基于广义柯西分布的最大后验准则频谱估计方法
基于广义柯西分布的最大后验准则频谱估计方法
基于广义柯西分布的最大后验准则频谱估计方法作者：宋俊才张曙来源：《现代电子技术》2010年第07期摘要:经典的频谱估计方法和现代的频谱估计方法在低信噪比及小数据量的情况下,谱估计的分辨率和方差性能不能满足实际应用需要。
因此,提出一种高分辨率、高精度DFT变换的新方法,此方法特别适用于线性频谱的估计。
该方法基于最大后验概率准则,建立广义柯西-高斯分布模型,克服了短数据情况下的DFT变换分辨率低的缺点,具有收敛快、频率分辨率高、频率精度高的优点。
计算机仿真结果证实了新方法的有效性。
关键词:最大后验概率; 离散傅里叶变换; 频谱估计; 广义柯西分布中图分类号:TN911.6 文献标识码:A文章编号:1004-373X(2010)07-0017-04New Method for Spectrum Estimation Based on Generalized Cauchy Distribution and MAPSONG Jun-cai, ZHANG Shu(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)Abstract: In the low SNR and small amount of data, the resolution and variance performance of spectral estimation can not meet the actual requirement by using classical or modern spectrum estimation methods. Therefore, a new high-resolution and high-precision method of DFT transform is proposed. It is suitable for estimation of linear spectra. Based on maximum a posteriori probability criterion, a generalized Cauchy-Gaussian distribution model to overcome the low resolution of DFT in the case of short data is established. The proposed method has advantages of fast convergence, high efficiency and high accuracy.The results of computer simulation show that the novel method is effective.Key words: maximum a posterior probability; discrete Fourier transform; spectrum estimation; generalized Cauchy distribution0 引言信号的频谱分析是研究信号特征的重要手段之一,该技术在雷达、通信、震动、地震信号处理及电子监测领域有着广泛的应用。
最大似然准则和最大后验概率准则之间的关系
最大似然准则和最大后验概率准则是统计学中常用的两种估计方法，它们在参数估计和模型推断中发挥着重要作用。
本文将从定义、原理和应用等方面探讨最大似然准则和最大后验概率准则之间的关系。
一、最大似然估计方法1.最大似然估计的定义最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它的核心思想是求取参数的估计值，使得观测到的样本出现的概率最大。
设总体具有一个分布，其中含有一个或多个未知参数，我们抽取了一个样本，现在要估计这个未知参数，这就是最大似然估计的问题。
2.最大似然估计的原理最大似然估计的原理是寻找一个参数估计值，使得已知样本出现的概率达到最大。
具体来说，对于一个样本集合X，假设总体的分布函数是P(X| θ)，其中θ 是未知参数，那么最大似然估计就是要找到一个θ^ ，使得P(X| θ^) 达到最大。
这样的θ^ 就是对θ 的最大似然估计。
通常通过对P(X| θ) 取对数，转化为对数似然函数的最大化问题来求解。
3.最大似然估计的应用最大似然估计在统计学和机器学习中有着广泛的应用，例如在回归分析、分类和聚类等领域都能看到最大似然估计的影子。
通过最大似然估计可以得到参数的点估计，用于描述总体的分布特征。
二、最大后验概率估计方法1.最大后验概率估计的定义最大后验概率估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯理论的思想，考虑了参数的先验分布。
在给定了样本信息后，我们试图求取参数的估计值，使得在贝叶斯观点下，参数的后验分布达到最大。
2.最大后验概率估计的原理最大后验概率估计考虑了参数的先验信息，其计算公式如下：P(θ|X) ∝ P(X| θ) * P(θ)其中P(X| θ) 是似然函数，P(θ) 是参数的先验分布，P(θ|X) 是参数的后验分布。
最大后验概率估计就是要找到一个θ^ ，使得P(θ|X) 达到最大。
通常通过对P(θ|X) 取对数，转化为对数后验概率函数的最大化问题来求解。
3.最大后验概率估计的应用最大后验概率估计在贝叶斯统计推断中有着重要作用，例如在参数估计、模型选择和预测等问题中都可以应用最大后验概率估计。
基于最大熵谱估计的频谱感知方法的研究
ｓｅｔ ｍ ｓｎｉ ａｅ ｎＭ ｘ ｕ ｎ ｏｙｓｅｔ ｌ ｓ ｍ ｔ ｎ（ Ｓ ｐ ｃ ｅ ｓ ｇｂ ｓｄｏ ａ ｉ ｍ ｅ ｔ ｐ ｃ ａ ｅｔ ａ ｏ ＭＥ Ｅ）ｉ ｐｏ ｏｅ ．Ｔ ｅｒ ｉａ ａａｙ ｕ ｒ ｎ ｍ ｒ ｐ ｒ ｉ ｉ ｓ ｒｐ ｓｄ ｈｏｅ ｃｌ ｎｌ ｔ —
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的不确 定 性对 能 量 检 测 的影 响 很 大 Ｊ 。匹 配 滤 波
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０ 引 言
频谱感知是认 知无线电的重要组成部分 ， 通过
主动 检测 授权 用 户 （ Ｕ，ｒ ａｙｕｅｓ 频 段 闲置 的 Ｐ ｐｉ ｒ ｓｒ） ｍ
器法可 以获 得好 的频 谱 感知 结 果 ， 是必 须 知道 主 但 用户信 号 的先验 知识 ， 系统 实 现 复 杂。循 环谱 检 测
第 ５期 ２１ ０ ０年隍罾 ．
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＣ Ｉ ｏ ｒ ａ ＡＥ Ｔ ｏ
Ｖ０． ． １５ Ｎｏ ５ ０ｃ ． ２ ０ ｔ ０１
广义估计方程估计方法
广义估计方程估计方法一、引言在统计学中，估计是一种对未知参数进行估算的方法。
广义估计方程估计方法（Generalized Estimating Equations, GEE）是一种广义线性模型的推广，用于对重复测量数据或相关数据的参数进行估计。
本文将对广义估计方程估计方法进行全面、详细、完整地探讨。
二、广义估计方程广义估计方程是一种基于分布式模型的估计方法，适用于多个观测之间存在相关性的情况。
通常，我们需要通过一个参数向量来描述我们感兴趣的总体特征。
然而，在重复测量或相关数据中，观测之间的相关性可能导致传统估计方法的失效。
GEE的核心思想是通过建立“广义估计方程”来估计参数，而不需要对观测值的相关性做出严格的假设。
通过最大化针对广义估计方程构建的“Q函数”，可以得到参数的估计值。
三、GEE的模型设定在使用GEE进行参数估计之前，我们需要根据实际问题来设定模型。
在GEE中，模型的设定包括以下几个方面：1. 响应变量和预测变量在GEE中，我们需要明确定义响应变量和预测变量。
响应变量是我们希望通过模型来解释和预测的变量，而预测变量是我们用来解释和预测响应变量的变量。
2. 分布族和连接函数在GEE中，我们需要选择一个合适的分布族和连接函数来描述响应变量的分布和均值。
根据实际情况，我们可以选择正态分布、泊松分布、二项分布等不同的分布族，并选择合适的连接函数。
3. 协变量和随机因素GEE中的协变量是指预测变量中的固定效应，可以通过参数估计来确定其与响应变量的关系。
随机因素是指预测变量中的随机效应，可以通过随机效应模型来建模。
4. 相关结构在GEE中，我们需要明确指定观测之间的相关结构。
常见的相关结构包括独立、自回归、交叉设计等。
四、GEE的估计方法GEE的估计方法主要包括以下几个步骤：1. 构建广义估计方程根据模型设定，我们可以构建广义估计方程。
广义估计方程是一个非线性方程组，其中包含了我们感兴趣的参数。
2. 选择合适的工作相关矩阵在构建广义估计方程时，我们需要选择一个合适的工作相关矩阵。
详解最大似角估计,最大后验概率估计和贝叶斯公式
详解最大似角估计,最大后验概率估计和贝叶斯公式在统计学中，估计是一项非常重要的任务，从样本数据中估计出总体的特征是估计的主要目的。
在此过程中，最大似角估计、最大后验概率估计和贝叶斯公式这三种方法被广泛地应用于不同的场景。
本文将详细阐述这三种方法的原理和应用。
最大似角估计（maximum likelihood estimation, MLE）是一种在参数估计中被广泛使用的方法，它基于一个假设：样本是独立同分布的。
在此基础上，MLE的目标是寻找一个最大化似然函数的参数值，这个值被认为是最有可能产生观测数据的参数值。
似然函数是指在给定参数下，样本数据出现的概率密度函数。
MLE通常用于连续参数的估计，比如正态分布的均值和方差等。
举个例子，假设有一个有10个数据点的样本，且这个样本服从正态分布，MLE的目的是找到一个均值和方差，使得这个样本的似然函数最大化。
即，找到使得如下公式的值最大的μ和σ^2：∏^10 i=1f(x_i | μ, σ^2) = (2πσ^2)^(-n/2) * exp[ - ∑^10 i=1(x_i-μ)^2 / 2σ^2 ]其中，n为样本数据点的数量，f(x_i | μ, σ^2)为正态分布的概率密度函数。
最大后验概率估计（maximum a posteriori estimation, MAP）是贝叶斯统计推断的一种形式，它通过估计某一事实或参数的似然性及在此基础上的先验信息来获取后验概率密度函数，以便进行决策。
与MLE不同，MAP 还考虑了给定参数下样本数据的可能性，即先验概率。
MAP 的目标是在给定观测数据的前提下，找到一个使得后验概率最大的参数值。
MAP常常用于分类问题中，比如垃圾邮件分类。
理解MAP最简单的方法之一是，如果我们知道某个事件A发生的条件下，事件B发生的可能性，那么我们就可以预测事件B的概率。
这个问题可以使用贝叶斯定理得到，即：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)是指事件A发生的先验概率；P(B)是指事件B发生的先验概率。
柯西分布概率密度函数
柯西分布概率密度函数
柯西分布（Cauchy distribution）是统计学中一类重要的概率分布，它是一
种古老而又优秀的分布，用于估计随机变量的方差。
柯西分布的统计特性在工程上得到广泛的应用，对于高校与高等教育也不例外。
柯西分布的概率密度函数采用了相对比较简单的形式，为参数形式ⅹ，其中X
为未知参数，用来描述概率分布的形状及尺度，它在某种程度上可以反映变量的不均衡性、以及分布的“长尾”特征。
其中最显著的特点是，曲线的左右对称，其中，观测值的中心位于 X=0处，随着X的增加，观测值也会随之减小。
在教育统计学中，柯西分布被广泛用作计算学生能力的主要估算参数，其具有
均值和标准差估计的延伸性，能够更好地反映随机变量的分布特征，更有利于统计建模和分析学生能力。
柯西分布的统计推导过程也提供了一系列实用的统计工具，比如：最大似然法，最小平方法等工具，以实现更加准确的模型估计和模型后验估计，为学术界及高校持续更新教学质量提供了强有力的技术支持。
基于柯西分布，我们可以根据不同高校的客观性评价指标，进行合理的能力水
平评估，建立事实基础的教学管理政策；以柯西分布的概率密度函数为基础，可以有效控制估算误差，减少新生学术水平的跨校攀比；又可以根据学术能力的分布特性，制定合理的以能力为导向的教学方案，以提供深入有效的教学支持。
综上所述，柯西分布在高校和高等教育中，都有着广泛而独特的应用，是一类
重要的统计概率分布。
面对变化日新月异的现代高等教育，其作用越来越重要，将为高校及学术界提供更有效的技术支撑，促进教育质量全面提高。
柯西分布的参数估计
柯西分布的参数估计柯西分布是概率论和统计学中一种连续概率分布。
它是以法国数学家奥古斯丁·柯西的名字命名的。
柯西分布具有一些特殊的性质，例如它的均值和方差都不存在，因此求取柯西分布的参数估计相对较复杂。
本文将介绍柯西分布的参数估计方法，并给出具体的推导过程。
f(x，x_0,γ)=1/(π*γ*(1+((x-x_0)/γ)^2))其中，x_0是参数估计中的位置参数，γ是尺度参数。
最大似然估计是一种估计未知参数的方法，它基于在给定数据下参数的似然度最大化。
对于柯西分布，最大似然估计的目标是找到最适合样本数据的参数x_0和γ。
为了实现这一目标，我们需要最大化似然函数。
给定样本数据X={x_1,x_2,...,x_n}，柯西分布的似然函数可以定义为：L(x_0,γ，X)=Π(f(x_i，x_0,γ))取对数似然函数，可以得到：log L(x_0, γ，X) = Σ(log(f(x_i，x_0, γ)))对于柯西分布，最大似然估计可以通过最大化对数似然函数来实现。
然而，柯西分布的概率密度函数存在无穷大的值，在实际计算中可能导致数值不稳定性。
为了解决这个问题，通常使用将概率密度函数除以一个合适的正常数，以消除数值上的问题。
log L(x_0, γ，X) = Σ(log(f(x_i，x_0, γ))) - n*log(C)其中，C是一个合适的正常数。
将上式关于x_0和γ求偏导，并令其等于零，可以得到柯西分布的最大似然估计：∂(log L(x_0, γ，X))/∂x_0 = 0∂(log L(x_0, γ，X))/∂γ = 0对于位置参数x_0的估计，我们可以得到等式：Σ(2*(x_i-x_0)/γ^2/(1+((x_i-x_0)/γ)^2))=0通过整理上述等式，可以得到x_0的最大似然估计：x_0=(1/n)*Σ(x_i)对于尺度参数γ的估计，我们可以得到等式：Σ(1-((x_i-x_0)/γ)^2)/(γ^3*(1+((x_i-x_0)/γ)^2))=0由于无法通过解析方法找到γ的最大似然估计，通常使用数值优化方法来近似解出γ。
正态分布均值的几种点估计及比较
正态分布均值的几种点估计及比较李文宇【摘要】本文给出正态总体的参数均值的几种点估计方法,并对这几种点估计加以比较,说明其优劣.【期刊名称】《科技资讯》【年(卷),期】2007(000)009【总页数】1页(P83)【关键词】正态分布;矩估计;极大似然估计;顺序统计量估计;贝叶斯估计【作者】李文宇【作者单位】黑龙江科技学院数力系,黑龙江哈尔滨,150027【正文语种】中文【中图分类】基础科学POO／科教平台——SCII~a＆ J[-CHNOL 。
vlM ot瓦丧导昔E 垦 l 夏要昆喜圊正态分布均值的几种点估计及比较李文字（黑龙江科技学院数力系黑龙江哈尔滨 150027 ）摘要：本文给出正态总体的参数均值的几种点估计方法，并对这几种点估计加以比较，说明其优劣。
关键词：正态分布矩估计极大似然估计顺序统计量估计贝叶斯估计中图分类号： G424.1分献标识码： A正态分布在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中都占有十分重要的地位。
在自然界和社会现象中，火量的随机变量都服从或近似服从正态分布，如测量误差、产品的各类质量指标、生物学中同一群体的形态指标、经济学中的股票价格、农作物的收获量等等都涉及到正态分布。
可以晚，服从正态分布的随机变量应用之广是任何一种随机变量不能与之相比的。
因此对于正态分布进行更深入更广泛的研究是值得的。
本文给出正态总体的参数均值的几种点估计方法，并对这几种点估计加以比较，说明其优劣。
设总体爿—N(p ，口2)，(。
kX ：，.".x 。
)为取自．X7的样本，求待估参数∥ 的点估计。
1．矩估计矩估计法是一种直观且简单的方法。
由大数定律，样本矩在一定程度上可以逼近总体矩，故可用样本矩来估计总体矩。
“ ¨ ‘ 一 - ：善。
-1 即∥ 的矩估计为, ： i ，它是∥ 的一致最小无偏估计量。
矩估计方法简单，特别对总体期望和方差、各阶矩等数字特征作估计时，不需要总体的分布函数，缺点是当总体矩不存在时，如柯西分布，该方法不能使用。
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基于广义柯西分布的最大后验准则频谱估计方法作者：宋俊才张曙来源：《现代电子技术》2010年第07期摘要:经典的频谱估计方法和现代的频谱估计方法在低信噪比及小数据量的情况下,谱估计的分辨率和方差性能不能满足实际应用需要。
因此,提出一种高分辨率、高精度DFT变换的新方法,此方法特别适用于线性频谱的估计。
该方法基于最大后验概率准则,建立广义柯西-高斯分布模型,克服了短数据情况下的DFT变换分辨率低的缺点,具有收敛快、频率分辨率高、频率精度高的优点。
计算机仿真结果证实了新方法的有效性。
关键词:最大后验概率; 离散傅里叶变换; 频谱估计; 广义柯西分布中图分类号:TN911.6 文献标识码:A文章编号:1004-373X(2010)07-0017-04New Method for Spectrum Estimation Based on Generalized Cauchy Distribution and MAPSONG Jun-cai, ZHANG Shu(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)Abstract: In the low SNR and small amount of data, the resolution and variance performance of spectral estimation can not meet the actual requirement by using classical or modern spectrum estimation methods. Therefore, a new high-resolution and high-precision method of DFT transform is proposed. It is suitable for estimation of linear spectra. Based on maximum a posteriori probability criterion, a generalized Cauchy-Gaussian distribution model to overcome the low resolution of DFT in the case of short data is established. The proposed method has advantages of fast convergence, high efficiency and high accuracy.The results of computer simulation show that the novel method is effective.Key words: maximum a posterior probability; discrete Fourier transform; spectrum estimation; generalized Cauchy distribution0 引言信号的频谱分析是研究信号特征的重要手段之一,该技术在雷达、通信、震动、地震信号处理及电子监测领域有着广泛的应用。
理论上的傅里叶变换是对整个时域信号的变换,但现实中却只能对有限长度的信号进行变换。
经典的谱估计方法主要是周期图法及改进的周期图估计方法,但这些方法都存在着频率分辨率低、频谱泄露和方差性能不好等缺点。
原因是周期图频谱估计是对数据加窗截断,用有限数据样本或自相关函数来估计无限个数据的频谱。
现代的频谱估计技术有基于ARMA模型的估计技术,基于预测外推的最大熵法(MEM),最大似然Capon估计等,这些技术较经典频谱估计有更高的频谱分辨率。
但带来的问题是对模型的参数的估计,或者要求较高的信号噪声比(SNR)等[1,2]。
同时这些方法除了计算量大之外,也可能出现数值不稳定现象。
Sacchi和Ulrych等人提出的基于最大后验概率柯西-高斯模型的频谱估计方法[3]已解决经典频率估计和现代频率估计技术中存在的缺点,该估计方法在小数据量的前提下有效地提高了频谱估计的精度。
本文推广了柯西-高斯模型,提出基于广义柯西分布的频谱估计方法,仿真结果显示本方法较基于柯西分布的算法性能更好。
1 基于最大后验准则的DFT考虑一个包含点的采样时间序列,则该离散序列-的DFT变换可表示为:Xk=∑N-1n=0xne-i2πnk/N,k=0,1,…,N-1(1)同样,该离散序列的IDFT可表示为:xn=1N∑N-1k=0Xkei2πnk/N, n=0,1,…,N-1(2)以下为了叙述方便,分别将称为数据样本称为频域样本。
现在希望由个数据样本得到M>N点的频域样本值。
求解该问题的最直接方法为在N 个数据样本后补M-N个零,然后进行DFT变换。
该方法虽然获得了M个频率点值,但这种基于原有个样本的插值算法,由于没有增加原始数据信息,所以没有减小时域窗而导致的频谱旁瓣过大、频谱稀疏性差的缺点。
当时,将数据补M-N个零,进行DFT变换得到X。
而对进行IDFT时,以矩阵形式表示式(2)时,要改写成:x=FX(3)其中∈RN和X∈CM分别表示已知数据向量和其相应的DFT,F为N×M矩阵,Fn,k=1Mei2πnk/M。
已知当时,由式(3)确定的线性方程组求解问题为非确定性病态问题,为了使式(3)有惟一解,必须增加相应的约束条件。
根据文献[5],通过最小化下列表达式,可以获得在某种条件限制下的惟一解:-FX‖22(4)式中表示Frobenius范数,‖X‖22=XHX=∑kX*kXk。
约束项Φ(X)代表了增加的限制条件。
从而在M>N时,惟一解的问题转化为如何寻找到相应的Φ(X)。
假设数据包含噪声,噪声服从分布,数据样本x的条件分布概率表示为p(xX,σn)。
设频域样本X的先验分布概率为则根据贝叶斯原理得到后验分布概率:p(Xx,σX,σn)=p(XσX)p(xX,σn)p(xX,σX,σn)(5)即式(5)是已知和σn的最大后验概率估计器。
由于式(5)的分母可以认为是常数,从而最大后验等价于使式(5)的分子最大,因此不仅与数据中的噪声分布有关,同时和X的先验分布有关。
下面将看到不同的先验概率分布对X估计的影响。
(1) 当X的先验概率分布为复高斯分布时,即:p(XσX)=12πσ2XM-1e-(1/2σ2x)‖X‖22(6)式中为信号功率。
使式(5)最大,即等价于使下式最小:Jgg=12σ2X‖X‖2+12σ2n‖x-FX‖2(7)其中:下角标gg表示数据样本中的噪声及频域样本都服从高斯分布。
这种模型简称为GG 模型。
将式(7)和式(4)相比,可以知道两者具有相同的形式,即当假设的先验概率为高斯分布时,Φ(X)=‖X‖22。
微分式(7)并使其为零,可得到:=1M+λ-1FHx(8)其中因子为噪声信号比。
对比式(3)和式(8),可知此时的DFT即为带常数加权因子的补零DFT变换。
当时,式(8)则退化为补零的DFT变换。
(2) 当的先验概率分布为柯西分布时,即:p(XkσX)∝11+XkX*k2σ2X(9)可得到-从而:Jcg=∑M-1k=0ln1+XkX*k2σ2X+12σ2n‖x-FX‖2(10)其中:下角标cg表示频域样本及数据样本噪声分别服从柯西分布和高斯分布。
同样这种模型简记为CG模型。
经过如前的推导,得到的DFT变换为:=[λQ-1+FHF]-1FHx(11)其中是对角矩阵:Qii=1+XiX*i2σ2X, i=0,1,…,M-1(12)对比式(8)和(11),可知此时的DFT仍为加权的补零DFT变换,但与式(8)不同的是式(11)中的被Q-1加权。
当时,式(11)同样退化为补零的DFT变换。
后面的仿真结果证明由式(11)得到的DFT优于式(8)的结果。
2 基于广义柯西分布的MAP的DFT分析上面的GG及CG模型所得到的结果可知,当的先验概率分布很窄时,如GG模型采用的高斯分布,由于不能充分利用数据样本的统计特性,导致GG模型得到的结果与数据样本补零后DFT的结果相同。
而的先验概率展宽后,如CG模型采用的柯西分布,数据样本的统计特性得到充分的利用,从而得到的结果要明显优于GG模型的结果。
因此为了得到性能优良的频谱估计就要寻找具有良好拖尾特性的先验分布[1],以进一步改进基于MAP的频谱估计特性。
2.1 广义柯西分布对于实随机变量如果其概率密度函数为:pm(XkσX)=am1+X2k2σ2Xm,m>0.5(13)则定义服从参数为m的广义柯西分布。
参数m是大于0.5的实数是归一化常数。
可以证明广义柯西分布具有以下性质:(1) 当(2) 当时,广义柯西分布即是常规定义下的柯西分布。
(3) 广义柯西分布不同于下列分布fm(X kσX)=bm1+Xk2σX2m, m>0.5(14)但当为整数时两者相等。
(4) 在所有的分布中,广义柯西分布具有最大的散布特性,即广义柯西分布具有最大的拖尾概率。
在图1中给出了高斯、柯西及广义柯西分布(m=0.6,m=0.9)的四条分布曲线。
为了便于比较它们的展布特性,对密度函数的原点值作了归一化处理。
由图1可以清楚地看到在这些曲线中,高斯分布具有最差的拖尾特性。
柯西分布拖尾特性比高斯分布要有明显展宽。
而对广义柯西分布,随着m值的减少,曲线的拖尾概率比柯西分布进一步增大。
图1 三种分布的归一化概率密度2.2 基于广义柯西分布的MAP的DFT假设的先验概率服从广义柯西分布:pm(XkσX)∝11+‖Xk‖222σ2Xm, m>0.5(15)对于广义柯西分布先验概率,要使后验概率最大等价于最小化Jgcg=S(X)+12σ2n(x-FX)H(x-FX)(16)其中:下角标gcg表示广义柯西-高斯分布模型(记为GCG模型)。
同样可以求得约束项为:S(X)=∑M-1k=0ln1+‖Xk‖222σ2Xm(17)对式(16)求导并令导数为零,得到GCG模型下的DFT。
=[mλ(G1-m+G)-1+FHF]-1FHx(18)其中为M×M为对角矩阵,Gkk=‖Xk‖222σ2X。
对比式(11)和(18),可知GCG模型的DFT仍为加权的补零DFT变换。
与式(11)不同的是加权形式更加复杂,但当时,式(18)也退化为补零的DFT变换。
显然当时,式(18)转化为式(11),即柯西-高斯模型的解,只是广义柯西-高斯分布模型解的一个特例。
这个解的性能将在下一部分通过仿真来说明。