导数在不等式中的应用
导数在高考不等式中应用的新视角——“恒成立”问题与“存在成立”问题的区别及解决办法
． 一 Ｃ ）
＜２恒成 立 ， ｃ 求 的取值
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２ ｃ三 ＜＜
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错由 得＝卜） 解题 × ，兰＜ ：设 ４（Ｉ ２ ｌ” 化
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防范策 略 ：这是一类极易 出现 的错误 ，教 学中 应尽量从直观出发 ，列举具体实例 ，让 学生感知错
１ 误 用逻辑 关 系 ０
（）当ｋ ２ ２ ＝ 时， 应有０ ｃ 姜； ＜＜
（） 当 ｋ＝３时 ，应 有 ｃ 或 ｃ ； ３ ＜ ＞ ／
学 生解 题 时误 用 逻 辑 关 系导 致 谬 误 的现 象 也 很 常 见 ，而且 这种 错误 不 易被 发现 ．
例１ ｏ各项均为正数的等比数列 ｛ ｝ ａ ，其前 项
福建中学数 学
（） １若对任 意 ｘ∈＿，３ ， ［３ ］ 都有 ｆ（） ｇｘ 成立 ， ｘ （）
求 ｋ的取 值 范 围 ；
２ １ 年第 ４期 ０２
Ｉ （ ＝ （ ＝ａ １ ｆ １ 一， ） ）
ｌｍ （） （） ｅ ＋ ｅ ｆａ Ｘ ＝ｆ ｅ＝ａ 一 ａ． ｘ
１ 命题 引入 命题 ｌ①定义在 区间 ［ 】 ａ 上的函数 ｆ ｘ 满足 ，ｂ （ ）
ｆｘ （ ｋ （ ） ｋ为 常 数 ） 恒 成 立
∈［，ｂ ； ａ ］
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２典例剖析 例 １ 已 知 函 数 ／ ｘ ＝ ｘ ＋ ６ — ， （） ８。 １ｘ ｋ
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导数 在高考不等式 中应用 的新视 角
导数在不等式证明中的应用
导数在不等式证明中的应用齐雨萱高中数学学习中，不等式是研究各项数学问题的基础工具，不等式证明是一种常见数学题型，也是同学们较为头疼的数学题型之一，要想提高自身的不等式证明准确率和效率，就必须充分掌握运用导数理论展开科学解题，导数理论证明不等式是最为高效和基本的一种解题方法，合理利用导数工具进行不等式实践证明，能够有效将不等式证明过程从困难转化为简单，帮助自身建立起更好的数学自信心，并提高数学解题综合能力。
本文将对导数在不等式证明中的应用展开分析与探讨，为不等式证明过程提供一定借鉴与参考。
1 合理运用导数单调性证明不等式在实践计算函数某个区间导数最大值或者小于0时，可以通过合理运用导数单调性展开科学高效证明。
首先，必须准确计算出该函数在此区间中表现出来的递减或者递增过程，这样才能够顺利证明不等式问题。
在日常证明数学不等式过程中，要学会结合不等式的不同特点，合理运用不同形式构造出对应的函数，同时科学采用导数工具去证明出实际构造出函数的单调性，这样一来就能够根据函数单调性特征去完成对该不等式的有效证明，提高整个证明解题过程的效率。
通过去科学准确判断出函数单调性，就可以比较出区间大小，同时在该区间中融入不等式，有效将不等式与函数结合在一起，除此之外，要正确认识到利用导数单调性进行证明不等式能够为自身提供极为实用的解题思路，无论是多复杂的曲线，往往只需要经过两个步骤就可以实现对不等式题目的高效准确证明。
这两个解题步骤是先将不等式与函数有机结合起来，接着准确判断出该函数在对应区间的单调性。
比如，当遇到这个问题时，已知X〉0,证明X-X2/2-1N （1+X）〈0，我们在证明这个不等式的时候，可以合理利用导数单调性去进行有效证明。
在相应单调区间内，通过判断函数是递减还是递增去得出该不等式是否成立。
证明解题步骤如下所示：假设函数f(X)=X-X2/2-1N（1+X）(X〉0),则f （X）=X-X2/2，当X〉0时，f（X）〈0，这样我们就能够准确判定出f（X）在X〉0区间中该函数是一种递减的发展趋势，X=0可以去除函数的最大值，通过f（X）〈f(0)有效证明出f（X）〈0成立，并且也能够准确证明出X-X2/2-1N（1+X）〈0是成立的。
例谈导数在不等式证明中的应用
“ ” 同 中求 “ ” 这 是 一种 教 学 智 慧 ． 手 拈 来 的 智 慧 ， 同 异 ， 信 让
（ 上接 ６ ４页 ）
正如 佘 承 智 老 师在 讲 座 中所 说 ： 教 学 策 略 没 有 好 坏 之 “ 分 ， 没有 妙 差 之 异 ， 的 只 是 合适 与 否． 于是 在 清 白如 布 也 有 ” 的课 堂上 就 色 彩 斑 斓 ， 放 异 彩． 不 同 的 领 悟 中 ， 现 大 在 体
了 不 同 的 教 学 理 解 、 学 风 格 和 教 学 智 慧 ． 以 ， 何 在 教 所 如
３ ．同 题异 构 促 进 了 对 教 师 角 色 的思 考 ． 同题 异 构 ， 我 让
从 中 看 到 了 自身 的很 多 问题 ． 比如 ： 价 与 激 励 方 面言 语 单 评
一； 问题 与 认 知方 面无 所 谓 探 与 究 ； 体 与 合 作 方 面 流 于 形 个 式 ， 等． 且 更 加 深刻 地 认 识 到 一 个 优 秀 的 教 师 不 仅 应 是 等 而 投 入 的精 细 、 熟 的 知 识 、 新 的意 识 、 理 的 设 计 、 容 的 娴 创 合 从 心态 ， 而且 应 有 情 感 的 激 荡 、 和 的 力 量 、 法 的 引 领 、 料 亲 学 材 的取 舍 、 问题 巧 设 计 的 能 力． 教 学 是 一 门艺 术 ， 们 的教 学 应 以学 生 为 主 体 ． 断 的 我 不 实 践 和思 索 使 我 渐 渐 明 ， 使 教 学 真 正成 为 艺 术 ， 得 研 要 还
导数在证明不等式中的有关应用
导数在证明不等式中的有关应用1.最值的判定导数可以帮助我们判断一个函数在其中一区间的最值。
具体来说，如果在一个区间内，函数的导数恒为零或者导数的正负性在其中一点发生变化，那么在该区间内函数的最值就会出现。
例如，考虑函数$f(x)=x^2-4x+3$。
我们可以通过求取导数$f'(x)=2x-4$，并令其等于零，得到$x=2$。
通过检查导数的符号，可以确认在$x<2$时导数为负，$x>2$时导数为正。
因此，在$x<2$时，函数的导数为负，说明函数在这个区间上是递减的；而在$x>2$时，函数的导数为正，说明函数在这个区间上是递增的。
因此，根据导数的正负性和最值判定原则，我们可以得出结论：函数$f(x)$在区间$(-\infty,2)$上单调递减，在区间$(2,+\infty)$上单调递增。
进一步，我们可以求得函数的最值，即当$x=2$时，函数取得最小值。
因此，我们得到了函数$f(x)$的最值以及最值的取值点。
2.利用导数证明不等式的成立导数可以被用来证明各种类型的不等式。
其中一个常见的方法是使用导数的定义和可微函数的局部性质。
考虑函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义且在开区间$(a,b)$内可微。
如果在$(a,b)$内存在一个点$c$，使得$f'(c)>0$，那么基于导数的定义，我们可以得出结论：对于任意的$x \in (a,b)$，都有$f'(x)>0$。
这意味着$f(x)$在$(a,b)$内是单调递增的。
我们可以进一步得出结论：对于任意的$x \in [a,b]$，都有$f'(x) \geq f'(a)$。
因此，我们可以断定$f(x)$在闭区间$[a,b]$上是凸函数。
根据凸函数的性质，我们可以利用函数的凸性证明各种类型的不等式。
例如，我们可以证明对于任意的$x>0$和$y>0$，成立如下的不等式：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$。
浅谈导数在证明不等式中的应用
浅谈导数在证明不等式中的应用发布时间：2022-01-12T02:41:21.984Z 来源：《中小学教育》2021年第30期作者：阮丽霞[导读] 相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，在学习高中数学的过程中，不等式证明是数学常见题型中的一种，熟练借助不等式来进行各项数学问题的研究，与导数结合，可以有效提高学生在完成不等式证明题型的准确率。
阮丽霞钟祥市第三中学摘要：相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，在学习高中数学的过程中，不等式证明是数学常见题型中的一种，熟练借助不等式来进行各项数学问题的研究，与导数结合，可以有效提高学生在完成不等式证明题型的准确率。
利用导数打开解决数学问题的解题思路，是解决不等式证明最高效且快捷的途径，可以有效降低不等式证明的难度，帮助学生寻求到简易的解题技巧，打消学生学习数学的畏难情绪，重拾对数学的信心。
本文将通过研究导数在证明不等式具体应用，深挖应对不等式证明相关题型的解题方法。
关键词：导数；不等式证明；应用；解题技巧；引言：在高中数学的学习中，导数是高中数学学习非常重要的内容。
在导数的学习过程中，熟练掌握并运用导数的知识点，将其渗透到整个高中数学的各个板块中，其中在学习不等式证明时，通过有效利用导数的知识，使不等式证明解题效率得到显著的提升。
高考中，不等式证明是常考题型，也是大多数学生较为头痛的题型，其原因是可采用的方法较多，学生们在选择时无从下手，导致难度较大。
导数作为分析数学问题较广泛的应用方法之一，在解决不等式证明的问题时，运用导数是最便捷、直接的办法。
一、通过导数的定义来解决证明不等式的问题在数学高考的课题中，每年的热门题型都大致相同，在众多的题型中几乎都存在一道“如何利用导数证明不等式”，在高中数学的学习中，通过对导数定义的学习，掌握利用导数的定义来证明不等式的方法，其具体步骤为：构造一个函数，将其一边设置为y=f（x），在点x0的某个邻近区域上，可以有效的定义出在这个区域中f（x）可导，则需要正确找出在x0的区域中f（x）有极值，即y=f（x），就可以根据导数的定义，来解决这一类通过导数定义证明不等式的问题了，灵活运用导数的定义，展开不等式证明的详细过程。
利用导数证明不等式的方法探析
利用导数证明不等式的方法探析
导数法证明不等式，是非常常用的数学工具，主要用来证明某一不等式的真实性。
在一般情况下，当两个曲线或不等式的导数相等时，不等式就不成立；而当两个曲线或不等式的导数不等时，不等式就是成立的。
下面来看一组不等式：不等式：f （x）> g（x）。
若要证明这一不等式，首先要求出f（x）和g（x）的导数。
因为f（x）和g（x）都是多项式，所以，可以利用多项式的
导数规则，分别对f（x）和g（x）求出它们的导数，即，f'（x）和g'（x）。
一旦求出f'（x）和g'（x），就可以比较它们，看看f'（x）是否大于g'（x）。
从可能性来看，如果f'（x）大于g'（x），那么f（x）> g（x）。
反之，则不等式不成立。
同样，如果f'（x）等于g'（x），这意味着f（x）和g（x）
的斜率一样，而斜率能反映曲线的变化趋势，这也就意味着f （x）和g（x）完全等价。
也就是说，f（x）> g（x）也不成立。
总体而言，通过导数法可以证明不等式f（x）> g（x），它是一种有效的数学工具，可以对不等式做出合理的定义。
导数在不等式证明中的应用
导数在不等式证明中的应用引言不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。
不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。
其常用的证明方法有: 比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。
导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。
不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。
本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。
这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。
对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。
一、利用导数的定义证明不等式定义 设函数()f f x =在点0x 的某领域内有定义,若极限()()00limx x f x f x x x →-- 存在则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作()'0f x令 0x x x =+∆，()()00y f x x f x ∆=+∆-，则上式可改写为 所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比y x∆∆的极限。
这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率( 又称差商)，而导数()'0f x 则为f在0x 处关于x 的变化率。
以下是导数的定义的两种等价形式： （1）()()()0'00limx xf x f x f x x x →-=-（2）()()()0'00lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆例1: 设()12sin sin 2sin n f x r x r x r nx =+++，并且()sin f x x ≤， 证明：1221n r r nr +++≤证明 ()12sin sin 2sin n f x r x r x r nx =++，可得出()00f =， 因为 ()'12cos 2cos2cos n f x r x r x nr nx =+++, 则 ()'1202n f r r nr =+++ 又由导数的定义可知 所以 ()'01f ≤， 即可得 1221n r r nr +++≤.例2、 已知函数()21ln 2f y y y =+，求证: 22211,ln 32y y y y >>+. 分析 令()2221ln 32h y y y y =--，(1,)y ∈+∞，因为()1106h =>, 要证当1x >时，()0h x >,即()()10h x h ->,只需证明()h y 在(1,)+∞上是增函数。
导数在不等式中的一些应用
１ 导数 的相 关性 质
性质 １
（，） 调递 减 ． ｏ６单 性质 ２ 引 理
） ａ６ 在 ，） 上可导若任 给 ∈ａ６有 ）０ ，） ＞ 则 ） 口６ 在（，） 单调递增 ， 若厂∽＜ ０时， 则 ） 在
） 在 处 二 阶导 数 存在 ， 若 ｆ（ｏ ｏ且 Ｄ ， 且 ￣） － － ） 则 。 函数 的极 值点 ， ≠０ 是 若 ㈨ ＞ 则 ａ ０， ｆ ｏ 在 ａ６上连续 可导且存 在 ｎ个极 点 ， ，】 分别为 戈，： 又有 ｍａ｛ ） ２・ ｘ ＪａＪｂ｝０ ， … 】触１ ） ・ ３ （ （） 【 ，￣ ｉ ｆ ） ＜ ， 一 ） ０则 有 ）０ 或 ｌ ） ＞ ＜（ ） ．
可得 ： ｒｃｓ ． ａｃ０
叮 ｒ
从 Ｖ∈， 。 ） ＞ （ｒｓ） 调 增于 Ｖ∈， 。 ） Ｄ ， 而 （ｃ ０ ０ｃ 内 递 ， （ｃ吾√ ） 其 ０ ｃ ） ａｓ ｒ 在， 。 单 ａ ｃ 是 ０ｃ ＝ ａｓ ｒ Ｄ
次Ｖ ∈（ ｃ。 ２ ａ ｃｓ ｒ
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１４ ・ ２
宁德师专学报（ 自然 科 学 版 ）
２１ ０ ０年 ５月
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4.7 导数在不等式证明中的应用一、利用单调性证明不等式单调性本身就是体现了不等式关系，因而利用单调性来证明不等式便是顺理成章的事.在4.4中，我们利用导数的符号就能判断函数的单调性。
例1. 设2e a b e <<<，证明 2224ln ln ()b a b a e ->-． 分析: 222244ln ln ,b b a a e e ->- ()b a > 证1: 设 224()ln x x x e =-ϕ， 则 2ln 4()2x x x eϕ'=-，21ln ()2xx xϕ-''=Q ，当x e >时，()0x ϕ''<， 故()x ϕ'单调减小．从而，当 2x e < 时，22244()()0x e e e''>=-=ϕϕ， ()x ϕ∴单调增加．()()b a ϕϕ>，即222244ln ln b b a a e e ->-，故不等式成立. 注：有时需要多次使用导数符号判断单调性.证2 分析: 22ln ln ln 2b a b a ξξ-=- 24,e> 2e a b e ξ<<<<（）222ln ln ln (ln )2x b ax b aξξξ=-'==-因为， 2e a b e ξ<<<<（）2ln 1ln ()0x xx x -'=<而， ()x e > ， ln .xx e x>故当时，单减从而，222ln ln 422e e e ξξ>=，即：222ln ln 4b a b a e->- 注：综合使用中值定理和单调性.例2 证明 2sin ,0,2x x x x ππ⎛⎫<<∈ ⎪⎝⎭.分析：2sin 1,0,2x x x ππ⎛⎫<<∈ ⎪⎝⎭证 令()sin ,(0,],2x f x x x π=∈ 则 ()()22cos tan cos sin '0,02x x x x x x f x x x x π--⎛⎫==<<< ⎪⎝⎭ 从而 ()sin x f x x =在(0,]2x π∈单调减少， 当02x π<<时， ()()02f f x f π+⎛⎫<< ⎪⎝⎭2sin 1,xxπ<< 即 2sin ,0,2x x x x ππ⎛⎫<<∈ ⎪⎝⎭.二、 利用中值定理证明不等式1、利用Lagrange 中值定理证明不等式设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则有()()(),(,)f b f a f a b b aξξ-'=∈-于是，我们依据关于()f x '的，得到不等式.如：（1）()(),A f x Ba xb '≤≤<<（2）()f x '单调，()a x b <<（3）如果|()|f x M '≤，()a x b << 例3 证明：当0x >时，ln(1).1xx x x<+<+ 分析：1ln(1) 1.1x x x+<<+ 证 注意到ln10=，故可将不等式组变形为1ln(1)ln1 1.1(1)1x x x +-<<++- 对函数()ln f x x =在[1,1](0)x x +>上利用拉格朗日中值定理，于是，存在)1,1(x +∈ξ,使.11)1(1ln )1ln(ξ=-+-+x x由于,1111<<+ξx 故11)1(1ln )1ln(<-+-+x x ，即ln(1),(0).1xx x x x<+<>+ 2、利用柯西中值定理证明不等式设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0(),g x a x b '≠<<则存在),(b a ∈ξ，使得.)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--如果)()()(b x a M x g x f N <<≤''≤，则可建立相应不等式. 例4 设当)(|)(|,0)(,0x x f x x x ϕϕ'≤'>'≥且时，证明：当时0x x ≥，)()(|)()(|00x x x f x f ϕϕ-≤- (4.7.1)分析：()1()f x x ϕ'≤' =>00()()1()()f x f x x x ϕϕ-≤- 证 当0x x =时，式(4.7.1)的等号成立.当0x x >时，有).()(0x x ϕϕ>由柯西中值定理知，存在),(0x x ∈ξ，使得.)()()()()()(00ξϕξϕϕ''=--f x x x f x f考虑到，0)(>'x ϕ故)(x ϕ单调增加，有0000()(|()()||()|()()|())||()|1.()()()f x f x f x f f f x x x x x ξϕξϕξϕϕξϕϕ'-≤'-'-==='-00|()()|()().f x f x x x ϕϕ-≤-即综上可知，当0x x ≥时，式(4.7.1)成立. 3、 利用泰勒中值定理证明不等式由泰勒公式或马克劳林公式可知，如果涉及具有二阶或更高阶导数，可考虑借助于函数的泰勒公式或马克劳林公式来证明，如果是已知最高阶导数的取值范围时，可用此条件来估计有关的量，从而可以证明某些不等式.例5设函数()f x 的二阶导数()0,f x ''>且0()lim1,x f x x→=证明().f x x ≥ 解 由于函数()f x 且具有一阶导数且0()lim 1,x f x x→=故得1)0(,0)0(='=f f ，利用函数)(x f 一阶马克劳林公式：,2)(2)()0()0()(22x f x x f x f f x f ξξ''+=''+'+= 其中ξ介于x 与0之间，()0,f ξ''>.所以 ().f x x ≥例6 设函数()f x 在[0,1]上二阶可导，(0)(1)f f =，且|()|2f x ''≤.试证.1|)(|≤'x f证 注意到条件中含有高阶导数，故我们对函数()f t 在t x =点处用一阶泰勒公式：.))((!21))(()()(2x t f x t x f x f t f -''+-'+=ξ 分别将01t t ==，代入上式,2112121(0)()()(0)()(0),0,2!1(1)()()(1)()(1),1.2!f f x f x x f x x f f x f x x f x x ξξξξ'''=+-+-<<'''=+-+-<<注意到()()01f f =,两式相减，整理得到].)1)(()([21)(2221x f x f x f -''-''='ξξ因此，])1(|)(||)([|21|)(|2121x f x f x f -''+''≤'ξξ.1)]1([)1(222=-+≤-+≤x x x x三、 利用凹凸性证明不等式曲线的凹凸性反映的也是不等关系：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭或()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭如果可以从)(x f ''的符号判断曲线是凹或者凸的，则对应上面的不等式就一定成立.例7 证明 当,0,,1x y x y n >≠>时，.2)(21nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+ 证 设函数()n f t t =，则).0(0)1()(,)(21>>-=''='--t t n n t f nt t f n n因此当()0t f t >，的图形是凹的.根据定义，有.2)(21nn n y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+>+ 例8 证明当0x π<<时，有sin .2xxπ>证 设πxx x f -=2sin )(，有),0(02sin 41)(,12cos 21)(ππ<<<-=''-='x xx f x x f则曲线()y f x =在()0,π内是凸的. 又()0()0f f π==,所以当0x π<<时，点()0,0和(),0π所连的弦在曲线()y f x =的下方，即()0f x >，从而.2sin πxx > 四、 利用最值证明不等式最值关系本身也是不等关系，因此要证明()f x M ≤或()()f x m x I ≥∈,则只需证明max ()min ().x Ix If x Mf x m ∈∈≤≥或例9 证明).1,10(,1)1(211>≤≤≤-+≤-p x x x p p p证 令()(1)p p f x x x =+-,显然()f x 在[01]，上连续，故()f x 在[01]，上有最大值M ，最小值m .又由于11()(1),p p f x px p x --'=--令()0f x '=,得驻点211=x ，另有区间端点230,1x x ==,比较,2121,1)1()0(1-=⎪⎭⎫⎝⎛==p f f f 得()f x 的最大值()()011M f f ===,最小值111.22p m f -⎛⎫== ⎪⎝⎭因此，当]1,0[∈x 时，.1)1(211≤-+≤-p p p x x例10 证明 ).0(11ln >≥+x x x证 令.0,1ln )(>+=x xx x f 由0111)(22=-=-='xx x x x f得惟一驻点x =1.又，当01x <<时()()'0,f x f x <单调减少；当1x >时，()()'0,f x f x >单调增加.因此，函数()f x 在点1x =处取得最小值，最小值为()11f =,所以当0x >时，有()1f x ≥，即 1ln 1.x x+≥4.8* 组合恒等式与相关变化率（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。