数学思维 第2讲 数数中的枚举
小学二年级数学知识点：枚举法
小学二年级数学知识点：枚举法这篇小学二年级数学知识点：枚举法是查字典数学网特地为大家整理的，希望对大家有所帮助!例1如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状?哪种形状的长方形面积最大?(边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米).解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米.下面列举出符合这个条件的各种长方形.(注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形).下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图(1)～(5).例2如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条?请一一画出来.解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的(1)和(2);又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的(1)、(2)、(3)可知有3条路径可由A到H.仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G 点和H点的数字相加之和，即3+3=6.例3在10和31之间有多少个数是3的倍数?解：由尝试法可求出答案：34=12 35=15 36=18 37=2138=24 39=27 310=30可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个. 注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：103=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数;10003=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数; 333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数.由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围. 例4两个整数之积为144，差为10，求这两个数?解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：1 2 3 4 6 8 9 12144 72 48 36 24 18 16 12可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求. 例512枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个?解：列举出两种硬币的可能搭配：可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个1角币.例6小虎给4个小朋友写信.由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了.4个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎装错的情况共有多少种可能?解：把4封信编号：1，2，3，4.把小朋友编号，友1，友2，友3，友4.并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：说明：如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，友3得了4号信，友4得了3号信.以上就是由查字典数学网为您提供的小学二年级数学知识点：枚举法，希望给您的写作带来帮助!。
五年级奥数加法原理之分类枚举(二)学生版
五年级奥数加法原理之分类枚举（二）学生版2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力,了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题,教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯,锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况,就是在做一件事时,有几类不同的方法,而每一类方法中,又有几种可能的做法．那么,考虑完成这件事所有可能的做法,就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津,他可以乘火车也可以乘长途汽车,现在知道每天有五次火车从北京到天津,有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现,王老师去天津要么乘火车,要么乘长途汽车,有这两大类走法,如果乘火车,有5种走法,如果乘长途汽车,有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津,故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中,完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候,只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的,那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地,如果完成一件事有k 类方法,第一类方法中有1m 种不同做法,第二类方法中有2m 种不同做法,…,第k 类方法中有k m 种不同做法,则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法,这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”．分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类；其次,分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则,才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时,关键是确定分类的标准,然后再针对各类逐一计数．通俗地说,就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲知识要点教学目标7-1-2.加法原理之分类枚举（二）1、完成一件事分N类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法,就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来,这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序,这样才能做到不重不漏．例题精讲分类枚举——找规律【例 1】有一个电子表的表面用2个数码显示“小时”,另用2个数码显示“分”。
五年级数学上册《枚举》教案、教学设计
（二）讲授新知
1.枚举法概念：详细讲解枚举法的定义，使学生了解枚举法是一种通过列出所有可能情况来解决问题的方法。
2.枚举法步骤：分步骤讲解枚举法的操作流程，如确定问题、列出所有可能情况、筛选合适方案等。
3.实例讲解：结合具体实例，演示如何运用枚举法解决问题，让学生更加直观地理解枚举法。
五、作业布置
为了巩固学生对枚举法的理解和应用，确保学生在课后能够自主复习和拓展，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）结合课堂所学，运用枚举法解决以下问题：如何在5个人中选出2个人进行乒乓球比赛，有多少种不同的组合方式？
（2）列举出本节课所学的枚举法的概念和步骤，并用自己的语言进行简要解释。
（3）完成课本第45页的练习题第1、2、3题。
2.选做题：
（1）在生活中找到一个应用枚举法解决的问题，并详细描述问题的解决过程。
（2）设计一个关于枚举法的数学问题，要求至少包含两个未知数，并将问题及解答过程写在作业本上。
3.探究题：
（1）结合教材内容，思考枚举法在解决其他数学问题时的应用，如排列组合、概率等。
（2）尝试用枚举法解决实际问题，例如：如何安排班级的座位，使得同学们的身高、视力等因素得到充分考虑？
4.注意事项：强调在运用枚举法时需要注意的问题，如避免遗漏和重复等。
（三）学生小组讨论
1.分组合作：将学生分成若干小组，每组选一个组长，负责组织讨论。
2.讨论题目：设计具有挑战性的题目，让学生运用枚举法进行讨论，如“如何在6个人中选出3个人参加比赛，有多少种组合方式？”
3.教师引导：在讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进度，适时给予提示和引导。
枚举法
枚举法枚举法起源于原始的计数方法，即数数。
当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时，就不得不采用逐一检验这些答案的策略，也就是利用枚举法来解题。
采用枚举法解题时，重要的是应做到既不重复又不遗漏，这就好比工厂里的质量检验员的责任是把不合格产品挑出来，不让它出厂，于是要对所有的产品逐一检验，不能有漏检产品。
1．小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币，要拿出8分钱，你能找出几种拿法？分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按照一定的规则进行．先找只拿一种硬币的拿法，有两种：①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；②2＋2＋2＋2＝8（分）．再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；④1＋1＋1＋5＝8（分）．最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：①1＋2＋5＝8（分）．由此可见，共有7种不同的拿法．在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全部拿法作了适当分类．合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧．2. 假设有A、B、C三个城市，从A到C必须经过B．已知从A到B可以坐汽车或坐火车到达，而从B到C则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达．问：从A 到C可以有多少种不同的旅行方式？分析从A到C（A→C）可分两个阶段进行：第一阶段，从A到B（A→B）；第二阶段，从B到C（B→C），按照第一阶段使用的交通工具不同可以分为两类：A→B B→C A→所以，从A到C共有2×3＝6种不同的旅行方式．上述解法中的图示叫做枝形图，在解不太复杂的计数问题中很有用．3．已知A、B、C、D为自然数，且A×B＝24，C×D＝32，B×D＝48，B×C ＝24．问A、B、C、D各为多少？因为C是24、32的公约数，又24、32的最大公约数是8，所以C是8的正约数．若C=1，则从C×D=32得D=32，再从B×D=48，得若C=2或8，同样可导致矛盾．若C=4，可求得D=8，B=6，A=4满足题意．4、一个小于400的三位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数还是平方数，其个位数也是一个平方数。
希望杯教程 四年级数学第二讲(计数问题)
希望杯教程四年级数学第二讲（计数问题）四年级数学第二讲（计数问题）一、知识回顾1. 枚举法：不重不漏。
适合情况是2. 加法原理：完成一件事情，有n类方法，第1类中有m1种方法，第2类中有m2种方法，??，第n类有mn种方法，则完成这件事情的方法一共有：能用加法原理解决的问题的特点是：3. 乘法原理：完成一件事情，若需要n个步骤，第1步有m1种方法，第二步有m2种方法，??，第n步有mn种方法，则完成这件事情的方法一共有：注意点是：4. 抽屉原理：桌子上有10个苹果，要把这10个苹果放到9个抽屉里，我们发现无论怎么放，至少会有一个抽屉里面放（）个苹果。
如果要把桌上的21个苹果放到10个抽屉里，至少有一个抽屉里放（）个苹果。
如果要把桌上的56个苹果放到10个抽屉里，至少有一个抽屉里要放（）个苹果。
5. 容斥原理：也就是说在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把重复计数的数目去掉，使得计算的结果既无重复又无遗漏。
（1）如果计数的事物有A、B两类，那么A类和B类元素个数总和（A∪B)= （2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么A类、B类和C类元素个数总和：（A∪B∪C）=6. 此外，常用的计数方法还有排列组合、标数法、捆绑法、排除法、归纳法、整体法、递推法等。
二、典型例题例1：下图中，以点A、B、C、D、E、F、G为端点的线段有多少条？例2：小林有2件上衣，4条裤子，3双皮鞋，她能有（）种不同的穿戴形式。
例3：从5幅楷体，3幅隶书，2幅草体书法作品中选取不同类型的2幅临摹，共有多少种不同的选法？例4：把24个苹果最多分给几个小朋友，才能保证至少有一个小朋友分得7个苹果。
例5：四年级一班第2小组共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋。
那么这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有多少人？例6：布袋中有38个同样大小的小球，其中白、黄、红三种颜色的球各有15个，另外还有3个蓝色球，3个绿色球和2个紫色球。
《数学]枚举法》PPT课件
![《数学]枚举法》PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/ec8c624a770bf78a6429545c.png)
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❖分析：实际上，只要知道乘数和被乘 数就可以写出乘法算式，所以我们可 以枚举乘数与被乘数的每一位。然后 再判断是不是满足条件即可。计算量 是45=1024，对于计算机来说，计算量 非常小。
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例4 时钟问题（IOI94-4）
也叫局部枚举）
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例2 谁是第几名
❖在某次数学竞赛中, A、B、C、D、E五名学生被取 为前五名。请据下列说法判断出他们的具体名次, 即谁是第几名？
❖条件1: 你如果认为A, B, C, D, E 就是这些人的 第一至第五名的名次排列, 便大错。因为:
没猜对任何一个优胜者的名次。
也没猜对任何一对名次相邻的学生。
▪ 来自若干个连续的段，每一个段中取一个分值； ▪ 每一个分值是所在段中最大的； ▪ 起点段和终点段任意，但途经段的分值和最大。
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❖ 设Li为第I个段中的分值最大的段。即Li=Max{L1I， L2I，……，LMI}（1≦I≦N – 1）。例如对于样 例数据： L1=Max（-50，17，-42）=17； L2=Max（-47，-19，-3）=-3； L3=Max（36，-34，-43）=36； L4=Max（-30，-13，34）=34； L5=Max（-23，-8，-45）=-8；
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枚举法的定义
❖所谓枚举法，指的是从可能的解的集 合中一一枚举各元素，用题目给定的 检验条件判定哪些是无用的，哪些是 有用的。能使命题成立的，即为解。
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❖ 示例中的解变量有3个：A，B，C。其中 解变量A的可能取值范围A∈{1， … ，3}
第二讲：数学思想方法之枚举法
第二讲：数学思想、方法之枚举的思想
内容概述
在计数问题中经常会用到枚举法。
枚举法简单的说就是一个一个去数的方法，其关键之处在于找到合适的分类标准。
例题1. 15个相同的乒乓球放入4个相同的盒子中，要求每个盒子中至少都有一个且每个盒子中的乒乓球的数量都不相同，一共有多少种这样的分法？
例题2. 某商店甲、乙、丙三种商品的价格分别是2元、3元、5元。
某人买了这三种商品每种若干件，共付钱20元，此人发现其中一种商品买多了，退还两件这样的商品，但营业员只有10元一张的钱，没有零钱退，此人只好将其他两种商品购买的数量调整，使总价钱不变，此时，此人购买的三种商品中，乙种商品的数量是多少？
例题3. 将1分、2分、5分和1角的硬币投入19个盒子中，使每个盒子里都有硬币，且任何两个盒子里的硬币的钱数都不相同，问：至少需要投入多少硬币？这时，所有盒子里的硬币总数至少是多少？（12届华杯）
练习
1、小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
2、数一数，右图中有多少个三角形。
3、小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。
如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？
4、在1，2,3，.......，100这100个自然数中，取两个不同的数，使得它们的和是7的倍数，共有多少种不同的取法？。
第2讲方案类问题中的枚举思想-三年级数学上册数学思想方法系列(人教版)(含解析)
第2讲方案类问题中的枚举思想-三年级数学上册数学思想方法系列（人教版）（含解析）第2讲方案类问题中的枚举思想-三年级数学上册数学思想方法系列（人教版）第2讲用“列举法”解决问题列举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法，一般的要根据问题的要求一一列举问题答案。
运用列举法解决问题时，不重复、不遗漏、有顺序、有规律地进行列举，运用列举法解决问题的关键是要正确分类。
要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏：二是列举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
涉及到实际问题常常是半开放式的方案型问题，符合情况的方案不止一种，逐一列举之后，选取最优方案。
【例题1】1．在2种面包和3种饮料中，选择1种饮料和1种面包有（）种搭配，把你的搭配方法用线连一连表示出来。
思路分析：从3种不同的饮料中选一种有3种选法；从2种不同的面包中选一种有2种选法；共有3×2种选法。
最贵的搭配是最贵的饮料搭配最贵的面包，把最贵的饮料价钱加上最贵的面包价钱即可。
规范解答：3×2＝6（种）【例题2】2．生活中的数学，看图回答问题。
(1)小亚：你知道吗，1斤4两是多少克呢？1斤4两＝( )克(2)小亚妈妈说：“1斤＝500克，1两＝50克”，那么，1斤＝( )两。
(3)小亚妈妈买了一些蔬菜，请你用“克”作单位表示这些蔬菜的质量。
蔬菜名称质量用“斤”、“两”作单位用“克”作单位蘑菇8两( )克青椒半斤( )克白萝卜4斤( )克合计三种蔬菜一共重( )千克( )克。
思路分析：根据1斤＝500克，1两＝50克，据此即可解答。
规范解答：（1）1斤4两＝500＋50＋50＋50＋50＝700克（2）1斤＝10两（3）8两＝2400克【例题3】3．实验小学29人乘车去机场，面包车限乘客8人，小轿车限乘客3人，哪种乘车方案能恰好把这些人全部运走？思路分析：根据条件列举出符合条件的乘车方案。
可从全部乘面包车开始，直到面包车是0辆为止，有序列表如下：乘车方案面包车/辆小轿车/辆可乘总人数1 4 0 4×8＝32（人）2 3 2 3×8＋2×3＝30（人）3 2 5 2×8＋5×3＝31（人）4 1 7 1×8＋7×3＝29（人）5 0 10 10×3＝30（人）规范解答：从上面的表格中可知，乘1辆面包车和7辆小轿车这种乘车方案能恰好把这些人全部运走。
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学以致用
练习3
在60以内（包括60），十位上的数字比个位上的数字大两 位数一共有多少个？
经典精讲
例题4 像17和71这样十位数字和个位数字 顺序颠倒的一对两位数是一家人， 它们相加的和为88，请问像这样的 相加和为99的一家人有几对？
学以致用
练习1
十位上的数字比个位上的数字大2，写出所有符合条件的两 位数？
经典精讲
例题2
十位上的数字与个位上的数字相差2，写出 所有符合条件的两位数？
经思典维精导图讲
【解析】“相差”是指十位上数字比个位上数字大2，或
者个位上数字比十位上数字大2，要分类考虑。当十位比个 位数字大2时，十位从大数9开始枚举，个位为7，则依次为 97，86，75，64，53，42，31，20共8个；当个位比十位 数字大2时，十位从小数1开始枚举，个位为3，则依次为13， 24，35，46，57，68，79共7个。所以一共有8＋7＝15个。
思维导图
【解析】根据17和71的关系可以发现，拆8即可找到所有
和为88的一家人数。此题为找和为99的一家人数，则可把9 拆分为1＋8，2＋7，3＋6，4＋5（之后重复），则一家人 数为18和81，27和72，36和63，45和54，共4对。
学以致用
练习4
像16和61这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数是 一家人，它们相加的和为77，请问像这样的相加和为77的 一家人有几对？
第2讲 数数中的枚举
学习目标
1．通过按顺序写数的练习，让孩子初 步感知枚举法的妙用；
2．培养孩子有序思考问题的能力。
经典精讲
例题1 有一个三位数，其中十位数字比百 位数字大4，各位数字又比十位数 字大4，这个三位数是多少？
思维导图
【解析】确定数位并标清数位间关系后，从最高位开始
枚举，百位是最小的，从小的数字开始枚举，其中0不能做 首位，从1开始，十位为1+4=5，个位为5+4=9，三位数为 159；当百位为2时，十位为2＋4＝6，个位为6＋4＝10，个 位不能有两个数字，所以不符合题意，以下不用再继续枚举。 所以答案是159。
思维导图
【解析】所以百位为1时，101，11，1，…，191一共10个
数；以此类推，百位为2，3，…，9的也都像这样各有10个 数，一共有9x10＝90（个）这样的回文数。
学以致用
练习6
像1001这样，从左往右和从右往左读是相同的自然数叫做 “回文数”，那么在1000到2016之间共有多少个“回文数” 呢？
学以致用
练习5
自然数12，135，1349这些数有一个共同的特点，相邻两个 数字，左边的数字小于右边的数字，我们取名为“上升数”。 用5，6，7，8这四个数字，可以组成多少个“上升数”？
经典精讲
例题6 有一些自然数，像121和2442这样， 从左往右和从右往左读是相同的， 我们把这样的数称作“回文数”， 那么在三位数中，一共有多少这样 的“回文数”？
经典精讲
例题5 自然数21，654，7521这些数有一个共同的 特点，相邻两个数字，左边的数字大于右边 的数字，我们取名为“下降数”。用4，6， 7，9这四个数字，可以组成多少个“下降 数”？
思维导图
【解析】若想为下降数，则至少为两位数。先排序为9，
7，6，4。四位数：9704；三位数：976，974，964，764 （按照顺序拿走一个数字即可）；两位数97，96，94，76， 74，64（确定一个之后去找搭档，打枪法），共11个。
学以致用
练习2 有一个两位数，它十位上的数字与个位上 的数字正好相差4，把所有符合条件的数 全部写出来？
经典精讲
例题3 在50以内（包括50），十位上的 数字比个位上的数字大两位数一共 有多少个？
ห้องสมุดไป่ตู้
思维导图
思维导图
【解析】这道题如果把50以内的数全部写出来然后再筛
选那就太麻烦了。我们可以通过列表的方法进行分类枚举， 把所有的答案都找出来。