必修1第三章对数函数的运算法则(全)
对数的运算 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
=-1.
10
解：
11
2. 用lnx , lny , lnz 表示下列各式：
解：(1) lg(xyz)
=lgx+lgy+lgz.
(2)
=lgx+lgy2–lgz
=lgx+2lgy–lgz.
(1) lg(xyz);
= lg(xy2)–lgz
12
(1)利用计算工具求ln2, ln3的近似值;(2)由对数的定义,你能利用ln2, ln3的值求log23的值吗？(3)根据对数的定义, 你能用logca, logcb表示logab(a>0, 且a≠1; b>0, c>0, 且c≠1)吗？
ax =N logaN = x
5
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
设M=am , N=an,
因为aman=am+n, 所以MN=am+n.
根据指数与对数间的关系可得
logaM=m, logaN=n, loga(MN)=m+n.
3
复习回顾
1. 实数指数幂的运算性质
x = logaN ,
其中a叫做对数的底数，N叫做真数 .
2. 对数的定义
3. 两种特殊的对数
(1) 以10为底的对数叫常用对数, 并把
log10N记作lgN .
(2) 以无理数 e (e=2.71828…)为底的对数叫自然对数, 并把
logeN记作lnN .
(1) aras =ar+s (a>0 , r , s∈R);
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.
由lgE=4.8+1.5M, 可得
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全对数函数是指以常数为底的对数函数。
对数函数运算公式如下：1. 对数函数定义：对数函数的定义为 y = logₐ(x)，其中 a 为底数，x 为实数。
2.换底公式：- logₐ(x) = logₑ(x) / logₑ(a)，其中 logₑ表示以自然对数为底的对数。
- logₐ(x) = 1 / logₐ(a)。
- logₐ(b) = logₐ(c) / logₐ(b)，其中 b、c 为任意正数。
3.对数函数的性质：- logₐ(1) = 0，对于任意正数 a。
- logₐ(a) = 1，对于任意正数 a。
- logₐ(a^m) = m，对于任意正数 a 和整数 m。
- logₐ(m * n) = logₐ(m) + logₐ(n)，对于任意正数 a、m 和 n。
- logₐ(m / n) = logₐ(m) - logₐ(n)，对于任意正数 a、m 和 n。
- logₐ(m^n) = n * logₐ(m)，对于任意正数 a、m，并且 n 为任意实数。
- a^logₐ(x) = x，对于任意正数 a 和实数 x。
4.常用对数函数：- 以底数 10 的对数函数称为常用对数函数，记为 log(x) 或 lg(x)。
- log(x) 的运算规则与对数函数相同。
5.自然对数函数：- 以底数 e(自然常数) 的对数函数称为自然对数函数，记为 ln(x)。
- ln(x) 的运算规则与对数函数相同。
6.对数函数的图像及性质：-对数函数的图像是一个以点(1,0)为对称轴的增函数，即随着x的增大，y也增大。
- 当 x > 1 时，logₐ(x) > 0；当 0 < x < 1 时，logₐ(x) < 0；当 x = 1 时，logₐ(x) = 0。
-当a>1时，对数函数呈现上凸形状；当0<a<1时，对数函数呈现下凸形状。
以上是对数函数运算公式的大致内容，其中包含了对数函数的定义、换底公式、性质以及常用对数函数和自然对数函数的特点。
对数运算法则(自然对数ln的运算)
对数运算法则(自然对数ln的运算)Ln的运算法则：（1）ln（MN）＝lnM ＋lnN（2）ln（M／N）＝lnM－lnN（3）ln（M＾n）＝nlnM（4）ln1＝0（5）lne＝1注意：拆开后，M，N需要大于0。
自然对数以常数为底数的对数。
记作lnN(N>0)。
扩展资料有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。
单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。
如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f （x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。
单调递增和单调递减的函数统称为单调函数log对数函数基本十个公式？以下是常用的log对数函数的十个基本公式：loga(1) = 0：任何正数的1次幂都等于1，因此loga(1)等于0。
loga(a) = 1：对数函数是幂函数的反函数，因此loga(a)等于1。
loga(ab) = loga(a) + loga(b)：对数函数具有加法性，即对数函数中两数之积的对数等于这两个数分别取对数后相加。
loga(a/b) = loga(a) - loga(b)：对数函数具有减法性，即对数函数中两数之商的对数等于这两个数分别取对数后相减。
loga(an) = n：对数函数中a的n次幂的对数等于n。
a^(loga(x)) = x：对数函数是幂函数的反函数，因此a的loga(x)次幂等于x。
loga(x·y) = loga(x) + loga(y)：对数函数具有乘法性，即对数函数中两数之积的对数等于这两个数分别取对数后相加。
loga(x/y) = loga(x) - loga(y)：对数函数具有除法性，即对数函数中两数之商的对数等于这两个数分别取对数后相减。
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全对数函数是数学中的一种重要函数。
它主要由幂函数的逆运算演变而来，可以描述幂函数的指数部分。
对数函数的定义如下：对于任意的正实数 a 和正实数 x，我们将 b 称为以 a 为底 x 的对数，记作 logₐ(x) = b，如果且仅如果 a^b = x。
在实际问题中，对数函数常被用于解决各种指数增长和指数衰减的问题。
我们先来看一下对数函数的基本特性。
1.对数函数的定义域是正实数集，即x∈(0,+∞)。
2.对数函数的值域是全部实数集，即y∈(-∞,+∞)。
3. 对数函数的图像是由直线 y = x 和平行于 x 轴的直线 y =logₐx 组成。
当a>1时，对数函数是增函数；当0<a<1时，对数函数是减函数。
4.对数函数的性质：(a) logₐ(xy) = logₐx + logₐy(b) logₐ(x/y) = logₐx - logₐy(c) logₐ(x^n) = nlogₐx(d) logₐ(1/x) = -logₐx(e) logₐ1 = 0(f) logₐa = 1(g) log₁₀x = loga(x)/loga(10)下面我们来看一些常见的对数函数运算公式。
1. 换底公式：logₐb = logc(b) / logc(a)，其中 c 是任意的正实数。
2. 对数的乘法运算公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy3. 对数的除法运算公式：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy4. 对数的幂运算公式：logₐ(x^n) = nlogₐx5. 对数的倒数运算公式：logₐ(1/x) = -logₐx6. 底数为 10 的对数与底数为 a 的对数的转换关系：log₁₀x = loga(x) / loga(10)7. 自然对数和常用对数的转换关系：logₑx = ln(x) / ln(ₑ10)8. 对数函数与指数函数的逆运算关系：a^logₐx = x有了以上的对数函数运算公式，在解决实际问题中，我们可以更方便地进行计算和分析。
对数函数的运算法则
对数函数的运算法则对数函数是数学中常见的一类函数，它在许多科学领域都有广泛的应用。
在对数函数的运算中，有一些基本的法则和性质可以帮助我们简化计算和推导。
本文将介绍对数函数的常用运算法则，包括对数的加减法、乘除法、指数运算法则以及对数函数的换底公式。
一、对数的加减法对数函数的加减法法则可以用以下两个公式表示：1. 对数的加法法则：loga (mn) = loga m + loga n这个公式表示，在同一个底数a下，两个数的乘积的对数等于它们分别的对数之和。
例如，log2 (8×16) = log2 8 + log2 16 = 3 + 4 = 72. 对数的减法法则：loga (m/n) = loga m - loga n这个公式表示，在同一个底数a下，两个数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
例如，log10 (100/10) = log10 100 - log10 10 = 2 - 1 = 1二、对数的乘除法对数函数的乘除法法则可以用以下两个公式表示：1. 对数的乘法法则：loga (m^p) = p*loga m这个公式表示，在同一个底数a下，一个数的指数乘积的对数等于指数与底数的对数之积。
例如，log3 (9^2) = 2*log3 9 = 2*2 = 42. 对数的除法法则：loga (m^p/n^q) = p*loga m - q*loga n这个公式表示，在同一个底数a下，两个数的指数商的对数等于被除数的指数与底数的对数之差。
例如，log5 (25^2/5^3) = 2*log5 25 - 3*log5 5 = 2*2 - 3*1 = 4 - 3 = 1三、指数运算法则对数函数的指数运算法则可以用以下两个公式表示：1. 指数和对数的互换：a^loga m = m这个公式表示，在同一个底数a下，以底数为底的对数和指数可以互相抵消，得到原来的数。
例如，2^log2 8 = 82. 对数的指数运算：loga (a^m) = m这个公式表示，在同一个底数a下，以底数为底的对数函数和指数函数可以互相抵消，得到原来的指数。
对数函数运算法则公式
对数函数运算法则公式一、什么是对数函数对数函数，又称为指数函数，是一类常见的数学函数，它可以用来表达不同系数的多次方之间的关系。
它的基本形式为y=loga x (a>0, a≠1)，其中 a 为底数，x 为真数，y 为对数。
二、对数函数运算法则1. 同底数相加/减法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1+y2=loga x+loga m =loga (xm)y1-y2=loga x-loga m =loga (x/m)2. 同底数乘/除法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1*y2=loga x*loga m =loga (x^m)y1/y2=loga x/loga m =loga (x^(1/m))3. 相乘/除法则：若 y1=loga x，y2=logb m，则有：y1*y2=loga x*logb m =loga (x^b)y1/y2=loga x/logb m =loga (x^(1/b))4. 幂函数的对数运算法则：若 y=ax，则有：loga y=x*loga a5. 指数函数的对数运算法则：若 y=a^x，则有：loga y=x*loga a6. 反函数的对数运算法则：若 y=f-1(x)，则有：loga y=loga f-1(x)=loga x7. 同余式的对数运算法则：若y=a^x ≡ b^x mod c，则有：loga y=x*loga a ≡ x*loga b mod c三、总结以上就是关于“对数函数运算法则公式” 的详细介绍，它是一类常见的数学函数，可以用来表达不同系数的多次方之间的关系，它有 7 种运算法则，即同底数相加/减法、同底数乘/除法、相乘/除法、幂函数的对数运算法则、指数函数的对数运算法则、反函数的对数运算法则以及同余式的对数运算法则。
对数函数运算公式
对数函数运算公式对数函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和科学运算中都有广泛的应用。
对数函数有着丰富的性质和运算规则，下面将介绍对数函数的运算公式。
1.对数函数的定义：对数函数是指关于求对数的函数，一般表示为y = logₐx，其中a是底数，x是真数，y是对数。
对数函数的定义域是x > 0，值域是实数集。
2.对数的含义：对数的含义是指一个数相对于一个给定底数的幂次。
对数函数的运算公式是以底数为底的指数函数的反函数。
即x = a^y，y = logₐx。
3.基本对数函数的性质和运算规则：- logₐa = 1：任何数以自己为底的对数都等于1- logₐ1 = 0：任何底数为自然数的对数都等于0。
- logₐaⁿ = n：任何底数为幂的对数等于指数。
- logₐxy = logₐx + logₐy：两个数的乘积的对数等于它们的对数之和。
- logₐ(x/y) = logₐx - logₐy：两个数的商的对数等于它们的对数之差。
- logₐxⁿ = nlogₐx：一个数的幂的对数等于幂次与对数的乘积。
- logₐa = 1/logₐa：对数函数的互逆性，任何数以底数为底的对数等于指数函数的互逆。
4.对数函数的换底公式：换底公式是指当给定一个对数的底不是我们所熟悉的常用底数，需要将其换成我们所熟悉的底数的公式。
换底公式如下：logₐx = logᵦx / logᵦa其中，a,b,x为正实数，且a≠1,b≠15.对数函数与指数函数的关系：对数函数和指数函数是互为反函数的关系，即对数函数是指数函数的反函数，反之亦然。
对数函数可以用来求解指数方程，而指数函数可以通过对数函数求解指数方程的解。
6.常用对数函数：在实际应用中，常用的对数函数是以10为底的常用对数函数（log₁₀x），以及以自然对数e为底的自然对数函数（lnx）。
常用的对数函数主要用于科学计算、对数缩尺、音量、酸碱度等方面。
总结起来，对数函数的运算公式包括对数函数的性质和运算规则、换底公式、对数函数与指数函数的关系等。
必修对数函数的运算法则全
【一.教学内容：对数运算、对数函数二.重点、难点：1.对数运算（1）x N a =log N a x =⇔（2）01log =a（3）1log =a a[例215151515（3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626；（4）=⋅81log 16log 329； （5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384；（6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。
解：（1）原式491733)3(27log 7log 27log 22333=====---- （2）原式115log 15==（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=（4）原式58)3log 54()2log 24(23=⋅= （5）原式815)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅= （6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=[例2]若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 5515=0=，试比较z y x 、、的大小关系。
解：log 2〔log 21(log 2x)〕＝0⇒log 21(log 2x)＝1⇒log 2x ＝21⇒x ＝2＝(215)301.11[例[例C 1，C 2[例[例（1）1log 2-=x y（2）)82(log 221--=x x y解：（1）↑=t y 2log 1-=x t ↑+∞↓-∞),1()1,(∴)(x f y =在（+∞,1）↑（2）↓=t y 21log 822--=x x t ↑+∞↓--∞),4()2,(∴)(x f y =在↑--∞)2,([例7]研究函数)1(log )(22x x x f y -+==的定义域、值域、奇偶性、单调性。
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【本讲教育信息】一. 教学内容：对数运算、对数函数二. 重点、难点： 1. 对数运算0,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a（1）x N a =log N a x=⇔（2）01log =a （3）1log =a a（4）N a Na =log（5）N M N M a a a log log )(log +=⋅（6）N M N Ma a alog log log -= （7）M x M a xa log log ⋅=（8）a M M b b a log /log log =（9）b xyb a ya x log log =（10）1log log =⋅a b b a2. 对数函数x y a log =，0>a 且1≠a 定义域 （+∞,0） 值域R单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0）图象x y a log =与x y a1log =关于x 轴对称【典型例题】[例1] 求值（1）=7log 3)91( ；（2）=-++4log 20log 23log 2log 15151515 ； （3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626 ；（4）=⋅81log 16log 329 ；（5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384 ； （6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。
解：（1）原式491733)3(27log 7log 27log 22333=====---- （2）原式115log 15==（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=236log 18log 2log 666==+=（4）原式58)3log 54()2log 24(23=⋅=（5）原式815)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅=（6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=2100lg 2lg 225lg ==+=[例2] 若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 5515=0=，试比较z y x 、、的大小关系。
解：log 2〔log 21 (log 2x)〕＝0⇒log 21(log 2x)＝1⇒log 2x ＝21⇒x ＝2＝(215)301.同理可得 y ＝33＝(310)301,z ＝55＝(56)301.∵310>215>56，由幂函数y ＝x 301在(0，+∞)上递增知，y>x>z.[例3] 若==2121log log b b a a ……λ==n a b n log ，则=⋅)(log 21)(21n a a a b b b n 。
解：由已知λ11a b =，λλn n a b a b == 22∴ λ)()(11n n a a b b =∴ λ=)(log 21)(1n a a b b b n[例4] 图中四条对数函数x y a log =图象，底数a 为101,53,34,3这四个值，则相对应的C 1，C 2，C 3，C 4的值依次为（ ）A.101,53,34,3 B. 53,101,34,3 C. 101,53,3,34 D. 53,101,3,34答案：A[例5] 求下列函数定义域（1）)]lg[lg(lg x y =（2）)43lg(2--=x x y （3）)1(log 21-=x y解：（1）1lg 0]lg[lg =>x ∴ 1lg >x ∴ ),10(+∞∈x （2）0432>--x x ),4()1,(+∞⋃--∞∈x （3）110≤-<x ]2,1(∈x[例6] 求下列函数的增区间（1）1log 2-=x y （2）)82(log 221--=x x y解：（1）↑=t y 2log 1-=x t ↑+∞↓-∞),1()1,( ∴ )(x f y =在（+∞,1）↑（2）↓=t y 21log 822--=x x t ↑+∞↓--∞),4()2,(∴ )(x f y =在↑--∞)2,([例7] 研究函数)1(log )(22x x x f y -+==的定义域、值域、奇偶性、单调性。
解：（1）x x x x ≥=>+221 ∴ 012>-+x x ∴ 定义域为R（2）R x ∈),0(12+∞∈-+x x ∴ R y ∈为值域（3）)1(log )](1)([log )(2222x x x x x f ++=--+-=- )()1(log 11log 12222x f x x xx -=-+=-+=-∴ 奇函数（4）),0(+∞∈x 时，xx x x y ++=-+=11log )1(log 2222↓++=xx t 112t y 2log =↑ ∴ )(x f y =在),0(+∞上↓∵ 奇函数 ∴ )(x f y =为R 上↓[例8] 已知)1,0(∈x ，0>a 且1≠a ，试比较)1(log x a +与)1(log x a -的大小关系。
解：（1）)1,0(∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+0)1(log )1(log )1(log 2<--=--+-=x x x a a a（2）),1(+∞∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+)1(log )1(log x x a a -++=0)1(log 2<-=x a综上所述，)1(log )1(log x x a a -<+[例9] 函数)34(log )(22++==kx kx x f y（1）若定义域为R ，求k 的取值范围。
（2）若值域为R ，求k 的取值范围。
解：（1）0=k 时，3log 2=y R x ∈4300121602<<⇒⎩⎨⎧<-=∆>k k k k ∴ )43,0[∈k （2）⎩⎨⎧≥-=∆>0121602k k k ),43[+∞∈⇒k【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 求值：（1）=-2log 5)1251(； （2）=+-+8lg 5.0lg 215lg 4lg ； （3）=+-)2log 3(log )6)(log 6(log 3232 ；（4）=-+++6lg 26lg )6(lg 3lg 2lg 62。
2. 正实数y x ,满足zyx643==（1）求证：yx z 2111=- （2）比较y y x 6,4,3的大小关系3. 已知a =2log 3，b =2log 5试用b a ,表示90log 304. ),1(d x ∈，x a d 2log =，2log x b d =，)(log log x c d d =，试比较c b a ,,大小关系。
5. 若12>>>a b a ，则b a abb a a b b alog ,log ,log ,log 的大小关系是 。
6. 1>>m n ，试比较n m log 与n m 2log 2的大小关系。
7. 研究函数)1(log )(-==xa a x f y （0>a 且1≠a ）的定义域及单调性。
【试题答案】1.（1）8558log )2log (355==-- （2）原式1lglg 22==（3）2)2log 3(log )2log 1)(3log 1(3232=+-++（4）16lg 16lg )16(lg 3lg 2lg 2=-+=-++ 2.（1）令010643>===kz y x ∴ 6lg 4lg 3lg kz k y k x ===2lg 1)3lg 6(lg 111k k x z =-=- 2lg 124lg 21kk y == ∴ 成立（2）k k k y x =-=-4lg 43lg 3434lg 3lg 3lg 44lg 3⋅-⋅0]81lg 64[lg 4lg 3lg <-⋅⋅=k]4lg 66lg 4[6lg 4lg 6lg 64lg 464-⋅⋅=-=-kk k z y0]64lg 36[lg 6lg 4lg 2<-⋅=k∴ z y x 643<< 3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5log 13log 122ba5log 3log 15log 3log 2130log 90log 90log 22222230++++==b a ab b a ab ba b a ++++=++++=2111121 4. x x a d d log log ⋅= x b d log 2⋅= ∵ )1,0(log ∈x d∴ c a b >>>05. 0log 1log <-=b b a a a)21,0(0log 1log ∈>-=a a b b b )1,21(log ∈a b )2,1(log ∈b a ∴ baa b a b a b b a log log log log >>>6. m n m n n n m m 22222log 1log 1log log 2log log ++-=-0)log 1(log log log 2222>+-=m m mn 7.（1）)1,0(∈a 01a a x => ∴ 定义域为)0,(-∞ ↓=t y a log↓-=1x a t ∴ ↑=)(x f y（2）),1(+∞∈a 01a a x=> ∴ 定义域为),0(+∞↑=t y a log ↑-=1x a t ∴ ↑=)(x f y。