2020届高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆(含解析)
2020年高考江苏版高考数学 14.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
14.3 直线与圆、圆与圆的位置关系挖命题【考情探究】分析解读直线与圆、圆与圆的位置关系是江苏高考重点考查的内容之一,几乎是每年必考的.考查方式如下:一是填空题中,考查直线与圆的位置关系,或可转化为直线与圆、圆与圆的位置关系,如“隐形圆”问题;二是在解答题中,与向量、椭圆等结合,考查直线与曲线的位置关系.破考点【考点集训】考点一直线与圆的位置关系1.(2018江苏淮阴中学期中)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为.答案-2.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:x2+4x+y2-2y+3=0相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是.答案相交3.(2019届江苏启东中学质检)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为.答案x-y+5=0考点二圆与圆的位置关系已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为.答案炼技法【方法集训】方法一解决与圆有关的切线问题、弦长问题1.(2018江苏泗阳中学期初)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点M(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD的面积为.答案202.已知直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A,B两点,弦AB的中点为M(0,1).(1)若圆C的半径为,求实数a的值;(2)若弦AB的长为6,求实数a的值;(3)当a=1时,圆O:x2+y2=2与圆C交于M,N两点,求弦MN的长.解析(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5-a,由圆的半径为可知,5-a=3,所以a=2.(2)弦AB=2--=2-=6,解得a=-6.(3)当a=1时,圆C为x2+y2+2x-4y+1=0,又圆O:x2+y2=2,所以两圆的相交弦MN所在直线方程为2x-4y+3=0.则圆心O到MN的距离d==,所以|MN|=2-=.方法二“隐形圆”问题的解决方法1.(2018江苏南通中学期初)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(4,0).若直线x-y+m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.答案[-2,2]2.(2018江苏盐城中学月考)已知线段AB的长为2,动点C满足·=λ(λ<0),且点C总不在以点B为圆心,为半径的圆内,则负数λ的最大值是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组1.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为.答案 32.(2014江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为. 答案3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是.答案[-5,1]4.(2018江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.解析本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),所以可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).又点在椭圆C上,解得所以-因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则+=3.所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.消去y,得由-(4+)x2-24x0x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因为x0,y0>0,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).②因为三角形OAB的面积为, 所以AB·OP=,从而AB=. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=-,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=·-.因为+=3,所以AB2=-=,即2-45+100=0.解得=(=20舍去),则=,因此P的坐标为.则直线l的方程为y=-x+3.解法二:(1)由题意知c=,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点在椭圆上,所以2a=--+-=4,所以a=2.因为a2=b2+c2,所以b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0, 设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,将直线l的方程代入椭圆C的方程,得+(kx+m)2=1,整理得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 因为直线l 与椭圆C 相切,所以Δ=(8km)2-4(4k 2+1)(4m 2-4)=0, 整理得m 2=4k 2+1,所以3k 2+3=4k 2+1,因为k<0,所以k=- ,则m=3, 将k=- ,m=3代入(k 2+1)x 2+2kmx+m 2-3=0, 整理得x 2-2 x+2=0,解得x 1=x 2= ,将x= 代入x 2+y 2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以点P 的坐标为( ,1). ②设A(x 1,kx 1+m),B(x 2,kx 2+m), 由①知m 2=3k 2+3,且k<0,m>0,因为直线l 和椭圆C 相交,所以结合②的过程知m 2<4k 2+1,解得k<- , 将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立可得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0,解得x 1,2=- -,所以|x 1-x 2|= -,因为AB= -- =|x 1-x 2|=-· ,O 到l 的距离d== ,所以S △OAB = · -· ·= · -· · =, 解得k 2=5,因为k<0,所以k=- ,则m=3 , 即直线l 的方程为y=- x+3 .解后反思 (1)常用待定系数法求圆锥曲线方程.(2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可设出直线方程求解.②因为△AOB的面积为,而△AOB的高为,所以解题关键是求AB的长,可利用弦长公式AB=--=·-=·|x1-x2|(x1、x2分别为A、B的横坐标)求解.5.(2014江苏,18,16分,0.35)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?解析解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-.因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=.设点B的坐标为(a,b),则k BC=--=-,k AB=--=.解得a=80,b=120.所以BC=--=150(m).因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60).由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=-=-. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以---即-----解得10≤d≤35.故当d=10时,r=-最大,即圆面积最大.所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F.因为tan∠FCO=,所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.因为OA=60 m,OC=170 m,所以OF=OCtan∠FCO=m,CF=∠=m,从而AF=OF-OA=m. 因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=m,从而BC=CF-BF=150 m.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60). 因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO==-=-=,所以r=-.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以---即-----解得10≤d≤35.故当d=10时,r=-最大,即圆面积最大.所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.解后反思本题的数学背景是直线与圆,在解题时可以用直线与圆的位置关系求解,还可以用解三角形的方法加以解决.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2018课标全国Ⅲ理改编,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是.答案[2,6]2.(2016课标全国Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .答案 43.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .答案4±4.(2016课标全国Ⅲ文,15,5分)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|= .答案 45.(2015重庆改编,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|= .答案 66.(2015课标Ⅰ,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以-<1.解得-<k<.所以k的取值范围为-.(5分)(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.(7分)·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.(12分)7.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.因为+=+===3x0,所以-+=.由(*)解得t2<,又t2≥0,所以<x0≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为-+y2=.(3)由(2)知,曲线C是在区间上的一段圆弧.如图,D,E-,F(3,0),直线L过定点G(4,0).联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.令判别式Δ=0,解得:k=±,由求根公式解得交点的横坐标x H,I=∈.由图可知要使直线L与曲线C只有一个交点,则k∈[k DG,k EG]∪{k GH,k GI},即k∈-∪-.C组教师专用题组1.(2013重庆理改编,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P 为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为.答案5-42.(2010江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.答案(-13,13)3.(2012江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.答案4.(2013江苏,17,14分,0.495)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解析(1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3.由题意得=1,解得k=0或-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以-=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则2-1≤|CD|≤2+1,即1≤-≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共40分)1.(2018江苏镇江期末)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为.答案(x+3)2+(y+3)2=182.(2018江苏宿迁期末)圆x2+y2+2y-3=0被直线x+y-k=0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1∶3,则k= .答案1或-33.(2018江苏南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=k(x-3)上存在一点P,圆x2+(y-1)2=1上存在一点Q,满足=3,则实数k的最小值为.答案-4.(2019届江苏宜兴中学期中)圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为.答案x2+y2-x+7y-32=05.(2019届江苏马塘中学周考)过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A、B两点,C为圆心,当∠ACB 最小时,直线l的方程是.答案x+y-3=06.(2019届江苏栟茶中学期初)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.答案0或67.(2019届江苏常州中学周考)圆x2+y2+2ax+a2-4=0和圆x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R 且ab≠0,则+的最小值为.答案 18.(2018江苏苏州暑假测试)已知点A(1,0)和点B(0,1),若圆x2+y2-4x-2y+t=0上恰有两个不同的点P,使得△PAB的面积为,则实数t的取值范围是.答案二、解答题(共25分)9.(2019届江苏启东期初)已知圆O:x2+y2=4交x轴于A,B两点,点P是直线x=4上一点,直线PA,PB分别交圆O于点N,M.探究直线MN是否过定点,若过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.解析设P(4,t),因为点A(-2,0),所以直线AN的方程为y=(x+2).由y=(x+2)及x2+y2=4得N-,因为点B(2,0),所以直线BM的方程为y=(x-2),由y=(x-2)及x2+y2=4,得M--. 直线MN过定点C(1,0),理由如下:因为k NC=--=-,k MC=---=--,所以k NC=k MC,所以M,N,C三点共线,所以直线MN恒过定点C(1,0).10.(2018江苏高邮期中)在平面直角坐标系xOy中,已知动圆S过定点P(-2,0),且与定圆Q:(x-2)2+y2=36相切,记动圆圆心S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设曲线C与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,点M,N为椭圆C上相异的两点,其中点M在第一象限,且直线AM与直线BN的斜率互为相反数,试判断直线MN的斜率是不是定值.如果是定值,求出这个值;如果不是定值,说明理由;(3)在(2)的条件下,求四边形AMBN面积的取值范围.解析(1)设圆S的半径为R.∵点P(-2,0)在圆Q:(x-2)2+y2=36内,且动圆S与圆Q相切,∴|PS|=R,|QS|=6-R,∴|PS|+|QS|=6>4=|PQ|,∴圆心S的轨迹为以P,Q为焦点,长轴长为6的椭圆,∴2a=6,2c=4,∴a=3,c=2,∴b2=1,∴曲线C的方程为+y2=1.(2)由(1)可知A(3,0),B(0,1).设直线AM的斜率为k,则直线AM的方程为y=k(x-3),直线BN的方程为y=-kx+1.由-得M--,由-得N-,所以MN的斜率k MN=-----=----=.(3)设直线MN的方程为y=x+m,-1<m<1,由得2x2+6mx+9m2-9=0,则x M+x N=-3m,x M·x N=-,所以MN=·---=·-.又A到直线MN的距离d1==,B到直线MN的距离d2==,所以四边形AMBN的面积S=S△AMN+S△BMN=|MN|·d1+|MN|·d2=|MN|(d1+d2)=3-. 又-1<m<1,所以四边形AMBN面积的取值范围是(3,3].。
2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)24 直线与圆,圆与圆的位置关系(解析版)
考点24 直线与圆及圆与圆的位置关系一、考纲要求1. 掌握直线方程的五种形式的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.2. 理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用；会求两条平行直线间的距离3. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化.4. 体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一，初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用.5·能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)；6. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题二、近五年江苏高考1、直线与圆是C 级考点，每年都考查一道填空题或解答题，主要以直线与圆、圆与圆的位置关系为载体，考查学生的探究与计算能力. 考查中，大多以动圆、动直线作为模型，考查定点、定值、范围等问题，解决此类问题，要充分利用数形结合、等价转化、函数与方程的思想来解题，体现了能力和知识的综合。
2、根据江苏省高考考试要求，圆的方程的考查要求为C 级，所以在高考题中属于必考问题，主要是考查根据所给条件来求圆的方程 . 这类问题在高考中，既可以以小题的形式进行考查，又可以在解答题中进行考查，大多以中档题为主 三、考点总结：由于直线方程的考查要求为 C 级，故在近五年的高考题中都有涉及，主要是解析几何综合问题中的直线方程的求解、直线与圆的位置关系的研究，在今后的高考中，这些依然是考查的重点 .1. 直线方程的基本量:斜率和截距，在解决与它们有关系的问题时，要注意对斜率不存在的特殊情况的讨论 . 当直线不垂直于 y 轴但可垂直 x 轴时，我们又可以将直线方程设为 x =my+ a 的形式，这样可以避免对斜率 k 进行讨论 .2. 直线的五种方程各有其特点，在选用时要根据所给条件灵活使用，一般情况下，我们会选用直线的斜截式、点斜式方程 .3. 判定直线与直线的位置关系时，要注意所用判断条件是否是充要条件，否则容易出现漏解的情况 .4. 对于光线反射问题，我们可以根据光的反射定理，将它转化为对称问题来加以解决5·由于直线方程和圆的方程的考查要求都是 C 级，所以近五年中有关这两者的综合问题是解析几何的重点 . 在填空题中多在知识网络交汇处命题，考查对动态图形分析的能力，在解答题中则是以多个几何图形交汇、以位置关系为切入点考查直线方程和圆的方程求解，这类问题中还涉及方程思想的运用，难度较大 . 四、近五年江苏高考题1、（2019年江苏卷）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【解析】1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.2、（2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A 为直线上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D 的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.3、（2017年江苏卷） 在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案. [－52，1]解析：满足P A →·PB →≤20，点P (x ，y )的轨迹方程是x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.又因为x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0.点P (x ，y )满足的所有约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5≤0.与线性规划类似，点P 对应的图形是：以E (－5，－5)，F (1，7)为端点的左侧圆弧EF ，圆弧EF 在x 轴上的射影为线段，点P 横坐标的范围是[－52，1]．易错警示 圆弧在x 轴上的射影与对应弦的射影和范围可能不一致．4、（2016年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3) 设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．思路分析 第1问，利用圆心N 在直线x ＝6上，设出圆心的坐标，进而设出圆N 的方程，根据圆与x 轴相切，以及与圆M 外切，从而求出圆心的坐标以及它的半径，进而得到圆N 的标准方程．第2问，由BC ∥OA 设出BC 的方程，再根据BC ＝OA ，求出BC 方程中的参数，进而求得BC 的方程； 第3问，由TA →＋TP →＝TQ →，得TA →＝TQ →－TP →＝PQ →，为此，在圆M 上存在两点满足条件，由于0<||PQ ，→≤10，因此，只需0<||AT ，→≤10，当点T 确定后，只需作直线PQ 平行于AT ，且使圆心到PQ 的距离等于25－||TA →24即可．规范解答 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5.(1) 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2) 因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3) 解法1 TA →＋TP →＝TQ →，即TA →＝TQ →－TP →＝PQ →，即||TA ，→＝||PQ ，→，因为|TA →|＝(t －2)2＋42，又0<|PQ →|≤10，所以0<(t －2)2＋42≤10，解得t ∈[2－221，2＋221]，对于任意t ∈[2－221，2＋221]，欲使TA →＝PQ →，此时0<|TA →|≤10，只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为25－|TA ，→|24，必然与圆交于P ，Q 两点，此时|TA →|＝|PQ →|，即TA →＝PQ →，因此对于任意t ∈[2－221，2＋221]，均满足题意， 综上，t ∈[2－221，2＋221]． 解法2 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[(t ＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]．解后反思 本题考查了直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系．对于研究直线与圆的位置关系问题一般应用几何法来进行求解，即利用圆心到直线的距离来进行求解．对于圆与圆的位置关系问题则采用圆心距与半径的关系来进行求解．5、（2015年江苏卷） 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案： (x －1)2＋y 2＝2解法1 由题意得r ＝|m －2m －1|m 2＋1＝|m ＋1|m 2＋1＝m 2＋2m ＋1m 2＋1＝1＋2m m 2＋1≤ 1＋2m 2|m |≤2，当且仅当m ＝1时等号成立，故此时的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.解法2 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线恒过点(2，－1)，当切线与过两点(1，0)，(2，－1)的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，故所求的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.解后反思 解法1从点到直线的距离即为圆的半径出发，将问题转化为求函数的最值来加以解决；解法2则是从几何图形的特征出发，得到取得最值时的位置来解题，显然解法2较为简单，但它对学生的思维层次的要求也更高一点．五、三年模拟 题型一 直线的方程1、(2019扬州期末）若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________． 【答案】52【解析】因为两直线平行，所以m 1＝－4－2≠34，解得m ＝2.解法1(转化为点到直线的距离) 在直线l 1：x －2y ＋4＝0上取一点P(0，2)，P 到直线l 2：2x －4y ＋3＝0的距离为d ＝|0－8＋3|22＋42＝52.解法2(平行线距离公式) 由l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x －2y ＋32＝0，根据平行线间的距离公式得d ＝|4－32|12＋22＝52. 2、(2018镇江期末） 已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空)．【答案】 充分必要【解析】直线 ax ＋y －1＝0 与直线 x ＋ay ＋1＝0的斜率都存在且相等时，a ＝±1，当 a ＝1时，两直线平行，当a ＝－1时，两直线重合，所以“a ＝1”是“直线 ax ＋y －1＝0 与直线 x ＋ ay ＋1＝0 平行”的充分必要条件．3.(2018镇江期末）已知点P(1，0)，直线l ：y ＝x ＋t 与函数y ＝x 2的图像交于A ，B 两点，当PA →·PB →最小时，直线l 的方程为________．【答案】2x －2y ＋1＝0思路分析 将PA →·PB →用A ，B 坐标表示，而A ，B 坐标又是直线与抛物线方程联立得到方程组的解，可借助一元二次方程根与系数的关系将PA →·PB →表示为t 的函数，求PA →·PB →最小值，但要注意t 的取值范围，进而求出直线l 的方程．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线方程与抛物线方程联立消去y 得，x 2－x －t ＝0，其中t>－14，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－t ，所以PA →·PB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋(x 1x 2)2＝⎝⎛⎭⎫t －122－14≥－14，当且仅当t ＝12时取等号，此时直线l 的方程为2x －2y ＋1＝0. 4、(2017南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．【答案】32思路分析 因为直线l 1，l 2分别经过定点A (0，2)，B (2，0)，且l 1⊥l 2，所以点P 在以AB 为直径的圆C 上．解法1 当k ＝0时，点P (2，2)到直线x －y －4＝0的距离为22；当k ≠0时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2＝0，x ＋ky －2＝0得两直线交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 1＋k 2，2＋2k 1＋k 2，所以点P 到直线x －y －4＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k 1＋k 2－2＋2k 1＋k 2－42＝4⎪⎪⎪⎪k1＋k 2＋12，为求得最大值，考虑正数k ，则有k 1＋k 2＝11k＋k ≤12，所以4⎪⎪⎪⎪k 1＋k 2＋12≤4×322＝3 2.解法2 圆C 的圆心为C (1，1)，半径r ＝ 2.因为圆心C 到直线l ：x －y －4＝0的距离为d ＝|1－1－4|2＝22，所以点P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝3 2.解后反思 直接求出l 1，l 2的交点P 的坐标(用k 表示)虽然也能做，但计算量较大．找出点P 变化的规律性比较好．题型二 圆的方程1、(2019苏州期末） 在平面直角坐标系xOy 中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________．【答案】 (x －5)2＋(y －2)2＝17思路分析 由圆心既的线段AB 的垂直平分线上，又在直线x －2y －1＝0上，先求出圆心的坐标． 线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫52，92，斜率k AB ＝1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －92＝－⎝⎛⎭⎫x －52，即x ＋y ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，x －2y ＝1，得圆心C(5，2)，半径r ＝CA ＝17，圆C 的方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17. 所以圆的方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17.2、(2019南京、盐城一模）设A ＝{(x ，y)|3x ＋4y≥7}，点P ∈A ，过点P 引圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r>0)的两条切线PA ，PB ，若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为________．【答案】 1解法 1 设圆心为 C.因为∠APB ＝2∠APC ，所以∠APC 的最大值为π6，所以PC 的最小值为2r ，则||3×（－1）＋4×0－732＋42＝2＝2r ，即r ＝1.解法2 如图，求出满足使∠APB 最大值的点P 轨迹，连接P 点和圆心，由解法1可知点P 到圆心的距离为2r.点P 满足轨迹(x ＋1)2＋y 2＝4r 2，因为存在唯一最大值．所以该圆和直线3x ＋4y －7＝0 相切，此时满足圆心到直线的距离d ＝2r ，又因为d ＝2，解得r ＝1.3、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －8)2＝1，圆C 2：(x －6)2＋(y ＋6)2＝9，若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周，则圆C 的方程是________．【答案】x 2＋y 2＝81思路分析 圆C 平分圆C 1等价于：两圆的公共弦是圆C 1的直径．解析：设圆C 的圆心为C (a ，0)，半径为r ，则r2＝CC 21＋1且r2＝CC 22＋9，即⎩⎪⎨⎪⎧(a －4)2＋(－8)2＋1＝r 2，(a －6)2＋62＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，r 2＝81.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝81.4、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x≤3，x －3y ＋3≥0x ＋3y ＋3≥0，表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为________．【答案】 (x －1)2＋y 2＝4【解析】 首先由线性约束条件作出可行域，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆(如图)，由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C(3－r ，0)，且它与直线x －3y ＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.易错警示 审好题，这里要求的是标准方程，而非一般方程，答案是唯一的．5、(2017苏州暑假测试）圆心在抛物线y ＝12x 2上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为________．【答案】(x ±1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 思路分析 求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与y 轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径．因为圆心在抛物线y ＝12x 2上，所以设圆心为(a ，b )，则a 2＝2b .又圆与抛物线的准线及y 轴都相切，故b＋12＝|a |＝r ，由此解得a ＝±1，b ＝12，r ＝1，所以所求圆的方程为(x ±1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 解后反思 凡涉及抛物线上点到焦点的距离或到准线的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离或到焦点的距离来进行处理，本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求圆心的坐标．6、(2018苏州期末） 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2，－1)的圆C 与直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________________．【答案】 (x －1)2＋(y ＋2)2＝2解法1(几何法) 点A(2，－1)在直线x ＋y ＝1上，故点A 是切点．过点A(2，－1)与直线x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，y ＝－2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以圆心C(1，－2)． 又AC ＝（2－1）2＋（－1＋2）2＝2， 所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.解法2(方程法) 由圆心在直线y ＝－2x 上，可设圆心为(a ，－2a)，圆的标准方程为(x －a)2＋(y ＋2a)2＝r 2(r>0)．要确定两个待定量a ，r 2的值，只需建立两个含a ，r 2的等式，建立方程组求解．由圆C 过点A(2，－1)，且与直线x ＋y ＝1相切，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－1＋2a ）2＝r 2，|a －2a －1|2＝r ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a 2－8a ＋5＝r 2，a 2＋2a ＋1＝2r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，r 2＝2.所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.题型三 直线与圆的位置关系1、(2019苏锡常镇调研）过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为 ． 【答案】.21【解析】因为1222-=-=OP r OP PA ，所以当OP 最小时，切线长PA 最小.OP 的最小值即点O 到直线l 的距离2)1(120022=-+--=d ，所以1min =PA ，此时PAB ∆为等腰直角三角形，所以PAB ∆的面积.2121=⨯⨯=PB PA S2、(2019泰州期末） 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k ＝________．【答案】2【解析】如下图，因为PQ 为切线，所以，PQ ⊥C 2Q ，由勾股定理得：PQ ＝PC 22－1，要使PQ 最小，则需PC 2最小，显然当点P 为C 1C 2与圆C 1的一个交点时，PC 2最小，此时，PC 2＝C 1C 2－1，所以当C 1C 2最小时，PC 2就最小，C 1C 2＝k 2＋（－k ＋4）2＝2（k －2）2＋8≥2 2.当k ＝2时，C 1C 2最小，得到PQ 最小．3、(2017苏州期末） 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1，1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________.【答案】 12思路分析 可用过圆上一点的切线方程求解；也可用垂直条件，设切线方程(x －1)－a (y －1)＝0，再令圆心到切线的距离等于半径．因为点M 在圆上，所以切线方程为(1＋1)(x ＋1)＋(1－2)(y －2)＝5，即2x －y －1＝0.由两直线的法向量(2，－1)与(a ，1)垂直，得2a －1＝0，即a ＝12.思想根源 以圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点T (x 0，y 0)为切点的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.4.(2017镇江期末）圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的标准方程为________．【答案】(x －1)2＋(y ＋4)2＝8解法1 设圆心为(a ，－4a )，则有r ＝|a －4a －1|2＝(a －3)2＋(－4a ＋2)2，解得a ＝1，r ＝22，则圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.解法2 过点P (3，－2)且垂直于直线x ＋y －1＝0的直线方程为x －y －5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，y ＝－4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，则圆心坐标为(1，－4)，半径为r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.5.(2017扬州期末） 已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长度为________.【答案】23【解析】圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，由垂径定理得AB ＝2R 2－d 2＝24－1＝23，故弦AB 的长度为2 3.6.(2017南京学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．【答案】 －1【解析】因为△ABC 为直角三角形，所以BC ＝AC ＝r ＝4，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，从而有|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 7、(2018苏州暑假测试）已知点A(1，0)和点B(0，1)，若圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0上恰有两个不同的点P ，使得△PAB 的面积为12，则实数t 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫12，92思路分析 题设“圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0上恰有两个不同的点P ，使得△PAB 的面积为12”等价于“圆上有且只有两个点到直线AB 的距离为22”，进而思考圆心到直线AB 的距离在什么范围内符合题意． 圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝5－t ，设点P 到直线AB 的距离为h ，则S △PAB＝12×2×h ＝12，解得h ＝22，而圆心到直线AB 的距离为2，欲使得圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0上恰有两个不同的点P ，使得△PAB 的面积为12，则需要圆上有且只有两个点到直线AB 的距离为22，故圆的半径5－t ∈⎝⎛⎭⎫2－22，2＋22，解得t ∈⎝⎛⎭⎫12，92. 解后反思 一般地，圆的问题需要把题设转化为圆心和半径的问题进行处理．7、(2018苏北四市期末） 在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2(r>0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1上，则r 的取值范围是________．【答案】[2－1，2＋1]【解析】设圆C 1上存在点P(x 0，y 0)满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q(y 0，x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋（y 0－1）2＝r 2，（y 0－2）2＋（x 0－1）2＝1，故只需圆x 2＋(y －1)2＝r 2与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1有交点即可，所以|r －1|≤（1－0）2＋（2－1）2≤r ＋1，解得2－1≤r≤2＋1.解后反思 本题通过转化与化归的数学思想，考查圆和圆的位置关系，这类试题往往比较隐蔽，需要考生具有扎实的数学基础．题型三 直线与圆的综合1、(2019苏北三市期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以C 2(－2，3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 21－x 22＝y 22－y 21，则实数m 的值为________． 【答案】 －6思路分析 本题是圆的综合题，对于题目条件x 21－x 22＝y 21－y 21.可以变形为x 21＋y 21＝x 22＋y 22，从而可从几何和代数两个角度求解．解法1 由题可得C 1(－m ，2m ＋3)，C 2(－2，3)．由x 21－x 22＝y 22－y 21，得x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即OA ＝OB ，故△OAB 为等腰三角形，所以线段AB 的中垂线经过原点O.又相交两圆的连心线垂直平分公共弦，所以，两圆圆心的连线就是线段AB 的中垂线，即直线C 1C 2过原点O ，所以C 1，C 2，O 三点共线，所以－3m ＝－2(2m ＋3)，解得m ＝－6.解法2(代数法) 将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)带入圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0中得：x 21＋y 22＋2mx 1－(4m ＋6)y 1－4＝0，x 22＋y 22＋2mx －(4m ＋6)y 2－4＝0，由x 21－x 22＝y 22－y 21，得x 21＋y 21＝x 22＋y 22，从而2mx 1－(4m ＋6)y 1＝2mx 2－(4m ＋6)y 2，所以2m(x 1－x 2)＝(4m ＋6)(y 1－y 2) ①设圆C 2为半径为r(r>0)，则圆C 2：(x ＋2)2＋(y －3)2＝r 2(r>0)，即x 2＋y 2＋4x －6y ＋13－r 2＝0，再将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)代入圆C 2方程中得，x 21＋y 21＋4x 1－6y 1＋13－r 2＝0，x 22＋y 22＋4x 2－6y 2＋13－r 2＝0，由x 21＋y 21＝x 22＋y 22，从而4x 1－6y 1＝4x 2－6y 2，所以2(x 1－x 2)＝3(y 1－y 2) ②由①②得2m 2＝4m ＋63，从而m ＝－6.2、(2019南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m)2＝4上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．【答案】±21或±3思路分析 根据直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5可得到点P 所满足的条件，从而得到它的轨迹方程，再根据点P 在圆M 上来求出实数m 的值．设点P(x 0，y 0)，则直线PA 方程为：y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)，它在y 轴上的截距为y 0x 0＋1，同理得PB 在y 轴上的截距为－5y 0x 0－5，由截距之积为5，得－5y 0x 0－5·y 0x 0＋1＝5，化简得(x 0－2)2＋y 20＝9，由题意P 的轨迹应与圆M 恰有一个适合题意的点．①若A ，B 不在圆M 上，则圆心距等于半径之和或差，22＋m 2＝5，解得m ＝±21；或22＋m 2＝1，m 无解，此时m ＝±21，A ，B 不在圆M 上；②若A 或B 在圆M 上，把点A 代入圆M 可得点A 不在圆M 上，把点B 代入圆M ，解得m ＝±3，经检验也成立．3、(2018南京、盐城一模） 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k(x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP →＝3OQ →，则实数k 的最小值为________．【答案】 －3思路分析 由于点Q 在圆上运动，导致点P 也随之移动，所以可以根据OP →＝3OQ →，得出点P 的轨迹方程，从而转化为直线与曲线的位置关系问题．设点P(x ，y)，由OP →＝3OQ →可得Q ⎝⎛⎭⎫x 3，y 3.又点Q 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，可得⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭⎫y 3－12＝1，即x 2＋(y －3)2＝9，所以点P 既在圆x 2＋(y －3)2＝9上，又在直线y ＝k(x －33)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d ＝||－3－33k 1＋k 2≤3，解得－3≤k≤0.解后反思 本题所用求轨迹方法为相关点法求轨迹．常见求轨迹的方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法．本题也可以利用点P 运动，求出点Q 的轨迹方程，再转化为曲线与曲线的位置关系问题．4.(2018南通、泰州一调） 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．【答案】 32思路分析 P 在直线AB ：y ＝x ＋4上，设P(a ，a ＋4)，可以求出切点弦CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，易知CD 过定点，所以M 的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值．解法1(几何法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P(a ，a ＋4)，设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，所以PC 方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD ：x 2x ＋y 2y ＝4，将P(a ，a ＋4)分别代入PC ，PD 方程，⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋（a ＋4）y 1＝4，ax 2＋（a ＋4）y 2＝4，则直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a(x ＋y)＝4－4y ，所以直线CD 过定点N(－1，1)，又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)，又因为以ON 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12， 所以AM 的最大值为⎝⎛⎭⎫－4＋122＋⎝⎛⎭⎫122＋22＝3 2.解法2(参数法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P(a ，a ＋4)，同解法1可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a(x ＋y)＝4－4y ，得a ＝4－4yx ＋y.又因为O ，P ，M 三点共线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a ＝4x y －x .因为a ＝4－4y x ＋y ＝4x y －x，所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12(除去原点)，所以AM 的最大值为⎝⎛⎭⎫－4＋122＋⎝⎛⎭⎫122＋22＝3 2.解后反思 此类问题往往是求出一点的轨迹方程，转化为定点到曲线上动点的距离的最值问题，而求轨迹方程，解法1运用了几何法，解法2运用了参数法，消去参数a 得到轨迹方程．另外要熟练记住过圆上一点的切线方程和圆的切点弦方程的有关结论．5、(2018无锡期末）过圆x 2＋y 2＝16内一点P(－2，3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________．【答案】 19【解析】设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 21＝r 2－⎝⎛⎭⎫AB 22，d 22＝r 2－⎝⎛⎭⎫CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以⎝⎛⎭⎫AB 22＝r 2－d 21＝16－132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB×CD ＝12×38×38＝19.解后反思 解决直线与圆的综合问题时，需要充分利用圆的几何性质进行转化．本题结合条件，利用垂径定理，通过整体计算，实现了简化的目的．6、(2017苏北四市期末）已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|P A →＋PB →|的取值范围为________．【答案】 [7，13]【解析】因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|P A →＋PB →|＝2|PH →|.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH →|≤5＋32，即72≤|PH →|≤132，所以7≤2|PH →|≤13，从而|P A →＋PB →|的取值范围是[7，13]．解后反思 本题难点在于动点多，“化动为静”和“化多为少”是解决此类问题常用的方法．一方面，A ，B 虽是动点，但是AB ＝3是定值，从而线段AB 的中点H 在定圆O 上，实现了化多为少的目的；另一方面，所求解的问题通过转化就成了研究圆O 和圆C 2上的两动点的问题．。
2020年高考真题分类汇编专题10直线和圆pdf
10 直线和圆1.（2020•北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A . 4 B . 5C . 6D . 7【答案】A【解析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.2.（2020•全国1卷）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A. 210x y --= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 210x y ++=【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l 的距离为2221125221d ⨯++==>+，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而24PA MP =-，当直线MP l ⊥时，min 5MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D .【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．3.（2020•全国2卷）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） A.55B.255C.355D.455【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==；所以，圆心到直线230x y --=的距离为255. 故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)2P ，，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________． 【答案】105【解析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形P AB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则231||=236,||144AB d PC -=+= 所以2221236(1)(36)(1)2PABSd d d d ≤⋅-+=-+ 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为105， 故答案为：105【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 5.（2020•天津卷）已知直线380x y -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式22||2AB r d =-，即可求得r ． 【详解】因为圆心()0,0到直线380x y -+=的距离8413d ==+， 由22||2AB r d =-可得22624r =-，解得=5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 6.（2020•浙江卷）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |＝2，且P 为函数y ＝234x -图像上的点，则|OP |＝（ ） A .222B .4105C .7D .10【答案】D【解析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数234y x =-的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-的图象上，所以，由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+=．故选：D . 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7.（2020•浙江卷）设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b ＝______． 【答案】 (1).33 (2). 233-【解析】由直线与圆12,C C 相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，即22||11b k =+，22|4|11k b k +=+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得323,33k b ==-.故答案为：323;33-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.。
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练及解析
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练例2如图，设一直线过点(—1,1),它被两平行直线11: x+2y —1=0, 12： x+ 2y —3=0所截的线段的中点在直线13： x — y —1=0上，求其方程.【题型归纳】 题型一直线方程、两直线的位置关系 例1已知两直线11 ： mx 8y n 0和12：2x my 1 0 .试确定m 、n 的值，使:⑴11与12相交于点P m, 1 ; (2) l i "2 ； (3)11,12,且11在y 轴上的截距为一1.【答案】(1) m 1, n 7. (3) (2) m 4 , n 2 时或 mm 0, n 8 4, n 2时，11 // 12.m 8 n 0 (1)由题息得 ，解得m 1, n 7. 2m n 1 0(2)当m 0时，显然11不平彳T 于12；n /曰 m m 8 2 0 1 8 ( 1) nm 04, n 2时，11 // 12. (3)当且仅当2m 8m 0,即m 0时，11，12.又 即m 0, n 8时，1J12，且11在y 轴上的截距为一1. 【易错点】忽略对m 0的情况的讨论 【思维点拨】 遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或 k 0时，并且对于直线平行和垂直时与人人2和巳82间的关系要熟练记忆。
x+2y-3=O【答案】2x 7y 5 0.【解析】与11、12平行且距离相等的直线方程为设所求直线方程为x 2y 2 xx 2y 2 0. y 10 ,即 1 0 .又直线过A 1,1 ，.一 1 1 2 1 2 0.解11.，所求直线方程为2x 7y 5 0. 3x+2y-1=0【易错点】求错与11、l 2平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到11、12平行且距离相等的直线方程, 交点，从而求解本题.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程x 2y 24x 1 0.（1）求Y 的最大值和最小值； x （2）求y x 的最大值和最小值.【答案】（1）Y 的最大值为 书,最小值为 J 3 . x（2） y x 的最大值为 2 66 ,最小值为 2 J 6.【解析】（1）原方程化为x 2 2 y 23,表示以点2,0为圆心，以J3为半径的圆.设义k,即y kx , x当直线y kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时 2k 0J 3,解得kJ 3 .故上的最大值k 2 1x为，3,最小值为..3 .（2）设y x b,即y x b,当y x b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值，此时20. b石，即b 2 76 .故y x 的最大值为 2 76,最小值为 2 76.-2【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。
2020年高考数学(理)二轮复习命题考点串讲系列-专题14 直线与圆(含答案解析)
2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题14 直线与圆1、考情解读(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．2、重点知识梳理1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程(3)两直线的位置关系 位置关系 l 1：y ＝k 1x ＋b 1 l 2：y ＝k 2x ＋b 2 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行k 1＝k 2，且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0相交k 1≠k 2特别地，l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1A 1B 2≠A 2B 1特别地，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0重合k 1＝k 2且b 1＝b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0(4)距离公式①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.代数法：⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b2＝r 2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号 (4)圆与圆的位置关系【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．学科.网 3、高频考点突破 考点1 直线及其方程例1. 【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4【变式探究】已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1)B.⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12C.⎝⎛⎦⎥⎤1－22，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12解析 (1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎨⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋ba ＋1，又易知x D ＝－b a ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②考点2 两直线的位置关系例2、【2016高考上海理数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.25【解析】利用两平行线间距离公式得12222225d 5a b 21===++. 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a |＝0解析 若△OAB 为直角三角形，则A ＝90°或B ＝90°. 当A ＝90°时，有b ＝a 3；当B ＝90°时，有b －a 30－a ·a 3－0a －0＝－1，得b ＝a 3＋1a .故(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0，选C. 答案 C【变式探究】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析 易求定点A (0，0)，B (1，3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5.答案 5 考点3 圆的方程例3．(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为____________．【变式探究】【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43- （B ）34- （C（D ）2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．【变式探究】一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析 由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.故圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254考点4 直线与圆、圆与圆的位置关系例4．【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r≤则点P 的横坐标的取值范围是 .【答案】⎡⎤-⎣⎦【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A （1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r,求实数t 的取值范围。
文理通用江苏省2020高考数学二轮复习专题三解析几何第8讲直线与圆课件
[经典考题再回首]
1．(2019·浙江高考)已知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长
是 r.若直线 2x－y＋3＝0 与圆 C 相切于点 A(－2，－1)，则 m＝
________，r＝________.
解析：由题意得，圆心 C(0，m)到直线 2x－y＋3＝0 的距离
d ＝ |－m＋3| ＝ r， 又 r ＝ |AC|＝ 4＋m＋12， 所 以 |－m＋3| ＝
AB
的垂直平分线方程为
y
－
9 2
＝
－
x－52
，
即
x ＋ y ＝ 7. 由
x＋y＝7， x－2y＝1，
得圆心 C(5,2)，半径 r＝CA＝
17，所以圆 [答案] (1)3 或 5 (2)(x－5)2＋(y－2)2＝17
[解题方略] 1．求直线方程的两种方法
因为 AB 为圆 O 的直径，AB＝10， 所以圆 O 的方程为 x2＋y2＝25. 从而 A(4,3)，B(－4，－3)，直线 AB 的斜率为34. 因为 PB⊥AB，所以直线 PB 的斜率为－43， 直线 PB 的方程为 y＝－43x－235. 所以 P(－13,9)，PB＝ －13＋42＋9＋32＝15. 因此道路 PB 的长为 15(百米)．
小 题
常考 点
1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4 考) 2.双曲线的方程及几何性质(5年5考)
考
情 偶考 直线的方程、圆的方程、椭圆的几何
点 性质、抛物线的方程
主要考查直线与椭圆(如2015年、
2017年、2018年、2019年)的位置关
大题考情
系、弦长问题、面积问题等；有时也 考查直线与圆(如2016年)，2019年也
2020全国高考数学考点题型分类与解析11 直线与圆
2
22
y= 1x+1 22
2x + y + 2 = 0
x = −1 y =0
所以以 MP 为直径的圆的方程为( x −1)( x +1) + y ( y −1) = 0 ，即 x2 + y2 − y −1 = 0 ，
两圆的方程相减可得：2x + y +1 = 0 ，即为直线 AB 的方程． 故选：D.
22 +12
1/4
共 圆 ， 且 ， 所 以 ， 而 AB ⊥ MP
PM
⋅
AB
= 4S
PAM
= 4 × 1 × PA × 2
AM
= 4 PA
， PA = MP 2 − 4
当直线 MP ⊥ l 时， MP = min
5 ， PA =1，此时 PM ⋅ AB 最小． min
∴ 即 ，由 解得， ． MP : y −1 = 1 ( x −1) y = 1 x + 1
的距离均为
； d1
=
2×1−1− 3 5
=
25
圆心 到直线
的距离均为 d2
=
2×5−5−3 5
=
25 5
圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离均为 d = −2 = 2 5 ；所以，圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的 55
2/4
距离为 2 5 . 5
故选：B.
4（. 2020•江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P(
可得 r2 − d 2
6=2
r2 − 42 ，解得 r = 5 ．故答案为：5 ．
（ •浙江卷）设直线 ，圆 ， ， 6. 2020
【冲刺必刷】人教A版 高中数学2020届 高考复习专题--直线与圆的方程(含解析)
直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。
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直线与圆、圆与圆
一、学习目标
1. 掌握直线与圆、圆与圆的位置关系及判定；
2. 能解决与圆有关的综合问题．
二、基础自测
1. 已知直线l 过点(1,2)P 且与圆22:2C x y +=相交于,A B 两点，ABC ∆的面积为1，则直线l 的方程为 .10x -=或3450x y -+=
2. 过点1(,1)2
P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A ,B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为 .2450x y +-=
3. 已知直线:60l x -+=与圆2212x y +=交于A ,B 两点，过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则CD = .4
4. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA PB ⋅u u u r u u u r 的最小值
为 .3-+三、典例分析
题型一：与圆有关的求值问题
1. 方程10)x y -≥表示的曲线长度为 .
2. 已知圆22410x y x +--=与圆22240x y x y +--=相交于M N ，两点，则公共弦
MN 的长为 ．
3. 在平面直角坐标系xOy 60y +-=与圆22((1)2x y +-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．60o
4. 已知点P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-= 的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．2
题型二：与圆有关的求范围问题
1. 已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP
的中点，则实数k 的取值范围是__________．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
2. 已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +u u u r u u u r
的取值范围为 ．[7,13]
3. 从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形
PACB 的周长最小值为 ．224+
4. 设直线l ：340x y a ++=，圆C ：()2
222x y -+=，若在圆C 上存在两点P ， Q ，在直线l 上存在一点M ，使得PM PQ ⊥，则实数a 的取值范围是_________． 164a -≤≤
变式：1. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，
使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .
[]1,5
2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段
BC 的长的取值范围为 ．[6262]-+，
3. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为
圆C 上任意一点,则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为______. 442+
4. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：
222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：
22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ．[21,21]-+
题型三：与圆有关的综合问题
1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ．
（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；
（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．
【解】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．。