题型-河南近几年中考数学第23题(全部整合)

河南近几年中考数学第23题23.（11分）（2016河南）如图1，直线y=-43x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4）抛物线y=23x2+bx+c经过点A,交y轴于点B（0,-2）.点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D,连接PB.（1）求抛物线的解析式.（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长.（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD/P/，且∠PBP/=∠OAC，当点P的对应点P/落在坐标轴上时，请直接写出P点的坐标.解：（1）由y=-43x+n过点C（0，4），得n=4，则y=-43x+4当y=0时，得-43x+4=0，解得：x=3，∴点A坐标是（3,0）…………………………………………………1分∵y=23x2+bx+c经过点A（3,0）, B（0,-2）图1备用图∴22033b+c32c⎧=⨯+⎪⎨⎪-=⎩，解得：4b3c2⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式是23x2-43x-2……………………………………………3分（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，23m2-43m-2），D（m，-2）…………4分若△BDP为等腰直角三角形时，则PD=BD;①当点P在直线BD上方时，PD=23m2-43m-2+2=23m2-43m，（ⅰ）若P在y轴左侧，则m＜0，BD=-m；∴2 3m2-43m=-m，解得：m=12或m=0（舍去）…………………………………5分（ⅱ）若P在y轴右侧，则m＞0，BD=m；∴2 3m2-43m=m，解得：m=72或m=0（舍去）…………………………………6分②当点P在直线BD下方时，PD=-2-(23m2-43m-2) =-23m2+43m，则m＞0，BD=m；∴-23m2+43m=m，解得：m=12或m=0（舍去）……………………………7分综上：m=72或m=12。

即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为72或12。

(3) P43）或P43-）或P（258，1132）【提示】∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；∴AC=5，∴sin∠PBP/=45，cos∠PBP/=35，①当点P/落在x轴上时，过点D/作D/N⊥x轴于N，交BD于点M，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,如图1，ND/-MD/=2,图2即35×(23m 2-43m)-（-45m ）=2 如图2，ND /-MD /=2， 即35×(23m 2-43m)-（-45m ）=2 解得：P43） 或P）②当点P /落在y 轴上时，如图3，过点D /作D /M ⊥x 轴交BD 于点M ， 过点P /作P /N ⊥y 轴，交MD /的延长线于点N ， ∠DBD /=∠ND /P /=∠PBP /, ∵PN=BM,即 45×(23m 2-43m)= 35m ∴P （258，1132）23.（11分）（2015河南）如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A,C 间的一个动点（含端点）过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D,E 的坐标分别是（0，6），（-4，0），连接PD,PE,DE.(1)直接写出抛物线的解析式.（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值.进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，且存在多个“好点”， 且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标.图3理由：设P （x ，2- x +88） 则PF=8-(21- x +88)=21x 8…………………………………………………4分过P 作PM ⊥y 轴于点M ，则PD 2=PM 2+DM 2=(-x)2+2216--x +88⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=4211x +x +4642=221x +28⎛⎫⎪⎝⎭∴PD=21x 8+2, …………………………………………6分 ∴PD-PF=21x 8+2-21x 8=2,∴猜想正确. …………………………………………7分 (3)“好点”共有11个。

……………………………………9分 当点P 运动时，∴PE 与PD ∵PD-PF=2,∴∴当P 、E 、F此时点P 、E 的横坐标是-4， 将x=-4代入y=21-x +88，得y=6. ∴P （-4，6），此时△且△PDE 的面积是12∴△PDE （-4，6）提示：直线ED 设P （x ，21- x +88），则PN=21- x +88-（32x+6）=2- x x+282-△ PDE 的面积S=12×4×（213- x x+282-）=21-x -3x+44=()21-x+6+134，由-8≤x ≤0，知4≤S ≤13，所以S 的整数值有10个，由图像可知，当S=12时，对应的“好点”有2个， 所以“好点”共有11个。

23.(11分）（2014河南）如图，抛物线y=－x 2+bx+c 与x 轴交于A(-1,0),B(5,0）两点，直线y=－34x+3与y 轴交于点C ，，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m 。

（1）求抛物线的解析式； （2）若PE =5EF,求m 的值；（3）若点E /是点E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P ，使点E /落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

23.（2014河南）(1)∵抛物线y=－x 2+bx+c 与x 轴交于A (-1,0) , B(5,0)两点，∴220=1b+c 0=55b+c⎧---⎨-+⎩（） ∴b=4c=5⎧⎨⎩ ∴抛物线的解析式为y=-x 2+4x+5．………………………………………………3分 （2）点P 横坐标为m ，则P(m,－m 2＋4m ＋5）,E(m,－34m+3)，F(m,0), ∵点P 在x 轴上方，要使PE=5EF,点P 应在y 轴右侧，∴ 0＜m ＜5. PE=-m 2＋4m ＋5－(-34m ＋3)= -m 2＋194m ＋2……………………………4分 分两种情况讨论：①当点E 在点F 上方时，EF=－34m ＋3. ∵PE=5EF ，∴-m 2＋194m ＋2=5(-34m ＋3)即2m 2－17m ＋26=0，解得m 1=2，m 2=132（舍去）………………………………6分②当点E 在点F 下方时，EF=34m －3.∵PE=5EF ，∴-m 2＋194m ＋2=5(34m －3)，即m 2－m －17=0，解得m 3，m 4（舍去）， ∴m 的值为2或12………………………………………………………………8分 (3),点P 的坐标为P 1(-12，114),P 2(4，5), P 3-3).……………………11分 【提示】∵E 和E /关于直线PC 对称，∴∠E /CP=∠ECP; 又∵PE ∥y 轴，∴∠EPC=∠E /CP=∠PCE, ∴PE=EC, 又∵CE ＝CE /，∴．四边形PECE /为菱形． 过点E 作EM ⊥y 轴于点M,∴△CME ∽△COD ，∴CE=5m 4. ∵PE=CE,∴-m 2＋194m ＋2=54m 或-m 2＋194m ＋2=-54m ， 解得m 1=-12，m 2=4， m 3，m 4（舍去）可求得点P 的坐标为P 1(-12，114),P 2(4，5), P 3(3-11，211-3)。

23.（11分）（2013河南）如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线221+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)27 3(，. 点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F . （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.（3）若存在点P ，使∠PCF =45°，请直接写出．．．．相应的点P 的坐标.PEOFCDBAxy OCDBA 备用图yxOP BDCA xy23（11分）（2012河南）如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线23y ax bx =+-交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 做x AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a ，b 及sin ACP ∠的值； （2）设点P 的横坐标为m ，①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在合适的m 的值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由．23．（2012河南）解：（1）由110,2,(2,0)2x x A +==--得∴． ∵y =ax 2+bx -3经过A 、B 两点，设直线AB 与y 轴交于点E ，则E （0,1）． ∵PC ∥y 轴，∴∠ACP =∠AEO ．∴sin ∠ACP =sin ∠AEO=..................................................45OA AE ． （分）（2）①由（1）知，抛物线的解析式为211322y x x =--． 113,4,(4,3)2x x B +==由得∴．22(2)230,11,....................................................3224433a b a b a b ⎧-⋅--=⎪==-⎨⋅+-=⎪⎩∴ ∴． （分）．在Rt △PCD 中，sin PD PC ACP =⋅∠②存在满足条件的m 值．53229m =或．………（11分） 【提示】如图，分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为F 、G ．在Rt △PDF 中，DF==又BG =4-m ,x2111(,3),(,1)222P m m m C m m --+∴．2211111(3)4...........................................62222PC m m m m m =+---=-++． （分）221(4)2(1)5m m m =-++⨯=--+0,1.................................................855m PD -=∵∴当时，有最大值 （分）21(28)2545295,510221032,599PCD PBCPCD PBC PCD PBC m m S DF m S BG m S m m S S m m S ∆∆∆∆∆∆---+===-+===+===∴．当时解得；当时解得．23.（11分）（2011河南）如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为－8.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方．．的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E .①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值；②连接PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG .随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标.23.（2011河南）（1）对于3342y x =-，当y =0，x =2.当x =-8时，y =-152. ∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为15(8,).2--………………………1分 由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得 012,15168.2b c b c =-++⎧⎪⎨-=--+⎪⎩解得235135..42442b c y x x =-=∴=--+，…………………………………………3分 （2）①设直线3342y x =-与y 轴交于点M 当x =0时，y =32-. ∴OM =32.∵点A 的坐标为（2，0），∴OA =2.∴AM 5.2=……………………4分 ∵OM ：OA ：AM =3∶4：5.由题意得，∠PDE =∠OMA ，∠AOM =∠PED =90°，∴△AOM ～△PED .∴DE ：PE ：PD =3∶4：5.…………………………………………………………………5分∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，∴PD =y P -y D 213533()()44242x x x =--+-- =213444x x --+.………………………………………………………………………6分 ∴21213(4)542l x x =--+ 231848.555x x =--+…………………………………………………………………7分 23(3)15.315.5l x x l ∴=-++∴=-=最大时，……………………………………8分②满足题意的点P 有三个，分别是1233(2),(2),22P P --3P ……………………………………………………………11分 【解法提示】当点G 落在y 轴上时，由△ACP ≌△GOA 得PC =AO =2，即21352442x x --+=，解得x =以1233(2),(,2).22P P -+--当点F 落在y 轴上时，同法可得3P ，4P （舍去）. 23．（11分）（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．M C BA O xy。