离散数学第二版邓辉文编著第一章第五节习题答案
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1.5集合的划分与覆盖习题1.51.设},,,{d c b a A =，求出集合A 的所有不同的划分.解 可以按照划分的块的数目依次求出A 的所有不同的划分共15个. 仅一个划分块:}},,,{{1d c b a =π.有两个划分块: }},,{},{{2d c b a =π，}},,{},{{3d c a b =π，}},,{},{{4d b a c =π，}},,{},{{5c b a d =π；}},{},,{{6d c b a =π，}},{},,{{7d b c a =π，}},{},,{{8c b d a =π. 有三个划分块: }},{},{},{{9d c b a =π，}},{},{},{{10d b c a =π，}},{},{},{{11c b d a =π，}},{},{},{{12d a c b =π，}},{},{},{{13c a d b =π，}},{},{},{{14b a d c =π.有四个划分块: }}{},{},{},{{15d c b a =π.2.对于整数集合Z ，令}Z |3{1∈=k k A ，}Z |13{2∈+=k k A ，}Z |23{3∈+=k k A , 则},,{321A A A 是Z 的划分. 试验证之.解 因为(1)≠i A ∅，3,2,1=i .(2)=⋂j i A A ∅，3,2,1,,=≠j i j i .(3)=⋃⋃321A A A Z.所以，},,{321A A A 是Z 的划分.3.设}|{I i A i ∈=π是集合A 的一种划分，对于集合B ，所有≠⋂B A i ∅的B A i ⋂组成的集合是B A ⋂的划分. 试证明之.证 对于任意j i ≠，因为=⋂j i A A ∅，于是=⋂⋂=⋂⋂⋂B A A B A B A j i j i )()(∅=⋂B ∅.又因为A AI i i =∈ ，所以B A B A B A Ii iI i i ⋂=⋂=⋂∈∈ )(. 故≠⋂⋂B A B A i i |{∅},I i ∈是B A ⋂的划分.4.设集合A 有两种划分}|{1I i A i ∈=π和}|{2J j B j ∈=π，问21ππ⋃是否必是A 的划分，为什么？21ππ-呢?解21ππ⋃及21ππ-均不一定是A 的划分. 例如},,,{d c b a A =，取A 的划分为 }},,{},{{1d c b a =π，}},{},{},{{2c b d a =π，这时}},,{},,{},{},{{21d c b c b d a =⋃ππ，}},,{{21d c b =-ππ，它们都不是A 的划分.5.证明: 设1≥n ，则(1).1)1,(=n S(2).1),(=n n S(3).12)2,(1-=-n n S证 (1)和(2)显然.(3)将n 个元素的集合A 划分成2个块1A 和2A ，先将A 中的第一个放在第一个块1A 中，对于其余的1-n 个元素分别考虑是否与第一个元素在同一个块1A 中，只有两种情况发生: 1A x ∈或1A x ∉，于是共有1122...22--=⋅⋅⋅n n 种放的方式，但要排除所有元素都在1A 中而2A 为空的情形. 故.12)2,(1-=-n n S 6.设},,,,,,,,,,{j i h g f e d c b a A =},,,,{1d c b a A = },,,{2g f e A = },,,,{3i g e d A =},,,{4j h d A =},,,{5j i h A =},,,,,,{6j h f c b a A =分别判定下列集合是否是A 的划分、覆盖: (1)},,{521A A A . (2)},,{531A A A . (3)}.,{63A A(4)}.,,{432A A A解 显然对于任意61≤≤i ，有≠i A ∅.(1)因为=⋂21A A ∅，=⋂51A A ∅，=⋂52A A ∅且A A A A =⋃⋃521，所以},,{521A A A 是A 的划分.(2)由于A f ∈而531A A A f ⋃⋃∉，所以},,{531A A A 不是A 的覆盖.(3)因为=⋂63A A ∅，且A A A =⋃63，所以},{63A A 是A 的划分.(4)由于A a ∈而432A A A a ⋃⋃∉，所以},,{432A A A 不是A 的覆盖.7.写出集合},{b a A =的所有不同的覆盖.解 由A 得到的非空子集为},{},{},{b a b a ，于是},{b a A =的所有不同的覆盖分别为(1)}},{{b a .(2)}}{},{{b a .(3)}},{},{{b a a .(4)}},{},{{b a b .(5)}},{},{},{{b a b a .。
离散数学课后习题答案(第一章)
f) A → ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ ¬B) → C 证明：A→(B∨C)⇔ ┐A∨(B∨C) ⇔ (┐A∨B)∨C ⇔┐(A∧┐B)∨C ⇔ (A∧┐B)→C g) ( A → D ) ∧ ( B → D ) ⇔ ( A ∨ B ) → D 证明：(A→D)∧(B→D)⇔(┐A∨D)∧(┐B∨D) ⇔(┐A∧┐B)∨D ⇔ ┐(A∨B)∨D ⇔ (A∨B)→D h) (( A ∧ B ) → C ) ∧ ( B → ( D ∨ C )) ⇔ ( B ∧ ( D → A)) → C 证明：((A∧B)→C)∧(B→(D∨C)) ⇔(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C)) ⇔ (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C ⇔(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C ⇔┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C ⇔ ((A∨┐D)∧B)→C ⇔ (B∧(D→A))→C （8）化简以下各式： A）((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C 解：((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C ⇔ ((┐A∨B) ↔ (B∨┐A))∧C ⇔ ((┐A∨B) ↔ (┐A∨B))∧C ⇔T∧C ⇔C B）A∨(┐A∨(B∧┐B)) 解：A∨(┐A∨(B∧┐B))⇔(A∨┐A)∨(B∧┐B)⇔T∨F⇔T
离散数学课后习题答案(最新)
习题参考解答习题1.11、（3）P：银行利率降低Q：股价没有上升P∧Q（5）P：他今天乘火车去了北京Q：他随旅行团去了九寨沟PQ（7）P：不识庐山真面目Q：身在此山中Q→P，或～P→～Q（9）P：一个整数能被6整除Q：一个整数能被3整除R：一个整数能被2整除T：一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ，Q→T2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F（6）T （7）F （8）悖论习题 1.31（3）)()()()()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q P →∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→（4）()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不， 不， 能习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2) ()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨ 2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价3、解：根据给定的条件有下述命题公式：（A →（C ∇D ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ）⇔（～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ）） ∧（～C ∨～D ）⇔（～A ∧～B ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～C ）∨ （～A ∧～C ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ∧～C ）∨（～A ∧～B ∧～D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～D ）∨ （～C ∧D ∧～C ∧～D ）（由题意和矛盾律）⇔（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～B ∧～A ）∨ （～A ∧～C ∧B ）∨ （～A ∧～C ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ） ⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ） ∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ） 三种方案：A 和D 、 B 和D 、 A 和C习题 1.51、 （1）需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P P P Q P Q TP Q P Q T P Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧（3）需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧3A B A B ⇒∴→ 、为永真式。
第1章 离散数学习题解答
1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷ 21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹ 2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以p。
⑾只有6是偶数，3才干是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不过出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵ 3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不克不及生存。
⑷ 8是偶数的充分需要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案(可编辑修改版).
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z，f (x ) ≠2∈Z，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意x ∈Z均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意(x 1, x 2) ∈N⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N⨯N ，而任意x ∈N均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A，由于f (x ) ∈B，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A，f (x ) =a ，显然f :A →A且f ≠I A . 而对于任意x ∈A，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g ) (A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C，因为g 是满射，于是存在y ∈B使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α,β,γ,δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f(b )) =g (2) =β,于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G且对于任意f ∈G，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B⨯D ，对任意(a , c ) ∈A⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A⨯C ，(a 2, c 2) ∈A⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B⨯D ，则b ∈B , d ∈D，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。
离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案
1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡⎤5.1，⎡⎤1-，⎡⎤5.1-，⎣⎦5.1，⎣⎦1-，⎣⎦5.1-.解 ⎡⎤25.1=，⎡⎤11-=-，⎡⎤15.1-=-，⎣⎦15.1=，⎣⎦11-=-，⎣⎦25.1-=-.2.下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1).3)(,Z Z :x x f f =→(2).1||)(,N Z :+=→x x f f(3).1)(,R R :3+=→x x f f(4).1),(,N N N :2121++=→⨯x x x x f f(5)).1,()(,N N N :+=⨯→x x x f f解 (1)对于任意对∈21,x x Z ，若)()(21x f x f =，则2133x x =，于是21x x =，所以f 是单射. 由于对任意∈x Z ，∈≠2)(x f Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于∈-2,2Z 且3)2()2(=-=f f ，因此f 不是单射. 又由于∈0N ，而任意∈x Z 均有01||)(≠+=x x f ，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对∈21,x x R ，若)()(21x f x f =，则113231+=+x x ，于是21x x =，所以f 是单射. 对于任意∈y R ，取31)1(-=y x ，这时y y y x x f =+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=1)1(1)1(1)(3313，所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于∈)1,2(),2,1(N ⨯N 且)1,2()2,1(≠，而4)1,2()2,1(==f f ，因此f 不是单射. 又由于∈0N ，而任意∈),(21x x N ⨯N 均有01),(2121≠++=x x x x f ，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于∈21,x x N ，若)()(21x f x f =，则)1,()1,(2211+=+x x x x ，于是21x x =，因此f 是单射. 又由于∈)0,0(N ⨯N ，而任意∈x N 均有)0,0()1,()(≠+=x x x f ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3.对于有限集合A 和B ，假定B A f →:且||||B A =，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒)因为f 是单射，所以|)(|||A f A =. 由于||||B A =，所以|||)(|B A f =. 又因为B 有限且B A f ⊆)(，故B A f =)(，即f 是满射.(⇐)若f 是满射，则B A f =)(. 由于||||B A =，于是|)(|||A f A =. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如N N :→f ，x x f 2)(=，f 是单射，但f 不是满射.4.设,:B A f →试证明:(1).f I f B =(2).f f I A =特别地，若A A f →:，则f f I I f A A == .证 (1)对于任意A x ∈，由于B x f ∈)(，所以)())(())((x f x f I x I f B B == ，因此.f I f B =(2)对于任意A x ∈，由于x x I A =)(，所以)())(())((x f x I f x f I A A == ，于是有.f f I A =由(1)和(2)知，若A A f →:，则f f I I f A A == .5.试举出一个例子说明f f f = 成立，其中A A f →:且A I f ≠. 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解 令},,{c b a A =，a c f b f a f ===)()()(，即对于任意A x ∈，a x f =)(，显然A A f →:且A I f ≠. 而对于任意A x ∈，有a a f x f f x f f ===)())(())(( ，因此f f f = .若f f f = 且f 的逆映射1-f 存在，由第3题知A I f f f f ==，所以)()(11A I f f f f f --=，于是利用定理7有A I f f f f f )()(11--=，进而A A A I I f I =，因此A I f =. 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6.设C B g B A f →→:,:. 若f 和g 是满射，则g f 是满射，试证明.证 因为f 是满射，所以B A f =)(. 又因为g 是满射，所以C B g =)(. 于是C B g A f g A g f ===)())(())(( ，因此g f 是A 到C 的满射.另证 对于任意C z ∈，因为g 是满射，于是存在B y ∈使得z y g =)(. 又因为f 是满射，存在A x ∈使得y x f =)(. 因此，z y g x f g x g f ===)())(())(( ，所以g f 是A 到C 的满射.7.设C B g B A f →→:,:. 试证明: 若g f 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证 对于任意A x x ∈21,，假定)()(21x f x f =，则显然))(())((21x f g x f g =，即))(())((21x g f x g f =. 因为g f 是单射，所以21x x =，于是f 是单射.例如},{b a A =，}3,2,1{=B ，},,,{δγβα=C ，令2)(,1)(==b f a f ，ββα===)3(,)2(,)1(g g g ，则显然有,)1())(())((α===g a f g a g f ,)2())(())((β===g b f g b g f 于是g f 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8.设,:B A f →若存在A B g →:，使得A I g f = 且B I f g = ，试证明: f 是双射且.1g f =-证 因为A I g f = ，而A I 是单射，所以f 是单射. 又因为B I f g = ，而B I 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以1-f存在. 因为A I g f = ，于是A I f g f f 11)(--=.而A I f g f f 11)(--=且1-=f g I B ，所以有.1g f =-9.设C B g B A f →→:,:.若f 和g 是双射，则g f 是双射且111)(---=f g g f .证 根据定理4(1)(2)知，g f 是双射. 下证111)(---=f g g f . 因为A B I f f f I f f g g f fg g f ====------111111)()()( ， C B I g g g I g g f f g g f f g ====------ 111111)()()(，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，111)(---=f g g f .10.设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意G g f ∈,，有G g f ∈ .(2)对于任意G h g f ∈,,，有).()(h g f h g f =(3)G I A ∈且对于任意G f ∈，有f I f f I A A == .(4)对于任意G f ∈，有G f ∈-1且A I f f f f ==-- 11.证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11.若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解 将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有623=⨯个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于2||,3||==B A ，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设n B m A ==||,||.(1) A 到B 的满射 若n m <，不存在满射；若n m ≥，先将m 个元素划分成n 个块(参见1.5节)，共有),(n m S 种方式；再将B 中元素进行全排列，共有!n 种方式，于是A 到B 的满射共有!),(n n m S ⋅个.(2) A 到B 的单射 若n m >，不存在单射；若n m ≤，由于B 中任意选取m 个元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有!m C m n ⋅个.(3)A 到B 的双射 若n m ≠，不存在双射；若n m =，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有!m 个.12.设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令D B C A h ⨯→⨯:，对任意,),(C A c a ⨯∈)).(),((),(c g a f c a h = 证明:h 是双射.证 对于任意C A c a ⨯∈),(11，C A c a ⨯∈),(22，假定),(),(2211c a h c a h =，即))(),(())(),((2211c g a f c g a f =，于是)()(21a f a f =且)()(21c g c g =，根据已知条件有21a a =且21c c =，进而),(),(2211c a c a =，因此h 是单射.任意D B d b ⨯∈),(，则D d B b ∈∈,，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在C c A a ∈∈,使得d c g b a f ==)(,)(，因此),())(),((),(d b c g a f c a h ==，所以h 是满射.故h 是双射.13.设A C h C B g B A f →→→:,:,:，若A I h g f = ，B I f h g = ，C I g f h = ，则h g f ,,均可逆，并求出111,,---h g f .证 因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于A I h g f = ，所以f 是单射且h 是满射. 由于B I f h g = ，所以g 是单射且f 是满射. 由于C I g f h = ，所以h 是单射且g 是满射. 于是h g f ,,是双射，因此h g f ,,均可逆.由于A I h g f = ，所以h g f =-1且g f h =-1，进而f h g =-1.14.已知Ackermann 函数N N N :→⨯A 的定义为(1);0,1),0(≥+=n n n A(2);0),1,1()0,(>-=m m A m A(3).0,0)),1,(,1(),(>>--=n m n m A m A n m A分别计算)3,2(A 和)2,3(A .解 由已知条件有2)1,0(=A ，2)1,0()0,1(==A A ，于是312)2,0())0,1(,0()1,1(=+===A A A A ，413)3,0())1,1(,0()2,1(=+===A A A A ，由此可进一步得出2),1(+=n n A ，3)1,1()0,2(==A A ，523)3,1())0,2(,1()1,2(=+===A A A A ，725)5,1())1,2(,1()2,2(=+===A A A A ， 927)7,1())2,2(,1()3,2(=+===A A A A . 因此有32),2(+=n n A ，5312)1,2()0,3(=+⋅==A A ，13352)5,2())0,3(,2()1,3(=+⋅===A A A A ， 293132)13,2())2,2(,2()2,3(=+⋅===A A A A . 所以有29)2,3(,9)3,2(==A A .。
离散数学习题与解答
第一章 集合、关系与函数 习题答案1、用列举法表示下列集合。
（1）{x|x 是小于20的正偶数}={2，4，6，8，10，12，14，16，18}（2）{x|x 是整数，x 2＜80}={0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8} （3）{x|x=3k ，k 是小于10的素数}={6,9,15,21}（4）{x|x 是能整除30的正整数}={1，2，3，5，6，10，15，30}（5）{x|x 是小于30的素数}={2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}2、用特征法表示下列集合。
（1）{1，3，5，…，99}={x|x 是正奇数，x ≤99}（2）{1，4，9，16，25}={x|x=k 2,k 是正整数，k ≤5}（3）{5，10，15，…，100}={x|x=5k,k 是正整数，k ≤20}（4）{1，23，2，25，3，27，4}={x|x=21+k ，k 是正整数，k ≤7} 3、设A ，B ，C 是集合，确定下列命题是否正确，并说明理由。
（1）如果A ∈B,B ⊆C,则A ⊆C 。
解：不正确。
例如，A={a}，B={{a},b}，C={{a},b }。
易见A ∈B,B ⊆C 但A C。
（2）如果A ∈B,B ⊆C,则A ∈C 。
解：正确。
因为B ⊆C ，所以B 中元素都属于C ，而A ∈B ，所以A ∈C 。
（3）如果A ⊆B,B ∈C,则A ∈C 。
解：不正确。
例如，A={a}，B={a,b}，C={{a,b}}。
易见A ⊆B,B ∈C 但A ∉C 。
（4）如果A ⊆B,B ∈C,则A ⊆C 。
解：不正确。
例如，A={a}，B={a,b}，C={{a,b}}。
易见A ⊆B,B ∈C 但A C。
4、确定下列命题是否正确。
（1）φ⊆φ 正确。
（2）φ∈φ 错误。
（3）φ⊆{φ} 正确。
离散数学第二版课后答案pdf
离散数学第二版课后答案pdf选择题：1. 以下哪个函数不是单射？A. f(x)=x+1B. f(x)=x²C. f(x)=sin(x)D. f(x)=|x|2. 设 A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=？A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4,5}3. 若 5n+1 是完全平方数，则 n 的取值范围是？A. n 是任意自然数B. 1、3、11C. 2、3、7D. 0、2、84. 若 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.1，则P(A∪B)=？A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 在一个 10 个点的完全图中，不同颜色的边有红、蓝、绿三色，其中红边有 3 条，蓝边有 2 条，绿边有 5 条，则将这 10 个点分成涂3 种颜色的三部分的方案数为？A. 6552B. 1260C. 3150D. 5040选择题答案：1. C2. D3. B4. A5. C填空题：1. 用 1,2,3,4,5 这 5 个数字，能组成多少个长度为 3 的无重复的数字串？答：602. 已知 a+b=7，a-b=3，则 a²-b²=？答：203. 一个无向图有 8 条边，则它的图的边数有多大范围？答：4≤边数≤284. 在一组含有 5 个正整数的数列中，最大值是最小值的 3 倍，则这5 个数中的最小值不能小于多少？答：55. 若 G 是一个有 n 个点的简单无向图，且 G 不是完全图，则 G 中边的数量最少是多少？答：n填空题答案：1. 602. 203. 4≤边数≤284. 55. n解答题：1. 一张简单无向图 G 有 10 个顶点和 20 条边，证明 G 中至少有 3 个度数为偶数的顶点。
答：设 G 中度数为奇数的点的个数为 x，度数为偶数的点的个数为 y，则 x+y=10，2x+4y=40，化简得 x=2y-10，由于每个点的度数都是偶数或奇数，所以 2x+20-y 是偶数，即 2(2y-10)+20-y=3y-10 是偶数，即 y 是奇数。
第1章 集合、映射与运算
有限集合A的元素个数|A|.
Remarks 1.集合中的元素可以是集合, 例如A = {a, {a, b}, b, c}. 2.集合之间的元素原则上是没有次序的, 如 A = {a, {a, b}, b, c}就是 {a, b, c , {a, b}}; 3.集合中的元素原则上不重复, 如{a, {a, b}, b, b, c}还是集合A. 不含有任意元素的集合称为空集, 记为或 不含有任意元素的集合称为空集, 记为 { }.
1.1.2 子集 A B, 特别地是任意集合的子集. A = B. Theorem 1-2(P3) (1) A A. (2) A B, B A A = B. (3) A B, B C A C.
Theorem 1-3 A = B A B 且 B A.
注意 ∈与 的不同. 例1-2 由A B, B∈ C可否得出A C? Solution 不成立,例如A = {a, b}, B = {a, b, c}, C = {a, {a, b, c}}. 课堂练习: 4, 5. 1.1.3 幂集 P( X ) = {A| A X} X = {a, b} P(X) = {, {a}, {b}, {a, b}}.
B × A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)}
B×C = {(1, ), (2, )}
C×A×B = {(, a, 1), (, b, 1), (, a, 2), (, b, 2)}.
Theorem Hint
| A|= m,| B |= n A× B |= mn. | A× B = {( x, y) | x ∈ A, y ∈B}.
(x, y, z)
邓辉文 离散数学章节
习题 4.2122 4.3 谓词公式的解释及类型 124 4.3.1 谓词公式的解释 124 4.3.2 谓词公式的类型 125 习题 4.3125 4.4 逻辑等值的谓词公式 127 4.4.1 谓词公式等值的定义 127 4.4.2 基本等值式 127 习题 4.4129 4.5 谓词公式的前束范式 129 4.5.1 谓词公式的前束范式的定义 129 4.5.2 谓词公式的前束范式的计算 130 习题 4.5130 4.6 谓词逻辑中的推理 131 4.6.1 逻辑蕴涵式 131 4.6.2 基本推理规则 131 4.6.3 谓词逻辑的自然推理系统 132 习题 4.6134 第 5 章 代数结构 136 5.1 代数结构简介 136 5.1.1 代数结构的定义 136 5.1.2 两种最简单的代数结构: 半群及独异点 137 5.1.3 子代数 138 5.1.4 代数结构的同态与同构 138 习题 5.1140 5.2 群的定义及性质 141 5.2.1 群的有关概念 141 5.2.2 子群 143 5.2.3 群的同态 144 习题 5.2144 5.3 环和域 145 5.3.1 环的定义 145 5.3.2 几种特殊的环 146 5.3.3 域的定义 147 5.3.4 有限域 148 习题 5.3149 5.4 格与布尔代数 150 5.4.1 格的定义和性质 150 5.4.2 分配格 153 5.4.3 有补格 154 5.4.4 布尔代数 155 习题 5.4157 第 6 章 图论 159 6.1 图的基本概念 159 6.1.1 图的定义 159 6.1.2 邻接 161
否定联结词
Hale Waihona Puke 瘙綈p81 3.2.2 合取联结词 p∧q81 3.2.3 析取联结词 p∨q81 3.2.4 异或联结词 pq82 3.2.5 条件联结词 p→q82 3.2.6 双条件联结词 pq83 3.2.7 与非联结词 p↑q83 3.2.8 或非联结词 p↓q84 3.2.9 条件否定联结词 p→nq84 习题 3.284 3.3 命题公式及其真值表 85 3.3.1 命题公式的定义 85 3.3.2 命题的符号化 86 3.3.3 命题公式的真值表 86 3.3.4 命题公式的类型 87 习题 3.388 3.4 逻辑等值的命题公式 89 3.4.1 逻辑等值的定义 90 3.4.2 基本等值式 91 3.4.3 等值演算法 92 3.4.4 对偶原理 93 习题 3.493 3.5 命题公式的范式 95 3.5.1 命题公式的析取范式及合取范式 95 3.5.2 命题公式的主析取范式及主合取范式 98 习题 3.5103 3.6 联结词集合的功能完备性 104 3.6.1 联结词的个数 104 3.6.2 功能完备联结词集 105 习题 3.6107 3.7 命题逻辑中的推理 108 3.7.1 推理形式有效性的定义 108 3.7.2 基本推理规则 109 3.7.3 命题逻辑的自然推理系统 110 习题 3.7114 第 4 章 谓词逻辑 116 4.1 个体、谓词、量词和函词 116 4.1.1 个体 116 4.1.2 谓词 117 4.1.3 量词 117 4.1.4 函词 119 习题 4.1119 4.2 谓词公式及命题的符号化 120 4.2.1 谓词公式 120 4.2.2 命题的符号化 120
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1.5集合的划分与覆盖
习题1.5
1.设},,,{d c b a A =，求出集合A 的所有不同的划分.
解 可以按照划分的块的数目依次求出A 的所有不同的划分共15个. 仅一个划分块:}},,,{{1d c b a =π.
有两个划分块: }},,{},{{2d c b a =π，}},,{},{{3d c a b =π，
}},,{},{{4d b a c =π，}},,{},{{5c b a d =π；
}},{},,{{6d c b a =π，}},{},,{{7d b c a =π，
}},{},,{{8c b d a =π. 有三个划分块: }},{},{},{{9d c b a =π，}},{},{},{{10d b c a =π，
}},{},{},{{11c b d a =π，}},{},{},{{12d a c b =π，
}},{},{},{{13c a d b =π，}},{},{},{{14b a d c =π.
有四个划分块: }}{},{},{},{{15d c b a =π.
2.对于整数集合Z ，令
}Z |3{1∈=k k A ，}Z |13{2∈+=k k A ，}Z |23{3∈+=k k A , 则},,{321A A A 是Z 的划分. 试验证之.
解 因为(1)≠i A ∅，3,2,1=i .
(2)=⋂j i A A ∅，3,2,1,,=≠j i j i .
(3)=⋃⋃321A A A Z.
所以，},,{321A A A 是Z 的划分.
3.设}|{I i A i ∈=π是集合A 的一种划分，对于集合B ，所有≠⋂B A i ∅的B A i ⋂组成的集合是B A ⋂的划分. 试证明之.
证 对于任意j i ≠，因为=⋂j i A A ∅，于是
=⋂⋂=⋂⋂⋂B A A B A B A j i j i )()(∅=⋂B ∅.
又因为A A
I i i =∈ ，所以
B A B A B A I
i i
I i i ⋂=⋂=⋂∈∈ )(. 故≠⋂⋂B A B A i i |{∅},I i ∈是B A ⋂的划分.
4.设集合A 有两种划分}|{1I i A i ∈=π和}|{2J j B j ∈=π，问21ππ⋃是否必是A 的划分，为什么？21ππ-呢?
解
21ππ⋃及21ππ-均不一定是A 的划分. 例如},,,{d c b a A =，
取A 的划分为 }},,{},{{1d c b a =π，}},{},{},{{2c b d a =π，
这时}},,{},,{},{},{{21d c b c b d a =⋃ππ，}},,{{21d c b =-ππ，它们都不是A 的划分.
5.证明: 设1≥n ，则
(1).1)1,(=n S
(2).1),(=n n S
(3).12)2,(1-=-n n S
证 (1)和(2)显然.
(3)将n 个元素的集合A 划分成2个块1A 和2A ，先将A 中的第一个放在第一个块1A 中，对于其余的1-n 个元素分别考虑是否与第一个元素在同一个块
1A 中，只有两种情况发生: 1A x ∈或1A x ∉，于是共有1122...22--=⋅⋅⋅n n 种放的
方式，但要排除所有元素都在1A 中而2A 为空的情形. 故.12
)2,(1-=-n n S 6.设},,,,,,,,,,{j i h g f e d c b a A =},,,,{1d c b a A = },,,{2g f e A = },,,,{3i g e d A =},,,{4j h d A =},,,{5j i h A =},,,,,,{6j h f c b a A =分别判定下列集合是否是A 的划分、覆盖: (1)},,{521A A A . (2)},,{531A A A . (3)}.,{63A A
(4)}.,,{432A A A
解 显然对于任意61≤≤i ，有≠i A ∅.
(1)因为=⋂21A A ∅，=⋂51A A ∅，=⋂52A A ∅且A A A A =⋃⋃521，所以},,{521A A A 是A 的划分.
(2)由于A f ∈而531A A A f ⋃⋃∉，所以},,{531A A A 不是A 的覆盖.
(3)因为=⋂63A A ∅，且A A A =⋃63，所以},{63A A 是A 的划分.
(4)由于A a ∈而432A A A a ⋃⋃∉，所以},,{432A A A 不是A 的覆盖.
7.写出集合},{b a A =的所有不同的覆盖.
解 由A 得到的非空子集为},{},{},{b a b a ，于是},{b a A =的所有不同的覆盖分别为
(1)}},{{b a .
(2)}}{},{{b a .
(3)}},{},{{b a a .
(4)}},{},{{b a b .
(5)}},{},{},{{b a b a .。