指数函数与对数函数题型总结(无)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结单选题1、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12 C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3，答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．2、基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A ．1.2天B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天答案：B分析：根据题意可得I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，根据e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，解得t 1即可得结果. 因为R 0=3.28，T =6，R 0=1+rT ，所以r =3.28−16=0.38，所以I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天， 则e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，所以e 0.38t 1=2，所以0.38t 1=ln2， 所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 3、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.4、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a3·√a6=(−a)13⋅a16=−a13⋅a16=−a13+16=−a12=−√a.故选：A.6、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.7、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个， 故选：A8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、已知函数f (x )=log 3(x 2−1)，g (x )=x 2−2x +a ，∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的可能取值是（ ）A ．12B ．1C ．52D ．3 答案：CD分析：将问题转化为当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ，然后分别求出两函数的最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)等价于当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ．当x ∈[2,+∞)时，令t =x 2−1，则y =log 3t ，因为t =x 2−1在[2,+∞)上为增函数，y =log 3t 在定义域内为增函数，所以函数f (x )=log 3(x 2−1)在[2,+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (2)=1． g (x )=x 2−2x +a 的图象开口向上且对称轴为x =1， ∴当x ∈[13,3]时，g (x )min =g (1)=a −1，∴1≤a −1，解得a ≥2． 故选：CD ．10、已知x 1+log 3x1=0，x 2+log 2x2=0，则（ ）A．0<x2<x1<1B．0<x1<x2<1C．x2lgx1−x1lgx2<0D．x2lgx1−x1lgx2>0答案：BC分析：根据对数函数的性质可判断AB正误，由不等式的基本性质可判断CD正误.由x1=−log3x1>0可得0<x1<1，同理可得0<x2<1，因为x∈(0,1)时，恒有log2x<log3x所以x1−x2=log2x2−log3x1<0，即x1<x2，故A错误B正确；因为0<x1<x2<1，所以lgx1<lgx2<0，即0<−lgx2<−lgx1，由不等式性质可得−x1lgx2<−x2lgx1，即x2lgx1−x1lgx2<0，故C正确D错误.故选：BC小提示：关键点点睛：利用对数函数的真数大于零及对数函数的图象与性质可得0<x1<x2<1是解题的关键，根据不等式的基本性质可判断CD，属于中档题.11、已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，则（）A．函数f(x)+g(x)的定义域为(−1,1)B．函数f(x)+g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)−g(x)在区间(0,1)上是减函数答案：AB解析：求出函数f(x)+g(x)和f(x)−g(x)的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．解：∵f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，∴f(x)+g(x)=log a(x+1)+log a(1−x)，由x+1>0且1−x>0得−1<x<1，故A对；由f(−x)+g(−x)=log a(−x+1)+log a(1+x)=f(x)+g(x)得函数f(x)+g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵−1<x<1，∴f(x)+g(x)=log a(1−x2)，∵y=1−x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)+g(0)=log a(1−0)=0；当a>1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值；故 C错；∵f(x)−g(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，当0<a<1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递减，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递增，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递增；故D错；故选：AB．小提示：本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．填空题12、若f(x)=1+a3x+1(x∈R)是奇函数，则实数a=___________.答案：−2分析：利用f(0)=0可求得a，验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)=1+a2=0，解得：a=−2；当a=−2时，f(x)=1−23x+1=3x−13x+1，∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=−2.所以答案是：−2.13、心理学家有时用函数L(t)=A(1−e−kt)测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ln0.9≈−0.105，ln0.1≈−2.303）______．答案：0.021分析：该生在5min内能够记忆20个单词，将A=200，L(5)=20带入即可得出结论. 由题意可知200(1−e−5k)=20，所以，e−5k=0.9，所以ln e−5k=ln0.9≈−0.105，解得k≈0.021．所以答案是：0.021.14、已知函数f(x)={e x−1,x≥0，ax2+x+a,x<0恰有2个零点，则a=__________．答案：12##0.5分析：先求得f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，则方程ax2+x+a=0有1个负根，a=0时不成立，a≠0时，由一元二次方程的性质分Δ=0和Δ>0讨论求解即可.当x≥0时，令f(x)=e x−1=0，解得x=0，故f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，即方程ax2+x+a=0有1个负根.当a=0时，解得x=0，显然不满足题意；当a≠0时，因为方程ax2+x+a=0有1个负根，所以Δ=1−4a2≥0.当Δ=1−4a2=0，即a=±12时，其中当a=12时，12x2+x+12=0，解得x=−1，符合题意；当a=−12时，−12x2+x−12=0，解得x=1，不符合题意；当Δ=1−4a2>0时，设方程ax2+x+a=0有2个根x1，x2，因为x1x2=1>0，所以x1，x2同号，即方程ax2+x+a=0有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，a=12．所以答案是：0.5.解答题15、已知函数f(x)=log2(2x+1).（1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log2(2x−1)(x>0)，若关于x的方程g(x)=m+f(x)在[1,2]有解，求m的取值范围.答案：（1）{x|x>0}；（2）[log213,log235].分析：（1）由f(x)>1可得2x+1>2，从而可求出不等式的解集，（2）由g(x)=m+f(x)，得m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，再由x∈[1,2]可得log2(1−22x+1)的范围，从而可求出m的取值范围（1）原不等式可化为2x+1>2，即2x>1,∴x>0，所以原不等式的解集为{x|x>0}（2）由g(x)=m+f(x)，∴m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，当1≤x≤2时，25≤22x+1≤23，13≤1−22x+1≤35，m∈[log213，log235]。
高中数学,指数式与对数式的运算考点题型总结
第八节指数式、对数式的运算❖基础知识1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na)n＝a(a使na有意义)．②当n是奇数时，na n＝a；当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．①a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②a -mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②a ra s＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．2．对数的概念及运算性质一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.指数、对数之间的关系(1)对数的性质①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)．❖ 常用结论1．换底公式的变形(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a(a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝nm log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)；(3)log N M ＝log a M log a N ＝log b Mlog b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．2．换底公式的推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式alog a N＝N (a >0且a ≠1，N >0)．考点一 指数幂的化简与求值[典例] 化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2 350＋2－2·⎝⎛⎭⎫2 14-12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12b －1÷(4a 23·b －3)12. [解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a -16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a -16b －3÷(a 13b -32)＝－54a -12·b -32＝－54·1ab 3＝ －5ab 4ab 2.[解题技法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． [题组训练]1．若实数a >0，则下列等式成立的是( )A ．(－2)－2＝4 B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．(a-14)4＝1a解析：选D 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，(a -14)4＝1a，故D 正确．2．化简4a 23·b-13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝－6a⎛⎫-- ⎪⎝⎭2133b--1233＝－6ab －1＝－6a b.3．计算：－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫－278-23＋(0.002)-12＝________.解析：原式＝－⎝⎛⎭⎫232＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－323-23＋⎝⎛⎭⎫1500-12＝－49＋49＋105＝10 5.答案：10 5考点二 对数式的化简与求值[典例] 计算下列各式：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 23·log 38＋(3)log 34.[解] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.(2)原式＝lg 3lg 2·3lg 2lg 3＋3log 4312＝3＋3log 32＝3＋2＝5.[题组训练]1．(log 29)·(log 34)＝( )A ．14B ．12C ．2D ．4解析：选D 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－203．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴1＝log 2(9＋a )， ∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－7 4．计算：log 5[421log 102－(33)23－77log 2]＝________.解析：原式＝log 5[22log 10－(332)23－2]＝log 5(10－3－2)＝log 55＝1.答案：1[课时跟踪检测]1．设1x＝log 23，则3x －3－x 的值为( )A.83 B.32C.52D.73解析：选B 由1x ＝log 23，得3x ＝2，∴3x －3－x ＝2－12＝32.2．化简⎝⎛⎭⎫2a 23b 12(－6a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56的结果为( )A ．－4aB ．4aC ．11aD ．4ab解析：选B 原式＝[2×(－6)÷(－3)]a+-211326b+-115236＝4ab 0＝4a .3．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 4．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a56＝a52-6＝a 76.5．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q (a >0，且a ≠1)，那么PQ的值为( )A.14 B ．4 C ．1D ．4或1解析：选B 由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，得log a (P －2Q )2＝log a (P Q )．由对数运算性质得(P －2Q )2＝P Q ，即P 2－5P Q ＋4Q 2＝0，所以P ＝Q (舍去)或P ＝4Q ，解得PQ＝4.6．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( )A ．1B ．0或18C.18D ．log 23解析：选D 由题意知lg2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)，由对数的运算性质得2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，即(2x )2－9＝0,2x ＝3，x ＝log 23.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D ∵log 3 12<0，由题意得f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12＝f (log 21)＋331-log 2＋1＝f (0)＋33log 2＋1＝30＋1＋2＋1＝5.8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：选A 由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b ＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 9．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：由4a ＝2，得a ＝12，又因为lg x ＝a ＝12，所以x ＝1012＝10. 答案：10 10．计算：9591log 2-＝________.解析：9591log 2-＝912×959log -＝3×15＝35.答案：3511．化简：(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5＝________.解析：原式＝a-13·b 12·a -12·b13a 16·b56＝a---111326·b+-115236＝1a. 答案：1a12．已知指数函数y ＝f (x )，对数函数y ＝g (x )和幂函数y ＝h (x )的图象都过点P ⎝⎛⎭⎫12，2，如果f (x 1)＝g (x 2)＝h (x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：令f (x )＝a x(a >0,且a ≠1)，g (x )＝log b x(b>0,且b ≠1)，h (x )＝x c，则f ⎝⎛⎭⎫12＝a 12＝2，g ⎝⎛⎭⎫12＝log b 12＝－log b 2＝2，h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12c ＝2，∴a ＝4，b ＝22，c ＝－1，∴f (x 1)＝4x 1＝4⇒x 1＝1，同理，x 2＝14，x 3＝14.∴x 1＋x 2＋x 3＝32.答案：3213．化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫210272-3－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1；(3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝3a 72·a3-2÷3a-32·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a-16＝a 86＝a 43.(3)法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.法二：原式＝lg (3×925×27⨯1325×3-12)lg 8127＝lg 3115lg 3＝115.。
部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案知识点总结(超全)
(名师选题)部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案知识点总结(超全)单选题1、已知函数f (x )=log a (x −b )（a >0且a ≠1，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）A ．a >0，b <−1B ．a >0，−1<b <0C ．0<a <1，b <−1D ．0<a <1，−1<b <02、下列计算中结果正确的是（ ）A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12 C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33 3、若32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，则f (x )的另一个零点为（ ） A ．1B ．2C ．（1，0）D ．（2，0）4、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．695、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ）A ．25天B ．30天C ．35天D ．40天6、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =1与y =x 0B ．y =x 与y =(√x)2C ．y =2log 2x 与y =log 2x 2D ．y =ln 1+x 1−x 与y =ln (1+x )−ln (1−x )7、设f(x)=log 2(1x+a +1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，则g(x)的值域为（ ）A ．(−∞,−12)∪(12,+∞)B ．(−12,12)C ．(−∞,−2)∪(2,+∞)D ．(−2,2)8、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限多选题9、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）．A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <010、（多选题）下列计算正确的是（ ）A ．√(−3)412=√−33B ．(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a a >0,b >0 C ．√√93=√33D ．已知x 2+x −2=2，则x +x −1=211、已知a ，b 均为正实数，若log a b +log b a =52，a b =b a ，则ab =（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2填空题12、对数型函数f (x )的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案(十三)参考答案1、答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0，故选：D2、答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误； 对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A3、答案：A分析：由32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，可得a 值，再利用韦达定理列方程解出f (x )的另一个零点． 因为32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，所以f (32)=2×(32)2−a ×32+3=0，解得a =5．设另一个零点为x 0，则x 0+32=52，解得x 0=1，所以f (x )的另一个零点为1．故选：A ．4、答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解.∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19，所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5、答案：B分析：根据给定条件求出m 及a 10的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.依题意，{10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20，解得m =120,a 10=2，当ℎ=40%时，40%=120⋅a t ， 即40%=120⋅a 10⋅a t−10，解得a t−10=4=(a 10)2=a 20，于是得t −10=20，解得t =30，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.故选：B6、答案：D分析：分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.对于A ：y =1定义域为R ，y =x 0定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确； 对于B ：y =x 定义域为R ，y =(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确； 对于C ：y =2log 2x 的定义域为{x|x >0}，y =log 2x 2定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确；对于D ：由1+x 1−x >0可得(x +1)(x −1)<0，解得：−1<x <1，所以y =ln 1+x 1−x 的定义域为{x|−1<x <1}，由{1+x >01−x >0可得−1<x <1，所以函数y =ln (1+x )−ln (1−x )的定义域为{x|−1<x <1}且y =ln (1+x )−ln (1−x )=ln 1+x 1−x ，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确， 故选：D.7、答案：A分析：先求出f(x)的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到f(x)的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出g(x)的值域．因为f(x)=log 2(1x+a +1)，所以1x+a +1=1+x+a x+a >0可得x <−a −1或x >−a ，所以f(x)的定义域为{x|x <−a −1或x >−a}，因为f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以−a −1=a ，解得a =−12， 所以f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(12,+∞)， 因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，所以g(x)与f(x)互为反函数，故g(x)的值域即为f(x)的定义域(−∞,−12)∪(12,+∞).故选：A .8、答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.故选：A ．9、答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0．故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.10、答案：BC解析：根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.A. √(−3)412=√3412=√33，故错误；B. (a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a23+12−16b 12+13−56=−9a ，故正确； C. √√93=916=(32)16=313=√33，故正确；D. 因为x 2+x −2=(x +x −1)2−2=2，所以(x +x −1)2=4，则x +x −1=±2，故错误； 故选：BC11、答案：AD分析：令t =log a b ，代入可求出t ，可得a 与b 的关系式，再代入a b =b a 即可求出a ，b 的值. 令t =log a b ，则t +1t =52， 所以2t 2−5t +2=0，即(2t −1)(t −2)=0，解得t =12或t =2，即log a b =12或log a b =2，所以a =b 2或a 2=b ，因为a b =b a ，代入得2b =a =b 2或b =2a =a 2，所以a =4，b =2或a =2，b =4，所以a b =2或a b =12.故选：AD.小提示：本题主要考查了对数的运算及性质，属于中档题.12、答案：f (x )=|log 2(x +1)|（答案不唯一，满足f (x )=|log a (x +b )|，a >1，b ≥1即可） 分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f (x )的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f (x )=|log 2(x +1)|．所以答案是：f (x )=|log 2(x +1)|（答案不唯一）。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结适用于高一应届学习及高三一轮复习指数函数和对数函数知识点总结及练习题一.指数函数（一）指数及指数幂的运算a am ar as ar s (ar)s ars (ab)r arbr（二）指数函数及其性质1.指数函数的概念：一般地，形如y a（a 0且a 1）叫做指数函数。
xmn二.对数函数（一）对数1.对数的概念：一般地，如果a N（a 0且a 1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。
2.指数式与对数式的互化幂值真数xax log指数对数适用于高一应届学习及高三一轮复习3.两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数lgN（2）自然对数：以无理数e 2.***** 为底的对数lnN（二）对数的运算性质（a 0且a 1，M 0,N 0）①logaM logaN logaMN ②logaM logaN loga③logaM nlogaM ④换底公式：logab 关于换底公式的重要结论：①logamb（三）对数函数1.对数函数的概念：形如y logax（a 0且a 1）叫做对数函数，其中x 是自变量。
M Nnlogcb（c 0且c 1）logcannlogab ②logab logba 1 m适用于高一应届学习及高三一轮复习基本初等函数练习题1.已知集合M { 1,1}，N {x|12x 1 4,x Z}，则M∩N＝（）2A.{－1,1}B.{0}C.{－1}D.{－1,0} 2.设11b1a() () 1，则（）333abaaabbaabaaA.a a bB.a b aC.a a bD.a b a 3.设y1 40.9，y2 80.48，y3 () 1.5，则（）12A.y3 y1 y2B.y2 y1 y3C.y1 y3 y2D.y3 y1 y2 4.若()122a 11()3 2a，则实数a的取值范围是（）211A.(1，＋∞)B.(，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，)221－5.方程3x1＝的解为（）9A.x＝2B.x＝－2C.x＝1D.x＝－1116.已知实数a，b满足等式(a＝()b，则下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；23④ba0；⑤a＝b。
指数函数与对数函数知识总结及练习
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论【典型例题】例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）y x1O(4)(3)(2)(1)A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。
解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。
故选B 。
解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。
例2. 已知2x x +2≤（41）x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域。
解：∵2x x +2≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。
又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1。
指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题
指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题指数函数、对数函数及幂函数知识总结一、知识框图二、知识要点梳理函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.常见性质n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.常见性质几个重要的对数恒等式，，.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：幂函数形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.三、考题训练1.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ11）当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是（ ）（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 2.（2012·安徽高考文科·Ｔ3）（2log 9）·（3log 4）=（ ）（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 3.（2012·天津高考文科·Ｔ6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（ ）2x （A ）y=cos ，x R ∈ 2||x （B ）y=log ， 0x R x ∈≠且 2x xe e --（C ）y=， x R ∈ 3+x （D ）y=1， x R ∈4.（2012·北京高考文科·Ｔ12）已知函数f （x ）=lgx ，若f （ab ）=1，则f （a 2）+f （b 2）=___________.5.（2012·江苏高考·Ｔ5）函数6()12log f x x=-的定义域为 .6.（2012·山东高考文科·Ｔ15）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝ .7.函数y=(31)x -2x 在区间[-1, 1]上的最大值为 .8.记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g = A ． 2 B ． 2- C ． 3 D ． 1-9.若函数f （x ）=log x a 在[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a=___ 10．函数y =的定义域是____________10．f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧〉〈-)1(log )1(281x x xx 则满足f （x ）=41的x 的值是_______________3 11．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b fa f,则f (a +b )的值为A. 1B. 2C. 3D. 3log 2 12．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. 1>a B. 1,0≠>a a C. 10<<a D. φ∈a . 13.方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________14.21-=a 是函数ax e x f x ++=)1ln()(为偶函数的c（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件15.已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R ，且f (x )在（)31,-∞-上是增函数，则a的范围是 .16.函数y=log 2(1-x)的图象是（A ） （B ） （C ） （D ）16.已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2的最大值和最小值17.设函数,241)(+=xx f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；（2）记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++=K 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.。
高考数学复习专题知识梳理总结—指数函数与对数函数
高考数学复习专题知识梳理总结—指数函数与对数函数一．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数n a Rn为偶数±n a[0，＋∞)(3)根式式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．二．根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)n为奇数时，na n＝a.(2)n为偶数时，na n＝|a|＝≥0，a<0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(na)n中实数a的取值范围是任意实数吗？提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.三．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：amn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：a－mn＝1amn＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m n ＝na m 中，为什么必须规定a >0?提示：①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝a mn ＝0，无研究价值．②若a <0，a m n ＝n a m不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.四．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )．(3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．五．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．六．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .七．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝a x与y＝a－x的图象关于y轴对称思考1：指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？提示：指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示：指数函数值随自变量的变化规律．八．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.九．常用对数与自然对数十．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a1＝0(a>0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：a x＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝log a N时，不存在N≤0的情况．十一．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log aM－log a N；(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．思考：当M>0，N>0时，log a(M＋N)＝log a M＋log a N，log a(MN)＝log a M·log a N是否成立？提示：不一定．十二．对数的换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有log a b＝log c b log c a.十三．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？提示：不是，其不符合对数函数的形式．十四．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性定点(1,0)，即x＝1时，y＝0质单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．十五．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．十六、三种函数模型的性质十七．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．十八．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．十九．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.二十．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．二十一．二分法求函数零点近似值的步骤(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．二十二．常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)二十三.建立函数模型解决问题的基本过程思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：<解题方法与技巧>1.带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.典例1：(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．[思路点拨](1)由x <0，先计算|x |及x 2，再化简．(2)结合－3<x <3，开方、化简，再求值．(1)－1[∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ，∴x ＋|x |＋x 2x＝x －x －1＝－1.](2)[解]x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2.当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.2x －2，－3<x ≤1，4，1<x <3.2.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．典例2：将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x (5x 2)2；－23(b >0)．[解](1)原式＝a ·a 12＝a 32＝a 34.(2)原式＝13x ·(x 25)2＝13x ·x 45＝13x 95＝11x 35＝x －35.(3)－23＝b －23×14×＝b 19.3.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.典例3：化简求值：4.解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.典例4：已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.[思路点拨]a 12＋a －12＝4――――→两边平方得a ＋a －1的值――――→两边平方得a 2＋a －2的值[解](1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.5．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)a x 的系数必须为1.典例5：(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y ＝(－8)x ；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且＝39，则f (－2)＝________.(1)D(2)19[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数；④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f(－2)＝3－2＝1 9 .]6.指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.典例6：(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．(1)D(2)(3,4)[(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝0，即－b>0，b<0，故选D.(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]7.比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.典例7：比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函数y ＝1.5x 的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y ＝0.6x 的两个函数值，因为函数y ＝0.6x 在R 上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a >1时，y ＝a x 在R 上是增函数，故a 1.1>a 0.3；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上是减函数，故a 1.1<a 0.3.8.利用指数函数的单调性解不等式（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．（2）解不等式a f (x )>a g (x )(a >0a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )x )>g (x )，a >1，x )<g (x )，0<a <1.典例8：(1)解不等式x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．[解](1)∵21，∴原不等式可以转化为x －11.∵y 在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0，故原不等式的解集是{x |x ≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x<5.综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5.9.函数y＝a f(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.典例9：判断f(x)2－2x的单调性，并求其值域．[思路点拨]令u＝x2－2x―→函数u(x)的单调性―→――→函数f(x)的单调性[解]令u＝x2－2x，则原函数变为y.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y在(－∞，＋∞)上递减，∴y 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y ，u ∈[－1，＋∞)，∴1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．10.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.典例10：将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝1128；(2)log 1232＝－5；(3)lg 1000＝3；(4)ln x ＝2.[解](1)由2－7＝1128，可得log 21128＝－7.(2)由log 1232＝－55＝32.(3)由lg 1000＝3，可得103＝1(4)由ln x ＝2，可得e 2＝x .11.求对数式log a N (a >0，且a ≠1，N >0)的值的步骤(1)设log a N ＝m ；(2)将log a N ＝m 写成指数式a m ＝N ；(3)将N 写成以a 为底的指数幂N ＝a b ，则m ＝b ，即log a N ＝b .典例11：求下列各式中的x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x;(4)－ln e 2＝x .[解](1)x ＝(64)－23＝(43)－23＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝(x 6)16＝816＝(23)16＝212＝ 2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2，所以x ＝－2.12.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.典例12：已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b＝2，求c 的值．[思路点拨]3a ＝5b ＝c ――――→指对互化求1a ，1b ――――→1a ＋1b＝2求c 的值[解]∵3a ＝5b ＝c ，∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，∴1a ＝log c 3，1b＝log c 5，∴1a ＋1b＝log c 15.由log c 15＝2得c 2＝15，即c ＝15.13.求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.典例13：求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)．[解](1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)＋1>0，－x >0，>－1，<2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)4x ＋8>0，x －1>0，x －1≠1，<2，>12，≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为|12<x <2，且x ≠114.函数图象的变换规律(1)一般地，函数y ＝f (x ±a )＋b a b 为实数)的图象是由函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左或向右平移|a |个单位长度，再沿y 轴向上或向下平移|b |个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y ＝f (|x －a |)的图象是关于直线x ＝a 对称的轴对称图形；函数y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象在f (x )≥0的部分相同，在f (x )<0的部分关于x 轴对称.典例14：(1)当a >1时，在同一坐标系中，函数y＝a －x 与y ＝log a x 的图象为()A B C D(2)已知f (x )＝log a |x |，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象．[思路点拨](1)结合a >1时y ＝a －x及y ＝log a x 的图象求解．(2)由f (－5)＝1求得a ，然后借助函数的奇偶性作图．(1)C[∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.](2)[解]∵f (x )＝log a |x |，∴f (－5)＝log a 5＝1，即a ＝5，∴f (x )＝log 5|x |，∴f (x )是偶函数，其图象如图所示．15.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.典例15:比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.[解](1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54.16.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.典例16：已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域；(2)试确定不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围．[思路点拨](1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x 的取值集合．(2)分a ＞1和0＜a ＜1求解不等式得答案．[解](1)－1>0，－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x ＜3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )，①当a＞1x<3，－1≤6－2x，解得1<x≤7 3；②当0＜a＜1x<3，－1≥6－2x，解得73≤x<3.综上可得，当a＞1，7 3；当0＜a＜1时，不等式的解集为7 3，17.常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.典例17：(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2019x B．y＝2019C．y＝log2019x D．y＝2019x(2)下面对函数f(x)＝log12x，g(x)与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C[(1)指数函数y＝a x，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f(x)＝log1x，g(x)与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：2函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]18.由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.典例18：函数f(x)＝2x和g(x)2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f f(2019)与g(2019)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，∴当x＞2时，f(x)＞g(x)，∴f(2019)＞g(2019)．19.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.典例19：(1)求函数f(x)2＋2x－3，x≤0，2＋ln x，x>0的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．[解](1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.所以函数f(x)2＋2x－3，x≤02＋ln x，x>0的零点为－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－1 3 .所以函数g(x)的零点为0和－1 3 .20.判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.典例20：(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的大致区间是()A．(3,4)B．(2，e)C．(1,2)D．(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程e x－x－3＝0的一个根所在区间是()x－10123e x0.371 2.727.3920.08x＋323456A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)(1)C(2)C[(1)因为f(1)＝ln2－21<0，f(2)＝ln3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.(2)构造函数f(x)＝e x－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，f(0)＝1－3＝－2<0，f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，f(2)＝7.39－5＝2.39>0，f(3)＝20.08－6＝14.08>0，f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]21.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.典例21：已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3D[图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]22.函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.典例22:某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：x 1234f (x )4.005.587.008.44(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？[思路点拨]描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模[解](1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得a ＝1.5，b ＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．。
(完整版)指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
指数与对数函数题型总结
题型1 指数幂、指数、对数的相关计算
【例1】计算：3
53log 1+－232log 4+＋103lg3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1252log .
【例2】计算下列各式的值：
(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
变式：
1.计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3
lg 81－lg 27
.
2.计算下列各式的值：
(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4
； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 3)2＋lg 16＋lg 0.06.
3.计算下列各式
(1)计算：2log 32－log 3329＋log 38－2535log .
题型2指数与对数函数的概念
【例1】若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值范围为________．
【例2】指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．
【例3】函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．
变式：
1.指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；
(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.
题型3 指数与对数函数的图象
【例1】如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的
大小关系是(）
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
【例2】函数y＝|2x－2|的图象是()
【例3】函数y＝2x＋1的图象是()
【例4】直线y＝2a与函数y＝|a x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
【例5】方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是____________．
变式：
1.如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于c 1，c 2，c 3，
c 4的a 值依次为( )
A.3，43，35，110
B.3，43，110，35
C.43，3，35，110
D.43，3，110，35 2.函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( )
A ．(1,2)
B ．(2,1)
C ．(－2,1)
D ．(－1,1)
3.如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )
A ．0＜a ＜b ＜1
B ．0＜b ＜a ＜1
C ．a ＞b ＞1
D ．b ＞a ＞1
4.函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为(
) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5.函数y ＝x 3
3x －1的图象大致是( )
题型4指数与对数型函数的定义域、值域、单调性、奇偶性
【例1】函数f (x )＝1－2x ＋1
x ＋3的定义域为____________．
【例2】判断f (x )=x -x ）（2231
的单调性，并求其值域．
【例3】设0≤x ≤2，y ＝421
x －3·2x ＋5，试求该函数的最值．
【例4】求y ＝(log 21x )2
－12log 21x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
变式：
(1)函数f (x )＝11－x
＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)
(2)若f (x )＝1log 21
(2x ＋1)
，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 3.求下列函数的定义域与单调性．
(1)y ＝log 2(x 2－4x －5)；(2)y ＝log 0.5(4x －3)
4.讨论函数f (x )＝log a (3x 2－2x －1)的单调性．
5.函数f (x )＝|log 2
1x |的单调递增区间是( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞) 题型5 指数与对数基本性质的应用
【例1】求下列各式中x 的值：
(1)log 2(log 4x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log (
2－1)12＋1
＝x . 【例2】比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2； (2)log a 3.1，log a 5.2(a ＞0，且a ≠1)；
(3)log 30.2，log 40.2； (4)log 3π，log π3.
变式：
(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )
A ．a ＞c ＞b
B ．b ＞c ＞a
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
(2)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞a ＞b
3.设a ＝log 2
13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝231，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c
4.已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )
A ．x ＞y ＞z
B ．z ＞y ＞x
C ．y ＞x ＞z
D ．z ＞x ＞y
5.若函数f (x )＝⎩⎨⎧
a x ，x ＞1，
(4－a 2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)
题型6 指数与对数函数的综合应用
【例1】已知函数f (x )＝2x －12x ＋1
. (1)求f [f (0)＋4]的值； (2)求证：f (x )在R 上是增函数；
题型7 探究与创新
(2)若log 2[log 3(log 4x )]＝0，log 3[log 4(log 2y )]＝0，
求x ＋y 的值．
【例2】已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，且2x ＝py .
(1)求p ；
(2)求证1z －1x ＝12y .
【巩固训练】
A 级试题：
1.化简(log 23)2
－4log 23＋4＋log 213，得( ) A ．2 B ．2－2log 23
C ．－2
D ．2log 23－2
2.若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域为R ，则( )
A ．f (x )与g (x )均为偶函数
B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数
C. f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
3.若函数f(x)＝2a-ax
x2
2 －1的定义域为R，则实数a的取值范围是________．4.lg5＋lg20的值是________．
5.已知2m＝5n＝10，则1
m＋1
n＝________.。