1、集合、复数计算
高一集合与复数知识点总结
高一集合与复数知识点总结高一数学学习中，集合与复数是很重要的内容之一。
本文将对高一集合与复数的知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握这些知识。
一、集合1. 集合的概念及表示方法集合是由若干个元素组成的整体，可以用大括号{}表示。
如果一个元素在集合中，就用小写字母表示，例如集合A={a, b, c}，表示元素a、b、c属于集合A。
2. 集合的分类根据元素的性质，集合可以分为：空集、单元素集、有限集、无限集、相等集等。
3. 集合之间的关系常见的集合关系有：相等关系、子集关系、真子集关系，分别用等号=、⊆、⊂表示。
4. 常见的集合运算常见的集合运算有：并集、交集和补集。
如果A、B是集合，分别表示为A∪B（并集）、A∩B（交集）、A'（A的补集）。
二、复数1. 复数的概念及表示方法复数是由实部和虚部组成的数，一般表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的性质复数具有加法、减法、乘法和除法等运算。
复数加法满足交换律和结合律，复数乘法满足交换律和分配律。
3. 复数的共轭复数a+bi的共轭复数是a-bi，可以用来求解复数的模和复数的除法。
4. 复数的绝对值和幅角复数a+bi的绝对值是√(a²+b²)，表示复数到原点的距离；复数的幅角是复数的辐角，表示复数与实轴正方向的夹角。
5. 真实数与虚数当虚部b为0时，复数a+bi就是一个真实数；当实部a为0时，复数a+bi就是一个虚数。
三、高一集合与复数知识点综合应用1. 集合的应用集合常用于数学中的概率、统计等问题，可以用来表示样本空间、事件等。
2. 复数的应用复数在电路分析、信号处理、几何学等领域中有广泛的应用。
例如，复数可以表示交流电路中的电压和电流，用于解决电路中的稳态分析和暂态分析问题。
总结：高一集合与复数是初步数学学习的重要知识点。
通过对集合的认识，可以帮助同学们更好地理解集合的关系和运算；通过对复数的学习，可以拓宽数学思维，应用于实际问题的解决中。
高三集合复数知识点总结
高三集合复数知识点总结集合与复数是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和理解数学概念中扮演着关键角色。
本文将对高三阶段所涉及的集合与复数的知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、集合的概念及运算集合是由具有某种特定性质的事物或对象组成的整体。
在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，如集合A、集合B等。
集合中的元素可以是数字、字母、图形等。
1. 集合的表示方法集合通常用大括号表示，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A = {1, 2, 3} 表示集合A包含元素1、2和3。
2. 集合的分类集合可以分为有限集和无限集。
有限集是元素数量有限的集合，而无限集是元素数量无限的集合。
此外，还有空集，即不包含任何元素的集合。
3. 集合间的关系集合间的关系主要包括子集、真子集、相等和并集等。
子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素；真子集是指一个集合不仅是另一个集合的子集，而且还有自己独有的元素；两个集合相等是指它们包含完全相同的元素；并集是指将两个集合的所有元素合并在一起构成的新集合。
4. 集合的运算集合的运算主要包括并集、交集和补集。
并集运算用符号∪表示，交集运算用符号∩表示，补集运算用符号'或{ }^c表示。
例如，集合A 和集合B的并集是A∪B，交集是A∩B，集合A在全集U中的补集是A'或U^c。
二、复数的概念及运算复数是实数的扩展，它由实部和虚部组成，一般形式为a+bi，其中a 和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1. 复数的表示复数可以在平面上表示为一个点或一个向量。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
这种表示方法称为复平面。
2. 复数的分类复数可以根据实部和虚部的符号进行分类，包括实数、纯虚数、正实数、负实数等。
3. 复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法运算类似于向量的加法和减法，即将对应的实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法运算需要使用分配律和虚数单位i的幂运算规则。
高一集合与复数知识点归纳
高一集合与复数知识点归纳在高一数学学习的过程中，集合与复数是非常重要的知识点。
集合是我们研究数学问题时，对一些事物按照某种共同特征进行归类的方法；而复数是由实数和虚数构成的数，它有广泛的应用领域。
本文将对高一集合与复数的相关知识点进行归纳总结。
一、集合的基本概念集合是一个个元素的组成，这些元素可能是数字、字母、符号或其他事物。
常用的表示集合的方法有：列举法、描述法和符号法。
其中，列举法是通过将集合中的所有元素一一列举出来来表示；描述法是通过给出集合中元素的某种特征或性质的描述来表示；符号法则是用大写字母表示集合，大写字母的小写形式表示集合中的元素。
二、集合运算在集合中，常常会进行一些集合之间的运算，如并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个集合，用符号"∪"表示；交集是指两个或多个集合中共同拥有的元素，用符号"∩"表示；差集是指一个集合减去另一个集合中共同的元素所得到的新集合，用符号"－"表示；补集是指全集中减去一个集合所得到的剩余集合，用符号"~"表示。
三、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，它包含了实部和虚部。
其中，实数是我们平常所用的数字，而虚数则是形如bi的数，其中b为非零实数，i为虚数单位，i²=-1。
复数可以用符号"a+bi"来表示，其中a为实部，bi 为虚部。
四、复数的四则运算在复数的运算中，需要注意实数与虚数的运算规则。
当进行加减法运算时，分别对实部和虚部进行运算；当进行乘法和除法运算时，使用分配律和消去律来进行计算。
五、复数的共轭与模复数的共轭是指将一个复数的虚部取反所得到的新复数。
如果z=a+bi，则其共轭为z*=a-bi。
复数的模是指复数到原点的距离，也就是复数的绝对值。
模的计算公式为|z|=√(a²+b²)。
上海沪教版教材高中数学知识点总结
目录一、集合与常用逻辑二、不等式三、函数概念与性质四、基本初等函数五、函数图像与方程六、三角函数七、数列八、平面向量九、复数与推理证明十、直线与圆十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步十三、立体几何十四、计数原理十五、概率与统计一、集合与常用逻辑1．集合概念元素：互异性、无序性2．集合运算全集U ：如U=R交集：}{B x A x x B A 且并集：}{B xA xx BA或补集：}{A xU xx A C U 且3．集合关系空集A 子集B A :任意Bx AxBABBABAAB A 注：数形结合---文氏图、数轴4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p否命题：若p 则q逆否命题：若q 则p原命题逆否命题否命题逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P p 是q 的必要条件：qPp 是q 的充要条件：p?q 6．复合命题的真值①q 真（假）?“q ”假（真）②p 、q 同真?“p ∧q ”真③p 、q 都假?“p ∨q ”假7.全称命题、存在性命题的否定M, p(x ）否定为: M, )(X p M, p(x ）否定为:M,)(X p二、不等式1．一元二次不等式解法若0a，02cbx ax有两实根,)(，则02c bx ax 解集),(02cbxax解集),(),(注：若0a ，转化为0a情况2．其它不等式解法—转化ax aa x 22axaxa x或ax22ax)()(x g x f 0)()(x g x f )()(x g x f aa)()(x g x f （a 1）)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()0（01a ）3．基本不等式①ab b a222②若R ba,，则ab ba 2注：用均值不等式ab b a2、2)2(b a ab求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数()()f x f x f(x)图象关于y 轴对称f(x)奇函数()()f x f x f(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0③“奇+奇=奇”（公共定义域内）2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2f(x 1)＜f(x 2) 或x 1＞x 2f(x 1) ＞f(x 2)或)()(2121x x x f x f f(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”③奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3．周期性T 是()f x 周期()()f x T f x 恒成立（常数0T ）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x1)(x-x2)对称轴：a b x2顶点：)44,2(2abacab 单调性：a>0，]2,(ab递减，),2[ab 递增当abx2，f(x)minabac442奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法---注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b奇函数b=0四、基本初等函数1．指数式)0(10aannaa 1mnmnaa2．对数式bN a log N ab（a>0,a ≠1）NM MN a a a log log log NM N M a a alog log log Mn M a na log log ab bm m a log log log ab lg lg naa b bnl o g l o g a b l o g 1注：性质1log a 1log aa NaNa log 常用对数N N 10log lg ，15lg 2lg 自然对数N N e log ln ，1ln e 3．指数与对数函数y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数）4．幂函数12132,,,xyx yx yx y x y在第一象限图象如下：1010五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y伸缩：)1()(x f y x f y 倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f yx f y x f y x f y x f y x f y y x 原点轴轴注：)(x f yax直线)2(x af y翻折：)(x f y |()|y f x 保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cb aoyx)(x f y (||)y f x 保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边y=f(x)cb aoyxy=f(|x|)cb aoyx3．零点定理若0)()(b f a f ，则)(x f y 在),(b a 内有零点（条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---0)()(b f a f ？六、三角函数1．概念第二象限角)2,22(kk(Z k )2．弧长r l 扇形面积lrS213．定义ry sinrx cosx y tan其中),(y x P 是终边上一点，rPO4．符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如sin)2(Sin ，sin)2/cos(6．特殊角的三角函数值643223sin 0212223 11cos 1 23222101tg33 13/ 0 /7．基本公式同角1cossin 22tancossin 和差sincos cossin sinsinsincos cos cos tantan1tan tan tan倍角cos sin 22sin 2222sin211cos2sincos2cos 2tan1tan 22tan 降幂cos 2α=22cos 1 sin2α=22cos 1叠加)4sin(2cossin )6sin(2cossin3)sin(cos sin 22b ab a )(tanba 8．三角函数的图象性质单调性：)2,2(增),0(减)2,2(增注：Zk y=sinxy=cosxy=tanx图象sinxcosx tanx 值域[-1，1] [-1，1] 无奇偶奇函数偶函数奇函数周期2π2ππ对称轴2/kx kx 无中心,k0,2/k 0,2/k9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC2cos2sinC BA 正弦定理：Aa sin =Bb sin =Ccsin AR a sin 2CB A cb a s i n :s i n :s i n ::余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bccosA （求边）cosA=bcac b 2222（求角）面积公式：S △＝21absinC注：ABC 中，A+B+C=？BABAsin sin a 2＞b 2+c 2∠A ＞2七、数列1、等差数列定义：d a a n n 1通项：dn a a n )1(1求和：2)(1n na a n S dn n na )1(211中项：2ca b （c b a ,,成等差）性质：若q p n m ，则qp n ma a a a 2、等比数列定义：)0(1q q a a nn 通项：11n n qa a 求和：)1(1)1()1(11qqq a qna S nn中项：ac b 2（c b a ,,成等比）性质：若qpnm则qp nm a a a a 3、数列通项与前n 项和的关系)2()1(111ns s n a s a nnn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减三角形法则，平行四边形法则BCABAC首尾相接，OC OB =CB 共始点中点公式：AD ACAB 2D 是BC 中点2．向量数量积b a =cosba=2121y y x x 注：①b a ,夹角：00≤θ≤180②b a,同向：ba ba 3．基本定理2211e ea（21,e e 不共线--基底）平行：b a //ba 1221y x y x （0b ）垂直：0b a ba 02121y y x x 模：a ＝22yx 22)(b a b a 夹角：cos||||b a b a 注：①0∥a②c b a cb a（结合律）不成立③ca ba c b（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z (a,b )R ，实部a 、虚部 b分类：实数（0b），虚数（0b ），复数集 C 注：z 是纯虚数0a ，0b 相等：实、虚部分别相等共轭：bia z模：22baz 2zz z 复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)=？乘法：（a+bi ）（c+di ）=？除法：di c bi a =))(())((di cdi cdi c bi a ==…乘方：12i ，ni rrk i i 43．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论）4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论反证法：反设—推理—矛盾—结论分析法：执果索因分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证……，这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(kN* ，k 1)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角范围0,斜率2121tany y k x x 注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90时，斜率不存在2、直线方程点斜式)(00x x k y y ，斜截式b kx y 两点式121121x x x x y y y y ，截距式1by ax 一般式0CByAx注意适用范围：①不含直线0xx ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（注意条件）平行12k k 且21b b 垂直121k k 垂直1212A AB B 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x 点到直线距离：0022Ax By CdAB5、圆标准方程：222)()(rb y a x圆心),(b a ，半径r圆一般方程：022FEy Dx yx（条件是？）圆心,22D E 半径2242DE Fr6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系222)()(rb y a x 点00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长222AB rd十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF1|+|PF 2|=2a(2a>|F1F 2|)双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）位置关系相切相交相离几何特征d rd rd r代数特征△0△0△椭圆12222by ax ( a>b>0)双曲线12222by ax (a>0,b>0)中心原点对称轴？焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0)顶点:椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a x a,-by b双曲线|x|a ，y R焦距：椭圆2c （c=22b a）双曲线2c （c=22b a ）2a 、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222b y ax 渐近线x a b y 方程122ny mx 表示椭圆nmnm.0,0方程122nymx表示双曲线mn 抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点）对称轴（x 轴）开口（向右）范围x 0 离心率e=1焦点)0,2(p F 准线2p x十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT “提示内容”；变量2输出语句：PRINT “提示内容”；表达式3赋值语句：变量=表达式4条件语句“IF —THEN —ELSE ”语句“IF —THEN ”语句程序框名称功能起止框起始和结束输入、输出框输入和输出的信息处理框赋值、计算判断框判断某一条件是否成立循环框重复操作以及运算IF 条件 THEN IF条件 THEN 语句1 语句ELSE END IF语句2 END IF 5循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE 条件 DO 循环体循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= a n x n+a n-1xn-1+….+a 1x+a 0的求值秦九韶算法：v 1=a n x+a n －1v 2=v 1x+a n －2 v 3=v 2x+a n －3v n =v n －1x+a 0注：递推公式v 0=a n v k =v k －1X +a n －k (k=1,2,…n)求f(x)值，乘法、加法均最多n 次3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：111011.........)(.....a ka ka ka k a a a a n nnnn n 十进制数转换成k 进制数：“除k 取余法”例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，秦九韶算法求f(5)123＝2×48＋27 v 0=248＝1×27＋21 v 1=2×5－5=527＝1×21＋6 v 2=5×5－4=2121＝3×6＋3 v3=21×5+3=108 6＝2×３+0 v4=108×5－6=534v 5=534×5+7=2677十三、立体几何1．三视图正视图、侧视图、俯视图2．直观图：斜二测画法'''X OY =45平行X 轴的线段，保平行和长度平行Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半3．体积与侧面积V 柱=S 底h V锥 =31S 底h V球=34πR3S 圆锥侧=rlS圆台侧=lr R )( S球表=24R4．公理与推论确定一个平面的条件：①不共线的三点②一条直线和这直线外一点③两相交直线④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
复数集合的符号
复数集合的符号1. 引言复数集合是数学中非常重要的一个概念，用于表示包含多个元素的集合。
为了方便表示和描述，复数集合需要用特定的符号来表示。
本文将介绍复数集合的符号及其使用方法。
2. 复数集合的符号复数集合的符号有多种形式，下面将一一介绍常用的几种符号。
2.1 大写字母在数学中，常用大写字母来表示集合。
对于复数集合，可以使用大写字母来表示。
常见的符号有：•A：表示一个复数集合，例如A = {1,2,3}；•B：表示另一个复数集合，例如B = {4,5,6}；•C：表示第三个复数集合，例如C = {7,8,9}。
2.2 小写字母除了大写字母，还可以使用小写字母来表示复数集合。
常见的符号有：•a：表示一个复数集合的元素，例如a∈A；•b：表示另一个复数集合的元素，例如b∈B；•c：表示第三个复数集合的元素，例如c∈C。
2.3 希腊字母希腊字母在数学中广泛使用，用于表示各种概念和符号。
对于复数集合，也可以使用希腊字母来表示。
常见的符号有：•α：表示一个复数集合的元素，例如α∈A；•β：表示另一个复数集合的元素，例如β∈B；•γ：表示第三个复数集合的元素，例如γ∈C。
2.4 其他符号除了上述常见的符号，还有一些其他符号用于表示复数集合。
•∅：表示空集，即不包含任何元素的集合；•U：表示全集，即包含所有元素的集合。
3. 复数集合的表示方法复数集合可以使用不同的表示方法，以便清晰地描述集合的内容。
3.1 列举法列举法是最直接的一种表示方法，通过列出集合中的所有元素来表示复数集合。
例如，复数集合A可以用列举法表示为A = {1,2,3}。
3.2 描述法描述法是一种更简洁、更通用的表示方法，可以通过描述集合中元素的属性来表示复数集合。
例如，复数集合A可以用描述法表示为A = {x | x是正整数且小于等于3}。
3.3 规律法规律法是一种使用数学规律来表示复数集合的方法。
例如，复数集合A可以用规律法表示为A = {2n | n是自然数且小于等于3}，表示集合A中的元素是2的倍数。
高中数学必备的289个公式
(2)f(x+a)=-f(x)⇒T=2a;
(3)f(x+a)=±f(x)⇒T=2a
43.对称轴标志:f(x+a)=-f(b-x)⇒对称中心为(a+b,0);
如常见的对称中心有:f(x+a)=-f(a-x)⇒对称中心为(a,0);f(x+1)=-f(1-x)⇒对称 中心为(1,0).
16.不等式相同性:任意x∈D,证明:
f(x)>g(x)⇔h(x)=f(x)-g(x)>0⇔h(x)min>0;
存在x∈D,证明:f(x)≤g(x)⇔h(x)=f(x)-g(x)≤0⇔h(x)min≤0.
17.不等式相异性:任意x1、x2∈D,证明:f(x1)<g(x2)⇔x∈D,f(x)max<g(x)min;存在x1、x2∈D,证明:f(x1)>g(x2)⇔x∈D,f(x)max>g(x)min.
第2章函数
31.几个近似值:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236,
π≈3.142,e≈2.718,e2≈7.389,
ln3≈1.0986,ln2≈0.693.32.指数公式:(1)am=man;(2)nan={|a|,n为偶数.
33.对数公式:
(1)ax=N⇔x=logaN;(2)alogaN=N;
x1+y1x2+y2≥x1x2+y1y2.
(1+x)n≥xn+nx;n≥1(1+x)n≤1+nx;0≤n≤1
86.洛必达法则:limf(x)=limf'(x)(当f(x)→0或∞时使用).
87.恒成立问题:(1)a≥f(x)⇔a≥f(x)max;(2)a<f(x)⇔a<f(x)min.
高一集合与复数知识点梳理
高一集合与复数知识点梳理在高一数学学习中，集合与复数是重要的数学概念，掌握了这些知识点，不仅可以帮助我们解题，还可以深化对数学的理解。
本文将对高一集合与复数的知识点进行梳理与总结。
一、集合知识点梳理1. 集合的定义与表示集合是由一些确定的事物组成的整体，可以用花括号{}表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示由元素1、2、3组成的集合A。
2. 集合的分类根据元素的性质，集合可以分为以下几类：- 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
- 单元素集合：只包含一个元素的集合，例如{1}。
- 有限集合：元素个数有限的集合。
- 无限集合：元素个数无限的集合。
3. 集合之间的关系- 子集关系：若集合A的所有元素都是集合B的元素，则集合A是集合B的子集，用符号A⊆B表示。
- 真子集关系：若A⊆B且A≠B，则集合A是集合B的真子集，用符号A⊂B表示。
- 并集：将两个或多个集合的所有元素合并在一起形成的集合，用符号∪表示。
- 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合，用符号∩表示。
- 差集：从一个集合中剔除另一个集合中的元素得到的集合，用符号A-B表示。
二、复数知识点梳理1. 复数的定义与表示复数是由实部和虚部组成的数，形如a+bi的数即为复数，其中a为实部，bi为虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。
例如，3+4i就是一个复数。
2. 复数的运算- 复数的加法：将实部与实部相加，虚部与虚部相加。
- 复数的减法：将实部与实部相减，虚部与虚部相减。
- 复数的乘法：按照分配律展开，然后将i^2替换为-1，记住i^2=-1即可。
- 复数的除法：将除法转换为乘法，乘以分子的共轭复数。
3. 复数的共轭与模- 复数的共轭：将复数的虚部取相反数得到的复数，记作z*或conj(z)。
- 复数的模：复数的绝对值，记作|z|。
模等于实部与虚部平方和的平方根。
4. 复数平面由于复数既包含实部又包含虚部，可以用平面上的点来表示。
将实部作为横轴，虚部作为纵轴，可以将复数表示为平面上的一个点，这个平面被称为复数平面。
关于复数复数学日记
关于复数复数学日记复数是一个集合，它的元素是由实数组成。
这里所谓的“实数”不仅包括正整数，还包括实数轴上的点和实数域内的绝对值符号。
复数的表示方法有很多种，用三角形表示复数时通常采取两个表达式相减来表示复数，因此复数可以写作：实部是- e 的复数叫做实数，也记作： y= lnx。
如果在复数前面加上一个负号，就变成了负数，表示为：实部是负 e 的复数，即实数 x=- e，读作： x=- e。
若将- e 用负号连接起来，则变成了单项式，此式就叫做负的虚部；实部是- e 的复数，即实数 x=- e+ i，读作： x=- e+ i。
例如 y= x+ i 就表示-1/ x 等于-1的实部是- i 的复数，即-1=- i。
在复数中，虚部是一个重要概念。
我们常说的复数都只是实数的复数，实数并没有复数。
而在高等数学中却把复数理解为一类特殊的函数。
当某个点在一个区域内（或者说闭区间）有定义时，称该点属于这个区域。
复数的定义域是非空集合，一个集合内的元素全体构成的集合叫做复数集。
复数集里的每一个元素叫做复数的模。
比如，一个集合 M={1，3}是由1、3组成的，那么 M 就是由实数组成的集合，其中1、3是实数，1和3也称为复数的模。
实数的复数和复数的复数具有同样的意义，即其模相同。
任何一个复数的复数都叫做原始复数，也简称原复数。
由于复数集 C={1，3}={1，4}={0，5}={1，7}={0，8}…，所以实数 a 的复数表示就是以 A 为首字母的原复数。
注意，复数的复数和原复数并无本质差别，但习惯上总是先谈论原复数后再讨论复数的复数。
一般地，一个复数是否属于复数集 C 是不能确定的，必须由其定义证明。
例如，求复数 m=1/2x+ b (a， b∈R)。
这显然是错误的，因为这里的复数指实数的复数，而不是实数的复数。
再举一个例子，求复数 x=2/3x+1。
这里的“ x”显然不是实数的复数，而是实数的复数。
所以我们首先应弄清楚复数指什么？即搞清楚复数到底是怎么回事儿？从复数的定义中看出，复数指某些集合 S 内元素的全体所组成的集合。
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集合、复数计算
用到的基础知识：
一、集合
1、集合中元素特征：
①确定性：要么是，要么不是；②互异性：任两者不同；③无序性：主要针对判断两个集合是否相同。
2、集合间关系：
①子集：属A必属B；②真子集：属A必属B，A、B不相等；③相等：A⊆B且B⊆A；
3、集合间运算：
①交集：属A且属B；②：并集：属A或属B；③补集：属全且不属A；
4、集合运算律：
（1）针对交、并运算：①交换律：A⋂B= B⋂A；A⋃B= B⋃A；②反身律：A⋂A=A；A⋃A=A；③空集律：A⋂Ø=Ø⋂A= Ø；A⋃Ø=Ø⋃A= A；④包含律：A⊆B⟺A⋂B=A；A⊆B⟺ A⋃B=B；
（2）针对补集：①A⋃C u A=U；②A⋂C u A=Ø；③C u（C u A）=A；④摩根律：C u（A⋂B）=（C u A）⋃（C u B）；C u（A⋃B）=（C u A）⋂（C u B）。
二、复数
1.虚数单位i:
它的平方等于-1，即21
i=-
2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i
i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n
3.
4.复数的定义：形如(,)
+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b
a bi a
b R
数所成的集合叫做复数集，用字母C复数通常用字母z表示，即(,)
=+∈
z a bi a b R
5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)
+∈，当且仅当b=0时，
a bi a
b R
复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复
a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做
（1
（2
（3）原点对应的有序实数对为(0，0)
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .
11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i d
c a
d bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 12.共轭复数：部不等于0通常记复数z 的共轭复数为z 。
例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数
13. 共轭复数的性质
（1）实数的共轭复数仍然是它本身
（2）2
2Z Z Z Z ==⋅ （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称
14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论
（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=- （3）i i -=1， （4） i i i
=-+11 16.复数的模： （5）
i i i -=+-11 复数bi a Z +=的模22b a Z +=
（6）()()22b a bi a bi a +=-+
习题： 1、设全集为R ，函数21)(x x f -=的定义域为M ，则C R M=（ ）
2、已知集合A={1，2，3}，则集合B={x-y|x ∊A,y ∊A}中元素个数是（ ）
点),(b a Z 向量OZ 一一对应 一一对应 一一对应 复数()R b a bi a Z ∈+=,
3、已知集合M={1，2，zi}，i 为虚数单位，N={3，4}，M ∩N={4}，则复数z=（ ）
4、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x,y ）|x ∊A,y ∊A,x-y ∊A}，则B 中所含元素的个数为（ ）
5、若集合A={-1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y ，x ∊A,y ∊B}中的元素个数为（
）
6、已知集合A={1，3，m }，B={1，m},A ∪B=A,则m=（ ）
7、i 是虚数单位，若集合S={-1，0，1}，则（ ）
A 、i ∊S
B 、i 2∊S
C 、i 3∊S
D 、i 2
∊S
8、已知集合P={x|x 2≤1}，M={a}，若P ∪M=P ，则a 的取值范围是（ ）
9、复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为（ ）
10、设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ⋅z i+2=2z ，则z=( )
11、在复平面内，复数2i 2）
（-对应的点位于第（ ）象限
12、若复数Z 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z=( )
13、复数
i
++-1i 31=
14、方程01362=++x x 的一个根是（ ） A 、-3+2i B 、3+2i C 、-2+3i D 、2+3i。