个数是 ( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ） A ．1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:86．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：20a >，那么这个演绎推理出错在：（ ） A ．大前提 B ．小前提 C ．推理过程 D ．没有出错7．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 8．三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,21⋅++=为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A.abc V 31=B.Sh V 31=C.()r S S S S V 432131+++=（4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径） D.)(,)(31为四面体的高h h ac bc ab V ++=9．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理得出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( ) A ．②①③ B ．③①② C ．①②③ D ．②③①10．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 11．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式．12．已知幂函数αx x f =)(是增函数，而1-=x y 是幂函数，所以1-=x y 是增函数，上面推理错误是（ ）A 、大前提错误导致结论错B 、小前提错误导致结论错C 、推理的方式错误导致错D 、大前提与小前提都错误导致错13．对于ab b a Rb a 2,,≥+∈+大前提xx x x 121⋅≥+小前提 所以21≥+xx 结论 以上推理过程中的错误为（ ）A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误14．正弦函数是奇函数，2()sin(1)f x x =+是正弦函数，因此2()sin(1)f x x =+是奇函数，以上推理（ ）A 、小前提不正确B 、大前提不正确C 、结论正确D 、全不正确15．命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是A 、大前提错误B 、小前提错误C 、推理形式错误D 、以上都不是16．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②17．用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（ ） A ．假设是有理数 B ．假设是有理数 C ．假设或是有理数 D ．假设+是有理数 18．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，都是偶数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数19．用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是( )A. 0a b 、至少有一个为B. 0a b 、至少有一个不为C. 0a b 、全不为D. 0a b 、中只有一个为20．用反证法证明“如果a >b ( )A. B.C.D.21．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，只有其中一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁22．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确．．的是（ ）A.假设三内角都不大于60B.假设三内角都大于60C.假设三内角至多有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于6023．用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是（ ） A. 0a b 、至少有一个不为 B. 0a b 、至少有一个为 C. 0a b 、全不为 D. 0a b 、中只有一个为24．用反证法证明命题＂如果a >b ,那么a 3>b 3＂时,下列假设正确的是A 、a 3<b 3B 、a 3<b 3或a 3=b 3C 、a 3<b 3且a 3=b 3D 、a 3>b 325．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数26．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（ ） A 、三角形中有两个内角是钝角 B 、三角形中有三个内角是钝角 C 、三角形中至少有两个内角是钝角 D 、三角形中没有一个内角是钝角27．用反证法证明命题“若022=+b a ，则a 、b 全为0（a 、b R ∈）”，其反设正确的A a 、b 至少有一不为0B a 、b 至少有一个为0C a 、b 全部为0D a 、b 中只有一个为0 28．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a b c ，，都是偶数”，正确的反设为（***） A ．a b c ，，都是奇数 B ．a b c ，，中至多有一个是奇数 C ．a b c ，，中至少有一个是奇数 D ．a b c ，，中恰有一个是奇数29．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根30．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设a ，b ，c 至多有一个是偶数 B.假设a ，b ，c 至多有两个偶数 C.假设a ，b ，c 都是偶数 D.假设a ，b ，c 都不是偶数31．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设a ，b ，c 至多有一个是偶数 B.假设a ，b ，c 至多有两个偶数 C.假设a ，b ，c 都是偶数 D.假设a ，b ，c 都不是偶数32．在证明命题“对于任意角θ,cos 4θ-sin 4θ=cos2θ”的过程:“cos 4θ-sin 4θ=(cos2θ+sin 2θ)·(cos 2θ-sin 2θ)=cos 2θ-sin 2θ=cos2θ”中应用了( ) (A)分析法 (B)综合法(C)分析法和综合法综合使用 (D)间接证法33．用反证法证明“若a ，b ，c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，“假设”应为A.假设a ，b ，c 至少有一个大于1B.假设a ，b ，c 都大于1C.假设a ，b ，c 至少有两个大于1D.假设a ，b ，c 都不小于134．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60︒”时，反设正确的是 A 、假设三个内角都不大于60︒ B 、假设三个内角都大于60︒C 、假设三个内角至多有一个大于60︒D 、假设三个内角至多有二个大于60︒35．用反证法证明命题“设a ，b ∈R，|a |+|b |＜1，a 2－4b ≥0,那么x 2+ax +b =0的两根的绝对值都小于1”时，应假设A ．方程x 2+ax +b =0的两根的绝对值存在一个小于1B ．方程x 2+ax +b =0的两根的绝对值至少有一个大于等于1C ．方程x 2+ax +b =0没有实数根D ．方程x 2+ax +b =0的两根的绝对值都不小于1 36．用反证法证明命题“若,,a b c 都是正数，则111,,a b c b c a+++三数中至少有一个不小于2”，提出的假设是（ ） A ．,,a b c 不全是正数 B ．111,,a b c b c a+++至少有一个小于2 C ．,,a b c 都是负数D ．111,,a b c b c a+++都小于2 37．已知a b c ++>0,ab bc ac ++>0,abc >0,用反证法求证a >0, b >0,c>0的假设为A.,,a b c 不全是正数B.a<0,b<0,c<0C.a ≤0,b>0,c>0D.abc<0 38．设()x f 是定义在正整数集上的函数,且()x f 满足：“当()1+≥k k f 成立时，总可推出()21+≥+k k f 成立”，那么，下列命题总成立的是 （ ） A ．若()21<f 成立，则()1110<f 成立B ．若()43≥f 成立，则当1≥k 时，均有()1+≥k k f 成立C ．若()32<f 成立，则()21≥f 成立D ．若()54≥f 成立，则当4≥k 时，均有()1+≥k k f 成立 39．用数学归纳法证明：*222111112()23(2)2n N n n++++<-∈，第二步证明“从k 到1k +”，左端增加的项数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2k （D ）84k +40．用数学归纳法证明等式()()()+3+41+2+3+++3=2n n n ()n *∈时，第一步验证=1n 时，左边应取的项是( )A ．1 B. 1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 41．利用数学归纳法证明“*(1)(2)()213(21),nn n n n n n N ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-∈ ”时，从“n k =”变到 “1n k =+”时，左边应增乘的因式是 A ．21k + B ．211k k ++ C ． (21)(22)1k k k +++ D ． 231k k ++ 42．在用数学归纳法证明422*123()2n n n n N +++++=∈时，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项是（ ）A ．21k + B ．2(1)k +C ．42(1)(1)2k k +++ D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++43．已知一个命题P(k),k=2n(n ∈N),若n =1,2,…,1000时,P(k)成立,且当11000+=n 时它也成立,下列判断中,正确的是( )A.P(k)对k=2013成立B.P(k)对每一个自然数k 成立C.P(k)对每一个正偶数k 成立D.P(k)对某些偶数可能不成立 n*从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为（ ） A.2(21)k +B.21k+C.211k k ++ D.231k k ++ 45．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -<n(n∈N *，n>1)时，在证明过程的第二步从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加的项数是 ( ) A ．2kB ．2k －1C ．1-2kD ．2k ＋146．用数学归纳法证明“”对于0n n ≥的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ）A. 1B. 3C. 6D. 10 47．用数学归纳法证明不等式11112321n n ++++<-(n N *∈，且1)n >时，第一步应证明下述哪个不等式成立（ ） A ．12< B ．1122+< C ．111223++< D ．1123+< 48．用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a an N a a ++-++++=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为 ( )A. 1B. 1+aC. 21a a ++D. 231a a a +++49．在用数学归纳法证明),1(111212*++∈≠--=++++N n a a a aa a n n 时，在验证当1=n 时，等式左边为（ ）A. 1B. a +1C. 21a a ++D. 321a a a +++ 50．用数学归纳法证明=++++2321n ，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上增加 （ ）A ．k 2+1B ．（k+1）2C ．D ．（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）251．用数学归纳法证明命题时，此命题左式为111123421n ++++-，则n=k+1与n=k 时相比，左边应添加( )A.1121k +- B.111122121k k k ++++- C.111112212221k kk k +++++++- D.111221k k ++- 52．对于不等式()*21N n n n n ∈+<+某同学应用数学归纳法证明的过程如下： （1）当1=n 时，11112+<+，不等式成立（2）假设()1,*≥∈=k N k k n 时，不等式成立，即12+<+k k k 那么1+=k n 时，()()1)1(2)2()23(23112222++=+=++++<++=+++k k k k k k k k k不等式成立根据（1）（2）可知，对于一切正整数n 不等式都成立。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°·cos 60°＝，sin240°＋cos270°＋sin 40°·cos 70°＝，sin215°＋cos245°＋sin 15°·cos 45°＝.…写出反映一般规律的等式，并给予证明．【答案】sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝【解析】反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝sin2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)＝sin2α＋2＋sin α ·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.2.观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－＝()A．－2B．－4C．－6D．－8【答案】D【解析】根据题意，由于观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－=2tan＋4tan-= -8tan=-8，故答案为D.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
初中数学数学推理与证明练习题及参考答案
初中数学数学推理与证明练习题及参考答案一、选择题1. 已知直角三角形的斜边长度为10，一个锐角的正弦值等于斜边长度与斜边过相交直角边的长方形边的和的二倍，那么这个锐角的度数是A. 60°B. 30°C. 45°D. 15°2. 若a、b、c为正数，且满足abc=1，则a^2+b^2+c^2的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 43. 若函数f(x) = 2x + a与g(x) = ax + 1有且仅有一个交点，则实数a 的值为A. 2B. -2C. 1/2D. -1/24. 如果A和B是两个正整数，且A的平方加上B的平方等于2017，那么AB的最大值是A. 2006B. 2932C. 1960D. 28725. 设正整数a与b满足a/b的值是0.4162，且a与b的最大公约数为8，那么a的个位数是A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题1. 根据等腰三角形的性质，如果一条边是等腰三角形的底边，则该边上的角度为____度。
2. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，集合B={3, 4, 5, 6, 7}，则集合A∪B的元素个数为____。
3. 设a、b、c为正整数，且满足a+b=c，则c除以7的余数是____。
4. 定义函数f(x) = 2x + b，若f(3)=7，则b的值为____。
5. 设正整数x与y满足x/y = 2/3，且x与y的最大公约数为6，那么y的值为____。
三、解答题1. 已知直角三角形的两个锐角辅助角等于40°和50°，那么直角边之间的比是多少？解析：由于直角三角形的两个锐角辅助角等于180°-90°=90°，所以另一个锐角的度数为90°-40°-50°=90°。
根据正弦定理可得：sin40°/a = sin50°/b = sin90°/c，其中a和b分别表示斜边上的两个角的对边的长度，c表示直角边的长度。
专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案
专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案部分1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 4．A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．5．B 【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B ．6．A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A ．7．D 【解析】∵553125=，6515625=，7578125=，85390625=，951953125=，1059765625=，⋅⋅⋅，∴5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字为()f n ， 则(2011)(50147)f f =⨯+(7)f =，∴20115与75的末位数字相同，均为8 125，选D ．8．D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有()g x -=()g x -，故选D 。
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2. 【解析】证明：设直角三角形两个锐角分别为
，则有：
． 因为等量减等量差相等， 所以
大前提
，
小前提
所以
．
结论
考点：本题主要考查演绎推理的意义，“三段论”推理一般形式。 点评：“三段论”是演绎推理的一般形式，包括：大前提——已知的一般原理；小前提，所研究 的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。 3.解析：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋4×4＝41. (2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4， 由上式规律得出 f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)， f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，… f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2 －2n＋1(n≥2)，又 n＝1 时，f(1)也适合 f(n)．∴f(n)＝2n2－2n＋1. (3)当 n≥2 时，＝＝， ∴＋＋＋…＋＝1＋＝1＋＝－.
12. (1)证明：
又
故 (6 分)
（2）证明：假设结论不成立，又
，则假设
或（7Leabharlann 分）①若，又
，则
②若
，又
，与已知条件 ，则
矛盾，故
不成立
（9 分）
由①②可知
或
故原命题成立，即
，与已知条件
矛盾，故
不成立，则假设不成立
不成立
13.【答案】解：（Ⅰ）分别令
，2，3，得
（11 分）
∵
，∴
，
，
.
（Ⅱ）证法一：猜想：
19 ． 数 列
的前 项组成集合
，从集合 中任取
个数，其所有可能的 个数的乘积的和为 （若只取一个数，规定乘积为此
数本身），记
．例如：当
时，
，
，
；当
时，
，
，
．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）猜想 ，并用数学归纳法证明．
20．.数列 满足：
，且
（1）设 （3）设
，证明数列 是等差数列；（2）求数列 、 的通项公式；
， 为数列 的前 项和，证明
.
21．已知 C 为正实数,数列 由
,
(Ⅰ)对于一切的
,证明：
；
(Ⅱ)若 是满足
证明：
.
的正实数,且
确定. ,
22． （本题10分）
已知
（1）当
时，求
（2）设
（
），
的值；
，试用数学归纳法证明：
当
时，
。
23．数列 满足
（1）写出
并猜想 的表达式
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
（Ⅲ）设
，
，且
，证明：
（n∈N*）.
≤
.
14．数列{xn}由下列条件确定：
．
（Ⅰ）证明：对 n≥2，总有 xn≥ ；
（Ⅱ）证明：对 n≥2，总有 xn≥ ．
15．设函数 （Ⅰ）证明
其中为 k 为整数
（Ⅱ）设 为
的一个极值点，证明
（Ⅲ）设
在（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为
，证明：
16．已知数列{an}中，Sn 是它的前 n 项和，并且 Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1. （1）设 bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求证：数列{bn}是等比数列；
2°假设当 n=k 时，猜想正确，即
，
那么，n=k+1时，由
，猜想也成了，
综上知，
对一切自然数 n 均成立。
考点：本题主要考查归纳、猜想、证明的推理方法，数学归纳法。 点评：利用数学归纳法证明问题，要注意其步骤规范，做好“两步一结”。
② 的图象知，
有解。
当
时，
（II）证明：由函数
的图象和函数
的图象知，对于任意整数 ，在开区间（
，
）内方程
只有一个根 ，
当
时，
，当
时，
而
在区间（
，
）内，要么恒正，要么恒负
因此
时
的符号与
时
综合以上，得：
的每一个根都是
的极值点 ③
的符号相反
由
得，当
时，
，即对于
时，
④
综合 ③、④ ：对于任意
，
由：
和
，得：
⑤
推理与证明
1．（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.
（2）已知
试用分析法证明：
.
2．2．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 ．
3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案， 这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放 规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形．
（3）存在……………………………………13 分
可取
……………………………16 分
注：答案不唯一
11. 【解析】第一问中，利用因为
，则
第二问，若
，则
的
则存在 使得
，
与
矛盾，运用反证法得到结论。
解：（1）因为
，则
--------6 分
（2）若
，则
的
则存在 使得
，
与
矛盾。所以假设不成立，原命题为
真
-----------8 分
又：
，
但
时，
⑥
综合 ⑤、⑥ 得：
16.【解析】（1）证明 ∵Sn+1=4an+2，
∴Sn+2=4an+1+2，两式相减，得 Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,…), 即 an+2=4an+1-4an, 变形得 an+2-2an+1=2(an+1-2an) ∵bn=an+1-2an(n=1,2,…),∴bn+1=2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列. （2）证明 由 S2=a1+a2=4a1+2，a1=1. 得 a2=5,b1=a2-2a1=3.故 bn=3·2n-1.
，由
①
可知， 当 ≥2时，
②
①-②，得
，即
.
1）当
时，
，∵
，∴
；
2）假设当
（ ≥2）时，
.
那么当
时，
，
∵
， ≥2，∴
，
∴
.
这就是说，当
时也成立，
∴
（ ≥2）. 显然
时，也适合.
故对于 n∈N*，均有
（Ⅲ）要证
≤
，
只要证
≤
，
即
≤
，
将 即要证
代入，得 ≤
≤
，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
，即 ≤1.
24．数列 中，
，其前 n 项和 满足
，
(1)计算
；
(2)猜想 的表达式并用数学归纳法证明。
25．.已知数列 的各项均为正数，
，
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明
对一切
恒成立。
推理与证明答案
1. 【解析】（1）证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于 60°， 即均小于 60°， 则三内角和小于 180°，与三角形中三内角和等于 180°矛盾，故假设不成立 .原命题成立 .
6．命题“若 ，
，
，则
，则
，所以 试解决下列问题：
，故得
（1）若 ， ，
，
，求证
（2）试将上述命题推广到 n 个实数，并证明你的结论．
．”可以如下证明：构造函数
，因为对一切
，恒有
．
；
7．已知
中至少有一个小于2。
8．已知 有一个是负数。
，且
9． (本小题满分12分)
若数列 的通项公式
（Ⅰ）计算
的值；
∵
，
，且
，∴ ≤
,
即 ≤ ，故 ≤1成立，所以原不等式成立.
14.【解析】（I）证明：由 从而有
及
可归纳证明
所以，当
成立.
（II）证法一：当
所以 证法二：当
故当
所以
故当
.
15.【解析】（I）由于函数定义，对任意整数 ，有
（II）函数
在 R 上可导，
令
，得：
若
，则
，这与
①
矛盾，所以
。
当
时，
由于函数
的图象和函数
∵cn= (n=1,2,…),
∴cn+1-cn=
-=
将 bn=3·2n-1代入得
=.
cn+1-cn= (n=1,2,…),
由此可知，数列{cn}是公差为 的等差数列，
它的首项 c1= = ，故 cn= n- (n=1,2,…).
（3）解 ∵cn= n- = (3n-1). ∴an=2n·cn=(3n-1)·2n-2 (n=1,2,…) 当 n≥2时，Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2. 由于 S1=a1=1也适合于此公式， 所以{an}的前 n 项和公式为 Sn=（3n-4）·2n-1+2.
17.试题解析：（1）