福建省福州市经济技术开发区2016届高三数学上学期期中试题文

2015～2016学年第一学期期中考高三数学（文科）试卷班级 姓名 座号 考号一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{0,1,2}A =，集合{20}B x x =-<，则A B = （ ）A ．{0,1}B ．{0,2}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i + 3．设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∀∈N ，22n n ≤C ．n ∃∈N ，22nn ≤ D ．n ∃∈N ，22nn =4．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()1f x x =+，则(1)f -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 5．设a ，b 是非零向量，则“a b a b ⋅=⋅”是“a ∥b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数()sin f x x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x=B ．lg y x =C ．21y x =-+D ．x x y e e -=- 8．若4sin 5α=，(,)2παπ∈，则sin 2α的值为（ ） A ．725 B ．725- C ．2425D ．2425-9．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值为（ ）A ．32 B ．2 C ．3 D ．92正视图 侧视图x（第9题图）10．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“开立圆术”，该术给出了已知球的体积V ，求其直径d的一个近似公式d ．它实际上是将球体积公式中的圆周率π近似取值为5416．那么，近似公式d ≈π近似取为（ ）A.258 B. 227 C. 15750 D. 35511311．如图，在ABC ∆中，6AB =，AC =45A ∠= ，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．212．已知函数1,0,()0.xe xf x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞-C ．[2,0]-D ．[1,0]- 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60 ，(1)t t =+-c a b 若0⋅=b c ，则t = ． 14．函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数,则(f f = ．15．曲线1x y e =+在点(0,2)处的切线与直线0y =和1y x =-+围成的三角形的面积为 ．16．若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在0+∞（，）上恒成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知向量(sin(),2x π=-a ，2(sin ,cos )x x =b ，函数()f x =⋅a b ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在2[,]63ππ上的单调性．（第11题图）18．（本小题满分12分）函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，其中a c <，1()2f A =，且a =b =ABC ∆的面积．19．（本小题满分12分）如图，在圆柱1OO 中，BD 是它的一条母线，AB 是底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点． （Ⅰ）求证：AC BCD ⊥平面；（Ⅱ）若M 为BD 的中点，2BD =，1AC =，BC = ①求证：OM ∥平面ACD ； ②求三棱锥D ACM -的体积．20．（本小题满分12分）设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a ∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴交于点(0,6)． （Ⅰ）确定a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x ax b =--（,a b ∈R ）． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值1，求a ，b 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性；（Ⅲ）对于函数()f x 图象上任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y （12x x <），不等式0'()f x k < 恒成立，其中k 为直线AB 的斜率，012(1)x x x λλ=+-，01λ<<，求λ的取值范围．（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题记分．）22．（本小题满分10分．选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线1C的极坐标方程为cos()4πρθ-=2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（Ⅰ）求1C 与2C 交点的直角坐标；（Ⅱ）设P 为2C 的圆心，Q 为1C 与2C 的交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为33,12x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求a ，b 的值．23．（本小题满分10分．选修4-5：不等式选讲） 已知()f x x a =-，其中1a >．（Ⅰ）当2a =时，求不等式()44f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{12}x x ≤≤，求a 的值．福建师大二附中2015～2016学年第一学期期中考高三数学（文科）答案卷一、选择题(60分) 13． ； 14． ； 15． ； 16． ． 三、解答题(70分) 17．（本小题满分12分）18．（本小题满分12分）19．（本小题满分12分）．（本小题满分12分）21．（本小题满分12分）在第22、23两题中任选一题作答． 22．（本小题满分10分）23．（本小题满分10分）福建师大二附中2015～2016学年第一学期期中考高三数学（文科）试卷答案一、选择题(60分)二、填空题（20分）13． 2 ； 14． 1 ； 15．94 ； 16．1{}a a a e e≤-=或．三、解答题（70分） 17．解：（Ⅰ）依题意，得22()(sin(),(sin ,cos )2sin()sin 2cos sin cos 2)1sin 222sin(2)3f x x x x x x x x x x x x x πππ=⋅-⋅=-=+=-=-a b =因此，()f x 的最小正周期为π． （Ⅱ）当2[,]63x ππ∈时，023x ππ≤-≤，从而，当0232x ππ≤-≤，即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增； 当223x πππ≤-≤，即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递增． 综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增，在52[,]123x ππ∈上单调递减．18．解：（Ⅰ）由图象可知，4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==．又3x π=时，22()32k k ππϕπ*⨯+=+∈N ，得2()6k k πϕπ*=-∈N ．又因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()sin(2)6f x x π=-．（Ⅱ）由1()2f A =，得1sin(2)62A π-=．因为a c <，所以A 是锐角，所以52,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以266A ππ-=，得6A π=．由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，则273c =+-2340c c --=． 因为0c >，所以4c =．所以ABC ∆的面积111sin 4222S bc A ==⨯19．解：（Ⅰ）∵AB 为圆O 的直径，∴AC BC ⊥． ∵BD 为圆柱1OO 的母线，∴BD ABC ⊥平面． 又∵AC ABC ⊂平面，∴AC BD ⊥． ∵BC BD B = ，且,BC BD BCD ⊂平面， ∴AC BCD ⊥平面．（Ⅱ）①∵M 为BD 的中点，O 为AB 的中点， ∴OM 为ABD ∆的中位线，∴OM ∥AD ．又∵AD ACD ⊂平面，OM ACD ⊄平面，∴OM ∥平面ACD ． ②由题意，得：1133113D ACM D ABC M ABC ABC ABCV V V BD S BM S ---∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=⨯=20．解：（Ⅰ）因为2()(5)6ln f x a x x =-+，所以6'()2(5)f x a x x=-+． 令1x =，可得(1)16f a =，'(1)86f a =-+，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：16(86)(1)y a a x -=-+-．由点(0,6)在切线上可得61686a a -=-，故12a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，21()(5)6ln 2f x x x =-+（0x >），6(2)(3)'()5x x f x x x x --=-+=．令'()0f x =，可得12x =，23x =．当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表所示：所以函数(f 可知，()f x 在2x =处取得极大值9(2)6ln 22f =+，在3x =处取得极小值(3)26ln 3f =+． 21．解：（Ⅰ）依题意，得1'()f x a x =-，由'(1)0,(1)1f f =⎧⎨=⎩得10,1.a a b -=⎧⎨--=⎩可解得1a =，2b =-．经检验，符合题意． （Ⅱ）1'()axf x x-=，(1,)x ∈+∞． ①当0a ≤时，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增． ②当01a <<时，令'()0f x =，可得1x a=． 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()f x 在区间0,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．③当1a ≥时，'()0f x <，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(1,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a ≥时，()f x 在(1,)+∞上单调递减． （Ⅲ）001211'()=(1)f x a a x x x λλ=--+-， 直线AB 的斜率21212121212121ln ln ()ln ln y y x x a x x x x k a x x x x x x -----===----， 不等式0'()f x k <等价于211221ln ln 1(1)x x x x x x λλ-<+--，即221121ln[(1)]x x x x x x λλ-<⋅+-． 不等式两边同除以1x ，不等式化简为2221111ln [(1)]x x xx x x λλ-<⋅+-， 令211x t x =>，问题转化为1ln [(1)]t t t λλ-<⋅+-，即1ln (ln ln )0t t t t t t λ--+-<恒成立． 令()1ln (ln ln )g t t t t t t t λ=--+-，1t >， ①当102λ<≤时，1ln (ln 1)'()ln (ln 1)t t t t t g t t t t t λλ-++-=-++-=，令()ln (ln 1)t t t t t t ϕλ=-++-，1t >，'()1ln (2ln )(1)ln 21t t t t ϕλλλ=--++=-+-，当102λ<≤时，'()0t ϕ<，故函数()t ϕ在区间(1,)+∞上单调递减，则()(1)0t ϕϕ<=， 所以当(1,)t ∈+∞时，'()0g t <，故()g t 在(1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g <=，符合题意．②法一：当112λ<<时，令'()(1)ln 210t t ϕλλ=-+->，解得1211t e λλ--<<，所以，当121(1,)t e λλ--∈时，'()0t ϕ>，所以()t ϕ在121(1,)eλλ--单调递增，则()(1)0t ϕϕ>=，当121(1,)t eλλ--∈时，'()0g t >，所以()g t 在121(1,)eλλ--单调递增，则()(1)0g t g >=，所以，当121(1,)t e λ--∈时，()0g t >，不符合题意．综上所述，102λ<≤． ②法二：当112λ<<时，由（Ⅰ）令1a =，2b =-，易得(1,)t ∈+∞时，1ln t t ->； ()ln (ln 1)ln (ln ln )ln [(1)]t t t t t t t t t t t t t ϕλλλλ=-++->-++=⋅-+，当(1,)1t λλ∈-时，()0t ϕ>，所以当(1,)1t λλ∈-时，'()0g t >，所以()g t 在(1,)1λλ-上单调递增，则()(1)0g t g >=，所以当(1,)1t λλ∈-时，()0g t >不符合题意．综上所述，102λ<≤． 22．解：（Ⅰ）由cos()4πρθ-=)ρθθ+= 整理得cos cos 4ρθρθ+=，故直线1C 的直角坐标方程为40x y +-=． 由4sin ρθ=可得24sin ρρθ=，故圆2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=． 联立方程组2240,(2)4,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得110,4,x y =⎧⎨=⎩222,2.x y =⎧⎨=⎩ 故1C 与2C 交点的直角坐标为(0,4)，(2,2)．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点P ，Q 的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)， 故直线PQ 的直角坐标方程为2y x =+．由33,12x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩可得122b ab y x =-+．所以1,212,2bab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得1a =-，2b =． 23．解：（Ⅰ）当2a =时，依题意，26,2,()42,24,26, 4.x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤时，由()44f x x ≥--，即()44f x x +-≥，可得264x -+≥，解得1x ≤； 当24x <<时，()44f x x +-≥无解；当4x ≥时，由()44f x x +-≥，可得264x -≥，解得5x ≥． 所以()44f x x ≥--的解集为{15}x x x ≤≥或．（Ⅱ）记()(2)2()h x f x a f x =+-，则2,0,()42,0,2,.a x h x x a x a x x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩由()2h x ≤，解得1122a a x -+≤≤．又已知()2h x ≤的解集为{12}x x ≤≤， 所以11,212,2a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩于是3a =．。