四川省眉山高一下学期期末考试数学试题

眉山市高中2017届第二学期期末教学质量检测数 学 试 题 卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷(选择题，共50分)一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 设,a b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是 A ．22a b < B ．22ab a b < C ．2211ab a b < D ．11a b>2. 已知()()1,2,,1a b x ==，且a 与b 是共线向量，则x =A ．1B ．2C ．12D ．133. 若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=，则{}n a 的公比为A ．2B ．4C ．8D ．16 4. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图1所示，则该几何体的侧视图为A BC D5. 已知某正方体的外接球的表面积是16π，则这个正方体的棱长是A ．3 B ．3 C ．3 D ．36. 对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是图1A ．(2,2)-B ．(2,2]-C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞ 7. 已知等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，若16170,0S S ><，则当n S 取最大值时，n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．16 8. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2cos 22B a c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形9. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,...,由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是A ．189B ．1024C ．1225D ．137810. ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且OA AB =，则CB 在CA 方向上的投影为A ．1B ．2 CD ．3第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二. 填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卷中的相应位置.11. 如图2所示，向量=-b a .(用21e e ,表示)12. 一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .. . .161. . .10631俯视图121图2 图313. 已知,a b 为单位向量，若2144k a b k+⋅=()0k >，则k = . 14. 已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+，则n a = .15. 如图4所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东30θ︒+角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ= .三. 解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，32,1,cos 4b a C ===.⑴求ABC ∆的周长；⑵求sin A 的值17. (本小题满分12分)已知{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1358,30a a S +==.⑴求{}na 的通项公式；⑵若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值.18. (本小题满分12分)设m R ∈，解关于x 的不等式22230m x mx +-<.19. (本小题满分12分)已知()()111,,22a ab a b a b =⋅=-⋅+=⑴求a 与b 的夹角；⑵求a b -与a b +的夹角的余弦值.20. (本小题满分13分)BCA北30°图4已知函数()226kx f x x k=+()0k >⑴若()f x m>的解集为{|3,2}x x x <->-或，求不等式2530mx kx ++>的解集；⑵若存在3,x >使得()1f x >成立，求k 的取值范围.21. (本小题满分14分)设()()1122,,,A x y B x y 是函数()21log 21x f x x=+-的图象上任意两点，且1()2OM OA OB =+，已知点M 的横坐标为12. ⑴求证：M 点的纵坐标为定值； ⑵若*121...,,2n n S f f f n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∈≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且求nS ；⑶已知n a =12 131 2(1)(1)nn n n S S +⎧=⎪⎪⎨⎪≥++⎪⎩，其中*n N ∈，nT 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T S λ+<+对一切*n N ∈都成立，试求λ的取值范围.眉山市高中2017届第二学期期末教学质量检测数学参考答案一、选择题：11.123e e -12.103 13. 1214.1*5,12,2n n n a n n N-=⎧=⎨≥∈⎩且 三、解答题：16.解：⑴在ABC ∆中由余弦定理可知2222cos 2c a b ab C =+-= ………..4分2=∴c ∴ABC ∆的周长为 23+………………………………………………6分⑵sin C ==……………………………………………………….8分在ABC ∆中由正弦定理可知sin sin a c A C=……………………………..10分sin sin 8a C A c ∴==…………………………………………………….12分17. 解：⑴{}n a 为等差数列 ∴1325328,530a a a S a +====234,6a a ∴== ……………………………………………………………3分 322d a a ∴=-= ……………………………………………………..4分 2(2)2n a a n d n ∴=+-= ……………………………………….6分⑵由⑴()2222n n n S n n+==+， ()2222256k S k k k k +=+++=++ ……………………………………..8分若12,,k k a a S +成等比数列，则212k k a a S +=， ………………………………………10分 即()224256k k k =++即2560k k --= 而*k N ∈，6k ∴= …………………….12分18. 解：①当0m =时，不等式可化为30-<，此不等于恒成立，不等式解集为R ；..4分②当0m >时，不等式可化为()()310mx mx +-<，即310x x m m ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而31m m -<，此时不等式的解集为31|x x m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； …………….8分 ③当0m <时，不等式可化为()()310mx mx +-<，即310x x m m ⎛⎫⎛⎫+-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭而31m m ->，此时不等式的解集为13|x x mm ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭； ………………..12分 19. 解：⑴()()12a b a b -⋅+=∴21=-22==∴ ………………………………………………….2分设a 与b 的夹角为θ，则2cos 2a ba bθ⋅==………………………..4分而[]0,θπ∈ 4πθ∴=………………………………………………………………6分⑵设a b -与a b +的夹角为φ，()222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=………………………………….8分()2221022a b a b a a b b +=+=+⋅+=………………………………..10分()()5cos 5a b a b a b a bφ-⋅+==-+ …………………………………………………….12分20. 解：⑴()2222606kx f x m m mx kx km x k>⇔>⇔-+<+……2分 不等式2260mx kx km -+<的解集为{|3,2}x x x <->-或∴3,2--是方程2260mx kx km -+=的根2152665k k m m k =⎧⎧=-⎪⎪∴⇒⎨⎨=-⎪⎪=⎩⎩……………………………………………………………4分22353023012mx kx x x x ++>⇔--<⇔-<<∴不等式2530mx kx ++>的解集为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ……………………………………6分⑵()()222211260266kx f x x kx k x k xx k>⇔>⇔-+<⇔->+ 存在3,x >使得()1f x >成立，即存在3,x >使得226x k x >-成立…………….9分 令()()2,3,26x g x x x =∈+∞-，则()min k g x > 令26x t -=，则()0,t ∈+∞，26923364t t y t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭==++≥= 当且仅当t t94=即23=t 时等号成立.()min 1564g x g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭……………..12分 ()6,k ∴∈+∞ ………………………………………………………………..13分法二：令()()226,3,g x x kx k x =-+∈+∞存在3,x >使得()1f x >成立，即存在()0g x <成立，即()min 0g x <成立……8分当03k <≤时，()g x 在()3,+∞上单调递增，∴()()39g x g >=，显然不存在()0g x <；…………………………………………10分当3k >时，()g x 在()3,k 上单调递减，在(),k +∞上单调递增，()()2min 6g x g k k k ==-+，由260k k -+<可得6k > ………………………………………………….12分 综上，()6,k ∈+∞ ……………………………………………………13分21. ⑴证明：设(),M x y 1()2OM OA OB =+ ∴121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由21=x 知121=+x x ，122111x x x x -=-=∴, …………………2分()()1222121212121222221211log log 112221log 1log log 1222x x f x f x y y x x y x x x xx x x x ++++--∴===⎛⎫+⋅++ ⎪⎝⎭===∴M 点的纵坐标为定值21 ……………………………………………………4分(2)由(1)知()()12121,1x x f x f x +=+= ………………………5分121...n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121n n n S f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得：2n S =112211...n n n f f f f f f n n n n n n ⎡-⎤⎡-⎤⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1n =-……7分 ∴()*12,2n n S n n N -=≥∈ ………………………………………………8分 (2)当2n ≥时，114114().(1)(1)(1)(2)12n n n a S S n n n n +===-++++++ …………………9分123...n nT a a a a=++++=432+)](...)()[(211151414131+-+++-+-n n =432+(112).322n n n -=++ ………………………………11分由()11n n T S λ+<+得22+n n ＜λ·.22+n∴λ＞.444444)2(422++=++=+nn n n n n n∵4n n+≥4，当且仅当2=n 时等号成立， ………………………………………12分∴.21444444=+≤++nn当1n =时，49λ>………………………………………13分 因此λ＞21，即λ的取值范围是(,21+∞)…………………………………………14分。