江苏省宿迁市高中数学第二章圆锥曲线与方程第9课时双曲线的几何性质1导学案(无答案)苏教版选修2-1
江苏省宿迁中学高中数学选修2-1导学案：第2章 圆锥曲
第7课时 双曲线的标准方程（1）【学习目标】1．掌握双曲线的定义,标准方程． 2．根据已知条件求双曲线的标准方程． 【问题情境】1．类比椭圆标准方程的建立过程推导出双曲线的标准方程．2．把椭圆定义中的“距离的差的绝对值”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？ 【合作探究】 双曲线的标准方程F 1 ，F 2 F 1 ，F 2 想一想：如何判断方程)0,0(12222>>=-b a b y a x 和)0,0(12222>>=-b a bx a y 所表示的双曲线焦点的位置？【展示点拨】例1．已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程变式1:若|PF 1|-|PF 2|=8呢？ 变式2:若||PF 1|-|PF 2||=10呢？ 变式3:若||PF 1|-|PF 2||=6呢？例2．求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）a =3，b = 4，焦点在x 轴上； （2）a =25，经过点)5,2(-A ，焦点在y 轴上．例3．如果方程1222=--my m x 表示双曲线，求m 的取值范围．例4．已知A ，B 两地相距800m ，一炮弹在某处爆炸，在A 处听到炮弹爆炸声的时间比在B 处迟2s ，设声速为340/m s ．（1）爆炸点在什么曲线上？（2）求这条曲线的方程．【学以致用】1．双曲线192522=-x y 的焦点坐标为 ．2．若k ∈R ，则方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________．3．已知双曲线的两个焦点分别为1100(,)F -，2100(,)F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 的距离的差的绝对值等于12，求双曲线的标准方程． 4． 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）5=c ，3=b ，焦点在y 轴上；（2）焦点为)6,0(-，)6,0(，3=a ．5．已知双曲线过点()3,2-，且与椭圆224936x y +=有相同的焦点，求双曲线的方程．第7课时 双曲线的标准方程（1）【基础训练】1．双曲线192522=-x y 的焦点坐标为 ． 2． 方程15922=---k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________．3．已知P 是双曲线19422=-y x 上一点，F 1．F 2分别是双曲线的左．右焦点，若PF 1＝3，则PF 2等于 ．49=，得 ．5．设错误！未找到引用源。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质预习导学案
x∈R，y≤－a
或y≥a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：原点
对称轴：x轴、y轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝± x
y＝± x
离心率
e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴பைடு நூலகம்它的长|B1B2|＝2b；a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长
名师点拨双曲线与椭圆的六个不同点：
双曲线
椭圆
图形
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e＞1
0＜e＜1
a，b，c关系
a2＋b2＝c2
a2－b2＝c2
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
思考1双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响？
提示：双曲线的离心率e＝ 反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大．
思考2双曲线的焦点始终在什么轴所在的直线上？
提示：实轴．
思考3一条直线与双曲线的渐近线平行时，它与双曲线有几个公共点？
提示：1个．
2.2.2双曲线的几何性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质．
2．能够运用双曲线的性质解决一些简单问题．
3．正确理解双曲线的特有性质——渐近线.
江苏省宿迁市高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 第10课时
第10课时 双曲线的几何性质（2）【学习目标】能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 【问题情境】1．回顾双曲线的范围．对称轴．顶点．离心率．渐近线；2．已知双曲线的方程为221914x y -=，写出顶点和焦点坐标． 实半轴长．虚半轴长．离心率．渐近线方程． 【合作探究】试比较椭圆与双曲线的几何性质的异同【展示点拨】例1．设双曲线22221x y a b-=的半焦距为c ，直线l 过( , 0) (0 , )a b 、两点，且原点到直线l ，求双曲线的离心率．例2．求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方程．例3．焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为02=±y x ，焦点在渐近线的距离为8，求此双曲线方程．例4．若21,F F 是双曲线116922=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线上，且3221=⋅PF PF ,求21PF F ∠的大小．【学以致用】1．双曲线1253622=-y x 的渐近线方程是 ．2．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为 ．3．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是（10，0），则双曲线的方程是 ．4．与椭圆1492422=+y x 共焦点，而与双曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线的方程为 ．5．求满足下列条件的双曲线的标准方程．（1）离心率e =()5,3M -；（2）两条渐近线的方程是23y x =±，经过点9,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （3）双曲线的一个焦点是)0,3(1-F ,过右焦点2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点,P 且1230PF F ∠=︒．第10课时 双曲线的几何性质（2）【基础训练】1．双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是 ．2．当817k <<时,双曲线221178x y k k+=--的焦距为__________________． 3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为__________________．4．已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为______ __．5．圆1)(22=+-y a x 与双曲线122=-y x 的渐近线相切，则a 的值为 ．6．双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b m b y m x 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有相同的焦点，双曲线C 1的离心率为1e ，椭圆C 2的离心率为2e ，则222111e e += ． 【思考应用】7．根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）已知双曲线的渐近线方程为x y 21±=，焦距为10； （2）已知双曲线的渐近线方程为x y 32±=，且过点M （1,29-）；（3）与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率45=e ．8．求满足下列条件的双曲线的离心率： （1）双曲线的渐近线方程为32y x =±；（2）过焦点且垂直于实轴的弦与另一焦点的连线所成角为90o ．9．双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c, 直线l 过点）且点（，和（,01),0)0,(b a 到直线l 的距离与点)0,1(-到直线l 的距离之和,54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围．10．一炮弹在某处爆炸，在F 1（-5000,0）处听到爆炸声的时间比在F 2（5000,0）处晚s 17300，已知坐标轴的单位长度为1m ，声速为340m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．【拓展提升】11．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为15m,高为55m,试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．12．连结双曲线22221x y a b-=和22221x y a b -=-的四个顶点的四边形的面积为1S ，连结四个焦点的四边形的面积为2S ，求12S S 的最大值．。
江苏省宿迁市高中数学第2章圆锥曲线与方程第8课时双曲线的标准方程2导学案(无答案)苏教版选修1_1
第8课时 双曲线的标准方程（2）【学习目标】1．掌握双曲线的定义,标准方程； 2．根据已知条件求双曲线的标准方程． 【问题情境】焦点在x 轴上的双曲线标准方程为 ； 焦点在y 轴上的双曲线标准方程为．【合作探究】试比较双曲线与椭圆的异同：【展示点拨】例1．若双曲线k y x =-222的焦距为6，求实数k 的值．例2．若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为8，求点P 到它的左焦点的距离．例3．已知双曲线与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点)2,23(，求双曲线的方程．例4．已知方程422=+y kx ，其中k 为实数，对于不同的范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【学以致用】1．方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈____． 2．已知双曲线2288kx ky -= 的一个焦点为(0,3)，则k = ．3．以椭圆221169144x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程是 ． 4．已知双曲线1366422=-y x 的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且02190=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．5．在△MNG 中，已知NG ＝4，当动点M 满足条件M N G sin 21sin sin =-时，求动点M 的轨迹方程．第8课时 双曲线的标准方程（2）【基础训练】1．椭圆2x 2－3y 2＝1焦点坐标为 ．2．已知方程2211x y k k-=-表示双曲线，则k 的取值范围是 ．3．焦距为(3,5)M -的双曲线的标准方程为 ．4．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是 ．5．已知焦点为12(4,0),(4,0)F F -，且经过点M 的双曲线的标准方程是 ．6．若椭圆14222=+my x 与双曲线1222=-y m x 有相同焦点，则实数m 的值为 ． 【思考应用】7．若表示何种变化时，方程则当1,,222222=-+-∈>λλλλb y a x R b a 曲线?它们是否有相同的焦点？8．求焦点的坐标轴上，且经过)523,2(1-P 和)4,734(2P 两点的双曲线的标准方程．9．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程；10．已知221,13x y k k -=---○1方程表示双曲线；○2表示焦点在x 轴上的双曲线；③表示焦点在y 轴上的双曲线【拓展提升】11．已在双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．12．在周长为48的390,tan =4oRt MPN MPN PMN ∆∠=∠中，，求以M,N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．。
江苏省宿迁市高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 第7课时
第7课时 双曲线的标准方程（1）【学习目标】1．掌握双曲线的定义,标准方程． 2．根据已知条件求双曲线的标准方程． 【问题情境】1．类比椭圆标准方程的建立过程推导出双曲线的标准方程．2．把椭圆定义中的“距离的差的绝对值”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？ 【合作探究】 双曲线的标准方程F 1 ，F 2 F 1 ，F 2 想一想：如何判断方程)0,0(12222>>=-b a b y a x 和)0,0(12222>>=-b a bx a y 所表示的双曲线焦点的位置？【展示点拨】例1．已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程变式1:若|PF 1|-|PF 2|=8呢？ 变式2:若||PF 1|-|PF 2||=10呢？ 变式3:若||PF 1|-|PF 2||=6呢？例2．求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）a =3，b = 4，焦点在x 轴上； （2）a =25，经过点)5,2(-A ，焦点在y 轴上．例3．如果方程1222=--my m x 表示双曲线，求m 的取值范围．例4．已知A ，B 两地相距800m ，一炮弹在某处爆炸，在A 处听到炮弹爆炸声的时间比在B 处迟2s ，设声速为340/m s ．（1）爆炸点在什么曲线上？（2）求这条曲线的方程．【学以致用】1．双曲线192522=-x y 的焦点坐标为 ．2．若k ∈R ，则方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________．3．已知双曲线的两个焦点分别为1100(,)F -，2100(,)F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 的距离的差的绝对值等于12，求双曲线的标准方程． 4． 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）5=c ，3=b ，焦点在y 轴上；（2）焦点为)6,0(-，)6,0(，3=a ．5．已知双曲线过点()3,2-，且与椭圆224936x y +=有相同的焦点，求双曲线的方程．第7课时 双曲线的标准方程（1）【基础训练】1．双曲线192522=-x y 的焦点坐标为 ．2． 方程15922=---k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________．3．已知P 是双曲线19422=-y x 上一点，F 1．F 2分别是双曲线的左．右焦点，若PF 1＝3，则PF 2等于 ．49=，得 ．5．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = ． 6．设12,F F 分别是双曲线221169x y -=的左右焦点，AB 是双曲线过点1F 的弦，且AB =6，则三角形2ABF 的周长是 ．【思考应用】7．根据下列条件，求双曲线的标准方程：⑴焦点的坐标是()6,0-．()6,0，并且经过点()5,2A -；⑵经过点(3,P -和()7Q --，焦点在y 轴上．8．求与椭圆14922=+y x 有相同焦点，并且经过点)3,2(-的双曲线的标准方程．9．已知双曲线224640x y -+=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，求M 到另一个焦点的距离．10．已知圆C 1：1)3(22=++y x 和圆C 2：9)3(22=+-y x ，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的曲线方程．【拓展提升】11．在△ABC 中，B （－6，0），C （6，0），直线AB ，AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹．12．某中心接到其正东．正西．正北方向三个观察点的报告：正西．正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s ．已知各观察点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340m/s ；相关点均在同一平面内）．。
「精品」高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修1_1
2．3.2 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一 双曲线的几何性质思考 类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的哪些几何性质？梳理知识点二 双曲线的离心率思考1 如何求双曲线的渐近线方程？思考2 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？梳理 双曲线的焦距与实轴长的比c a，叫做双曲线的________，其取值范围是________．e 越大，双曲线的张口________．知识点三 双曲线的相关概念1．双曲线的对称中心叫做双曲线的________．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做________双曲线，它的渐近线方程是________．类型一 已知双曲线的标准方程研究几何性质例1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．反思与感悟 已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a ，b ，写出方程．(2)①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．③渐近线方程为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (3)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．类型三 求双曲线的离心率例3 分别求适合下列条件的双曲线的离心率： (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .反思与感悟 求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或ba 视为整体，把关系式转化为关于c a 或b a的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0<a <b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．跟踪训练3 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．类型四 直线与双曲线的位置关系例4 斜率为2的直线l 被双曲线x 23－y 22＝1截得的弦长为6，求l 的方程．引申探究若某直线l 与本例中的双曲线相交，求以点P (3，1)为中点的直线l 的方程．反思与感悟 (1)求弦长的两种方法①距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． ②弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.特别提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况． (2)中点弦问题与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决．跟踪训练4 设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．1．双曲线的一个顶点坐标为(－1,0)，一条渐近线方程为y ＝－2x ，则双曲线方程为____________．2．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.3．如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为________．4．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________．5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．提醒：完成作业 第2章 §2.3 2.3.2答案精析问题导学 知识点一思考 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线． 梳理 x ≥a 或x ≤－a y ≥a 或y ≤－a 坐标轴 原点 坐标轴 原点A 1(－a ，0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )知识点二思考1 将方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的“1”换成“0”，即由x 2a 2－y 2b 2＝0，得x a ±yb ＝0，如图，作直线x a ±y b ＝0，当双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，但始终不会相交，把这两条直线叫做双曲线的渐近线．思考 2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于b a 的值，设e ＝c a ，则b a ＝c 2－a 2a＝e 2－1.当e 的值逐渐增大时，b a的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大． 梳理 离心率 (1，＋∞) 越大 知识点三 1．中心 2．等轴 y ＝±x 题型探究例1 解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12， ∴a ＝2，b ＝23，∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长为2a ＝4，虚轴长为2b ＝43；焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)；顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)；渐近线方程为y ＝±33x ；离心率e ＝2.跟踪训练1 解 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1.∴a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)； 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)； 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4； 离心率e ＝c a ＝133； 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .例2 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)．将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.跟踪训练2 解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12， 故所求双曲线的标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .∴设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k －x 2k＝1②.将(3,92)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解； 将(3,92)代入②，得k ＝9. 故所求双曲线的标准方程为y 281－x 29＝1.(3)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴4a 2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴9a 2－4b2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32.故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.例3 解 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32， ∴e ＝b 2a 2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23， ∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意得直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ， 得ab a 2＋b 2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22－10×b 2a 2＋3＝0.解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3.又∵0<a <b ，∴b 2a2＝3.∴e ＝1＋b 2a2＝2.跟踪训练3 解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程，得 c 2a 2－y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a. ∴PF 1＝b 2a. 由双曲线对称性，PF 2＝QF 2且∠PF 2Q ＝90°，知F 1F 2＝12PQ ＝PF 1， ∴b 2a＝2c ，则b 2＝2ac ， ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0，即e 2－2e －1＝0，∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2.例4 解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1， 得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*)设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)． 又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ，∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)．∴AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[3625m 2－4×310(m 2＋2)]． ∵AB ＝6，∴365m 2－6(m 2＋2)＝6， 解得m ＝±15.由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±15代入上式得Δ>0.∴m 的值为±15，∴所求l 的方程为y ＝2x ±15. 引申探究解 设相交的两点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧x 213－y 212＝1， ①x 223－y 222＝1， ② ①－②，可得 x 1＋x 2x 1－x 23－y 1＋y 2y 1－y 22＝0.③ ∵P 为AB 的中点，且P 的坐标为(3,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2. 将其代入③式，得2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0， 即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 故直线l 的方程为y －1＝2(x －3)，即y ＝2x －5. 经检验知y ＝2x －5符合题意． 跟踪训练4 解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1中， 得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0， 解得0<a <2且a ≠1，又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝ 1a 2＋1，所以e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为P 为直线与y 轴的交点， 所以P (0,1)． 因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)． 由此得x 1＝512x 2. 由于x 1，x 2是方程①的两根， 且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a >0，解得a ＝1713.当堂训练1．x 2－y 24＝1 2.－4 3. 2 4.(±7，0) 5.y ＝±22x。
(新)高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_2双曲线的几何性质一1教案新人教A版选修1-1
1、双曲线的性质：
椭圆
双曲线
不同点
标准方程
图象
范围
对称性
顶点
渐近线
1、课本 练习第1，2题
〖备选习题〗：
A组
1、求与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线的方程。
B组
1.双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
2.求证：双曲线 （ ）与双曲线 有共同的渐近线。
说明：①由c>a>0可得e>1；
②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
探究二：
课本51页例3
双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（见课本），它的最小半径为 ，上口半径为 ，下口半径为 ，高 ，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到 ）
探究三：
例3．求与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线的方程。
令 ，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），
双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。
2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
在初中学习反比例函数 时提到x轴y轴都是它的渐近线。高中三角函数 ，渐近线是 。
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。
高中数学-圆锥曲线双曲线简单几何性质(一)教案新课标人教B版选修2
双曲线简单几何性质（一）合作学习导纲
1、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是：
A 、141622=-y x
B 、116
42
2=-y x
C 、1222=-y x
D 、12
2
2=-y x
2、求中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程。
作业：
必做题：教课书113页习题8.4（1、3、4题）
选做题：1、双曲线18
42
2=-y x 的两渐近线所夹锐角的正切值。
2、已知双曲线
1162
22=-b y x 的实轴的一个端点为A 1，虚轴的一个端点为 B 1，且 A 1 B 1=5，求双曲线方程。
课外研讨题：若直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有：①一个公共点；②两个公共点；③无公共点；④在右支上有两个公共点；⑤在右支上有一个公共点，求k 的取值范围。
人教版高中数学第二册（上）
8.4双曲线简单几何性质（一）
教案
抚顺县高级中学数学教师：吴春义
2006年12月1日。
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第9课时双曲线的几何性质（1）
【学习目标】1•了解双曲线的简单几何性质，如范围•对称性•顶点•渐近线和离心率等.
2 •能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.
【问题情境】
1•椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
2•双曲线的两种标准方程是什么？
【合作探究】
双曲线的几何性质
【展示点拨】
2 2
X y
例1 •求双曲线1的实轴长和虚轴长•焦点的坐标•离心率.渐近线方程.
例2.已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16,离心率为-,求双曲线的方程.
3
变式：“焦点在y 轴上”变为“焦点在坐标轴上”
2
J 1有相同焦点且经过点(0,1)的双曲线的标准方程.
8
M,N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求该双曲线的离心率.
【学以致用】
1 •说出下列双曲线的顶点，焦点，焦距，实轴长，虚轴长，离心率和渐近线方程:
2 2 2 2
/八 x y , y x .
(1) 1 ; (2) 1 .
9 16 4 5
例3•求与椭圆
例4 •过双曲线
X 2 a 2
2 ■y 2
1(a 0,b 0)的左焦点且垂直于
b 2
x 轴的直线与双曲线相交于
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 实轴的长是10,虚轴长是8，焦点在x 轴上; (2) 焦距是10，虚轴长是8,焦点在y 轴上.
5
，且与椭圆 —1
- 1有公共焦点，求此双曲线的标准方程.
3 40 15
5.已知F 1 , F 2是双曲线的两个焦点， 以线段F 1F 2为边作正 MF 1F 2，若边MR 的中点在此 双曲线上，求此双曲线的离心率.
第9课时双曲线的几何性质(1)
【基础训练】
2 2
1•双曲线—
y 1的焦点坐标为
49 25
2 2
2•双曲线—
1的两条渐近线的方程
16 9
3•等轴双曲线的中心在原点， 它的一个焦点为 F(0,2J2)则双曲线的标准方程是 _____________ 4•双曲线的两条渐近线线互相垂直，那么它的离心率是
3•已知双曲线的两条渐近线的方程是 y
方程.
4
-x ，焦点为(5,0), (5,0)，求此双曲线的标准 3
4.双曲线的离心率为
2
5•双曲线x 2 -
1的两条渐近线所成的锐角是
3
2 2
6•已知双曲线— 厶 1的离心率e (1,2)，实数k 的取值范围是
4 k
【思考应用】
7•求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1 )两焦点的距离为14，两顶点间的距离为 12; (2) —焦点坐标为(0, -4 ), 一条渐近线为3y 2x 0 •
2 2
&过双曲线 笃1(a
0,b 0)的焦点且垂直于实轴的弦与另一焦点的连线所成角为
a 2
b 2
90o ，求此双曲线的离心率.
5 2 2
5，且与椭圆40 15 1有公共焦点，求此双曲线的标准方程.
支上，且PF=4PR ,则此双曲线的离心率 e 的最大值.
9.已知双曲线的离心率为
2 v
10.已知双曲线—
a
b 2
1(a 0,b 0)的左•右焦点分别为
F 1, F 2,点P 在双曲线的右
【拓展提升】
11.焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为 • 3x y
为3,求此双曲线的方程.
F | PF 2的面积.
12.已知双曲线
2
x
25
2
y
=1，焦点为 15
F 1, F 2, P 为双曲线上一
点,
,且 F 1PF 2
1200，求
0 ,焦点到渐近线的距离。