山西省忻州一中2014-2015学年高二数学下学期期中试卷 理
山西省忻州市第一中学高二数学下学期期中试题 理
2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（理）一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2x-1},则(CUM)∪(CUN)= ( ) Ａ．(-1,2) B ．(-∞,2] C ．(-∞,-1)∪(2,+∞) D ．(-∞,-1]∪ 2．设P 为曲线C ：y=x2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4,π2），则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A ． C ．D ．[12,1]3．设函数()x f '是函数()x f 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 （ ）4．右图是计算1+3+5+…+99的值的算法程序框图, 那么在空白 的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 ( ) A. i≤101 B. i≤99 C. i≤97 D. i≤505．若函数f(x)=3cos(2x+α)-sin(2x+α)的图象关于直线x=0对称,则α= ( )Ａ．α=k π-π3(k ∈Z) B ．α=k π-π6(k ∈Z) C ．α=k π+π3(k ∈Z) D ．α=k π+π6(k ∈Z)6．已知||2||,||0a b b =≠r r r ，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅r r r 在R 上有极值，则a r 与b r的夹角范围为（ ）开始结束输出s 否是 s=0s=s+ii=i+2 i=1Ａ．[0,)6π B ．(,]6ππC ．2(,]33ππD ．(,]3ππ7．已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)离心率为32，则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )Ａ．45 B ．25 C ．32 D ．458．若点P 是曲线y ＝x2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小值为 ( )A ．1B ． 2C ．22D ． 3 9．掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则θ∈(0,π2]的概率是 （ ）A ．512B ．12C ．712 D ．5610．斜率为2的直线L 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线与A 、B 两点，若AB 的中点到抛物线准线的距离1，则P 的值为 （ ）Ａ． 1 B ．45 C ．35 D ．2511．已知P(m,n)(m>0,n>0)是f(x)= 13x3﹣52x2﹣x+1856在点x=5处的切线上一点,则14m n +的最小值是 ( ) A. 910B.1921C.1011D.111012．函数()f x 的定义域为R ，()02f =，对任意x R ∈，()()1f x f x '+>，则不等式()1x x e f x e >+的解集是 ( )Ａ．{}0x x > B ．{}0x x <C ．{}11x x x <->或 D ．{}11x x -<<二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分， 13. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积是 . 14. =-⎰42dx x ．15. 已知函数f(x)=x3+ax2﹣43a （a ∈R ），若存在x0，使f(x)在x=x0处取得极值，且f(x0)=0，则a 的值为 ．16．已知函数()x f 在R 上满足()()2122x e x f x f x ++-=-，则曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程是 .三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分)17.(本小题满分10分) 已知等差数列{}n a 中，公差0,d >又231445,14a a a a ⋅=+=（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）记数列11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，求n S18.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （1）求角C 的大小；（2）求3sin cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 19.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ， ∠ABC=60°，E 、F 分别是BC 、PC 的中点． （1）证明：AE ⊥PD ；（Ⅱ）若PA=AB ，求二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．E AF P D 8831 3 1 _14420.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x⑴若x=3是该函数的一个极值点，求函数f(x)的单调区间 ⑵若f(x)在上是单调减函数，求a 的取值范围 21.(本小题满分12分)设椭圆C ：y2a2+x2b2=1(a ＞b ＞0)过点P(32，1)，且离心率e=12.(1)求椭圆C 的方程.(2)若F1、F2为椭圆的两个焦点，A 、B 为椭圆的两点，且AF1→=12BF2→，求直线AF1的斜率.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋2ax，a ∈R.(1) 若函数f(x)在上的最小值为3，求实数a 的值．附加题：1.(5分)函数y=x3-2x+2过点P(2,6)的切线的斜率为 .2.(5分)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是______. 3.(5分)函数f(x)=xln(x-1)x-2，x ∈的值域为 .2014-2015学年度第二学期期中考试试题 高 二 数 学（理）答案DACBB DCBBCB AA 13. 32 14. 7 15. ±3 16．x-y-3=0 １7. (本小题满分10分)解：（1）,0,45,14324132φΘd a a a a a a 且==+=+9,532==∴a a 1,41==∴a d 344)1(1-=-+=∴n n a n ………6分（2)141341(41)14)(34(111+--=+-==+n n n n a a b n n n Θ∴)141341.......9151511(41+--++-+-=n n S n b n n 项和的前14)1411(41+=+-=n n n ……………………10分18(本题满分12分)解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是3cos()3cos()43cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==Q 从而当即时2sin()6A π+取最大值2．3cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==19. (本小题满分12分)（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．因为为的中点，所以．又，因此．因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．…………5分20.(本小题满分12分)解：⑴∵()1021'-++=xxaxf…………………………………………1分∴()010643'=-+=af因此16=a……………………………2分∴()()xxxxf101ln162-++=，其定义域为()+∞-,1……………3分()()()()x x x x x x x x x f +-⋅-=++-=-++=13121342102116'2…………4分当()0'＞x f ，即11＜＜x -，或3＞x 时，函数()f x 单调递增 当()0'＜x f ，即31＜＜x 时，函数()f x 单调递减 ∴()f x 的单调递增区间为()11，-，()∞+，3，单调递减区间为()31，…6分 ⑵∵()f x 在[]1,4上是单调减函数∴()0110821021'2≤+-+-=-++=x a x x x x a x f 在[]1,4上恒成立…7分 ∴010822≤-+-a x x 在[]1,4上恒成立 …………………………8分∴min 2)]1082([---≤x x a …………………………………………9分 ∵在[]1,4上，18)1082(102≤---≤x x …………………………11分 ∴10≤a …………………………………………………………12分 21.(本小题满分12分)(1)由题意知c a =12，1a2+94b2=1，又a2=b2+c2，∴a=2，b=3，c=1故所求的椭圆方程为y24+x23=1…………………………………. …...………..…..(6分)(2)延长AF1交椭圆B′ 由对称性可知 BF2→=F1B′→设A(x1，y1)，B′(x2，y2) AF1→=12F1B′→∴x2=－2x1①当直线AB′斜率不存在时，不符合当直线AB′斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，又F1(0，1) ∴直线AF1y=kx+1 联立 y=kx+1y24+x23=1 消去y ，得(3k2+4)x2+6kx －9=0 ∴x1+x2=－6k 3k2+4② x1x2= －93k2+4③由①②③得k=±25 5 故直线AB 的斜率为±255……………………..…..(12分)22.(本小题满分12分)解 (1)∵f(x)＝ln x ＋2a x ，∴f′(x)＝1x －2ax2.∵f(x)在min ，x ∈min ＝g(2)＝1.∴a≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f′(x)＝x －2ax2，x ∈ ．①若2a<1，则x －2a>0，即f′(x)>0在上恒成立， 此时f(x)在上是增函数．所以min ＝f(1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)．②若1≤2a≤e ，令f′(x)＝0，得x ＝2a. 当1<x<2a 时，f′(x)<0，所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2a<x<e 时，f′(x)>0，所以f(x)在(2a ，e)上是增函数． 所以min ＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3， 解得a ＝e22(舍去)．③若2a>e ，则x －2a<0，即f′(x)<0在上恒成立，此时f(x)在上是减函数． 所以min ＝f(e)＝1＋2ae ＝3，得a ＝e.适合题意．综上a ＝e.附加题：1.(5分) 1或10 2.(5分) 16 3.(5分) (0,3ln2]。
山西省忻州市高二下学期期中数学试卷+(理科)
山西省忻州市高二下学期期中数学试卷+（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,则=（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·钦州期末) 若复数z满足（1+i）z=2i，则z的共轭复数 =（）A . 1﹣iB . 1+iC .D .3. （2分）设是两个不共线的非零向量，则“向量与共线”是“”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 非充分非必要条件4. （2分） (2016高三上·平阳期中) 设向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π，若|2 + |=| ﹣2 |，则β﹣α等于（）A .B . ﹣C .D . ﹣5. （2分）将函数的图象向右平移个单位长后与直线(m不为0)相交，记图象在轴右侧的第个交点的横坐标为，若数列为等差数列，则所有m的可能值为（）A .B .C . 1或2D . -1或26. （2分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+4)=-f(x)，在[0,2]上f(x)是增函数，则下列结论：①若0<x1<x2<4且x1+x2=4，则f(x1)+f(x2)>0；②若0<x1<x2<4且x1+x2=5，则f(x1)>f(x2)；③若方程f(x)=m在[-8，8]内恰有四个不同的解x1,x2,x3,x4 ，则x1+x2+x3+x4=8。
其中正确的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个7. （2分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A . 9B . 68. （2分） (2017高一上·辽源月考) 函数（）A . 上是减函数B . 上是增函数C . 上是减函数D . 上是减函数9. （2分）已知，猜想的表达式为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·集宁月考) 函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上为增函数．若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是（）A . a≤2B . a≥－2C . －2≤a≤2D . a≤－2或a≥211. （2分） (2016高一上·普宁期中) 已知函数f（3x+1）=x2+3x+2，则f（10）=（）A . 30D . 912. （2分） (2016高一上·阳东期中) 三个数0.52 ， 2 ，log20.2的大小关系为（）A . log20.2＜0.52＜2B . 0.52＜2 ＜log20.2C . log20.2＜2 ＜0.52D . 0.52＜log20.2＜2二、填空题 (共2题；共2分)13. （1分） (2016高二下·永川期中) 设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，令h（x）=f（x）•g（x），且对任意x1 ，x2∈（0，+∞），都有＜0，g（1）=0，则不等式x•h（x）＜0的解集为________．14. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“ 作品获得一等奖”；丙说：“ ，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．三、解答题： (共6题；共65分)15. （5分）(2017·沈阳模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．16. （10分） (2017高二下·中原期末) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求AD的长．17. （10分）(2016·德州模拟) 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为M，N，|MN|=3（1）求抛物线E的方程；（2）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．18. （15分） (2018高二下·定远期末) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：附：0.0500.0100.0013.841 6.63510.828（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计的概率；（2）填写下面联表，并根据列联表判断是否有％的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量箱产量旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.19. （15分）设f（x）=ax﹣ln（1+x2），（1）当a= 时，求f（x）在（0，+∞）的极值；（2）证明：当x＞0时，ln（1+x2）＜x；（3）证明：（n∈N*，n≥2，e为自然对数的底数）20. （10分）(2017·成都模拟) 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共2题；共2分)13-1、14-1、三、解答题： (共6题；共65分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、答案：略第11 页共11 页。
山西省忻州一中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 (Wo
2014-2015学年度第二学期期末考试高 二 数 学（理）试题注意事项：1．考生务必用0.5mm 黑色中性笔答题.2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟.一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A={-2,-1,0,1,2,3,4},B={-3,-2,-1,1,5},则集合A∩B 的子集的个数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.3 2．已知i 是虚数单位，z =1+i ，则复数1z 在复平面内对应的点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若cos α=45，则cos2α= ( )A. 725B.－725C. 35D.-354．已知正数x,y 满足⎩⎨⎧2x-y ≤0x-3y+5≥0,则z=－2x －y 的最小值为 ( )A.－5B. 5C. 4D. －45．若如图所示的程序框图运行后,输出的S 的值为31,则判断框内填入的条件可以为( )A.x>7?B.x>6?C.x ≥6?D.x ≤6?6．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!7．等比数列{a n }中,a 1>0,则“a 1<a 3”是“a 3<a 6”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．图中的阴影部分由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成.设函数S=S(a)(a ≥0)是图中介于平行线y=0及y=a 之间的阴影部分面积,则函数S(a)的图象大致为( )9．直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=9相交于两点M 、N,若c 2=a 2+b 2,则|MN|＝ ( ) A.4 2B.2 2C. 210D. 1010．已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,且当x ∈(－∞,0)时,f(x)+xf'(x)>0成立.若a=(20.2)•f(20.2),b=(ln2)•f(ln2),c=(log 24)•f(log 24),则a,b,c 的大小关系是 ( ) A.a>b>cB.b>c>aC. c>b>aD. c>a>b11．已知a ＝π20⎰cosx 2dx ，则(ax －12ax )9的展开式中，关于x 的一次项的系数为 ( ) A.6316B.－6316C. 638D.－63812．在区间[0,1]上任意取两个实数a,b,则函数f(x)=12x 3+ax-b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为 ( ) A.18B.14C.78D.34二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．已知x,y 都是正实数,满足x+y=1,则log 2x+log 2y 的最大值等于 . 14．若双曲线mx 2+y 2=1的离心率为2，则m ＝______15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ 16．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x<1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为___________三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17．(本小题满分10分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m →＝(a ，b)，n →＝(sinB ，sinA)，p →＝(b －2，a －2)．(1)若m →∥n →，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m →⊥p →，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ．19．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．20．(本小题满分12分)如图：四棱锥P-ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 是BC 上的点，且BM=12，(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若边PC 与底面ABCD 所成角的正切值为1，求平面PAD 与平面PBC 所成的二面角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ．(1)求椭圆C 的方程；(2)试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝e x x 2－k(2x ＋lnx)(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k>1时，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．附加题(每小题5分，共15分)PO AB CDM1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(-1)n-1·(4n-3)，则它的前100项之和S 100= ． 2．设0,1a b >>，若2a b +=，则2a +1b-1的最小值为 .3．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线x=－2的距离为d ，则d ＋|PQ|的最小值等于__________2014-2015学年度第二学期期末考试试题答案高 二 数 学（理）一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．－2 14．－1 15．24 16．1－2a 三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m →＝(a ，b)，n →＝(sinB ，sinA)，p →＝(b －2，a －2)．(1)若m →∥n →，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m →⊥p →，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解:(1)证明：∵m →∥n →，∴asinA ＝bsinB. 3分 由正弦定得知a·a 2R ＝b·b2R ，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形． 6分(2)∵m →⊥p →，∴m →•p →＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab. 8分由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0. 解得ab ＝4，ab ＝－1(舍去)． 11分 ∴△ABC 的面积S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3. 12分18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10， 2分解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{an}的通项公式为a n ＝2-n. 6分(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① 故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n >1时，①-②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1-a n2n 9分＝1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1-2－n 2n ＝1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n －1-2-n 2n ＝n2n . 11分所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1. 12分19.(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．解：(1)由分层抽样的定义可知乙厂生产的产品数量为98×514＝35(件)． 3分 (2)由题中表格提供的数据可知，乙厂抽取的5件产品中有2件优等品，分别是2号和5号，样品中优等品的频率为25，由(1)知乙厂共有产品35件，所以估计乙厂优等品的数量为35×25＝14(件)． 6分(3)5件抽测品中有2件优等品，则ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 23C 25＝310，P (ξ＝1)＝C 13·C 12C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110. 9分分布列为故E (ξ)＝0×310＋1×35＋2×110＝45. 12分20、(本题12分，第1小问4分，第2小问4分，第3问4分) 如图：四棱锥P-ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 是BC 上的点，且BM=12，(1)证明：BC ⊥平面POM ；P OAB CDM(2)在边PC 与底面ABCD 所成角的正切值为1，求平面PAD 与平面PBC 所成的二面角的余弦值．解：(1)连接OB ，OM ，由AB ＝2，∠BAD ＝π3，BM=12得OB=1，OM=32，由勾股定理可知，OM ⊥BC ，由题意知，PO ⊥BC ，可得BC ⊥平面POM 6分本小问也可建系求解(2)以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(－3,0,0)，D(0,－1,0)，由PC 与底面ABCD 所成角的正切值为1得P(0,0,3)，设m →=(x,y,z)为平面PAD 的法向量，则⎩⎨⎧3x-3z=0-y-3z=0，令z=1，则x=1，y=-3，即m →=(1,-3,1)；同理可得：平面PBC 的法向量n →=(-1,3,1)，所以cos<m →,n →>=-35，由法向量与两平面的位置关系可得，平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值为35． 12分21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 解：（1）由题设，得4a 2＋1b 2＝1，…①且a 2－b 2a ＝22， ……②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1．……………6分（2）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2．……9分因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．……………………………………………12分22．设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k>1时，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x )＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x－kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． 6分 (2)由f′(x)＝(x －2)(e x －kx)x 3.设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当k >1时，当x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e ，e 22)． 12分附加题 1．－200 2．3+223．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线x=-2的距离为d ，则d ＋|PQ|的最小值等于__________解析 如图所示，由题意，知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，连接PF ，则d ＝|PF |.圆C 的方程配方，得(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1,4)，半径r ＝2. d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |，显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离， 显然当F ，Q ，C 三点共线时取得最小值，最小值为|CF |－r ＝(－1－2)2＋(4－0)2－2＝5－2＝3.。
山西省忻州市高二下学期数学期中考试试卷
（1） 求函数f（x）的单调递增区间；
（2） 若f（θ）= ，θ∈（ ， ），求sin2θ的值．
19. （10分） (2017·霞浦模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
22-3、
B . 若a6＞0，则a2018＜0
C . 若a5＞0，则S2017＞0
D . 若a6＞0，则S2018＞0
7. （2分） 定义在R上的函数 满足： 成立，且 在[-1,0]上单调递增，设 ， 则a、b、c的大小关系是 （ ）
A . a>b>c
B . a>c>b
C . b>c>a
D . c>b>a
8. （2分） 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是（ ）
A . [﹣3，3]
B . [﹣3，﹣2]
C . [﹣2，2]
D . [2，3]
5. （2分） 函数f（x）=|sin x|+|cos x|的最小正周期是（ ）
A . π
B . 2π
C . 1
D . 2
6. （2分） 已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， 则下列结论一定成立的是（ ）
山西省忻州市数学高二下学期理数期中考试试卷
山西省忻州市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）复数是纯虚数,则（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋（）A . 都大于2B . 至少有一个大于2C . 至少有一个不小于2D . 至少有一个不大于23. （2分）复数z= + i（其中i为虚数单位）的虚部是（）A . ﹣B . iC .D . ﹣ i4. （2分）设Ｓ是至少含有两个元素的集合，在Ｓ上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（a,b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（）A .B .C .D .5. （2分）设 ,若 ,则（）A .B .C .D .6. （2分）在A,B,C,D,E五位候选人中，选出正副班长各一人的选法共有m种，选出三人班级委的选法共有n种，则(m,n)是（）A . (20,60)B . (10,10)C . (20,10)D . (10,60)7. （2分） (2019高二下·广东期中) 已知函数则（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·安阳期中) 函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A . 10B . 9C . 8D .9. （2分）由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“ ”类比得到“ ” ；②“ ”类比得到“ ” ；③“ ”类比得到“ ” .以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 310. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知，若，且，则与2的关系为（）A .B .C .D . 大小不确定二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高三上·衡水月考) 已知曲线在点处的切线平行于直线，则 ________.12. （1分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于________ （结果用数值表示）.13. （1分） (2020高三上·青浦期末) 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有________种14. （1分）(2014·江苏理) 已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为________．15. （1分） (2019高二下·大庆期末) 给出定义：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数 .设.若则 ________．三、解答题 (共4题；共30分)16. （5分）在复平面内，复数2﹣i，1+i，4所对应的点分别是A、B、C，四边形ABCD为平行四边形．（1）求点D所对应的复数；（2）求▱ABCD的对角线BD的长．17. （10分） (2020高二下·成都月考)（1）已知 , , ,用反证法证明：中至少有一个不小于 ;（2）用数学归纳法证明：．18. （10分）(2018·吕梁模拟) 已知函数 .（1）求函数在点处的切线方程；（2）证明： .19. （5分）已知函数f（x）=（m∈R），若f（x）在x=4处的切线与直线16x+7y=0垂直．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）令g（x）=kxex ，对∀x1∈（0，+∞），∀x2∈（0，1），总有f（x1）≥g（x2），求实数k的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共30分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：。
山西省忻州市2013-2014学年高二下学期期中联考理科数学试卷(带解析)
山西省忻州市2013-2014学年高二下学期期中联考理科数学试卷（带解析）1．设全集}1|{},03|{,2-<=>--==x x B x x x A R U ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．}0|{>x xB ．}13|{-<<-x xC ．}03|{<<-x xD ．}1|{-<x x 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得{|30}A x x =-<<，而图中阴影部分表示为{|31}A B x x =-<<-，故选B ．考点：1、二次不等式的解法；2、韦恩图；3、集合的交集运算．2．已知：复数i z 2321+=,它的共轭复数为z ，则=2（ ） A ．i 2321+- B ．i 2321- C ．i 2321-- D ．i 2321+ 【答案】C 【解析】试题分析：因为12z =-， 所以=2z 21()2＝1132424-⨯-＝i 2321--，故选C ．考点：1、共轭复数；2、复数的运算．3．函数)(x f ＝1＋x ＋cos x 在(0,2)π上是（ ） A ．增函数 B ．减函数C ．在(0,)π上增，在(,2)ππ上减D ．在(0,)π上减，在(,2)ππ上增 【答案】A 【解析】试题分析：因为()1sin f x x '=-，又因为在(0,2)π上1sin 1x -≤≤，所以()0f x '≥，所以函数()f x 在(0,2)π上为增函数，故选A ． 考点：利用导数研究函数的单调性．4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是(34π,π），则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．1[1,)2-- B ．3[,1]2-- C ．[0,1] D ．1[,1)2【答案】B【解析】试题分析：设点P 的横坐标为0x ，由题意，得00|22x x y x ='=+．又由导数的几何意义，得022tan x α+=（α为点P 处切线的倾斜角）．又∵α∈(34π,π），∴01220x -≤+≤，∴0312x -≤≤-，故选B ． 考点：1、导数的几何意义；2、正切函数的取值．5．函数3x y =与x 轴，直线1=x 围成的封闭图形的面积为（ ） A ．61 B ．41 C ．31 D ．21 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，知该封闭图形的面积为13410011|44S x dx x ===⎰，故选B ． 考点：定积分的运算及应用．6．函数y =3x x2的导函数是（ ）A ．y ′=32x x 2B ．y ′=23x x2C ．y ′=32x x 2+x 22lnD ．y ′=32x x 2+x 23x 2ln【答案】D 【解析】试题分析：y '=3(x 2)x '＝33()2(2)x xx x ''+＝2322ln 2x x x x +，故选D ．考点：导数的计算．7．用数学归纳法证明)*)(12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅⋅=+++ 时，从n k ＝到1+=k n ，左端需要增加的代数式为（ ）A ．21k ＋B ．2(21)k ＋C ．211k k ++D ．231k k ++ 【答案】B【解析】试题分析：当1+=k n 时，左端＝1(1)(2)()(1)(11)1k k k k k k k k k +++++++++，所以左端增加的代数式为1(1)(11)1k k k k k ++++++＝2(21)k ＋，故选B ． 考点：数学归纳法．8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．3B ．－6C ．10D ．－15 【答案】C 【解析】试题分析：由已知可得该程序的功能是计算并输出22221234S =-+-+的值，所以输出的值为22221234S =-+-+＝10，故选C ．考点：程序框图．9． 函数x e y x =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最小值为（ ）A ．e 2B ．221e C ．e 1D ．e【答案】D【解析】试题分析：由题意，得221()x x x xe e x y e x x --'==，所以当1(,1)2x ∈时0y '<，当(1,2)x ∈时0y '>，所以函数xe y x=在1x =处取得最小值，且最小值为e ，故选D ．考点：利用导数求函数最值．10．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记)(x g 为)(x f 的导函数，则)(x g -＝（ ） A ．)(x f B ．－)(x f C ．)(x g D ．－)(x g 【答案】D 【解析】试题分析：由x x 2)(2='中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；344)(x x ='中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；x x sin )(cos -='中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…，同此可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数．又∵)(x g 为)(x f 的导函数，则)(x g 奇函数，所以()()0g x g x -+=，即()()g x g x -=-，故选D ．考点：1、归纳推理；2、函数的奇偶性． 11．给出以下命题：①对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．②⎰+20)cos sin 2(πdx x x ＝2；③已知函数()33f x x x ＝－的图象与直线y a ＝有相异三个公共点，则a 的取值范围是(－2,2) 其中正确．．命题是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③ 【答案】C【解析】①“夹在两个平行平面间的平行线段相等”，正确；②⎰+2)cos sin 2(πdxx x ＝20(2cos sin )|x x π-+＝3，错误；③令2()330f x x '=-=，解得1x =±，可求得()f x 的极大值为(1)2f -=，如图所示．当满足22a -<<时，恰有三个不同公共点，所以③正确，故选C ．考点：1、类比推理；2、导数的运算法则；3、函数的零点与方程根的关系．12．若直角坐标平面内的两点P Q 、满足条件：①P Q 、都在函数)(x f y =的图像上；②P Q 、关于原点对称，则称点对P Q 、是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对P Q 、与,Q P 看作同一对“友好点对”）．已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有（ ）A ． 0对B ． 1对C ． 2对D ． 3对 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意：当0x >时0x >，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=----=-+， 当函数为奇函数时有2()4f x x x =-，所以函数24y x x =--(0)x ≤的图象关于原点对称的函数是24y x x =-．由题意作出函数24y x x =-(0)x >的图象，看它与函数2()log f x x =(0)x >交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是2，即()f x 的“友好点对”有2个，故选C ． 考点：1、创新能力；2、对数函数图象与性质的应用；3、二次函数的图象及应用．13．已知函数x x x f ln )(+=的导函数为)(x f '，则=')1(f ．【答案】2 【解析】试题分析：因为1()(ln )1f x x x x''=+=+，所以(1)112f '=+=． 考点：导数的运算法则． 14．已知：Zk k B k A B A ∈+≠+≠=+,2,24πππππ，且，则=++)ta n 1)(tan 1(B A ．【答案】2 【解析】 试题分析：∵tan tan tantan()141tan tan A BA B Bπ+=+==-，∴ta n ta n 1ta nta n A B B +=-，∴(1t a n )(1t a n )A B ++＝1tan tan tan tan A B A B +++＝11tan tan tan tan A B A B+-+＝2．考点：两角和与差的正切函数．15．已知函数)(x f 的导数a x x f a x x a x f =-+='在若)(),)(1()(处取到极大值，则a 的取值范围是 ． 【答案】（－1，0） 【解析】试题分析：∵()(1)()f x a x x a '=+-且()f x 在x a =处取到极大值，则必有x a <时，()(1)()0f x a x x a '=+->，且x a >时，()(1)()0f x a x x a '=+-<．当0a ≥时，不成立；当1x a -<<时，有x a <时，()0f x '>，x a >时，()0f x '<，符合题意；当1a ≤-时，有x a <时，()0f x '<，x a >时，()0f x '>，()f x 在x a =处取到极小值．综合可得10a -<<．考点：利用导数研究函数的极值．16．已知函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的最大值为 ． 【答案】215- 【解析】试题分析：∵函数d cx bx x x f +++=23)(，在区间上[1,2]-是减函数，∴2()320f x x bx c '=++≤在区间[1,2]-上恒成立，∴只要(1)0(2)0f f '-≤⎧⎨'≤⎩，即3201240b c b c -+≤⎧⎨++≤⎩①②，①＋②，得15220b c ++≤，即152b c +≤-，∴b c +的最大值为215-． 考点：利用导数研究函数的单调性．17．已知曲线C ：x x x f -=3)(（1）试求曲线C 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）试求与直线35+=x y 平行的曲线C 的切线方程．【答案】（1） 022=--y x ；（2）0245=--y x 或0245=+-y x ． 【解析】试题分析：（1）先求出(1)f 的值，再求函数的导函数，求得(1)f '的值即为点))1(,1(f 斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可；（2）设切点为00(,)x y ，利用导数的几何意义和相互平行的直线的斜率相等，即可得所求切线的斜率，再求出切点的坐标，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可．（1） ∵x x x f -=3)(，∴0)1(=f ，求导数得：13)(2-='x x f ， ∴切线的斜率为2)1(='=f k ，∴所求切线方程为)1(2-=x y ，即：022=--y x ． （2）设与直线35+=x y 平行的切线的切点为),(00y x ， 则切线的斜率为13)(200-='=x x f k ．又∵所求切线与直线35+=x y 平行，∴51320=-x ，解得：20±=x ，代入曲线方程x x x f -=3)(得：切点为)2,2(或)2,2(--， ∴所求切线方程为：)2(52-=-x y 或)2(52+=+x y ， 即：0245=--y x 或0245=+-y x ． 考点：1、导数的计算；2、导数的几何意义．18．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若4=+c a ，求AC 边上中线长的最小值． 【答案】（1）3B π=；（2）3．试题分析：（1）由已知，C a A c B b cos cos cos 2+=，利用正弦定理，将边b c a ，，代换成sin ,sin ,sin B C A ，再利用两角和正弦公式求B ；（2）设AC 边上的中点为E ，利用三边a b c ，，用余弦等量将中线BE 表示出来，再用基本不等式求最小值． （1）由题意得：C a A c B b cos cos cos 2+=， C A A C B B cos sin cos sin cos sin 2+=， B B B sin cos sin 2=，3,21cos ,0sin π==∴≠B B B ． （2）设AC 边上的中点为E ， 由余弦定理得：4)(22222AC BC AB BE -+=422ac c a ++=34)2(164164)(22=+-≥-=-+=c a acac c a ， 当c a =时取到”＝”所以AC 边上中线长的最小值为3．考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和与差的正弦公式；4、基本不等式． 19．如图，在四棱锥—P ABCD 中， 90=∠=∠BAD ABC ，BC AD AB 2==，PAD ∆为正三角形，且平面⊥PAD 平面ABCD ． ABCDP（1）证明：PC AD ⊥；（2）求二面角C PD A --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1957． 【解析】 试题分析：（1）取AD 的中点O ，然后利用矩形及正三角形的性质可证明AD CO ⊥，AD PO ⊥，从而可证明结果；（2）可考虑分别以OC ，OA OP ，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直线坐标系，通过求两个平面的法向量的夹角来求二面角C PD A --的余弦值．或考虑通过过O 点作PD OE ⊥，然后证明CEO ∠为所求二面角的一个平面角，再在OEC ∆中（1）证明：取AD 的中点O ，连接PO OC ，， ∵PAD ∆为正三角形，∴AD PO ⊥．又∵在四边形ABCD 中， 90=∠=∠BAD ABC BC AD AB 2==，∴BCAO ,且BC AO =，∴四边形ABCO 为平行四边形，∴AD CO ⊥ ， ∴POC AD 平面⊥，∴PC AD ⊥．（2）(法一)：由（1）知AD PO ⊥，且平面⊥PAD 平面ABCD ∴⊥PO 平面ABCD ，所以分别以OC ，OA OP ，为x 轴，y 轴，z 轴建立如图，所示的直角坐标系，并设1BC =，则2AB AD ==，3=OP ,∴)00,0(，O ，)00,2(，C ，)01,0(，A ，)01,0(，-D ，)3,0,0(P ， ∴)300(，，=OP ，)010(，，-=OD ,)302(，，-=CP ,)012(，，--=CD ． 设平面APD ，平面PDC 的法向量分别为),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011OD n OP n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,022CD n CP n ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=,0,0311y z ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-,02,0322222y x z x ∴分别取平面APD ，平面PDC 的一个法向量)2,32,3(),0,0,1(21-==n n ， ∴1957193,cos 21==>=<n n n n ， ∴二面角C PD A --的余弦值为1957． (法一)：由（1）知AD CO ⊥，且平面⊥PAD 平面ABCD ，∴⊥CO 平面PAD ，过O 点作PD OE ⊥，垂足为E ，连接CE ，则PD CE ⊥，于是CEO ∠为所求二面角的一个平面角，设1BC =，则212A B A D O D O C ====，，，23=OE ，21922=+=OE OC CE ， ∴195721923cos ===∠CE OE OEC ∴二面角C PD A --的余弦值为1957． 考点：1、空间直线与平面的垂直关系；2、空间向量的应用；3、二面角．20．已知曲线C 上的动点(,)P x y 满足到定点(1,0)A -的距离与到定点(1,0)B 距离之比为（1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,2)M 的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，若4MN =，求直线l 的方程． 【答案】（1）22610x y x +-+=或22(3)8x y -+=；（2）1x =或2y =． 【解析】试题分析：（1）根据动点(,)P x y 满足到定点(1,0)A -的距离与到定点(1,0)B 距离之比为C 的方程；（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l 的方程．（1）由题意得PA PB ，=，化简得：22610x y x +-+=（或22(3)8x y -+=）即为所求． （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 将1x =代入方程22610x y x +-+=得2y =±， 所以4MN =，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx k =-+2， 由圆心到直线的距离2d ==，解得0k =，此时直线l 的方程为2y =．综上所述，满足题意的直线l 的方程为：1x =或2y =．考点：1、两点的距离公式；2、点到直线的距离；3、直线与圆的方程．21．已知函数R x x x x f ∈-=,sin 21)(． （1）试求函数)(x f 的递减区间；（2）试求函数)(x f 在区间[]ππ,-上的最值．【答案】（I ）Z k k k ∈++-),23,23(ππππ；（2）最大值为2)(ππ=f ，最小值为2)(ππ-=-f ． 【解析】试题分析：（1）首先求导函数()f x '，然后再通过解不等式()0f x '<的符号确定单调区间；（2）利用（1）求得极值，然后与()f π、()f π-的值进行比较即可求得最值． （I ）求导数得：,cos 21)(x x f -=' 令,0)(<'x f 即,0cos 21<-x 得：Z k k x k ∈+<<+-,2323ππππ， ∴函数)(x f 在每个区间Z k k k ∈++-),23,23(ππππ上为减函数．（2）由（I ）知，函数)(x f 在区间),3(),3,(ππππ--上为增函数，在区间)3,3(ππ-上为减函数，∴函数)(x f 在3π-=x 处取极大值623)3(ππ-=-f ，在3π=x 处取极小值236)3(-=ππf ， ∵2)(ππ-=-f ，2)(ππ=f ∴函数()f x 在区间[]ππ,-上的最大值为2)(ππ=f ，最小值为2)(ππ-=-f ．考点：1、导函数与函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值；3、简单三角函数的解法．22．已知函数)ln()(m x e x f x +-=，其中R m ∈且m 为常数．（1）试判断当0=m 时函数()f x 在区间[)∞+，1上的单调性，并证明；（2）设函数)(x f 在0=x 处取得极值，求m 的值，并讨论函数)(x f 的单调性．【答案】（1）在区间[)∞+，1上为增函数，证明见解析；（2）1=m ，()f x 在)0,1(-上单调递减，在),0(+∞单调递增．【解析】试题分析：（1）首先求导函数()f x '，然后根据区间判断()f x '的符号即可证明；（2）利用函数的极值点是导函数()f x '的零点通过建立方程可求得m 的值，然后再通过判断()f x '的符号确定单调区间．（1）当0=m 时，x e x f x ln )(-=，求导数得：xe xf x 1)(-='．∵当[)∞+∈，1x 时，11,≤≥xe e x ，∴0)(>'xf ， ∴当0=m 时函数()f x 在区间[)∞+，1上为增函数．（2）求导数得：mx e x f x +-='1)(． 由0=x 是()f x 的极值点得0)0(='f ，∴1=m ．于是)1ln()(+-=x e x f x ，定义域为),1(+∞-，11)(+-='x e x f x ， 显然函数11)(+-='x e x f x 在),1(+∞-上单调递增，且0)0(='f ， 因此当)0,1(-∈x 时，0)0(<'f ；),0(+∞∈x 时，0)0(>'f ，所以()f x 在)0,1(-上单调递减，在),0(+∞单调递增．考点：1、导数的几何意义；2、导数与函数单调性的关系；3、利用导数研究函数的极值．。
山西省忻州市2013-2014学年高二第二学期期中联考试题数学(理科)
(第1题)山西省忻州市2013-2014学年高二第二学期期中联考试题数学（理科）一．选择题1．设全集}1|{},03|{,2-<=>--==x x B x x x A R U ，则图中阴影部分表示的集合为 A.}0|{>x x B.}13|{-<<-x x C.}03|{<<-x x D.}1|{-<x x2．已知：复数i z 2321+=,它的共轭复数为z ，则=2z A ．i 2321+-B ．i 2321-C.i 2321--D ．i 2321+3．函数)(x f =1+x +cos x 在(0,2π)上是A ．增函数B ．减函数C ．在(0,π)上增，在(π,2π)上减D ．在(0,π)上减，在(π,2π)上增4．设P 为曲线C ：y=2x +2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[3π4,π），则点P 横坐标的取值范围为 A ．-1,- 12B ．-32,-1） C ．0,1） D ．12,15．函数3x y =与x 轴，直线1=x 围成的封闭图形的面积为 A ．61 B ．41C ．31 D ．21 6．函数y =3x x2的导函数是A ．y ′=32x x2 B ．y ′=23x x2 C ．y ′=32x x2+x22ln D ．y ′=32x x2+x23x 2ln7．用数学归纳法证明)*)(12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅⋅=+++ΛΛ时，从n ＝k 到1+=k n ，左端需要增加的代数式为A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A ．3B ．－6C ．10D ．－159. 函数x e y x =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最小值为A ．e 2B ．221eC ．e1 D ．e10．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记)(x g 为)(x f 的导函数，则)(x g -＝ A ．)(x f B ．－)(x f C ．)(x g D ．－)(x g 11．给出以下命题：①对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．②⎰+20)cos sin 2(πdx x x =2；③已知函数f (x )＝x 3－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是 (－2,2)其中正确．．命题是 A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③ 12．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上； ②P 、Q 关于原点对称，则称点对P ,Q 是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对P ,Q与Q ,P 看作同一对“友好点对”）.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上) 13．已知函数x x x f ln )(+=的导函数为)(x f '，则=')1(f __ ． 14．已知：Z k k B k A B A ∈+≠+≠=+,2,24πππππ，且，则=++)tan 1)(tan 1(B A _______ 15．已知函数)(x f 的导数a x x f a x x a x f =-+='在若)(),)(1()(处取到极大值，则a 的取值范围是 __ ．ABCDP16．已知函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的最大值为 ____ ．三．解答题17．（本小题满分10分）已知曲线C ：x x x f -=3)(（Ⅰ）试求曲线C 在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）试求与直线35+=x y 平行的曲线C 的切线方程． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4=+c a ，求AC 边上中线长的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，ο90=∠=∠BAD ABCBC AD AB 2==，PAD ∆为正三角形，且平面⊥PAD 平面ABCD ．（Ⅰ）证明PC AD ⊥（Ⅱ）求二面角C PD A --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知曲线C 上的动点P （,x y ）满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)距离之比（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |=4，求直线l 的方程. 21．（本小题满分12分）已知函数R x x x x f ∈-=,sin 21)( （Ⅰ）试求函数)(x f 的递减区间；（Ⅱ）试求函数)(x f 在区间[]ππ,-上的最值． 22．（本小题满分12分）已知函数)ln()(m x e x f x +-=，其中R m ∈且m 为常数．(Ⅰ)试判断当0=m 时函数()f x 在区间[)∞+，1上的单调性，并证明； (Ⅱ)设函数)(x f 在0=x 处取得极值，求m 的值，并讨论函数)(x f 的单调性．。
山西省忻州市高二下学期期中数学试卷(理科)
山西省忻州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数是纯虚数,则（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）已知在区间[-1,1]上是增函数，实数a组成集合A；设关于x的方程的两个非零实根x1,x2实数m使得不等式使得对任意及恒成立，则m的解集是（）A .B .C . (-2.5,2.5)D . (-2,2)3. （2分）（推理）三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港；③所以这艘船是准时起航的”中的“小前提”是（）A . ①B . ②C . ①②D . ③4. （2分）(2018·海南模拟) 已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则整数的取值为（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分） (2016高三上·西安期中) 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（）A .B .C .D .6. （2分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A . 方程x2+ax+b=0没有实根B . 方程x2+ax+b=0至多有一个实根C . 方程x2+ax+b=0至多有两个实根D . 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根7. （2分）已知,则（）A . M<NB . M>NC . M=ND . 以上都有可能8. （2分）已知复数z1=1﹣2i，z2=2+3i，则在复平面内对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限9. （2分）利用数学归纳法证明不等式（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k变到n ＝k＋1时，左边增加了（）A . 1项B . k项C . 2k－1项D . 2k项10. （2分） (2016高三上·晋江期中) 函数f（x）=xsin（x2）的图象大致为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·西湖月考) 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a7＋b7＝（）A . 18B . 29C . 47D . 7612. （2分） (2015高二下·思南期中) 函数f（x）=﹣ x3+ x2﹣6x+5的单调增区间是（）A . （﹣∞，2）和（3，+∞）B . （2，3）C . （﹣1，6）D . （﹣3，﹣2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=________14. （1分）在点A（2，﹣2）处作曲线y=3x﹣x3的切线，则切线方程为 ________．15. （1分）顺次计算数列：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前4项的值，由此猜测：an=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1的结果为________16. （1分）已知函数存在极值，则实数m的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2015高二下·盐城期中) 用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）= （n∈N*）18. （10分） (2015高二下·徐州期中) 已知复数z=（a2﹣7a+6）+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R）（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；（2）若复数z在复平面内的对应点在第四象限，求实数a的取值范围．19. （10分） (2020高二上·青铜峡期末) 如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的一点.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.20. （15分）设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0（1）求f(x)的表达式；（2）求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；（3）若直线x＝－t(0<t<1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．21. （5分）(2017·息县模拟) 已知函数f（x）= （a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．（Ⅰ）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣k有两个不同的零点x1 ， x2 ，证明：x1•x2＞e2 ．22. （5分） (2018高二下·盘锦期末) 已知函数，其中a>0．（Ⅰ）求证：函数f(x)在x=1处的切线经过原点；（Ⅱ）如果f(x)的极小值为1，求f(x)的解析式．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、。
忻州市第一中学高二下期中数学(理)试题及答案
2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（理）讲评一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2x-1},则(C U M)∪(C U N)= ( D )Ａ．(-1,2) B ．(-∞,2]C ．(-∞,-1)∪(2,+∞)D ．(-∞,-1]∪[2,+∞)【命题立意】本题考查了集合表示及集合的运算，【讲评价值】1.掌握描述法的结构形式.代表元素的特征，范围的限制；2.掌握集合的运算的表示形式；3.注意端点值的取舍。
【解题思路】注意代表元素的特征，确定集合M 、N 的范围，从而求得(C U M)∪(C U N) . 【易错点】1.描述法的结构形式理解不到位，要引起重视； 2. 端点值的取舍不注意，易产生错误。
【试题变式】集合A={x|x 2-2x>0},B={y|y= 2 x,x>0}，R 是实数集，则(C R B)∪A 等于（ D ）[来源:学_科_网Z_X_A ．RB ．(-∞,0)∪[1,+∞)C ．(0,1]D ．(-∞,1]∪(2,+∞)2．设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4,π2），则点P 横坐标的取值范围为 （ A ）A ．[-12,+∞）B ．[-1,-12] C ．[0,1]D ．[12,1]改编于：曲测标53 导数的计算（2）5题 【命题立意】利用导数求切直线斜率. 【讲评价值】倾斜角与斜率之间的转换3．设函数()x f '是函数()x f 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 （ C ）改编于：测标56 导数在研究函数中的应用（3）4题4．右图是计算1+3+5+ (99)值的算法程序框图, 那么在空白的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 ( B ) A. i≤101 B. i≤99 C. i≤97D. i≤50【命题立意】本题考查了程序框图的两种基本逻辑结构。
山西省忻州市2013-2014学年高二下学期期中联考数学(理)试题Word版含答案
学校 姓名 准考证号山西省忻州市2013-2014学年高二第二学期期中联考试题数学（理科）注意事项:1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。
2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集}1|{},03|{,2-<=>--==x x B x x x A R U ，则图中阴影部分表示的集合为 A.}0|{>x x B.}13|{-<<-x x C.}03|{<<-x x D.}1|{-<x x2．已知：复数i z 2321+=,它的共轭复数为z ，则=2z A ．i 2321+- B ．i 2321-C ．i 2321--D ．i 2321+3．函数)(x f =1+x +cos x 在(0,2π)上是A ．增函数B ．减函数C ．在(0,π)上增，在(π,2π)上减D ．在(0,π)上减，在(π,2π)上增4．设P 为曲线C ：y=2x +2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是3π4,π），则点P 横坐标的取值范围为 A ．-1,- 12B ．-32,-1） C ．0,1） D ．12,15．函数3x y =与x 轴，直线1=x 围成的封闭图形的面积为 A ．61 B ．41 C ．31 D ．216．函数y =3x x2的导函数是A ．y ′=32x x2 B ．y ′=23x x2C ．y ′=32x x2+x22ln D ．y ′=32x x2+x23x 2ln(第1题)7．用数学归纳法证明)*)(12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅⋅=+++ 时，从n ＝k 到1+=k n ，左端需要增加的代数式为 A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A ．3B ．－6C ．10D ．－15 9. 函数x e y x=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最小值为 A ．e 2 B ．221e C ．e1 D ．e10．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记)(x g 为)(x f 的导函数，则)(x g -＝A ．)(x fB ．－)(x fC ．)(x gD ．－)(x g 11．给出以下命题：①对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．②⎰+20)cos sin 2(πdx x x =2；③已知函数f (x )＝x 3－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是 (－2,2)其中正确．．命题是 A ．①②③ B ．①② C ．①③D ．②③12．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对P ,Q 是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对P ,Q 与Q ,P 看作同一对“友好点对”）.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上) 13．已知函数x x x f ln )(+=的导函数为)(x f '，则=')1(f ▲ ．ABCDP14．已知：Z k k B k A B A ∈+≠+≠=+,2,24πππππ，且，则=++)tan 1)(tan 1(B A▲ ．15．已知函数)(x f 的导数a x x f a x x a x f =-+='在若)(),)(1()(处取到极大值，则a 的取值范围是 ▲ ．16．已知函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的最大值为 ▲ ．三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上) 17．（本小题满分10分）已知曲线C ：x x x f -=3)(（Ⅰ）试求曲线C 在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）试求与直线35+=x y 平行的曲线C 的切线方程． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4=+c a ，求AC 边上中线长的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中， 90=∠=∠BAD ABCBC AD AB 2==，PAD ∆为正三角形，且平面⊥PAD 平面ABCD ．（Ⅰ）证明PC AD ⊥（Ⅱ）求二面角C PD A --的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知曲线C 上的动点P （,x y ）满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B(1,0) （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |=4，求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数R x x x x f ∈-=,sin 21)( （Ⅰ）试求函数)(x f 的递减区间；（Ⅱ）试求函数)(x f 在区间[]ππ,-上的最值． 22．（本小题满分12分）已知函数)ln()(m x e x f x +-=，其中R m ∈且m 为常数．(Ⅰ)试判断当0=m 时函数()f x 在区间[)∞+，1上的单调性，并证明； (Ⅱ)设函数)(x f 在0=x 处取得极值，求m 的值，并讨论函数)(x f 的单调性．忻州市2013－2014学年第二学期期中联考高二数学(理科)参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分) BCABB DBCDD CC 二．填空题(每小题5分，共20分)13．2 14．2 15．（－1，0） 16．215- 三．解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(本小题满分10分)解：(Ⅰ) ∵x x x f -=3)(，∴0)1(=f…………1分求导数得：13)(2-='x x f …………2分 ∴切线的斜率为2)1(='=f k ． …………3分 ∴所求切线方程为)1(2-=x y ，即：022=--y x …………5分（Ⅱ）设与直线35+=x y 平行的切线的切点为),(00y x ， 则切线的斜率为13)(200-='=x x f k又∵所求切线与直线35+=x y 平行，∴51320=-x ．解得：20±=x ，代入曲线方程x x x f -=3)(得：切点为)2,2(或)2,2(--…………8分∴所求切线方程为：)2(52-=-x y 或)2(52+=+x y即：0245=--y x 或0245=+-y x …………10分 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意得：C a A c B b cos cos cos 2+= …………1分 C A A C B B cos sin cos sin cos sin 2+=， …………2分B B B sin cos sin 2= …………3分3,21cos ,0sin π==∴≠B B B ． …………5分（Ⅱ）设AC 边上的中点为E ，由余弦定理得：4)(22222AC BC AB BE -+= …………7分422ac c a ++=34)2(164164)(22=+-≥-=-+=c a acac c a ，…………11分 当c a =时取到”=”所以AC 边上中线长的最小值为3． …………12分19．(本小题满分12分)（Ⅰ）证明：取AD 的中点O ，连接PO ，OC ， ∵PAD ∆为正三角形，∴AD PO ⊥……2分，又∵在四边形ABCD 中， 90=∠=∠BAD ABCBC AD AB 2==，∴BC ∥AO ,且BC =AO∴四边形ABCO 为平行四边形，∴AD CO ⊥ ……4分， ∴POC AD 平面⊥，∴PC AD ⊥……6分(Ⅱ)(法一)：由（Ⅰ）知AD PO ⊥，且平面⊥PAD 平面ABCD ∴⊥PO 平面ABCD ，所以分别以OC ，OA ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图 所示的直角坐标系，并设BC =1，则AB =AD =2，3=OP ,∴)00,0(，O ，)00,2(，C ，)01,0(，A ，)01,0(，-D ，)3,0,0(P∴)300(，，=OP ，)010(，，-=OD ,)302(，，-=CP ,)012(，，--=CD ……8分设平面APD ，平面PDC 的法向量分别为),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011OD n OP n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,022CD n CP n ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=,0,0311y z ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-,02,0322222y x z x ∴分别取平面APD ，平面PDC 的一个法向量)2,32,3(),0,0,1(21-==n n ……10分∴1957193,cos 21=<n n n n ∴二面角C PD A --的余弦值为1957……12分(法一)：由（Ⅰ）知AD CO ⊥，且平面⊥PAD 平面ABCD ∴⊥CO 平面PAD ， 过O 点作PD OE ⊥,垂足为E ,连接CE ，则PD CE ⊥，于是CEO ∠为所求二面角的一个平面角，设BC =1，则AB =AD =2，,OD =1，OC =2，23=OE ，21922=+=OE OC CE , ∴195721923cos ===∠CE OE OEC ∴二面角C PD A --的余弦值为1957……12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得|PA PB | …………2分;故=…………3分;化简得：22610x y x +-+=（或22(3)8x y -+=）即为所求。
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2014-2015学年度第二 学期期中考试试题高 二 数 学（理）一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2x-1},则(C U M)∪(C U N)= ( )Ａ．(-1,2)B ．(-∞,2]C ．(-∞,-1)∪(2,+∞)D ．(-∞,-1]∪[2,+∞)2．设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[ 4, 2），则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A ．[-12,+∞） B ．[-1,0] C ．[0,1]D ．[12,1]3．设函数()x f '是函数()x f 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）4．右图是计算1+3+5+…+99的值的算法程序框图, 那么在空白 的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 ( ) A. i≤101 B. i≤99C. i≤97D. i≤505．若函数f(x)=3cos(2x+ )-sin(2x+ )的图象关于直线x=0对称,则Ａ． =k - 3(k Z) B ． =k - 6(k Z) C ． =k +6(k Z)6．已知||2||,||0a b b =≠ ，且关于的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在上有极值，则a 与b的夹角范围为（ ）Ａ．[0,)6πB ．(,]6ππ C ．2(,]33ππD ．(,]3ππ7．已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)离心率为32，则双曲线12222=-by a x 的离心率为( )Ａ．45 B ．25 C ．32D ．458．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小值为 ( )A ．1B ． 2C ．22D ． 39．掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则θ∈(0,2]的概率是 （ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．斜率为2的直线L 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线与A 、B 两点，若AB 的中点到抛物线准线的距离1，则P 的值为 （ ）Ａ．1 B ．45C ．35 D ．2511．已知P(m,n)(m>0,n>0)是f (x)= 13x 3﹣52x 2﹣x+1856在点x=5处的切线上一点,则14m n +的最小值是 ( )A. 910B. 1921C. 1011D. 111012．函数()f x 的定义域为，()02f =，对任意x R ∈，()()1f x f x '+>，则不等式()1x x e f x e >+的解集是 ( )Ａ．{}0x x > B ．{}0x x <C ．{}11x x x <->或 D ．{}11x x -<<二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分， 13. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积是 . 14. =-⎰42dx x ．15. 已知函数f(x)=x 3+ax 2﹣43a （a ∈R ），若存在x 0，使f(x)在x=x 0处取得极值，且f(x 0)=0，则a 的值为 ．16．已知函数()x f 在R 上满足()()2122x e x f x f x ++-=-，则曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程是 .三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17.(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 中，公差0,d >又231445,14a a a a ⋅=+= （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）记数列11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前项和记为n S ，求n S18.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （1）求角C 的大小； （2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．19.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ， ∠ABC=60°，E 、F 分别是BC 、PC 的中点． （1）证明：AE ⊥PD ；（Ⅱ）若PA=AB ，求二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln(1+x)+x 2-10x⑴若x=3是该函数的一个极值点，求函数f(x)的单调区间 ⑵若f(x)在[1,4]上是单调减函数，求a 的取值范围 21.(本小题满分12分)设椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点P(32，1)，且离心率e=12.(1)求椭圆C 的方程.(2)若F 1、F 2为椭圆的两个焦点，A 、B 为椭圆的两点，且AF 1→=12BF 2→，求直线AF 1的斜率.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋2ax，a∈R.(1) 若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2) 若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值．附加题：1.(5分)函数y=x 3-2x+2过点P(2,6)的切线的斜率为 .2.(5分)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线=－2对称，则()f x 的最大值是______.3.(5分)函数f(x)= xln(x-1)x-2，x ∈[1.5,3]的值域为 .2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（理）答案DACBB DCBBCB AA 13. 32 14. 7 15. 3 16．x-y-3=0１7. (本小题满分10分)解：（1）,0,45,14324132 d a a a a a a 且==+=+ 9,532==∴a a1,41==∴a d 344)1(1-=-+=∴n n a n ………6分（2)141341(41)14)(34(111+--=+-==+n n n n a a b n n n)141341.......9151511(41+--++-+-=n n S n b n n 项和的前 14)1411(41+=+-=n nn ……………………10分 18(本题满分12分)解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+== 从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==19. (本小题满分12分)（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形． 因为为的中点，所以．又，因此． 因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面， 所以．…………5分20.(本小题满分12分) 解：⑴∵()1021'-++=x xax f …………………………………………1分 ∴()010643'=-+=af 因此16=a ……………………………2分∴()()x x x x f 101ln 162-++=，其定义域为()+∞-,1……………3分()()()()xx x x x x x x x f +-⋅-=++-=-++=13121342102116'2…………4分 当()0'＞x f ，即11＜＜x -，或3＞x 时，函数()f x 单调递增 当()0'＜x f ，即31＜＜x 时，函数()f x 单调递减∴()f x 的单调递增区间为()11，-，()∞+，3，单调递减区间为()31，…6分 ⑵∵()f x 在[]1,4上是单调减函数∴()0110821021'2≤+-+-=-++=xa x x x x a x f 在[]1,4上恒成立…7分∴010822≤-+-a x x 在[]1,4上恒成立 …………………………8分 ∴min 2)]1082([---≤x x a …………………………………………9分 ∵在[]1,4上，18)1082(102≤---≤x x …………………………11分∴10≤a …………………………………………………………12分 21.(本小题满分12分)(1)由题意知c a =12，1a 2+94b2=1，又a 2=b 2+c 2，∴a=2，b=3，c=1故所求的椭圆方程为y 24+x23=1…………………………………. …...………..…..(6分)(2)延长AF 1交椭圆B′ 由对称性可知 BF 2→=F 1B′→设A(x 1，y 1)，B′(x 2，y 2) AF 1→=12 F 1B′→∴x 2=－2x 1①当直线AB′斜率不存在时，不符合当直线AB′斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，又F 1(0，1) ∴直线AF 1y=kx+1 联立 y=kx+1y 24+x 23=1 消去y ，得(3k 2+4)x 2+6kx －9=0∴x 1+x 2= －6k 3k 2+4② x 1x 2= －93k 2+4③由①②③得k =±25 5 故直线AB 的斜率为±255……………………..…..(12分)22.(本小题满分12分)解 (1)∵f(x)＝ln x ＋2a x ，∴f′(x)＝1x －2ax 2.∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝1x －2ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2，则a≤[g(x)]min ，x∈[2，＋∞)，∵g(x)＝x2在[2，＋∞)上是增函数，∴[g(x)]min ＝g(2)＝1.∴a≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f′(x)＝x －2ax2，x∈ [1，e]．①若2a<1，则x －2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立， 此时f(x)在[1，e]上是增函数．所以[f(x)]min ＝f(1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)．②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x ＝2a. 当1<x<2a 时，f′(x)<0，所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2a<x<e 时，f′(x)>0，所以f(x)在(2a ，e)上是增函数． 所以[f(x)]min ＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3， 解得a ＝e22(舍去)．③若2a>e ，则x －2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数． 所以[f(x)]min ＝f(e)＝1＋2ae ＝3，得a ＝e.适合题意．综上a ＝e.附加题：1.(5分) 1或10 2.(5分) 16 3.(5分) (0,3ln2]。