1_2021年湖北省武汉市三中分配生数学试卷(含答案)(1)

武汉三中数学测试题分值：120分 测试时间：120分钟一、选择题（每题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师张超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米=1000000微米）用科学记数法可表示为（ ） A ．0.24-10⨯米 B ．5-102⨯米 C ．2×4-10米 D ．2×510米2．如果0122=-+a a ，那么代数式2)42-⋅-a a a a （的值是（ ）A 1-B 3-C 3D 13．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表： 捐款的数额（单位：元）510 20 50 100 人数（单位：个） 24531关于这15名学生所捐款的数额，下列说法正确的是（ ）A ．中位数是20B ．平均数是30C ．极差是20D ．众数是1004．如图，在ABC Rt ∆中，030=∠A ，BC=1，点D,E 分别是直角边BC,AC 的中点，则DE 的长为（ ） A 1+3 B 2 C 3 D 15．如图，直径为10的圆A 经过C （0，5）和O （0，0），B 是y 轴右侧圆A 上一点，则OBC ∠的余弦值为（ )A 43B 23C 21D 546．如图是正方形的一种展开图，其中每个面上都标有一个数字。

那么在原正方形中，与数字“6”相对的面上的数字是A ．1B ．5C ．3D ．47．“五·一”节，爸爸开车带李明回老家看望爷爷、奶奶．一路上，李明发现在经过A 、B 、C 、D 每一个村庄前的500米处均立有下图所示的交通告示牌．现给出这四个路段爸爸开车的速度v(km/h)与离开告示牌的距离s(m)之间的函数关系图象，则其中表示爸爸违章的路段的图象是（ ）8．已知acb a bc b a c c b a k ++-=+-=-+=，且n n m 6952=++-，则关于自变量x 的一次函数mn kx y -=的图像一定经过第（ ）象限A 一、二B 三、四C 二、三D 一、四9．如图，边长为1的正三角形ABC ，分别以顶点A,B,C 为圆心，1为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为（ ）A323+π B 323-π C 3227-π D 232+π 10．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形. 若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题（每题3分，共18分）11.计算32)2-xy （= 12. 如图，在正方形ABCD 中AC 与BD 交于点O ，正方形外有一点E ， 使∠AED ＝90°，且DE=3，OE=，则AE=13. 如图在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足ABCD PAB S S 矩形31=∆，则点P 到A,B 两点距离之和PA+PB 的最小值是14. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线 AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）15.从-1,1, 2这三个数字中，随机抽取一个数，记为ａ.那么，使关于x 的一次函数的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积为，且使关于x 的不等式组有解的概率为 .16. 有一张矩形风景画，长为90cm ，宽为60cm ，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm ，左、右边衬的宽都为bcm ，那么ab= ___． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本小题8分）已知m,n 是方程0132=++x x 的两根，求mm m m m 23102)5165---⋅--+（的值。

18．（本小题8分）如图，△ABC 中，AC=BC ，I 为△ABC 的内心，O 为BC 上一点，过B 、I 两点的圆O交BC于D点，tan∠CBI=，AB=6，（1）求线段BD的长；（2）求线段BC的长．19．（本小题8分）某校团委要组织班级歌咏比赛，为了确定一首喜欢人数最多的歌曲作为每班必唱歌曲，团委提供了代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择（每个学生只选一首），经过抽样调查后，将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图1，图2所提供的信息，解答下列问题：（1）在抽样调查中，求选择曲目代号为A的学生人数占抽样总人数的百分比；（2）请将图2补充完整；（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果，估计全校选择曲目代号为D的学生有多少名？20．（本小题8分）1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min．设气球球上升时间为xmin （0≤x≤50）（Ⅰ）根据题意，填写下表：上升时间/min10 30 … x 1号探测气球所在位置的海拔/m 15 … 2号探测气球所在位置的海拔/m30…（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由；（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？21．（本小题8分）已知：Rt △A′BC′和 Rt △ABC 重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt △A′BC′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C 和线段AA′相交于点D,连接BD ．（1）当α=60°时，A’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．22.（本小题10分）在ABC ∆中，090=∠BAC ，045=∠ABC ,点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B,C 重合），以AD 为边作正方形ADEF,连CF 。

（1）如图①，当点D 在线段BC 上时，求证：CF+CD=BC;（2）如图②，当点D 在BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；（3）如图③，当点D 在BC 的反向延长线上，且点A,F 分别在直线BC 的两侧时，其他条件不变。

i 请直接写出CF,BC,CD 三条线段之间的关系ii 若正方形ADEF 的边长为22，对角线AE 和DF 相交于点O ，连OC ，求OC 的长度。

23（本小题10分）二次函数y=n mx x +-242的图像与x 轴交于A （1x ，0），B(2x ,0),(21x x <)两点，与y 轴交于C 点。

（1）若AB=2，且抛物线的顶点在直线y=2--x 上，试确定m, n 的值。

（2）在（1）中，点P 为直线BC 下方抛物线上一点，当PBC ∆面积最大时，求P 点坐标。

24. （本小题12分）如图，已知A （-1，0），E （0，-），以点A 为圆心，以AO 长为半径的圆交x 轴于另一点B ，过点B 作BF ∥AE 交⊙A 于点F ，直线FE 交x 轴于点C ． （1）求证：直线FC 是⊙A 的切线； （2）求点C 的坐标及直线FC 的解析式；（3）有一个半径与⊙A 的半径相等，且圆心在x 轴上运动的⊙P ．若⊙P 与直线FC 相交于M ，N 两点，是否存在这样的点P ，使△PMN 是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．数学测试题答案一、选择题（每题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） B D A D B A B B A A二、填空题（每题3分，共18分）11.638y x - 12. 5 13. 41 14. π-10 15. 16. 542cm 三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本小题8分）解析： m,n 是方程0132=++x x 的两根，所以0132=++m m ，0132=++n n ，m+n=-3,mn=1 ∴原式=mm m m m m m m m m m 23)5(25)3)(3(23102516-252----⋅--+=---⋅--066326)1(2622-6-2=+-=-⨯--=+--=-=mmm m m m18．（本小题8分）（1）如图连接CI 并延长交AB 于E ，连接ID ， ∵I 是△ABC 的内心，∴CI 平分∠ACB ，∵AC=BC ，,321,BEI BHI AB BH AB CH ∆≅∆==⊥∴，易证 3==∴BH BE ,,131,31tan ==∴=∠BE IE CBI 因为BD 是圆O 的直径，所以090=∠BID又相似与易证于IED BEI E BD IE ∆∆⊥,，,ED IE IE BE =∴∴ED=31,310313=+=+=∴ED BE BD （2）连OI,I为三角形ABC的内心，∴ABI OBI ∠=∠,OIB ABI OIB OBI OB OI ∠=∠∴∠=∠∴=,,AB OI //∴,CH OI AB CH ⊥∴⊥, ,易证相似与IEC OEI ∆∆，易证BEI BHI ∆≅∆,所以BE=BH=3，1,=⋅∴=∴EC OE EC IE IE OE ,OE=OD-ED=34313521=-=-ED BD ,,43=∴EC415433=+=+=∴EC BE BC19．（本小题8分）解析（1）分别观察扇形、条形统计图获取信息，求出调查的总人数为30÷36060=180（人）， 再由唱A 的人数与总调查人数的比计算A 的百分比：100﹪=20%（2）选C 的有180 – 36 – 30 – 44= 70人。

补全图2如图：（3）1530（人）37418044=⨯20，0.5x+15．（Ⅱ）两个气球能位于同一高度， 根据题意得：x+5=0.5x+15， 解得：x=20，有x+5=25，答：此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度． （Ⅲ）当30≤x≤50时，由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球， 设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym ， 则y=（x+5）-（0.5x+15）=0.5x-10， ∵0.5＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x=50时，y 取得最大值15，答：两个气球所在位置海拔最多相差15m ． 21．（本小题8分）（1）当α=60°时，BD ⊥A'A（2）补全图形如图2，BD ⊥A'A 仍然成立；（3）猜想BD ⊥A'A 仍然成立．证明：作AE ⊥C'C ，A'F ⊥C'C ，垂足分别为点E ，F ，如图3， 则∠AEC=∠A'FC'=90°．∵BC=BC'， ∴∠BCC'=∠BC'C ．∵∠ACB=∠A'C'B=90°， ∴∠ACE+∠BCC'=90°，∠A'C'F+∠BC'C=90°．∴∠ACE=∠A'C'F ．在△AEC 和△A'FC'中，∠AEC=∠A'FC'=90°， ∠ACE=∠A'C'F ，AC=,,C A ∴△AEC ≌△A'FC'． ∴AE=A'F ．在△AED 和△A'FD 中，∠AEC=∠A'FD=90°，∠ADE=∠ADF ．AE=A'F∴△AED ≌△A'FD ．∴AD=A'D ．∵AB=A'B ，∴△ABA'为等腰三角形．∴BD ⊥A'A ．22（本小题10分）解析;(1)证明： 090=∠BAC ，045=∠ABC ，∴045=∠ACB ,∴AB=AC四边形ADEF 是正方形，090=∠=∴DAF AF AD ，DAC BAD ∠=∠-900 ，DAC CAF ∠=∠-900，CAF BAD ∠=∠∴ACF ABD ∆≅∆,CF BD =∴.∴CF+CD=BD+CD=BC （2）CF －CD=BC （3） i CD －CF=BCii 090=∠BAC ,045=∠ABC ,∴045=∠ACB ，∴AB=AC 四边形ADEF 是正方形，090=∠=∴DAF AF AD ，，BAF BAD ∠=∠-900 ,BAF CAF ∠=∠-900 ,，CAF BAD ∠=∠∴ ACF ABD ∆≅∆,ABD ACF ∠=∠∴,045=∠ABC ,0135=∠∴ABD ,ABD ACF ∠=∠∴=1350∴090=∠FCD ,∴FCD ∆是直角三角形。