谓词逻辑的基本概念
谓词逻辑的基本概念
三、4.4.6 三例不等
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
四、三个有趣的例子 4.4.7 积木世界的形式描述
若以P(x)表示x是有理数，Q(x)表示x是实数， 这句话的形式描述应为
(x)(P(x)Q(x))
“所有的……都是……”，这类语句的形式描述 只能使用而不能使用∧. 当P(x)与Q(x)为此例 中的谓词常项时，上式真值与论域无关。
4.4.2 “有的实数是有理数”的形式化
以P(x)表x是有理数，Q(x)表示x是实数，这句 话的形式描述应为 (x)(P(x)∧Q(x))
辑的个体域除明确指明外，都认为是包括一切事 物的一个最广的集合．以D表示． 谓词的变化范围:不做特别声明时，指一切关系或 一切性质的集合． 同一谓词在不同论域下的描述形式可能不同，所 取的真假值也可能不同．
4.1.3 谓词的抽象定义
将谓词视作为一个个体的性质或多个个体间的 关系．还可进一步抽象地定义: 谓词是给定的个体域到集合｛T，F｝上的一个 映射．
设P(x，y)是二元谓词，对两个变元的量化可得4 种形式．
(1) (x)(y)P(x, y) (x)((y)P(x, y))
注意x和y可交换
(2) (x)(y)P(x, y) (x)((y)P(x, y))
注意x和y不可交换，且y是x的函数
(3) (x)(y)P(x, y) (x)((y)P(x, y))
非合式公式： (x)F(x)∧G(x),违反第三条 (x)((x)F(x)),违反第四条 (x)P(y)违反第四条
谓词逻辑I 谓词、量词与谓词公式
26
实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.
7
基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
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例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)
谓词逻辑定义
谓词逻辑定义谓词逻辑是一种用来描述事物真假性的语言，它的核心是谓词（Predicate）和符号表示法，它可以用来表达自然语言中的复杂概念和描述一些事实及其关系。
谓词逻辑是一种强大的数学模型，可以用来表示我们对自然现象的知识，并且可以推断出未来的情况。
谓词逻辑的发展源自上世纪六十年代，受到欧几里得的哲学思想的启发，以便为数学模型提供更完整的语言。
它发展成为一种用来描述事物的语言，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，它主要用于计算机科学领域，其他领域如哲学也有广泛的应用。
谓词逻辑通过谓词（predicates）来描述一般状况和条件，它是一种抽象的数学语言，可以表达自然语言中的复杂概念，以符号表示法来表达一些有关真假性的概念，并通过推断技术来完成其任务。
谓词逻辑由以下几个部分组成：1.尔谓词：它是一些布尔谓词（Boolean predicates），用来描述一般状况和条件，比如P（x），Q（x），R（x）等等。
2.号表示：谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，以表达一些有关真假性的概念，比如“&”（且），“”（否定），“∨”（或）等等。
3.词逻辑语句（Logical Sentences）：谓词逻辑语句是谓词逻辑中使用的一种有用结构，它由谓词和符号表示法组成，可以表达一些真假性概念。
4.型：谓词逻辑的模型是一种强大的数学模型，它可以用来描述自然现象的知识，它可以用来表达一些事实及其关系（fact and relationship）。
谓词逻辑的最大优势在于它是一种可以描述一些有关真假性的复杂概念的语言，它不但可以用来表达自然语言中的复杂概念，也可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，从而实现机器智能。
谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，可以表达一些有关真假性的概念，可以用来计算机科学中的解释和推理，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，也可以用于哲学等其他领域。
02-第7讲： 谓词逻辑基本概念
谢谢观 看
引入
办法
将简单命题再次细分，分析出个体词、谓 词和量词，以克服命题逻辑的局限，这就 是谓词逻辑研究的内容。
基本概念
个体词 可以独立存在的具体的或抽象 的客体。
个体词分类
1 个体常项：具体的或特定的，一般用a,b,c,…表示。 2 个体变项：抽象的或泛指的，一般用x,y,z,…表示。 3 个体域：个体变项的取值范围。 4 全总个体域：由宇宙中一切事物构成的。
则可符号化为： L(x,y)
基本概念
记号
一般地，用P(x1 , x2 , …, xn)表示含有 n个个体变项的n元谓词。 不带任何个体变项的谓词称为0元谓词。
➢ 命题逻辑中的命题可以用0元谓词表示。
基本概念
量词
用来表示个体常项或变项之间数量 关系的词。
量词分类
1 全称量词：“一切”、“所有”、“凡”、“每 一个”、“任意”等，符号记作。 如：x 表示个体域内所有的x。
基本概念
注释
个体词和谓词一起构成了简单命题 中的主谓结构。
例子
例7.1 （1）3是有理数。 （2）x与y有关系L。
例子 （1）3是有理数。
解： “3”
符号化为
“x是有理数” 符号化为
a F(x)
则可符号化为： F(a)
例子 （2）x与y有关系L。
解： “…与…有关系L”
谓词变项
“x，y“
个体变项
2 存在量词：“有一个”、“有的”、“存在”、 “至少有一个”等，符号记作。 如: y表示个体域内有的y。
例子
例7.2
在谓词逻辑中将下列命题符号化: 没有不犯错误的人。
解 ：令 M(x): x是人。 F(x): x会犯错误。 则符号化为 （1）x (M(x) F(x)) 或 （2） x(M(x)∧ F(x)) 。
4-2 谓词逻辑的基本概念
谓词逻辑的判定问题
谓词逻辑是不可判定的
即不存在一个能行的方法（一个机械方法，并在有穷 步内实现判断），使它对任一谓词公式都能判定是否 是普遍有效的。
随意颠倒量词顺序可能会改变原命题的含义 取个体域为实数集， H (x, y )：x+5=y 则 ∀x ∃y H (x, y )
表示“对任意的x，存在着y ，使得x+5=y。” 这是个真命题。
将量词的顺序颠倒，得， ∃ y ∀x H (x, y )
表示“存在着y，对任意的x，都有x+5=y”， 这是假命题。
(∃x)(∃y)P(x, y)
∃x P(x)=P(1) ∨ P(2) ∨ … ∨ P(k)
= (∃y)P(1, y) ∨ (∀∃y) P(2, y) =P(1, 1) ∨ P(1, 2) ∨P(2, 1) ∨ P(2, 2)
在域{1, 2}上多次量化公式
(∃x)(∀y)P(x, y) = (∀y)P(1, y) ∨ (∀y) P(2, y) =(P(1, 1) ∧ P (1, 2) ) ∨(P(2, 1) ∧ P (2, 2)) (∀y)(∃x)P(x, y) = (∃x)P(x, 1) ∧ (∃x) P(x, 2) =(P(1, 1) ∨ P (2, 1)) ∧(P(1, 2) ∨ P (2, 2)) =(P(1, 1) ∧ P (1, 2)) ∨ (P(1, 1) ∧ P (2, 2) ) ∨ (P(2, 1) ∧ P (1, 2)) ∨ (P(2, 1) ∧ P (2, 2)) =(∃x)(∀y)P(x, y)∨(P(1,1)∧P(2, 2))∨(P(2,1)∧P (2,2)) (∃x)(∀y) P(x, y) ⇒(∀y)(∃x) P(x, y)
数学逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑的基本概念
数学逻辑是数学中的一门重要学科，它研究的是关于命题和谓词的逻辑关系。
命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念，它们在逻辑推理和论证中起着重要的作用。
首先，让我们来了解一下命题逻辑。
命题逻辑是逻辑学中研究命题和命题之间逻辑关系的一门学科。
命题是陈述句，可以是真或假的陈述句。
命题逻辑关注的是命题之间的“与”、“或”、“非”等逻辑关系。
在命题逻辑中，我们可以使用逻辑运算符来表示不同的逻辑关系。
例如，“与”运算符用符号“∧”表示，表示命题p和命题q都为真时整个命题为真。
同样地，“或”运算符用符号“∨”表示，表示命题p和命题q中至少有一个为真时整个命题为真。
此外，在命题逻辑中，还有一些常用的推理规则，如简化规则、析取规则、假言推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的命题推导出新的命题，并进行正确的推理和论证。
接下来，我们来了解一下谓词逻辑。
谓词逻辑是逻辑学中研究谓词和谓词之间逻辑关系的一门学科。
谓词是带有变量的物质，它表示一个属性或特征。
谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系以及变量的取值范围。
在谓词逻辑中，我们可以使用量词来表示变量的范围。
例如，“∀”表示全称量词，表示一个命题对于所有的变量都成立。
“∃”表示存在量词，表示存在一个变量使得命题成立。
与命题逻辑类似，谓词逻辑也有一些常用的推理规则，如全称推理规则、存在推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的谓词条件推导出新的谓词条件，并进行正确的推理和论证。
同时，命题逻辑和谓词逻辑在数学中具有广泛的应用。
它们可以帮助我们进行逻辑推理，判断论证的有效性。
在数学证明中，命题逻辑和谓词逻辑也是必不可少的工具。
利用命题逻辑和谓词逻辑，我们可以对命题进行分析和论证，从而得出正确的结论。
总而言之，命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念。
命题逻辑关注的是命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系和变量的取值范围。
这两个概念在逻辑推理和论证中起着重要的作用，并在数学中具有广泛的应用。
04-L.01 谓词逻辑的基本概念
−离散数学基础2017-11-19•定义：个体和谓词−在原子命题中，描述的对象称为个体，用于描述个体的性质或个体之间的关系部分称为谓词。
−例：张三是个大学生。
»个体：张三；谓词：是个大学生−例：张三和李四是表兄弟。
»个体：张三、李四；谓词：是表兄弟（关系）−习惯上，用小写字母 a, b, c, … 表示个体，大写字母 P, Q, R, … 表示谓词。
−例：a：张三；b：李四；P(x)：x 是个大学生；Q(x, y)：x 和 y 是表兄弟。
则：P(a)：张三是个大学生；P(b)：李四是个大学生；Q(a, b)：张三和李四是表兄弟。
•定义：原子命题的谓词形式−一个原子命题用一个谓词常项（如 P）和 n 个有次序的个体常量（如 a1, a2, …,a n）表示成 P(a1, a2, …, a n)，称为该原子命题的谓词形式。
−例：Q(a, b)：张三和李四是表兄弟。
−当讨论的个体处于一个论述范围时，个体常量被个体变量取代。
如 Q(x, y)。
•定义：n 元原子谓词−由一个谓词（如 P）和 n 个个体变量（如 x1, x2, …, x n）组成的 P(x1, x2, …, x n)，称为 n 元原子谓词，或简称 n 元谓词，或 n 元命题函数。
−一个 n 元谓词 P(x1, …, x n) 只有 P 取谓词常项，且其中所有个体变量均取得个体常项时，该谓词才成为命题。
»特别地将命题看成是0元谓词。
•定义：个体论域−个体变量 x i 的论述范围（取值范围）称为 x i 的论域或变程。
−全总论域：将一个 n 元谓词的各个个体论域综合在一起，称为该谓词的全总论域。
无特别声明时，谓词均在其全总论域下讨论。
−一元谓词 P(x) 更广泛的定义：从全总论域到 {1, 0} 的映射 P: D → {1, 0} •定义：个体函数−一个个体函数是个体域到个体域的映射。
−例：个体函数»father(x)： x 的父亲。
谓词逻辑31谓词逻辑的基本概念311谓词和量词
对于一个谓词，如果其中每 一个变量都在一个量词作用 之下。则它就不再是命题函 数，而是一个命题了。但是， 这种命题和命题逻辑中的命 题毕竟有所不同。因为终归这种命 题里还有变量，当然这种变量和命题 函数中的变量还有区别。因此，使 用量词时应注意以下几个问题 1.量词的论域，即D中都有那些元 2. 在多重量词时,应注意量词的顺序； 3. 量词的作用域。
定义3.1.1 可以独立存在的物体称为 个体。（它可以是抽象的，也可以是 具体的。） 如人、学生、桌子、自然数等都可以 做个体。在谓词演算中，个体通常在 一个命题里表示思维对象。 定义3.1.2 设D是非空个体名称集合，定义在Dn 上取值于{1，0}上的n元函数，称为n元命题函数 或n元谓词。其中Dn表示集合D的n次笛卡尔乘积。 一般地，一元谓词描述个体的性质，二元或多元 谓词描述两个或多个个体间的关系。0元谓词中 无个体，理解为就是命题，这样，谓词逻辑包括 命题逻辑。
在由谓词，量词，逻辑联结词， 括号组成的有意义的符号串 (实际是下节定义的公式)中， 我们可将其中出现的约束变量 改为另一个约束变量，这种改 名必须在量词作用区域内各处以 及该量词符号中实行，并且改成的新约束 变量要有别于改名区域中的所有其它变量。 显然改名规则不改变原符号串的真值。
吉林大学远程教育课件
离散数学
(第十二讲)
主讲人: 杨凤杰
学 时：64
第三章 谓词逻辑 §3.1 谓词逻辑的基本概念 3.1.1 谓词和量词 命题逻辑研究的基本元素是命题。 命题是有真假意义的一句话，而 对这句话的结构和成分是不考虑 的。 因此，用这样简单的手段，很多思 维过程不能在命题逻辑中表达出来。 例如，逻辑学中著名的三段论： 凡人必死 张三是人 张三必死 Байду номын сангаас命题逻辑中就无法表示这种推理过程。
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• 为方便起见，第4、5、6章的讨论，约定以小写字母表示 命题，而以大写字母来表示谓词．
• 所介绍的内容限于一阶谓词逻辑或称狭谓同逻辑，将会看 到谓词逻辑较命题逻辑复杂得多．
4.1.2 个体词
• 在数理逻辑中，不使用主词这个词，习惯称为个体 词．它是一个命题里表示思维对象的词．P(张三)中的张 三是个体词或称个体常项．而谓词P(x)中的变量x为个体 变项或个体变元．
• 有果nP是个已个赋体有的确谓定词含P(x义１的，为…，谓x词n)，称就n项称(为目谓、词元常)谓项词．．而如P 表任—谓词时，就称为谓词变项．
数理逻辑
谓词逻辑的基本概念
• 第3章讨论的是命题逻辑，包括基本概念、等值和推理演 算、公理化．第4，5，6章将讨沦谓词逻辑的基本概念、 等值和推理演算、公理化．
• 在命题逻辑中，是把简单命题作为基本单元或说作 为原子来看待的，不再对简单命题的内部结构进行 分析．
如命题：“ 是无理数”、“ 是无理数”是作为两个 独这立两的个命命题题看 仍2 待 可的 作， 分不 解考 ，虑 它这 们3个 都命 有题 主间 词的 和联 谓系词．，事这实样上的 细分带来的好处是可将这两个有相同谓词(“是无理数”) 的命题联系起来．
HOUSE) 来描述这命题．而VALUE就是个体到｛T，F｝的映射， 不—定有什么具体含义，仅当个体COLOR取值为黄色的， HOUSE取值为房子时VALUE就取值为T．
• 还需说明，一般地说谓词P(X)，Q(x，y)是命题形 式而不是命题．因为这里没有指定谓词符号P，Q 的含义，即它们是谓词变项．再者，个体词x，y 也是个体变项．从而不可能确定P(x)，Q(x，y)的 真值是取真还是取假，仅当谓词变项取定为某个 谓词常项，并且个体词取定为个体常项时，命题 形式才化为命题．如P(x)表x是有理数，那么P(3) 是命题，真值为T，Q(x，y)表x大于y，那么Q(2， 3)是命题取值为F，谓词的真值依赖于个体变元的 论域．
又如：凡有理数都是实数．2／7是有理数．所以2／7是实数．直观上看 这样的推理应该是正确的．然而在命题逻辑里就不能描述这种推理，设 这三个命题分别以p，q，r表示，相应的推理形式为： (p q) r由 于对任意的p，q，r来说这推理形式并非重言式，也就是说这个推理形式 不是正确的．对这样的人们熟知的推理关系在命题逻辑中得不到正确的 描述，自然是命题逻辑的局限性．
4.1.4 谓词逻辑与命题逻辑
• 可认为谓词逻辑是命题逻辑的推广，命题逻辑是谓词逻 辑的特殊情形．因为任一命题都可通过引入具有相应含义 的谓词(个体词视为常项)来表示，或认为一个命题是没有 个体变元的零元谓词．命题逻辑中的很多概念。规则都可 推广到谓词逻辑中延用，如联结词可照搬到谓词逻辑，无 需再做说明，有的等值式推理式也可移植到谓同逻辑，然 而谓词逻辑里出现了个体变元，谓词、量词等概念，给我 们的讨论带来了复杂性，特别是个体论域常是无限域，加 大了处理难度．最简单又深刻的例子，在命题逻辑里—个 公式不难判定它是否是重言式，真值表法是能行的方 法．然而在谓词逻辑里就没有一般的能行算法来判定任一 公式是不是普遍有效的(或称定理、永真式)．
明显地描述了这两个命题的共同点和不同点．自然一 般地可引入变量x来表示主词，于是符号P(x)就表示“x是 学生”．通常把P(x)称作谓词．
• 可以这样来理解谓词： 在一个命题里，如果主词只有一个，这时表示该主
词性质或属性的词便称作谓词．这是一元(目)谓词， 以P(x)，Q(x)，…表示． 在一个命题里，如果主词多于一个，那么表示这几 个主词间的关系的词称作谓词．这是多元谓词，以 P(x，y)，Q(x，y)，R(x，y，z)，…表示． •如 “张三和李四是兄弟”．其中“是兄弟”是谓词． “5大于3”．其中“大于”是谓词． “张三比李四高”．其中“比……高”是谓词． “天津位于北京的东南”．其中“位于……东南” 是谓词． “A在B上”．其中“在……上”是谓词．
4.2 函数和量词
4.2.1 函数
• 在谓词逻辑中出现变量，自然也会考虑引入函数．而函 数本身的含义和通常微积分学里的定义是一致的，只须 强调的它是某个体域(不必是实数)到另一个体域的映射 (严谨的定义见第11章)，不同于将个体映射为真假值的 谓词．而且函数并不单独使用，是嵌入在谓词中．
– 如函数father(x)表工的父亲，若P(x)表x是教师，则(father(x)) 就表示x的父亲是教师．当x的取值确定后，P(father(x))的值或 为真或为假．
• 将个体变项的变化范围称为个体域或论域，以D表 示．并约定谓词逻辑的个体域除明确指明外，都认为是 包括一切事物的一个最广的集合．谓词变项的变化范围， 不做特别声明时，指一切关系或一切性质的集合．论域 是重要的概念，同 一谓词在不同论域下的描述形式可能 不同，所取的真假值也可能不同．
4.1.3 谓词的定义
4.1 谓词和个体词 4．l．l 谓词
• 例 张三是学生．李四是学生．
在命题逻辑里，这是两个不同的命题，只能分别以两 个不同的符号如p，q表示了．然而分析一下这两个命题 的共同点，它们都有主词和谓词，不同的是主词“张三”、 “李四”．而谓词“是学生”是相同的，现在我们强调它 们的共同点．若以大写符号P表示“是学生”，这样两个 命题的共同性可由P来体现了，但主词还需区别开来，便 可把这两个命题分别写成P(张三) 和P(李四)．
• 曾将谓词视作为一个个体的性质或多个个体间的关 系．还可进一步抽象地定义。谓词是给定的个体域到 集合｛T，F｝上的一个映射．
如P(x)其中xD，而P(x)的取值为T或F． 又如“房厂是黄色的”可由谓词 YELLOW(HOUSE) 表示．当
HOUSE取值为房子又是黄色的，该命题方为真． 借助于谓词的抽象定义，也可用二元谓词 VALUE(COLOR，