近世代数基础 第五章 扩域

第五章 扩域● 课时安排 约2课时● 教学内容 （《近世代数基础》 （1978年修订本） 张和瑞 著 154151-p ）在这一章里我们要对于域做一些进一步的讨论。

我们不准备证明一些复杂的结构定理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项式的分裂域、有限域和可离扩域做一些讨论。

§5.1 扩域、素域我们先说明一下，研究域所用的方法。

定义 一个域E 叫做一个域F 的扩域（扩张），假如F 是E 的子域。

我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的，而复数域是在它的子域实数域上建立起来的。

研究域的方法就是：从一个给定的域F 出发，来研究它的扩域。

这就有如何选择域F 的问题。

我们有以下的事实。

定理1 令E 是一个域。

若E 的特征是∞，那么E 含有一个与有理数域同构的子域；若E 的特征是素数p ，那么E 含有一个与)(p R 同构的子域，这里R 是整数环，（p ）是由p 生成的主理想。

证明：域E 包含一个单位元e 。

因此E 也包含所有ne （n 是整数）。

令R '是所有ne 作成的集合。

那么φ： ne n −→−显然是整数环R 到R '的一个同态满射。

情形1 E 的特征是∞。

这时φ是一个同构映射：R R '≅但E 包含R '的商域F '。

由Ⅲ，10，定理4，F '与R 的商域，也就是有理数域同构。

情形2 E 的特征是素数p 。

这时/R µR '≅此处µ是φ的核。

但p pe −→−=0所以p ∈µ，因而µ)(p ⊃。

由Ⅳ，3，引理2，)(p 是一个最大理想。

另一方面01≠−→−e 所以R ≠μ，而µ=)(p ，因而/R （p ）R '≅有理数域和/R （p ）显然都不含真子域。

定义 一个域叫做素域，假如它不含真子域。

由定理1知道：一个素域或是与有理数域同构，或是与/R （p ）同构。

因此定理1的另一形式是定理2 令E 是一个域。

若E 的特征是∞，那么E 含有一个与有理数域同构的素域；若E 的特征是素数p ，那么E 包含一个与)(p R 同构的素域。

由定理2，一个任意域都是一个素域的扩域，我们就掌握了所有的域。

但事实上研究素域的扩域并不比研究一个任意域的扩域来得容易。

因此我们研究域的普通方法是：设法决定一个任意域F 的所有扩域E 。

现在我们极粗略地描述一下一个扩域的结构。

令E 是F 的一个扩域。

我们从E 里取出一个子集S 来。

我们用F （S ）表示含F 和S 的E 的最小子域，把它叫做添加集合S 于F 所得的扩域。

F （S ）的存在容易看出。

因为，E 的确有含F 和S 的子域，例如E 本身，一切这样的子域的交集显然是含F 和S 的E 的最小子域。

更具体的说，F （S ）刚好包含E 的一切可以写成（1）),,,(),,,(212211n n a a a f a a a f 形式的元。

这里n a a a ,,,21 是S 中的任意有限个元素，而1f 和2f （0≠）是F 上的这些α的多项式。

这是因为：F （S ）既然是含有F 和S 的一个域，它必然含有一切可以写成形式（1）的元；另一方面，一切可以写成形式（1）的元已经作成一个含有F 和S 的域。

适当选择S ，我们可以使E =F （S ）。

例如S=E ，就可以作到这一点。

实际上，为了作到这一点，常常只须取E 的一个真子集S 。

若S 是一个有限集：S={n a a a ,,,21 }，那么我们也把F （S ）记作F （n a a a ,,,21 ）叫做添加元素n a a a ,,,21 于F 所得的子域。

为了便于讨E 是域F 的一个扩域，而1S 和2S 是E 的两个子集。

那么F （1S ）（2S ）= F （21S S ）=F （2S ）（1S ）证明： F （1S ）（2S ）是一个包含F 、1S 和2S 的E 的子域，而F （21S S ）是包含F 和21S S 的E 的最小子域。

因此（2） F （1S ）（2S ）⊃F （21S S ）另一方面F （21S S ）是一个包含F 、1S 和2S ，因而是一个包含F （1S ）和2S 的E 的子域。

但F （1S ）（2S ）是包含F （1S ）和2S 的E 的最小子域，因此（3） F （1S ）（2S ）⊂F （21S S ）有（2）和（3），得F （1S ）（2S ）= F （21S S ）同样可以得到F （2S ）（1S ）= F （21S S ）证完根据定理3，我们可以添加一个有限集归结为陆续添加单个元素，例如F （n a a a ,,,21 ）= F )())((21n a a a定义 添加一个元素α于域F 所得的扩域F （α）叫F 的单扩域（扩张）。

单扩域是最简单的扩域。

我们在下一节将先讨论这种扩域结构。

● 教学重点 扩域与素域的定义。

● 教学难点 定理1的证明。

● 教学要求 使学生掌握扩域与素域的定义，利用扩域和素域的定义以及定理1，2，3能证明相关的命题。

● 布置作业 154p 习题。

● 教学辅导 利用参考书，给学生辅导相关的内容。

§5.2 单扩域● 课时安排 约2学时。

● 教学内容 （《近世代数基础》 （1978年修订本） 张和瑞 著 160154-p ）假设E 是F 的扩域，而α是E 的一个元。

要讨论单扩域F （α）的结构，我们把E 的元分成两类。

定义 α叫做域F 的一个代数元，假如存在F 的不都等于零的元n a a a ,,10，使得010=+++n n a a a αα假如这样的n a a a ,,10不存在，α就叫做F 上的一个超越元。

若α是F 的一个代数元，F （α）就叫做F 的一个单代数扩域；若α是F 的一个超越元，F （α）就叫做F 的一个单超越扩域。

单扩域的结构通过以下定理可以掌握。

定理1 若α是F 的一个超越元，那么F （α）≅ F[x ]的商域这里F[x ]是F 上的一个未定元x 的多项式环。

若α是F 的一个代数元，那么F （α）≅ F[x ]/))((x p这里)(x p 是F[x ]的一个唯一确定的、最高系数为1的不可约多项式，并且0)(=αp 。

证明 F （α）包含F 上的α的多项式环{}∑∈=F a a F k k k ,][αα一切我们知道， ∑∑−→−k k k k a x a α是F 上的未定元x 的多项式环F[x ]到][αF 的同态满射。

现在我们分两个情形来看。

情形1 α是F 的一个超越元。

这时以上的映射是同构映射：F[α]≅ F[x ]由Ⅲ，10，定理4，F[α]的商域≅ F[x ]的商域由Ⅲ，10，定理3，我们可以知道，（1） F[α]的商域⊂ F[α]另一方面，F[α]的商域包含F 也包含α，因此，由F （α）的定义（2） F （α）⊂ F[α]的商域由（1）和（2）得F （α）=F[α]的商域因而F （α）≅ F[x ]的商域情形2 α是F 的一个代数元。

这时F[α]≅ F[x ]/μ这里μ是上述同态满射的核。

由Ⅳ，4，定理3和定理1，F[x ]是一个主理想， 所以μ=))((x pF[x ]的一个主理想的两个生成元能够互相整除，因而它们只能差一个单位因子， 而F[x ]的单位就是F 的非零元。

所以令)(x p 的最高系数是1，)(x p 就是唯一确定的。

由μ的定义的：0)(=αp ；由此得)(x p 不是F 的非零元。

但α是F 上的代数元，所以)(x p 也不是零多项式。

因此， )(x p 的次数≥1。

我们就说，)(x p 是F[x ]的一个不可约多项式。

不然的话，将有的次数的次数和)()()(),()()(x p x h x g x h x g x p <=从而 )()()(αααh g p ==0但)()(ααh g 和都是域F （α）的元，而域没有零因子，所以由上式可以得到)(αg =0 或 )(αh =0这就是说，μ∈)(x g 或 μ∈)(x h ，即)(x p |)(x g 或 )(x p |)(x h这是一个矛盾。

这样，)(x p 是一个不可约的多项式，因而))((x p 是 F[x ]的一个最大理想，而F[x ]/))((x p 是一个域。

这样，F[α]是一个域。

但F[α]包含F 也包含α，并且F[α]⊂ F （α），所以F[α]=F （α）≅ F[x ]/))((x p证完以上定理把单扩域归结到我们已经知道的域。

当α是域F 上代数元时，我们可以把F （α）描述得更清楚一点。

定理2 令α是域F 上的一个代数元，并且F （α）≅F[x ]/))((x p那么F （α）的每一个元都可以唯一的表成∑-=10n i i ia α )(F a i ∈ 的形式，这里n 是)(x p 的次数。

要把这样的两个多项式)(αf 和)(αg 想加，只需把相当的系数想加；)(αf 与)(αg 的乘积等于)(αr ，这里)(x r 是用)(x p 除)(x f )(x g 所得的余式。

证明 由于F （α）= F[α]，所以F （α）的一个任意元β可以写成β=∑=)()(i i b h αα )(F b i ∈的形式。

但)()()()(x r x p x q x h +=其中)(x r =∑-=10n i i i x a )(F a i ∈因而，由于0)(=αp ，有 β =∑-===10)()(n i i i a r h ααα这种表示法是唯一的。

因为：假如 )()(21ααβr r ==，)(1x r 和)(2x r 的次数＜n那么0)()()(21==-αααk r r)(|)(x k x p由于)(x k 的次数＜n ，得)(x k =0，)(1x r =)(2x r由以上的证明可以看出，定理的后一部分成立。

证完我们已经看到，多项式)(x p 对于一个代数扩域重要性。

)(x p 显然是理想μ里的一个次数最低的多项式。

定义 F[x ]中满足条件0)(=αp 的次数最低的多项式011)(a x a x x p n n n +++=--叫做元α的在F 上的极小多项式。

n 叫做α的在F 上的次数。

以上的讨论是在域F 有扩域E 的前提下进行的。

现在我们问，若是只给了一个域F ，是不是有F 的单扩域存在？存在F 的单超越扩域容易看出。

我们知道，F 上的一个未定元x 的多项式环F[x ]和F[x ]的商域都是存在的。

F[x ]的商域显然是包含F 和x 的最小域，而按照未定元的定义，x 是F 上的一个超越元。

因此F[x ]的商域就是F 的一个单超越扩域。

由定理1，F 的任何单超越扩域都是同构的。

现在我们证明定理3 对于任一给定域F 以及F 的一元多项式环F[x ]的给定不可约的多项式011)(a x a x x p n n n +++=--总存在F 的单代数扩域F （α），其中α在F 上的极小多项式是)(x p 。